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学科网（北京）股份有限公司 1 / 3.2 不等式的基本性质 题型一：根据不等式的基本性质判断式子是否正确 1．（24-25 八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A．ca cb B．a b −− C． 0 a b − D． 3 3 a b + + 2．（24-25 八年级上·湖南邵阳·期末）若x y ，则下列式子中错误的是（ ） A． 1 1 x y − − B．2 2 x y − − C． 3 3 x y + + D．2024 2024 x y 3．（24-25 八年级上·宁夏银川·期末）若m n ，则各式中正确的是（ ） A． 3 3 m n − − B．3 3 m n C． 1 1 3 3 m n − − D．3 3 m n − − 4．（24-25 七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知x y ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 3 2 x y − − B．3 6 3 6 x y − + − + C． 5 5 ax ay − − D．( ) ( ) 2 2 1 1 a x a y + + 5．（24-25 七年级下·甘肃天水·期末）若a b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3 3 a b B． 1 1 a b − − C． 2 2 a b D．1 3 1 3 a b − − 6．（24-25 七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知a ，，c 是实数，若a b ， 0 c ，则( ) 学科网（北京）股份有限公司 2 / A．a c b c + + B．ac bc C． 2 2 ac bc − − D．a c b − 7．（24-25 七年级下·四川广元·期末）下列不等式的变形中，一定正确的是（ ） A．由x y ，得 2 2 x y − − B．由x y ，得x y −− C．由x y ，得2 2 x y D．由x y ，得 2 2 x y 8．（24-25 七年级下·北京·期末）下列几个变形中，正确的是（ ） A．如果x y ， 那么 1 1 x y − + B．如果x y ， 那么 1 x y C．如果x y ， 那么 2 2 1 1 x y m m + + D．如果x y ， 那么 2 2 1 1 x y m m − − 9．（24-25 七年级下·四川广元·期末）下列命题为假命题的是（ ） A．若 5 5 a b −−，则a b B．若2 2 a b − ，则a b − C．若a b ，则ac bc D．若a b ，c d ，则a c b d + + 题型二：不等式的基本性质与数轴的关系 1．（24-25 七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点A 与点B 所表示的数分别为a ，b ，则下列不等式成 立的是（ ） A． 1 1 a b + + B．a d b d − − C．3 3 a b − − D．a b c c 2．（24-25 八年级下·四川达州·期末）实数, , a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A．2 2 b c − − B．ac bc C．c b a b − − D． 3 a c + 3．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）若实数, , a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是 （ ） A．a c b c + + B．ac bc C．ab ac D．a b c b + + 4．（24-25 八年级下·山东济南·期末）已知实数m、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确 的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 3 / A． 3 3 m n + + B．3 3 m n − − C． 0 mn D． 0 m n − 5．（24-25 七年级下·山东德州·期末）已知实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的 是（ ） A． 0 a b − > B． 3 3 a b − − C．1 1 3 3 a b D．2 2 a b − − 6．（24-25 七年级下·湖北咸宁·期末）若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是 （ ） A．ac bc B．ab cb C．a c b c + + D．a b c b + + 题型三：利用不等式的基本性质比较两个数的大小 1． （25-26 七年级上·全国·课后作业）若实数 1 m ，则实数A m = ， 2 3 m B + = ， 2 1 3 m C + = 的大小关系是（ ） A．A B C B．A C B C．B A C D．B C A 2． （24-25 七年级上·贵州遵义·期中）设 2 4 3 M x mx = + −， 2 2 4 2 N x mx = + − ，那么M 与N 的大小关系是（ ） A．M N B．M N = C．M N D．无法确定 3．（2025·江苏泰州·二模）已知a b ，则2 a − 与3 b −的大小关系是（ ） A．2 3 a b − − B．2 3 a b − = − C．2 3 a b − − D．无法比较 4．（24-25 七年级上·山东青岛·开学考试）如果0 1 a ，那么a ，1 a ， 2 a 的大小关系是（ ） A． 2 1 a a a B． 2 1 a a a C． 2 1 a a a D．无法比较 5．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·期中）已知x y ，比较2 3 x − −与2 3 y − −的大小，结果正确的是（ ） A．2 3 2 3 x y − − − − B．