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第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
【素养目标】
1.使学生理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.
2.使学生能初步运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过函数图
象求方程（组）的解、不等式的解集，利用一次函数的图象和性质解决实际问题.
3.掌握用图象求解方程（组）、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.
重点：借助一次函数图象求方程（组）的解或不等式的解集.
难点：借助一次函数与方程（组）、不等式之间的关系，解决实际问题.
【情境导入】
今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了
“x + y = 5”.
【合作探究】
探究点一：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式
思考：如图，一次函数y＝2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为
0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1＝0的解吗？
问题：我们知道任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a≠0）
的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗？
归纳总结：
[练一练]
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解
第 1 页是 x＝_____.
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，
_____).
思考：如图，利用一次函数 y = 2x－1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值
范围吗？函数值小于 0 时呢？
思考：由此，你能分别得出一元一次不等式 2x－1＞0 与 2x－1＜0 的解集吗?
归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系
[典例精析]
例1 画出函数 y = －3x + 6 的图象，结合图象求：
(1) 不等式 －3x + 6 > 0 和 －3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3?
[练一练]
3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示.
第 2 页(1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为 ；
(2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为 .
探究点二：二元一次方程（组）与一次函数
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
从式子（数）角度看：
y = 2x－1 对应一次函数 y = 2x－1，它的图象是一条直线.这条直线上每个
点的坐标(x，y) 都是方程 2x－y = 1 的解，以方程 2x－y = 1 的解 (x，y) 为坐标的
点都在这条直线上.
{2x－y=1，
思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释
3x+5y=8，
吗？
3 8
观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 y = − x + .
5 5
1.它们的交点坐标_____________.
{2x－y=1，
2.方程组 的解是____________.
3x+5y=8
这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
[归纳总结]
一次函数与二元一次方程组的关系
第 3 页“数”的角
度
“形”的角
度
例1 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；
2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.
（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度单位y（单位：m）关于上升时间x（单位：
s）的函数解析式；
（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于
什么高度？
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比 2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比 1 号气球高？
例2 如图，求直线 l 与 l 的交点坐标.
1 2 l1
l2 y
3
2
1
–2 –1 O 1 2 3 x
–1
例3 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3).
(1) 求 m，a 的值；
(2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集.
第 4 页[练一练]
4. 如图，根据图中信息解答下列问题:
(1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是 ；
(2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是 ；
(3)当 x 为何值时，y ≤y ?
1 2
(4)当 x 为何值时，0＜y ＜y ?
2 1
当堂反馈
1.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx＋b＞0的解集是（ ）
A.x＞－2 B.x＞3 C.x＜－2 D.x＜3
第1题图 第2题图
2.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则关于x的方程kx＋
b＝0的解为x＝ ；kx＋b＞0的解集为 ；kx＋b≤0的解集为 .
{y＝ax＋b， {x＝－4，
3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y＝ax
y＝kx y=2，
＋b和y＝kx的图象交点坐标为 .
4.[高频易错]如图，已知直线l ：y＝x＋n－2与直线l ：y＝mx＋n相交于点P（1，2）.
1 2
（1）求m，n的值；
（2）请结合图象直接写出不等式mx＋n＞x＋n－2的解集.
参考答案
【合作探究】
探究点一：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式
[练一练]
答：1. －10 0 －10
2. 5 0
第 5 页思考：函数值大于 0 时，x 的取值范围是 x＞0.5；
函数值小于 0 时，x 的取值范围是 x＜0.5.
思考：从函数值看：当 y = 2x－1的值大于(或小于) 0 时，求 x 的取值范围.
从函数图象看：确定直线
y = 2x－1 在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围
2x－1＞0，则 x＞0.5
2x－1＜0，则 x＜0.5
[典例精析]
例1解：作出函数 y = －3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x
轴交于点 B(2，0).
(1)由图象可知，不等式
－3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x
< 2；
不等式 －3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范
围，即 x > 2；
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
[练一练]
3. 解：(1) x =－6
(2)x > －6
探究点二：二元一次方程（组）与一次函数
例1
解：(1) 气球上升时间 x 满足 0≤x≤60.
对于 1 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x + 5.
对于 2 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = 0.5x + 15.
(2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x 的某个
值 (0≤x≤60)，函数 y = x + 5 和 y = 0.5x + 15 有相同的值
y. 由此可以列二元一次方程组
{ y = x + 5，
解这个方程组，得
y = 0.5x + 15
{x =20，
y = 25
这就是说，当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m.
这两条直线的交点坐标为 (20，25)，这说明当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地
面 25 m.
（1）20 s 后，1 号气球比 2 号气球高.
（2）0 ~ 20 s 时，2 号气球比 1 号气球高.
例2 解：因为直线 l 过点 (-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得
1
直线 l 的解析式为 y = 2x + 2. 同理
1
可求得直线 l 的解析式为 y = - x + 3.
2
1
{x = ，
{y = 2x + 2， 3
解方程组 得
y = − x + 3 8
y =
3
(1 8)
即直线 l 与 l 的交点坐标为 ，
1 2 3 3
例3
解：(1)把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得，
－m－1＝－3，解得 m＝2，
∴点 P 的坐标为 (2，－3)，
∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P，
第 6 页∴ 2a＋4＝－3.
7
解得a＝-
2
(2) 由图象得，不等式 －x－1＞ax＋4 的解集为 x＞2.
[练一练]4.
解：(1) x＜2；(2)x＜0；(3)x≤1；(4)1＜x＜2.
当堂反馈
1. A 2. 2 ； x＜2 ； x≥2 .
3. （ － 4 ， 2 ） .
4.解：（1）把P（1，2）代入y＝x＋n－2得1＋n－2＝2，解得n＝3；
把P（1，2）代入y＝mx＋3得m＋3＝2，解得m＝－1.
∴m＝－1，n＝3.
（2）不等式mx＋n＞x＋n－2的解集为x＜1.
第 7 页
