文档内容
27.2 相似三角形（第10课时）
教学目标
1．通过探索学习，使学生了解数学建模的思想，从而能够将实际问题转化为相似三角
形的数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．会运用相似三角形的知识，借助标杆或平面镜的反射测量物体的高度．
教学重点
1．借助标杆测量物体的高度．
2．利用平面镜的反射测量物体的高度．
教学难点
理解数学建模的思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型．
教学过程
新知探究
一、探究学习
【探究】如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB＝8 m和CD＝12 m，两树底部
的距离BD＝5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直
路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶
端C了？【师生活动】教师提示：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平
视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．
类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到．
学生根据提示尝试独立作答，教师巡查纠错并板书讲解．
【答案】解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两
棵树的顶端A，C恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD．
∴△AEH∽△CEK．
∴ ．
即 ．
解得EH＝8 m．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的
遮挡，她看不到右边树的顶端C．
【新知】借助标杆测量物体的高度
测量原理：∵CD∥AB，
∴△AGF∽△DHF．
∴ ．
∵四边形FECH、四边形FEBG是矩形，
∴BG＝EF，EC＝FH，EB＝FG．
∴AB＝AG＋EF，
测量数据：测量数据有四个，分别是眼晴距地面的高度EF＝a，标杆的高度CD＝b，
标杆底端到物体底端的距离BC＝c，观测者底端到物体底端的距离BE＝d．
计算方法：设该物体的高度为h，得 ．
特别提醒：（1）利用标杆测量物体的高度，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可
用自已的身高和臂长等作为测量工具；
（2）使用这种方法时，观测者的眼睛必须与标杆的顶端、物体的顶端“三点共线”，
标杆必须与地面垂直；
（3）该测量方法和“利用阳光下的影子测量物体的高度”的方法类似，都是构造相似
三角形，但构造相似三角形的方法不同；
（4）注意利用标杆测量物体的高度时，不要漏加观测者眼晴的高度．
【探究】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平
面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，
CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，求该古城墙CD的高度．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师纠错并板书讲解．
【答案】解：根据光的反射定律，得∠APB＝∠CPD．
又∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
∴CD＝8 m．
因此该古城墙的高度为8 m．
【新知】利用平面镜的反射测量物体的高度
测量原理：
∵∠ACB＝∠ECD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△EDC．
∴ ．
测量数据：测量数据有三个，分别是观测者眼晴距地面的高度ED＝a，物体底端到平
面镜的距离CB＝b，观测者底端到平面镜的距离CD＝c．
计算方法：设物体的高度为h，则 ．
一般步骤：
（1）利用物理学中的“反射角等于入射角”的知识得到一对等角；
（2）根据被测物体和人都垂直于地面可知两个直角相等，从而由两角相等判定两个三
角形相似；
（3）利用相似三角形对应边成比例得到关于被测物体高度的比例式，代入已知数值即可求出物体的高度．
【设计意图】通过探索学习，使学生了解数学建模的思想，并学会运用相似三角形的
知识，借助标杆或平面镜的反射测量物体的高度．
二、典例精讲
【例1】如图，小明在打网球时，使球恰好能过网（DE），而且落在距离网底端（点
E）4 m的点A处，则球拍击球的高度h为_______．
【师生活动】教师提出问题，学生根据所学知识独立思考并作答，教师巡查纠错．
【答案】1.5 m
【解析】由题意可知，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB．
∴ ，即 ．
解得h＝1.5 m．
【例2】如图（示意图），小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20 m的A处放了
一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5 m到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已
知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6 m，则大楼MN的高度（精确到0.1 m）约是
（ ）．
A．18.75 m B．18.8 m C．21.3 m D．19 m
【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答，教师巡查纠错并讲解．
【答案】C
【解析】∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°．∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴ ，即 ．
解得MN≈21.3 m．
【设计意图】通过例1，例2的练习与讲解，巩固学生对所学知识的理解及应用．
课堂小结
板书设计
利用相似三角形测量物体的高度
课后任务
完成教材第43页习题27.2第9～10题．
教学反思
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