2 3 2 3 x y − − − − C．2 3 2 3 x y − − = − − D．2 3 2 3 x y − − − − 6．（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若m n ，且( ) ( ) a b m a b n − − ， 则a b ． 学科网（北京）股份有限公司 4 / 7．（23-24 七年级下·江苏泰州·期中）已知： 2 2 a m mn n = + + ， 2 b mn n = − ， 2 2 5 4 2 c mn m n = − − （m 、n 为 常数且均不为0），比较a 、b 、c 的大小 ． 题型四：根据不等式的性质填空 1．（24-25 八年级下·甘肃天水·阶段练习）（1）用不等号填空： 若a b ，则 1 a −______ 1 b −（依据不等式的基本性质1）； 若a b ，则2a ______ 2b（依据不等式的基本性质2）； 若a b ，则3a − ______ 3b − （依据不等式的基本性质3）． （2）已知a b ，试比较2025 1 a − + 与2025 1 b − + 的大小． 2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知p q ，用“”或“”填空，并说明依据： (1) 1 2 p + ________ 1 2 q + (2) 2 p − _________ 2 q − (3) 2 p m + _________ 2 q m + (4) 5 p − ________ 5q − (5) 3 p ________ 3 q (6) 4 1 p + ________4 1 q + 3．（24-25 七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知x y ，比较3 2 x − 与3 2 y − 的大小． 解：x y ，且3 0 （已知）， 3x________3y （依据：________）， 3 2 x − ________3 2 y − （依据：________）． （2）若x y ，比较5 2x − 与5 2y − 的大小，并说明理由． 4．（24-25 八年级下·山西太原·阶段练习）若x y ，根据不等式的基本性质，用不等号填空： (1) 2 x+ _______ 2 y + ； (2)1 2x − _______1 2 −y ； (3) 2 xc _______ 2 yc 5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学的解题过程： 已知a b ，试比较3 1 − + a 与3 1 b − + 的大小． 解：因为a b …① 所以3 3 a b − − …② 学科网（北京）股份有限公司 5 / 故3 1 3 1 a b − + − + …③ 问： (1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)错误的原因是______； (3)请写出正确的解题过程． 6． （24-25 七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知 0 n ，试比较： 1 2 m n − 与 1 5 m n − 的大小． 解： 1 1 2 5 − − ， 0 n ， 根据不等式的基本性质3，得 1 1 2 5 n n − − ， 第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m ，得 1 1 2 5 m n m n − − ． 第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 7．（24-25 七年级上·山东青岛·期中）已知 2 2 2 5 1 5 2 A a a B a a = − + = − − , ． (1)计算：当 0 a = 时，A =______，B =______；当 1 a = 时，A =______，B =______；当 1 a = −时，A =______， B =______； (2)猜想：无论a 为何值，A______B 始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 题型一：不等式的基本性质中最值问题 1． （24-25 七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若 3 a b + = ， 1 a ， 2 b −， 求2 3 a b + 的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题： 甲： 学科网（北京）股份有限公司 6 / 由 3 a b + = ，得 3 a b = − ， 由 1 a ，得3 1 b −，从而2 2 b − ． 由 3 a b + = ，得 3 b a = − ， 由 2 b −，得3 2 a − −，从而1 5 a 故2 2 10 a ，6 3 6 b − ， 所以4 2 3 16 a b − + ． 乙： 由 3 a b + = ，得 3 a b = − ， 从而 ( ) 2 3 2 3 3 6 a b b b b + = − + = + ， 由 1 a ，得3 1 b −，从而2 2 b − ． 所以4 6 8 b + ，即4 2 3 8 a b + ． (1) (填“甲”或“乙”)的解法正确； (2)若 ( a b m − = 其中m 为常数) ， 2 a ， 1 b −，求3a b −的最小值( 用含m 的代数式表示)． 2．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数x 、y 满足 0 x y ，求证： 2 2 x y ． 证明： x y 且x ，y 均为正 （已知） 2x xy ， 2 xy y （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 2 2 x xy y （不等式的传递性 ．．．） 即 2 2 x y ， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若a b ，求证： 2 a b b + ； (2)已知有理数a ，b ，c 满足： 0 a b c + + = ， 3 c −，5 3 2 0 a b c + + ．