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分层作业
13.3.1.1 三角形的内角
目 录
A 组 巩固过关
题型01 已知两角求第三个角
题型02 利用方程思想求解三角形的内角
题型03 利用平行线求三角形内角度数
题型04 利用三角板求三角形内角度数
题型05 翻折问题中求三角形内角度数
题型06 利用整体思想求三角形内角度数
题型07 三角形内角和实际应用
题型08 三角形内角和综合应用
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
已知两角求第三个角
1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为180°，已知两个角的度数，第三个角可
通过180°减去已知两角的和求得．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，根据三角形内角和定理，得：
∠𝐶= 180° ― ∠𝐴― ∠𝐵= 180° ― 60° ― 20° = 100°，
故选：C．
题型01
2.根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数：
(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；
(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；
【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°.
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°；
(2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝1
2×(180°－20°)＝80°；
故答案为：(1)60°；(2)80°；
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
利用方程思想求解三角形内角
3.若一个三角形的三个内角的比为1:3:4，则此三角形的最大内角度数是（ ）
A．97.5°
B．90°
C．80°
D．67.5°
【答案】B
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：∵三角形的三个内角和为180°，
设三个内角大小分别为：𝛼、3𝛼、4𝛼，
∴𝛼+ 3𝛼+ 4𝛼= 180°，
解得𝛼= 22.5°，
∴4𝛼= 4 × 22.5° = 90°，
∴此三角形的最大内角度数是90°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
4.(1)在△ABC 中，∠A＝1
2∠B＝1
3∠C， 求∠A 的度数：
(2)在△ABC 中，∠𝐴= 50°,∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，求三角形内角度数
【答案】30°.
∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 90°
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可．
（2）本题主要考查三角形内角和定理的运用，掌握三角形内角和定理是关键．
【详解】（1）∵∠A＝1
2∠B＝1
3∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.
由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
题型02
解得∠A＝30°.
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴50° + ∠𝐵+ 50° + ∠𝐵= 180°，
解得，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐶= 50° + 40° = 90°，
∴∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 90°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
利用平行线求三角形内角度数
5.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】根据平行线的性质得到∠1 = ∠4 = 50°，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠4 = 50°，
∵∠3 = 100°，
∴∠2 = 180° ― ∠3 ― ∠4 = 30°．
6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在直线𝑏上，已知∠𝐵= 90°，∠𝐶= 30°，边𝐴𝐶，𝐵𝐶与直线𝑎分别相交
于点𝐷，𝐸，若∠𝐶𝐸𝐷= 50°，则∠1的度数为( )
题型03
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根
据三角形的内角和定理可求解∠𝐶𝐷𝐸的度数，∠𝐵𝐴𝐷的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：∵∠𝐶𝐸𝐷= 50°，∠𝐶= 30°，∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° ― 50° ― 30° = 100°，
∵∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° ― ∠𝐶= 90° ― 30° = 60°，
∵ 𝑎∥𝑏，
∴∠1 + ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸= 100°，
∴∠1 = 100° ― 60° = 40°，
故选：B．
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 70°，直线𝐷𝐸经过点A 且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐷𝐴𝐵= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题的关
键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 30°，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐶= 180° ― 30° ― 70° = 80°．
故选：B．
利用三角板求三角形内角度数
8.如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，
则∠1的度数为（ ）
A．100°
B．120°
C．135°
D．105°
【答案】D
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关
键；如图，由题意易得∠𝐶= 30°，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 90°,∠𝐶= 30°,∠𝐷= 45°，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐺𝐶= 45°，
∴∠1 = 180° ― ∠𝐶― ∠𝐷𝐺𝐶= 105°；
故选D．
9.将一副三角板（∠𝐸= 30°）按如图方式摆放，使𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐹𝑃𝐶= （ ）
A．105°
B．115°
C．75°
D．90°
【答案】C
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题
题型04
