文档内容
23.3 一次函数与方程、不等式
一、教学目标
【知识与技能】
1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不
等式之间的联系.
2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会
“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想.
【过程与方法】
通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,
引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维
能力.
【情感态度与价值观】
在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,
以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.
二、 课型
新授课
1 / 16三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质
联系.
2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.
【教学难点】
根据一次函数的图象求解方程和不等式.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就
坐，这时 “x+y=5” 来了.
2 / 16想一想：“x+y=5”属于二元一次方程还是一次函数呢？下面我
们开始今天的学习。
（二）探索新知
1.出示课件4-6，探究一次函数与一元一次方程
教师问：我们先来看下面两个问题：
（1）解方程2x-1=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=2x-1的值为0？
教师追问：对于2x-1=0 和y=2x-1，从形式上看，有什么相同和
不同？
学生答：2x-1=0是一元一次方程，y=2x-1是一次函数.
教师问：从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
师生一起解答：
问题(1)解方程2x-1=0， 得x=0.5.
问题(2)就是要考虑当函数y=2x-1的值为（0）时，所对应的
（自变量x）为何值？
实质上这可以通过解方程2x-1=0,得出x=0.5.因此，这两个问题
实际上是同一个问题.
3 / 16教师问：从图象上看：请作出函数y=2x-1的图象.
学生答：作图如下：
教师问：函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?
学生答：与x轴的交点(0.5,0).
教师问：方程2x-1=0的解是多少？
学生答：x=0.5.
教师问：有上面的问题可以得到什么呢？
学生答：即当x=0.5时，函数y=2x-1的值为0，这说明方程
2x-1=0的解是x=0.5.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
教师问：由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0
（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为
0有什么关系？
师生一起解答：由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解
4 / 16相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可变形为
ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当
于在某个一次函数值y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.从
函数的图象考虑,相当于已知直线y=ax+b,求它与x轴交点的横坐标.
总结点拨：（出示课件7）
一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看
求ax+b=0(a, b是
x为何值y= ax+b
常数，a≠0)的解
的值为0
从形的角度看
求ax+b=0(a, b是 确定直线y= ax+b
常数，a≠0)的解 与x轴交点的横坐标
出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.
考点1：利用一次函数、方程及图象解答问题
5 / 16一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过
几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方
面进行解答) （出示课件9）
师生共同讨论解答如下：
学生1解答：
解：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17, 解得x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
学生2解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）
的函数y=2x+5.
由2x+5=17,得 2x－12=0.
由图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
6 / 16学生3解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）
的函数y=2x+5.由图可以看出当y=17时，x=6.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件13-15，探究一次函数与一元一次不等式
教师问：观察下面两个不等式有什么共同点与不同点？
（1）2x-1＞0; (2)2x-1＜0.
学生答：两个不等式相同的特点是：不等号左边都是2x-1，不
等号右边都是0；
不同点是：不等号的方向不同.
教师问：你能从函数的角度对以上两个不等式进行解释吗？
学生答：这两个不等式相当于在一次函数y=2x-1的函数值分别
为大于0、小于0时，求自变量x的取值范围.
7 / 16教师问：结合函数图象如何解释呢？
学生答：在直线y=2x-1上取纵坐标分别满足条件大于0、小于0
的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
教师总结点拨：（出示课件16）
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax
+b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，在求它的解集时，从函数值考
虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变
量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确
定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
总结归纳：（出示课件17）
一次函数与一元一次不等式的关系见课件流程图
考点2：利用一次函数的图象解一元一次不等式
8 / 16画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3? （出示课件18-19）
学生独立思考后，师生共同解答.
教师依次展示学生解答过程：
学生1解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交
于点B(2，0).
学生2解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位
于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象
位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
学生3解：（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
9 / 16出示课件20-21，学生自主练习后口答，教师订正.
3.出示课件22-26，探究一次函数与二元一次方程组
教师出示问题：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5
m 高处出发，以1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面15 m 高
处出发，以0.5 m/s 的速度上升．两个气球都上升了1 min．
(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升
时间 x(单位：s)的函数解析式．
气球上升时间x满足0≤x≤60.
学生1答：气球1 ：y =x+5；
学生2答：气球2 ：y =0.5x+15．
10 / 16教师问：一次函数与二元一次方程有什么关系？
师生一起解答：
一次函数y=0.5x+15
用方程观点看：二元一次方程y-0.5x=15
用函数观点看：二元一次方程y=0.5x+15
从式子（数）角度看：一次函数 二元一次方程
教师问：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
学生答：由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的
坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每
个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
11 / 16教师问：(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这
时气球上升了多长时间？位于什么高度？请从数的方面分别加以研
究.
学生答：
{y=x+5
从数的角度看：解方程组 . 就是求自变量为何
y=0.5x+15
值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数
值．
教师问：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
学生答：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交
点坐标．
总结归纳：（出示课件27）
一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二
12 / 16元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
出示课件28，学生继续自主练习，教师给出答案.
考点3：一次函数的图象与二元一次方程组
如图，求直线l 与l 的交点坐标.（出示课件29）
1 2
师生共同分析：由函数图象可以求直线l 与l 的解析式，进而
1 2
通过方程组求出交点坐标.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：因为直线l 过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得
1
直线l 的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l 的解析式为y=-x+3.
1 2
1
{ x= ,
解方程组{ y=2x+2 ，得 3
y=x+3 8
y= ,
3
13 / 161 8
即直线l 与l 的交点坐标为（ ， ）.
1 2
3 3
出示课件31，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧.
（三）课堂练习（出示课件32-41）
练习课件第32-41页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件42）
从函数值看 从函数图象看
解一元一次方程 ax+b 解一元一次方程 ax+b =k
一次函数
=k 就是求当函数 就是求函数（y=ax +b）
与一元一
（y=ax +b）值为k时 图象上纵坐标为k的点的
次方程
对应的自变量的值； 横坐标；
求kx+b＞0(或<0) 求kx+b＞0(或<0)(k≠0)
一次函数 (k≠0)的解集即求函数 的解集即确定直线
与一元一 y=kx+b的值大于(或小 y=kx+b在x轴上方(或下
次不等式 于)0时，x的取值范 方)的图象所对应的横坐
围； 标的范围.
一次函数 每个一次函数都对应一 求两直线的交点坐标，即
与二元一 个二元一次方程 求对应的二元一次方程组
次方程组 的解.
（五）课前预习
预习下节课（23.4）的相关内容.
知道了解一次函数的建模、方案选择的方法与步骤.
七、课后作业
14 / 161、教材第130页练习和第130页习题23.3.
2、培优练习23.3.
八、板书设计
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
考点1
2.一次函数与一元一次不等式
考点2
3.一次函数与二元一次方程组
考点3
4.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式
的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动
放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一
方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认
识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总
15 / 16结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索,
培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂
转变.
不足之处：在教学过程中,学生对与一次函数与方程、不等式的
关系理解有一定的困难,对用函数的观点去解释一次函数与方程、不
等式的关系的阐述上不是太清晰,在用图象解决实际问题的方法掌握
不牢固.
补救措施：在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动
的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地
参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解一次函数
与方程、不等式的关系,并掌握解决问题的方法.
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