试求a 的最小值． 3． （24-25 九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观 察下列式子： ① ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2 x x x x x + + = + + − = + − ，∵( ) 2 2 0 x + ，∴ ( ) 2 2 4 2 2 2 0 x x x + + = + − ，∴代数式 2 4 2 x x + + 学科网（北京）股份有限公司 7 / 有最小值2 −； ② ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 4 1 4 x x x x x − + + = − − + + = − − + ，∵( ) 2 1 0 x − − ，∴ ( ) 2 2 2 3 1 4 4 x x x − + + = − − + ，∴代数式 2 2 3 x x − + + 有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式 2 2 3 a a − + 的最小值为 ；代数式 2 6 4 a a − − + 的最大值为 ； (2)求代数式 2 2 4 8 13 a b b a + + − + 的最小值； (3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O，且AC BD ⊥ ，若 12 AC BD + = ，求四边形ABCD 面积的最大值． 4．（24-25 八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆 分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式） 法．如 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 2 1 1 1 1 x x x x x x x − + − + = = − + − − − 这样分式就拆分成整式( ) 1 x − 和分式 2 1 x −和的形式．根据以上 阅读材料，解答下列问题： (1)分式 5 2 a a + + 用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知 2 2 2 8 2 a y a + = + ，利用分离整式法求y 的取值范围？ (3)若分式 2 5 9 3 2 a a a + − + 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为： 1 5 11 6 x y − + − ，求 代数式 2 2 x y xy + + 的最小值？ 5．（24-25 七年级下·江苏连云港·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数 式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知 2 2 2 2 8 16 0 m mn n n − + − + = ，求 m n 、的值． 解： 2 2 2 2 8 16 0 m mn n n − + − + = ，( ) ( ) 2 2 2 2 8 16 0 m mn n n n − + + − + = ， 学科网（北京）股份有限公司 8 / ( ) ( ) 2 2 4 0 m n n − + − = ， ( ) ( ) 2 2 0, 4 0 m n n − − ( ) ( ) 2 2 0, 4 0 m n n − = − = 4 m n = = ． 材料二：探索代数式 2 4 2 x x + + 与 2 2 3 x x − + + 是否存在最大值或最小值？ ① ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2, 2 0, 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x + + = + + − = + − + + + = + − − ． 代数式 2 4 2 x x + + 有最小值2 −； ② ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 4 1 4, 1 0 x x x x x x − + + = − − + + = − − + − − ， ( ) 2 2 2 3 1 4 4 x x x − + + = − − + ．代数式 2 2 3 x x − + + 有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式 2 6 3 x x − + 的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知,x y为有理数，且满足 2 3 5 0 x y x + + − = ．若x y + 有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）； 若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知 ABC 的三条边的长度分别为, , a b c ，且 2 2 74 10 14 a b a b + + = + ，且c 为正整数，求 ABC 周长的最 小值． 题型二：利用不等式的基本性质进行证明 1．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n 四个数中，a b ，m n ． (1)比较2a − 与2b − 的大小； (2)若a、b、m、n 都是正数，利用不等式的基本性质说明：am bn ． 2．（24-25 八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方 法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知a ，b 为实数，且0 b a ，求证：1 1 a b 证明：1 1 a b − = ①______， 0 a ， 0 b ， 0 ab ． 又 b a ， 0 b a − ．（②______） 学科网（北京）股份有限公司 9 / 0 b a ab − ．