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理得到∠𝐹= 180° ― 90° ― ∠𝐸= 60°，然后由平行线的性质得到∠𝐹𝐶𝑃= ∠𝐴= 45°，
然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵∠𝐸= 30°
∴∠𝐹= 180° ― 90° ― ∠𝐸= 60°
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵
∴∠𝐹𝐶𝑃= ∠𝐴= 45°
∴∠𝐹𝑃𝐶= 180° ― ∠𝐹― ∠𝐹𝐶𝑃= 75°．
故选：C．
翻折问题中求三角形内角度数
10.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，点𝐷为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐷𝐶沿直线𝐴𝐷折叠后，点𝐶落到点𝐸
处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ）
A．70°
B．110°
C．80°
D．100°
【答案】B
【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根
据三角形的内角和得到∠𝐵𝐴𝐶= 110°，由折叠的性质得到∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，根据平行线的性质得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 110°，
由折叠的性质得，∠𝐸= ∠𝐶= 30°，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° ― ∠𝐶𝐴𝐷― ∠𝐶= 110°，
故选：B．
11.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，将三角形纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在𝐵𝐶边
题型05
上的点𝐹处，若𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐹= 68°，则∠𝐴的度数为（ ）
A．68°
B．72°
C．79°
D．82°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题
【分析】由垂线的定义和平角的定义得到∠𝐴𝐸𝐹= 90°，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 112°，再由折叠的性质求出
∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸的度数即可得到答案．
【详解】解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∵∠𝐵𝐷𝐹= 68°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 180° ― ∠𝐵𝐷𝐹= 112°，
由折叠的性质可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷= 1
2∠𝐴𝐸𝐹= 45°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸= 56°，
∴∠𝐴= 180° ― ∠𝐴𝐸𝐷― ∠𝐴𝐷𝐸= 79°．
12.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对折，使
点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，则∠𝐵𝐴𝐷= （ ）
A．22°
B．25°
C．28°
D．30°
【答案】B
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：由折叠得，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′，
又∵ 𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵′𝐷𝐵= 90°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵′ = 360°―∠𝐵′𝐷𝐵
2
= 360°―90°
2
= 135°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐴𝐷𝐵= 180° ― 20° ― 135° = 25°．
利用整体思想求三角形内角度数
13.如图，∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，∠𝐴= 50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
先求得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，根据∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，可得∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵，即可求得∠𝐵𝑂𝐶．
【详解】解：∵∠𝐴= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐴= 130°，
∵∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵― (∠𝐴𝐶𝑂+ ∠𝐴𝐵𝑂) = 80°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° ― (∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 100°．
14．如图，点𝐸，𝐷分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上．若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 55°，则∠1 + ∠2的度数为_____________．
【答案】∠1 + ∠2 = 85°
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟记三角形的内角和为180°．根据三角形的内角
和定理列式整理可得∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶，从而可求解．
【详解】解：∵∠1 + ∠2 + ∠𝐴= 180°，∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐴= 180°，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶，
∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 55°，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐶= 30° + 55° = 85°．
15.在△𝐴𝐵𝐶中，点O 为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵角平分线的交点，∠𝐵𝑂𝐶= 128°，则∠𝐴= _______．
【答案】76°/76 度
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可；
题型06
【详解】解：如图，
∵点𝑂为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵角平分线的交点，
∴∠𝑂𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1
2∠𝐴𝐶𝐵.
