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3.4 一元一次不等式组
课标要点
1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念。
2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会求解每个不等式并利用数轴确定公共解集。
3.熟记一元一次不等式组四种解集情况，能快速判断有解、无解情形。
4.能结合实际问题列不等式组求解，会根据实际条件取舍整数解、合理取值。
学习重难点
重点：
1.掌握一元一次不等式组的解法；
2.利用数轴准确找公共解集；
3.会解基础含不等式组的题型与简单实际问题。
难点：
1.准确区分四种解集类型，判断不等式组无解、有解情况；
2.借助数轴规范找公共部分，避免解集取值错误；
3.结合实际情境对不等式组解集进行合理取舍。
知识点
一元一次不等式组的概念
1. 一元一次不等式组：一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元
第三章
一元一次不等式
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一次不等式组。
2. 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共
部分时，称这个不等式组无解。
随学随练
1．下列不等式组：①{𝑥≥−4
𝑥＞−3
；②{
𝑥＞0
𝑥+ 2＞4
；③{𝑥2 + 1＞0
𝑥+ 2＞4
；④{
𝑥+ 3＞0
1
𝑥＞0
；⑤{𝑥+ 1＞0
𝑦−1＞0
；
⑥{
𝑥+ 1＞3
2𝑥−1＞𝑥
3𝑥+ 2＞1 −𝑥
；⑦{
3𝑥−2＞0
(𝑥−2)(𝑥+ 3)＞0
，其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：①{𝑥≥−4
𝑥＞−3
是一元一次不等式组；
②{
𝑥> 0
𝑥+ 2 > 4
是一元一次不等式组；
③{𝑥2 + 1＞0
𝑥+ 2＞4
，其中x 的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
④{
𝑥+ 3＞0
1
𝑥＞0
，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组；
⑤{𝑥+ 1＞0
𝑦−1＞0
，含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
⑥{
𝑥+ 1＞3
2𝑥−1＞𝑥
3𝑥+ 2＞1 −𝑥
是一元一次不等式组；
⑦{
3𝑥−2＞0
(𝑥−2)(𝑥+ 3)＞0
，整理得{
3𝑥−2＞0
𝑥2 + 𝑥−6＞0
，其中x 的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
综上，是一元一次不等式组的有3 个．
知识点
解一元一次不等式组（重点）
易错提醒
1）未知数必须统一，含不同未知数的不等式不能组成不等式组；
2）单个不等式不能叫不等式组；
3）误认为不等式组一定有解，部分不等式组无解（无公共区域）。
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1. 解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出不等式组中各不等式的解集；
②将各不等式的解集在数轴上表示出来；
③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
2. 一元一次不等式组的解集确定方法如下表所示：
不等式组
设𝑎＞𝑏
解集
数轴上的表示
口诀
{𝑥＞𝑎
𝑥＞𝑏
𝑥＞𝑎
同大取大
{𝑥＜𝑎
𝑥＜𝑏
𝑥＜𝑏
同小取小
{𝑥＞𝑎
𝑥≤𝑏
无解
大大小小无处找
{𝑥＜𝑎
𝑥≥𝑏
𝑏≤𝑥＜𝑎
大小，小大中间找
随学随练
1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）不等式组{3𝑥−1 > 2
5 −𝑥≥1
的解集是（ ）
A．1 < 𝑥≤4
B．𝑥> 1
C．𝑥≤4
D．1 ≤𝑥< 4
【答案】A
【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，对应选出正确选
项．
【详解】解：解不等式3𝑥−1 > 2，得
𝑥> 1，
b
a
b
a
b
a
b
a
易错提醒
1）解单个不等式时，乘除负数忘记变号，导致整体解集错误；
2）不用数轴，仅凭口诀容易判断错含参、边界复杂题型；
3）公共部分判断失误，混淆空心、实心边界；
4）求整数解时多取、漏取边界数值。
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解不等式5 −𝑥≥1，得
𝑥≤4
∴不等式组的解集为1 < 𝑥≤4．