③______ 0 1 1 a b ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知a b ，且 2 2 a b b a + = + ，求证： 2 ab = −． 3．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知有理数a，b，c． (1)若 0, 2, 0 a c a b c = + − = ，求a b −的取值范围； (2)若a，b，c 都是正整数，且a b c + + 是偶数，请说明：a b c + −是偶数． 4．（24-25 七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b 满足 0 b a ． (1)利用不等式的基本性质证明1 1 a b ； (2)若存在实数c，m，使得c b ，且1 1 1 m a b c + + = ． ①求证：0 3 ma ； ②当a，b，c，m 均为整数时，求a，b，c 的值． 5．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c 为三个互不相等的有理数． (1)已知a b ，试说明：1 3 1 3 a b − − ． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解： a b （已知）， 3a − ① 3b − （不等式的基本性质3）， 1 3 1 3 a b − − （ ② ） (2)已知 0,4 2 a b c a c b + + + = ，试说明：b a ． 6．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c 满足a b c ，且1 1 1 1 a b c + + = ，求a，b，c． 7．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）已知, , x y z 都是有理数， 4 x z = −，y z ．求证： 3 1 4 x y y + + ． 学科网（北京）股份有限公司 10 / 8．（2025·福建漳州·模拟预测）已知 0 0 a b c ， ，求证：c c a b ． 9．（24-25 七年级下·河南南阳·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领 域也有推理或证明的内容．请利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性． (1)如果a b ，c d ，那么a c b d + + ； (2)如果a 、b 、c 、d 都是正数，且a b ，c d ，那么ac bd ． 10．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c 满足 0 a b c + + ，4 2 a c b + = ． (1)求证：b a ； (2)若 2 4 1 b ac − = ，求 4 b a − 的值． 11．（24-25 八年级下·江苏南京·期中）已知 0 a b ． (1)比较大小： 2 2 a b + ______2ab（填“”“”“”或“ ”）； (2)求证： 2 2 a b ab a b + + ． 12．（24-25 八年级下·江苏南京·期中）已知 0 a b ． (1)若 0 m ，求证：b m b a m a + + ； (2)若 1 a b M a b + = + + ， 1 1 a b N a b = + + + ，判断M 与N 的大小并证明． 题型三：根据不等式的性质求代数式的取值范围 1．（24-25 七年级下·福建厦门·阶段练习）已知关于x、y 的二元一次方程组 2 5 2 3 3 5 x y k x y k − = − + = ． (1)求方程组的解；（用含k 的代数式表示）； (2)若1 1 k − ，设 8 S x y = − ，求S 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 11 / 2．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知 3 1 5 2 可得3 5 1 2 + + ；已知 1 3 0 1 −− − ，可得1 0 3 1 −+ −−；已知 2 3 1 2 − ，可得2 1 3 2 −+ + ． 我们可以得出结论：一般地，如果 a b c d ，那么a c + ▲b d + ． 证明：∵a b ，∴a c b c + + ． ∵c d ，∴______， ∴a c + ▲b d + ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知1 2 x ，2 2 0 y − ，请直接写出x y + 的取值范围． 3．（24-25 七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进 行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“ 2 x y − = ，且 1, 0 x y ，试求x y + 的取值范围”．有如下解法： 解： ( ) 2, 2, 2 2 2 x y x y x y y y y − = = + + = + + = + ． 1, 2 1, 1 x y y + − ． 0, 1 0, 2 2 0, 0 2 2 2 y y y y − − + ， 即0 2 x y + ． (1)【启发应用】已知4 2 y x + = ，且 2, 6 x y −． ①用含x 的式子表示y ，则y =______； ②求2y x − 的取值范围． (2)【思维拓展】已知x y ､是整数，3 2 5 3 x y + = + ，且3 2 30,5 3 41 x y + + ， 2 3 m x y = − ，求m 的值． 4．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】 （1）已知x y 、满足 9 11 1 4 5 3 x y x y − = − − = ① ②； 学科网（北京）股份有限公司 12 / ①求x y − 的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求6 7 x y − 的值吗？