∵∠𝐵𝑂𝐶= 128°，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 180° ― 128° = 52°．
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 104°．
在△𝐴𝐵𝐶中，根据三角形内角和定理得 ∠𝐴= 180° ― (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° ― 104° = 76°．
三角形内角和实际应用
16.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B
时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线𝐵𝑂― 𝑂𝐶，点O
在点B 的南偏东30°方向上，且∠𝐵𝑂𝐶= 51°．若要在点C 恢复原设计的东西走向，必须保证∠𝑂𝐶𝐷的度数为
（ ）
A．110°
B．111°
C．119°
D．120°
【答案】B
【知识点】邻补角的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、与方向角有关
的计算题
【分析】延长𝐴𝐵交𝑂𝐶于点E，先求出∠𝐸𝐵𝑂= 60°，再根据三角形的内角和求出∠𝐵𝐸𝑂= 69°，进而由邻补
角的定义，得到∠𝐶𝐸𝐵= 111°，继而推导出∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐵= 111°，即可解答．
【详解】解：延长𝐴𝐵交𝑂𝐶于点E，如图
题型07
∴∠𝐸𝐵𝑂= 90° ― 30° = 60°，
∵∠𝐵𝑂𝐶= 51°，
∴∠𝐵𝐸𝑂= 180° ― ∠𝐵𝑂𝐶― ∠𝐸𝐵𝑂= 69°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐸𝑂= 111°，
∵点C 恢复原设计的东西走向，即𝐶𝐷∥𝐴𝐵，
∴∠𝑂𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐵= 111°．
17.如图是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在
B 岛的北偏东20°方向．
(1)从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？
(2)从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是多少度？
【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐶= 120°
(2)∠𝐴𝐶𝐵= 40∘
【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题
【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据𝐷𝐴∥𝐵𝐸可求出∠𝐴𝐵𝐸= 100°，结合∠𝐶𝐵𝐸= 20°可得出∠𝐴𝐵𝐶= 120°；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠𝐴𝐶𝐵= 40∘．
【详解】（1）解：根据题意，得∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，∠𝐸𝐵𝐶= 20°，𝐷𝐴∥𝐵𝐸．
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°．
∴∠𝐸𝐵𝐴= 180° ― ∠𝐷𝐴𝐵= 180° ― 80° = 100°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐵𝐶= 100° + 20° = 120°．
（2）解：∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵― ∠𝐷𝐴𝐶= 80° ― 60° = 20°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― 20° ― 120° = 40°．
三角形内角和综合应用
18.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷，∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸交𝐵𝐷于点𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，则∠𝐶
的度数是________．
【答案】80°/80 度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先由垂线的定义得到∠𝐴𝐷𝐸= 90°，再由三角形内角和定理得到∠𝐷𝐴𝐸= 30°，则由角平分线的定义
可得∠𝐶𝐴𝐵= 2∠𝐶𝐴𝐸= 60°，然后由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐸𝐷= 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180° ― ∠𝐴𝐷𝐸― ∠𝐴𝐸𝐷= 30°，
∵𝐴𝐸是∠𝐶𝐴𝐵的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 2∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
∴∠𝐶= 180° ― ∠𝐶𝐴𝐵― ∠𝐴𝐵𝐶= 80°．
19.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，分别交𝐶𝐷、𝐴𝐶于点𝐹、𝐸．若∠𝐴= 30°，
∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐶𝐹𝐵的度数．
【答案】125°/125 度
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，
求出∠𝐵𝐶𝐹,∠𝐶𝐵𝐹的度数，进而求出∠𝐶𝐹𝐵的度数即可.
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― ∠𝐴― ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐶𝐵𝐹= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 35°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° ― ∠𝐴= 60°，
题型08
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵― ∠𝐴𝐶𝐷= 20°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐶𝐷― ∠𝐶𝐵𝐹= 125°.