2．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）解不等式组：{
5𝑥+ 3 > 4𝑥
①
15 −9𝑥> 5 −4𝑥
②
，并将解集在数轴上表示出
来．
【答案】−3 < 𝑥< 2，数轴表示如下：
【详解】解：{
5𝑥+ 3 > 4𝑥
①
15 −9𝑥> 5 −4𝑥
②
解不等式①得，𝑥> −3，
解不等式②得，𝑥< 2，
∴不等式组的解集为−3 < 𝑥< 2，数轴表示略．
3．（25-26 七年级下·上海普陀·期末）解不等式组：{
2(𝑥+ 1) > 𝑥+ 3
𝑥+5
2 −𝑥≥1
并将解集在数轴上表示出来．
【答案】1 < 𝑥≤3，数轴表示如下：
【详解】解：{
2(𝑥+ 1) > 𝑥+ 3①
𝑥+5
2 −𝑥≥1②
解不等式①得，𝑥> 1
解不等式②得，𝑥≤3
∴不等式组的解集为：1 < 𝑥≤3．
数轴表示略．
知识点
一元一次不等式组的实际应用
用一元一次不等式组解决实际问题与一元一次不等式解决实际问题的步骤、方法一致。
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随学随练
1．（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进𝐴，𝐵两种商品，𝐴商品每件的进价为100 元，𝐵商品每件
的进价为60 元，该商场计划购进𝐴，𝐵两种商品共60 件，且购进𝐵商品的件数不少于𝐴商品件数的2
倍．若𝐴商品按每件150 元销售，𝐵商品按每件80 元销售，为满足销售完𝐴，𝐵两种商品后获得的总利润不
低于1770 元，则购进𝐴商品的件数为多少？
【答案】购进𝐴商品的件数为19 或20 件
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进𝑚件𝐴商品，则购进(60 −𝑚)件𝐵商品，根据题意
列出一元一次不等式组，计算求解即可．
【详解】解：设购进𝑚件𝐴商品，则购进(60 −𝑚)件𝐵商品，根据题意得：
{
60 −𝑚≥2 𝑚
(150 −100)𝑚+ (80 −60)(60 −𝑚) ≥1770
解得：19 ≤𝑚≤20，
∴𝑚整数值为19 或20．
答：购进𝐴商品的件数为19 或20 件．
拓展
解不等式组与解单个不等式区别对比
对比维度
单个一元一次不等式
一元一次不等式组
式子构成
仅含一个不等式
由多个同未知数的一元一次不等式组成
解集逻辑
直接求解，结果唯一范围，不存在无解情
况
需取多个解集的公共部分，无公共部分则无解
易错提醒
1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程；
2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）；
3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值；
4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小；
5）设未知数语句不规范。
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解题关键
掌握不等式性质，重点注意变号规则
先单独求解，再借助数轴找公共重叠区域
活学活用
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式
1+2𝑥
3
≥−1，并将解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】𝑥≥−2；
【详解】解：去分母，得1 + 2𝑥≥−3，
移项、合并同类项，得2𝑥≥−4，
系数化为1，得𝑥≥−2，
∴不等式的解集为𝑥≥−2．
2．（25-26 八年级下·广东茂名·期末）解不等式组{ 3𝑥+ 5 > 2
1 −2𝑥≥−3
【答案】−1 < 𝑥≤2
【分析】分别求解两个不等式，取解集的公共部分得到原不等式组的解集．
【详解】解：{ 3𝑥+ 5 > 2①
1 −2𝑥≥−3②
，
解不等式①，得𝑥> −1，
解不等式②，得𝑥≤2，
原不等式组的解集为−1 < 𝑥≤2．
拓展
不等式组高频易错点归纳
1. 解集公共区域易错：解不等式组核心是取公共部分，不可直接套用单个不等式解集，容易忽略重叠范
围导致解集偏大或偏小。
2. 无解判定易错：混淆“大大小小无解”和“大小小大有解”模型，记错口诀，错误判定不等式组解集
情况。
3. 临界符号易错：忽略不等号是否带等号，混淆实心、空心端点，导致区间取值范围出错。
4. 概念易错：不等式组无解不代表不等式无解，是指多个不等式的解集无公共重合区域，单个不等式本
身有解集。
活学活用
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1．已知关于𝑥的不等式组{3𝑥< 2 −𝑎
𝑥< 1
(1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求𝑎的值；