请根据智能机器人的提示，先求, m n的值，再求 6 7 x y − 的值． 【解决问题】 （2）若x y 、满足 3 2 2 4 5 2 1 x y t x y t − = + + = − ，t 为常数且1 3 t − ，则6 19 x y + 的取值范围是_______． 5．（24-25 七年级下·陕西渭南·期中）利用不等式的性质解下列不等式： (1) 3 9 x − ； (2)7 6 20 x x + ． 1．（24-25 七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（ ） A．若m n ，则 2 2 m n B．若m n ，则 2 2 m n C．若 2 2 m n = ，则m n = D．若 3 3 m n = ，则m n = 2．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c 满足 2 0,3 2 0 a b c a b c + + = − + ，则下列结论正 确的是（ ） A． 3 0 − a b B．4 3 0 a c − C． 2 0 a b − D．4 0 b c + 3．（2025·河北邯郸·三模）若 4 3 2 2025 m n x y − − + = 是关于x，y 的二元一次方程，且 0 mn ，5 3 m n − − −， 则m n + 的值是（ ） A．4 − B．2 C．4 D．2 − 4．（24-25 八年级下·山东聊城·期中）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 13 / A． 3 b c + B． 0 a c − C．ac bc D．2 2 a b − − 5．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要 略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若x 为任意数，取不大于x 的最大整数记为 x ，取x 与 x 的差记为x ．例： ( ) 5 5 5 5 3 2 4 4 4 4 4 − = − −− = − −− = ．若4 5 a ，则 2.7 a −− 的值可以为（ ） A．2 − B．1.5 − C．0.5 D．1 6．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S 四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下 面示意图所示，则四人体重的大小关系为（） A． q p s r B．r s q p C．p q s r D．r s p q 7． （24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数x ， x 表示不超过x 的最大整数．例如：2 1 = ， 2.5 3 − = −．若 2 x = ， 4 y = ，则 x y + 所有可能的值为 ． 8．（24-25 七年级下·福建龙岩·期末）若6 3 12 2 a b c = + = ，且 2 b −， 9 c ，设 2 t a b c = + −，则t 的取值范 围为 ． 9．（23-24 八年级下·全国·单元测试）已知 1 8 x y ， ，若x 的最小值是a，y 的最大值是b，则a b + = ． 10． （24-25 七年级下·江苏盐城·阶段练习）对于任意实数x ，符号 x 表示不超过x 的最大整数，例如 3.2 3 = ， 4.1 5 − = −，记 y x x = − ，当5.5 4.5 x − − ，则y 的范围为 ． 11．（24-25 八年级下·江西抚州·阶段练习）仿例：已知 0 a ，试比较2a 与a 的大小． 方法一：解：∵2 1 ， 0 a ，∴2a a ． 方法二：解：2a a a − = ． ∵ 0 a ，∴2 0 a a − ，∴2a a ． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知 0 a ，试比较2a与a 的大小．要求两种方法解答． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 12．（24-25 七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴 趣，其游戏规则是：有30 张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝 下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之 和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表 所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 2 m+ 3 m− 4 m+ 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A 和C 的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 13．（24-25 八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是g a ，其中含有g b 糖（ 0 a b ），则糖水的浓 度为b a ． ①如果加入 g m 水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入g n 糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有 1g a ， 2g a 糖水，分别含糖 1g b ， 2g b ．它们浓度 相同，则有 1 2 1 2 b b k a a = = ． …… 任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2 中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说 明其中的道理． 学科网（北京）股份有限公司 15 / 任务4：请运用现象1 中的结论证明： 设a，b，c 是 ABC 三边的长，则1 2 a b c b c a c a b + + + + + ．
