文档内容
27.2 相似三角形（第1课时）
教学目标
1．理解相似三角形的概念，知道用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边、角对
应关系．
2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能用其进行简单的证明和计算．
3．掌握利用平行线判定两个三角形相似的定理，并能利用其判定三角形相似．
教学重点
掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，能利用平行线判定三角形相似．
教学难点
平行线分线段成比例的基本事实及推论的应用．
教学准备
准备带刻度的直尺．
教学过程
知识回顾
1．相似多边形的概念是什么？
【答案】两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多
边形叫做相似多边形．
2．相似多边形的性质有哪些？
【答案】相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
3．什么是相似比？
【答案】相似多边形对应边的比叫做相似比．
【设计意图】复习相似多边形的相关知识，巩固基础，为本节课的学习作准备．新知探究
一、探究学习
【问题】在相似多边形中，最简单的是____________．
【师生活动】学生独立思考，得出答案：相似三角形．
【追问】你能说出相似三角形的定义吗？
【新知】如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ＝ ＝ ＝k，
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k．相
似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′相似记作
“△ABC∽△A′B′C′”．
【思考】△A′B′C′与△ABC的相似比是什么？
【师生活动】学生小组讨论，得出答案：△A′B′C′与△ABC的相似比为 ．
教师让学生回顾：相似比具有顺序性．
【归纳】特别提醒：用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写
字母写在对应的位置上．△ABC∽△A′B′C′表示顶点A与A′，B与B′，C与C′分别对应；如
果仅说“△ABC与△A′B′C′相似”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应
关系．
【思考】如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
【师生活动】学生小组讨论，得出答案：当 ＝ ＝ ＝k＝1时，AB＝
A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，故△ABC≌△A′B′C′（SSS），即当k＝1时，这两个三角形全
等．
教师讲解、总结．
【归纳】全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，
而相似三角形不一定是全等三角形．
【思考】根据相似三角形的定义你能得到相似三角形的性质吗？【师生活动】学生自由发言，教师总结．
【新知】相似三角形的定义可以看作是性质，即相似三角形的三个角分别相等，三条
边成比例．
符号表示：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ＝ ＝ ．
【思考】如何判定两个三角形相似？
【师生活动】学生自由发言，教师总结．
【新知】相似三角形的定义也可以看作是判定，即三个角分别相等，三条边成比例的
两个三角形相似．
符号表示：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ＝ ＝ ＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【设计意图】分析相似三角形的定义，让学生知道全等三角形是特殊的相似三角形，
掌握相似三角形对应边、对应角的性质，并能根据定义判定两个三角形相似．
【问题】判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可
以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是
不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题．
如图，任意画两条直线l ，l ，再画三条与l ，l 都相交的平行线l ，l ，l ．分别度量
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l ，l ，l 在l 上截得的两条线段AB，BC和在l 上截得的两条线段DE，EF的长度，
3 4 5 1 2
与 相等吗？【师生活动】学生通过测量、计算，得出答案： ＝ ．
【追问】任意平移l， 与 还相等吗？直线l，l，l 在直线l，l 上截得的线段
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有什么关系？
【师生活动】学生通过测量、计算，得出答案： ＝ ；小组讨论，发现：
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 等．教师总结．
【新知】平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应
线段成比例．
注意：（1）截线是一组平行线，被截直线不一定平行；
（2）所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；
（3）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比等于另一条直线上与它们对应
的线段的比．
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现两种情况，如图所示．在图①中，把l 看成是平行于△ABC的边BC的直线；在图②中，把l 看成是平行于
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△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边
（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
【设计意图】在让学生通过画图、测量、猜想感知结论的基础上，给出平行线分线段
成比例的基本事实；并将基本事实应用到三角形中，直接得出推论，为学习“利用平行线
判定两个三角形相似的定理”作准备．
【问题】如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与
△ABC有什么关系？
【师生活动】学生自由发言，给出猜想：△ADE∽△ABC．
教师追问：你能证明你的猜想吗？
教师给出提示：利用相似的定义证明，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝
∠C， ＝ ＝ ．
学生根据提示，小组讨论，发现：由前面的结论可得， ＝ ．而 中的DE
不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论．
教师引导学生继续分析：从要证的 ＝ 可以看出，除DE外，AE，AC，BC都
在△ABC的边上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF＝DE，再证明 ＝ 就
可以了．如图，只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段．学生根据分析，完成证明．
【答案】证明：如图，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形， ＝ ， ＝ ．
∴DE＝BF．
∴ ＝ ．
∴ ＝ ＝ ．
∴△ADE∽△ABC．
【新知】因此，我们有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
符号表示：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
二、典例精讲
【例1】如图，DE∥BC，AB＝5，AC＝6，AD＝2，求AE的长．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ．
∵AB＝5，AC＝6，AD＝2，
∴ ＝ ．
∴AE＝ ．
【设计意图】通过例1，考查学生是否会用平行线分线段成比例的基本事实解决问题．
【例2】如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，BC＝12，求DE的长．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴ ＝ ＝ ．
∵ ＝ ，BC＝12，
∴DE＝ BC＝4．
【提醒】（1）当三角形中出现平行线时，可利用相似三角形建立比例式求线段的长；
（2）在利用平行线判定两个三角形相似时，只需两条直线平行这一个条件就能证明这
两个三角形相似．
【设计意图】通过例2，考查学生是否能利用平行线判定两个三角形相似．
课堂小结板书设计
一、相似三角形
二、平行线分线段成比例
三、利用平行线判定两个三角形相似的定理
课后任务
完成教材第31页练习第1～2题．
教学反思
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