(2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求𝑎的取值范围．
【答案】(1)𝑎= −1
(2)𝑎≤−1
【分析】本题主要考查一元一次不等式（组），会解一元一次不等式是解答本题的关键；
（1）求出第一个不等式的解集，由解集相同得到
2−𝑎
3 = 1，求出a 的值即可；
（2）根据第二个不等式的解都是第一个不等式的解，可得到
2−𝑎
3 ≥1，求出a 的范围即可．
【详解】（1）解：由3𝑥< 2 −𝑎，得
𝑥<
2−𝑎
3 ，
∵不等式组{3𝑥< 2 −𝑎
𝑥< 1
中的两个不等式的解集相同，
∴
2−𝑎
3 = 1，
解得𝑎= −1．
（2）∵不等式组{3𝑥< 2 −𝑎
𝑥< 1
第二个不等式的解都是第一个不等式的解，
∴
2−𝑎
3 ≥1，
解得𝑎≤−1．
2．解不等式组：{
4𝑥> 2𝑥−6
𝑥−1
3 ≤
𝑥+1
9
，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】−3 < 𝑥≤2，用数轴表示如下：
【分析】先分别解两个不等式，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
【详解】解：{
4𝑥> 2𝑥−6①
𝑥−1
3 ≤
𝑥+1
9 ②
解①得，𝑥> −3，
解②得，𝑥≤2，
所以不等式组的解集为−3 < 𝑥≤2，
用数轴表示略．
3．解不等式组：{
4𝑥< 𝑥+ 2①
𝑥−1
9 ≤
𝑥+1
3 ②
把它的解集在数轴上表示出来并求整数解．
【答案】不等式组的解是−2 ≤𝑥<
2
3，整数解是−2、−1、0，数轴表示如下：
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【详解】解：{
4𝑥< 𝑥+ 2①
𝑥−1
9 ≤
𝑥+1
3 ②
解不等式①得，𝑥<
2
3；
解不等式②得，𝑥≥−2；
∴不等式组的解集为−2 ≤𝑥<
2
3，整数解是−2、−1、0，
数轴表示略．
题型
识别一元一次不等式组
▌例1．（25-26 七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．{𝑥+ 𝑦> 3
𝑥< 1
B．{𝑥≥3
𝑥> 1
C．{𝑥2 = 5
𝑥< 2
D．{
𝑥< 3
1
𝑥> 1
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一
元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式．
【详解】解：A 选项不等式含两个未知数𝑥, 𝑦，不符合要求；
C 选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求；
D 选项第二个不等式中
1
𝑥是分式，不是整式，不符合要求；
B 选项两个不等式都只含一个未知数𝑥，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义．
▌对点练1-1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．{ 𝑥+ 3 < 2
𝑥−2 > −6
B．{𝑥2 −𝑥> 1
𝑥−1 < 0
C．{3𝑥−𝑥> 𝑥+ 1
𝑥+ 𝑦< 0
D．{𝑥+ 𝑦> 0
𝑥−𝑦< 0
【答案】A
【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A 符
解题贴士
由两个及以上一元一次不等式组成的整体即为一元一次不等式组，核心满足：只含一个未知数、未知数
次数为1、整式不等式。
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合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项．
本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题
意．
B、𝑥² −𝑥> 1为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意．
C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意．
D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意．
故选：A．
▌对点练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①{𝑥> −2
𝑥< 3
；②{
𝑥> 0
𝑥+ 2 > 4
；③{𝑥+ 1 > 0
𝑦−4 < 0
；④{𝑥+ 3 > 0
𝑥< −7
；⑤{𝑥2 + 1 < 𝑥
𝑥3 + 2 > 4
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不
等式组逐一判断即可．
【详解】解：① {𝑥> −2