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．49°
B．50°
C．51°
D．52°
【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐴― ∠𝐵= 180° ― 28° ― 50° = 102°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 1
2 × 102° = 51°．
2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 46°，∠𝐶= 54°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于𝐷，𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐴𝐶于点𝐸，则∠𝐴𝐷𝐸
的大小是（ ）
A．40°
B．43°
C．46°
D．54°
【答案】A
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质；根据三角形内角和定理求得
∠𝐵𝐴𝐶= 80°，根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐷= 40°，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 46°，∠𝐶= 54°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― 46° ― 54° = 80°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
故选：A．
3.如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是_____________
【答案】40°或100°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，
已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角．
【详解】解：∵等腰三角形有一个角是40°，
∴当40°为顶角时，顶角为40°；
当40°为底角时，另一个底角也为40°，顶角为180° ― 40° ― 40° = 100°．
∴顶角为40°或100°，
故选D．
4.如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°，则∠𝐴= ______
【答案】30°
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】根据平角的性质得到∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 +∠2 = 180° + 360° = 540°根据题意，得到
∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°再由图形翻折变换的性质得到∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 150°，根据三角形的内角
和即可得出结论．
【详解】解：∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 +∠2 = 180° + 360° = 540° ，∠1 + ∠2 = 240°，
∴∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°，
根据折叠的性质可得：∠𝐴𝐷𝐸= 1
2∠𝐴𝐷𝐴1,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐴1，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷= 150°，
∴∠𝐴= 180° ― (∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 180° ― 150° = 30° ．
5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为
_________________________________________________________
【答案】三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度．
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形
的性质和判定
【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得𝑥，可得出三个
角的度数．
【详解】解
当底角为𝑥°、顶角为(2𝑥― 20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得
𝑥+ 𝑥+ 2𝑥― 20 = 180，
解得𝑥= 50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为𝑥°、底角为(2𝑥― 20)°时，则根据三角形内角和为 180°可得
𝑥+ 2𝑥― 20 + 2𝑥― 20 = 180，
解得𝑥= 44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为𝑥°、(2𝑥― 20)°时，则等腰三角形性质可得
𝑥= 2𝑥― 20，
解得𝑥= 20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
6.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线．
(1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）．
【答案】(1)∠𝐴𝐸𝐶= 110°，∠𝐷𝐴𝐸= 20°
(2)∠𝐴𝐸𝐶= 90° +
𝛼―𝛽
2 ，∠𝐷𝐴𝐸= 𝛼―𝛽
2
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角
平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）先利用三角形内角和求出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线定义得到∠𝐶𝐴𝐸，再用内角和算出∠𝐴𝐸𝐶；根据
高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐴𝐶，最后作差得到∠𝐷𝐴𝐸；
（2）先用三角形内角和表示出∠𝐵𝐴𝐶，结合角平分线得到∠𝐶𝐴𝐸，代入内角和公式化简求出∠𝐴𝐸𝐶；再由高
线推出∠𝐷𝐴𝐶，通过角度相减化简得到∠𝐷𝐴𝐸的代数式．
【详解】
（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐶= 180° ― 70° ― 30° = 80°，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 80° = 40°，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° ― ∠𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 180° ― 30° ― 40° = 110°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° ― ∠𝐶= 90° ― 30° = 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 60° ― 40° = 20°；
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐶= 180° ― 𝛼― 𝛽，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180° ― 𝛼― 𝛽) = 90° ―
𝛼+𝛽
2 ，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° ― ∠𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 180° ― 𝛽― 90° ― 𝛼+𝛽
2
= 90° +
𝛼―𝛽
2 ，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° ― ∠𝐶= 90° ― 𝛽，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= (90° ― 𝛽) ― 90° ― 𝛼+𝛽
2
=
𝛼―𝛽
2 ．
7.如图1、2、3 所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃．
(1)如图1 所示，若∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为 ．
(2)如图1 所示，如果∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数；
(3)如图2 所示，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵 的平分线交于点 𝑄，试探索∠𝑄，∠𝐴 之间的数量关系；
(4)如图3 所示，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点𝐸，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出∠𝐴
的度数．
【答案】(1)135°
(2)130°
(3)∠𝑄= 90° ― 1
2∠𝐴
(4)45°或60°或120°或135°
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把∠𝑃𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝑃用∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵表示出来，再利用∠𝐴表示出来，
最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠𝐶𝐵𝑄和∠𝐵𝐶𝑄，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出∠𝐸𝐵𝑄的度数，然后由（3）求出的∠𝑄，利用三角形内角和求出∠𝐸，再分4 种情况
讨论，求出∠𝐴的度数．
【详解】（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 24°，
∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° ― ∠𝑃𝐵𝐶― ∠𝐵𝐶𝑃= 135°；
（2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° ― ∠𝑃𝐵𝐶― ∠𝐵𝐶𝑃
= 180° ― 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶― 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
= 180° ― 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180° ― 1
2 (180° ― ∠𝐴)
= 90° + 1
2 ∠𝐴
= 90° + 1
2 × 80°
= 130°；
（3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄= 1
2∠𝐵𝐶𝑁，
∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°，
∴1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴+ 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) +∠𝑄= 180°，
∴∠𝐴+ 1
2(180° ― ∠𝐴) +∠𝑄= 180°，
∴∠𝑄= 90° ― 1
2∠𝐴；
（4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐶𝐵𝑀，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°，
∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°，
由（3）知∠𝑄= 90° ― 1
2∠𝐴，
∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°，
∴∠𝐸= 1
2∠𝐴，
∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①∠𝑄= 3∠𝐸，
∴90° ― 1
2∠𝐴= 3 × 1
2∠𝐴，
∴2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 45°；
②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸，
∴3 × 1
2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 60°；
③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄，
∴3 90° ― 1
2 ∠𝐴= 90°，
∴270° ― 1.5∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 120°，
④∠𝐸= 3∠𝑄，
∴3 90° ― 1
2 ∠𝐴= 1
2∠𝐴，
解之得：∠𝐴= 135°，
综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°．
1．【综合问题】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴的平分线相交于点G，𝐺𝐸⊥𝐴𝐶于点E，F 为AC 上的一点，
且𝐴𝐹= 𝐹𝐶，𝐺𝐻⊥𝐶𝐷于点H．下列说法：①𝐴𝐺⊥𝐶𝐺；②∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸；③𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺；④若
∠𝐸𝐺𝐻:∠𝐸𝐶𝐻= 2:7，则∠𝐸𝐺𝐻= 40°．其中正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．①③④
D．①②④
【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，
得∠𝐶𝐺𝐸= ∠𝐺𝐴𝐶，故∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360
度以及∠𝐸𝐺𝐻:∠𝐸𝐶𝐻= 2:7，得出∠𝐸𝐶𝐻= 180° × 7
9 = 140°，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作
答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三
角形的面积公式、角平分线的概念．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴的平分线相交于点G，
∴∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴= 1
2∠𝐵𝐴𝐶+ 1
2∠𝐴𝐶𝐷= 1
2 × 180° = 90°，
∵∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐶= 180°
∴∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐴𝐺⊥𝐶𝐺；
故①是正确的；
②中，∵∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐺𝐸⊥𝐴𝐶
∴∠𝐺𝐴𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐴= 90°，∠𝐶𝐺𝐸+ ∠𝐺𝐶𝐴= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸
故②是正确的；
∵𝐴𝐹= 𝐶𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺（等底同高）；
故③是正确的；
在四边形𝐺𝐸𝐶𝐻中，∠𝐸𝐺𝐻+ ∠𝐸𝐶𝐻= 180°．
又∠𝐸𝐺𝐻:∠𝐸𝐶𝐻= 2:7，
则∠𝐸𝐺𝐻= 180° × 2
9 = 40°，
故④是正确的．
故选：A．
2．【分类讨论】如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，点𝐹为边𝐴𝐵
上一点，当△𝐴𝐷𝐹为直角三角形时，∠𝐵𝐷𝐹的度数为__________________．
【答案】15°或65°
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】分∠𝐴𝐹𝐷= 90°和∠𝐴𝐷𝐹= 90°两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定
理求解即可．
【详解】解：∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，
∴ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 25°，
当∠𝐴𝐹𝐷= 90°时，∠𝐵𝐹𝐷= 90°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐹= 90° ― ∠𝐴𝐵𝐷= 90° ― 25° = 65°；
当∠𝐴𝐷𝐹= 90°时，∠𝐶𝐷𝐹= 90°，
∵ ∠𝐶𝐵𝐷= 25°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐶= 180° ― ∠𝐶𝐵𝐷― ∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― 25° ― 80° = 75°，
∴ ∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹― ∠𝐵𝐷𝐶= 90° ― 75° = 15°
综上，∠𝐵𝐷𝐹的度数为15°或65°．
3．【整体思想】如图，∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸 的角平分线𝐵𝐹、𝐶𝐹交于点𝐹，已知∠𝐵𝐸𝐶= 130°,∠𝐵𝐴𝐶= 30°，则
∠𝐵𝐹𝐶= ___________
【答案】80°
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】连接𝐵𝐶，根据三角形内角和为180°，在△𝐵𝐸𝐶和△𝐴𝐵𝐶中得出∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 50°，
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 150°，即可求出∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸，结合𝐵𝐹、𝐶𝐹是∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，求出
∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸= 50°，在△𝐵𝐹𝐶中，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐶，
在△𝐵𝐸𝐶中，∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180° ― ∠𝐵𝐸𝐶,∠𝐵𝐸𝐶= 130°，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐸𝐶= 180° ― 130° = 50°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°,∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― 30° = 150°，
又∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸
= (∠𝐴𝐵𝐶― ∠𝐸𝐵𝐶) + (∠𝐴𝐶𝐵― ∠𝐸𝐶𝐵)
= (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) ― (∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)
= 150° ― 50° = 100°，
∵𝐵𝐹、𝐶𝐹是∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，
∴∠𝐸𝐵𝐹= 1
2∠𝐴𝐵𝐸,∠𝐸𝐶𝐹= 1
2∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸= 1
2(∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸) = 50°，
∴在△𝐵𝐹𝐶中： ∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= (∠𝐹𝐵𝐸+ ∠𝐹𝐶𝐸) + (∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 50° + 50° = 100°，
∴∠𝐵𝐹𝐶= 180° ― (∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180° ― 100° = 80°．
4．【新定义问题】新定义：在△𝐴𝐵𝐶中，若存在最大内角是最小内角度数的𝑛倍（𝑛为大于1 的正整数），则
△𝐴𝐵𝐶称为“𝑛倍角三角形”．例如，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，∠𝐵= 60°，则∠𝐶= 30°，因为∠𝐴最大，∠𝐶
最小，且∠𝐴= 3∠𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶为“3 倍角三角形”．
(1)在△𝐷𝐸𝐹中，若∠𝐷= 20°，∠𝐸= 60°，则∠𝐹= ______，△𝐷𝐸𝐹为“______倍角三角形”．
(2)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 44°，∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷．
①求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
②若△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”，请求出∠𝐴𝐵𝐷的度数．
【答案】(1)100°，5
(2)①112°；②28°或40°
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义；
（1）根据三角形内角和定理求出∠𝐹，根据“𝑛倍角三角形”的定义判断；
（2）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠𝐴𝐷𝐵；
②“𝑛倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案．
【详解】（1）解：（1）在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 60°，∠𝐷= 20°，
则∠𝐹= 180° ― ∠𝐸― ∠𝐷= 100°，
∴∠𝐹最大，∠𝐷最小，且∠𝐹= 5∠𝐷，
∴△𝐷𝐸𝐹为“5 倍角三角形”，
故答案为：100°，5；
（2）①解：∵∠𝐶= 44°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― 44° = 136°，
∵∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐵= 1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐵𝐴= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴= 1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 1
2 × 136° = 68°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° ― (∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴) = 180° ― 68° = 112°，
②∵△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷或∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷，
当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷时，∠𝐴𝐵𝐷= 28°，
当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷= 28°，则∠𝐴𝐵𝐷= 180° ― 112° ― 28° = 40°，
综上所述，∠𝐴𝐵𝐷的度数为28°或40°．
1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°
B．45°
C．35°
D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】先判断出110°的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：∵等腰三角形有一个内角为110°，
∴这个等腰三角形的底角是
180°―110°
2
= 35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底
角相等．
2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过△𝐴𝐵𝐶的顶点A，B 作𝐴𝐷∥𝐵𝐸．若∠𝐶𝐴𝐷= 25°，
∠𝐸𝐵𝐶= 80°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶= 80°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸，∠𝐸𝐵𝐶= 80°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐵𝐶= 80°，
∵∠𝐶𝐴𝐷= 25°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐴𝐷𝐶― ∠𝐶𝐴𝐷= 75°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形
【答案】直角
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求
出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
【详解】解：180° ×
3
1+2+3 = 90°，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