𝑥< 3
只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
②{
𝑥> 0
𝑥+ 2 > 4
只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
③{𝑥+ 1 > 0
𝑦−4 < 0
含有两个未知数x 和y，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
④{𝑥+ 3 > 0
𝑥< −7
只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式，
∴它是一元一次不等式组，
⑤{𝑥2 + 1 < 𝑥
𝑥3 + 2 > 4
未知数x 的最高次数为2 和3，不是1 次，不符合定义，
∴它不是一元一次不等式组，
∴符合条件的有①②④，共3 个，
故选：B．
题型
解一元一次不等式组
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▌例1．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）不等式组{
2𝑥+ 1 > 3
1
2 𝑥−2 ≤0 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：解2𝑥+ 1 > 3得：𝑥> 1；
解
1
2 𝑥−2 ≤0得：𝑥≤4；
∴1 < 𝑥≤4，
在数轴上表示如下：
▌例2．（25-26 七年级下·江西上饶·期末）解不等式组{
2𝑥−1 ≤5①
5(𝑥+ 3) > −𝑥−3②
，并将解集表示在数轴上．
【答案】
−3 < 𝑥≤3；
【详解】解：{
2𝑥−1 ≤5①
5(𝑥+ 3) > −𝑥−3②
，
解不等式①，得𝑥≤3；
解不等式②，得𝑥> −3；
∴不等式组的解集为−3 < 𝑥≤3．
该解集在数轴上表示为：
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东清远·期末）不等式组{2𝑥−1 > 3
−3𝑥≥−9
解集表示正确的是（ ）
解题贴士
1）分别解出组内每个不等式的解集；
2）借助数轴或口诀确定公共解集；
3）最终写出不等式组解集。
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A．𝑥< 3
B．2 < 𝑥≤3
C．𝑥> 2
D．𝑥≤3
【答案】B
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分．
【详解】解：解不等式2𝑥−1 > 3，
可得𝑥> 2，
解不等式−3𝑥≥−9，
可得𝑥≤3，
故不等式组的解集为2 < 𝑥≤3．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）解不等式组{
3𝑥≤𝑥+ 2
1 +
𝑥−1
2 >
𝑥
3
．
【答案】−3 < 𝑥≤1
【详解】解：{
3𝑥≤𝑥+ 2①
1 +
𝑥−1
2 >
𝑥
3 ②
解不等式①得，𝑥≤1
解不等式②得，𝑥> −3
∴不等式组的解集为−3 < 𝑥≤1．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·广西河池·期末）解不等式组{ 𝑥+ 2 > 0
2𝑥−1 ≤3
，并将不等式组的解集在数轴上表
示出来．
【答案】不等式组的解集为−2 < 𝑥≤2，
【详解】解：由不等式①得：𝑥> −2 ，
由不等式②得：𝑥≤2 ，
∴不等式组的解集为−2 < 𝑥≤2 ．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）解不等式组{
2𝑥+ 3 < 𝑥+ 11 ①
2𝑥+4
3
≥3 −𝑥 ②
【答案】1 ≤𝑥< 8
【详解】解：解不等式①，得：𝑥< 8；
解不等式②，得：𝑥≥1；
∴不等式组的解集是1 ≤𝑥< 8．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤9
𝑥+1
2 −1 < 𝑥
，并把解集在数轴上表示出
来．
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【答案】−1 < 𝑥≤4；
【详解】解：{
3(𝑥−1) ≤9①
𝑥+1
2 −1 < 𝑥②
解不等式①得，𝑥≤4
解不等式②得，𝑥> −1
∴不等式组的解集为−1 < 𝑥≤4，
在数轴上表示略．
题型
由一元一次不等式组的解集求参数
▌例1．（25-26 七年级下·山东东营·期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥< 𝑛
解集为𝑥≤6，则𝑛取值范围是（ ）
A．𝑛≥6
B．𝑛≤6
C．𝑛< 6
D．𝑛> 6
【答案】D
【分析】先解第一个不等式得到x 的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同小取小”原则，结合已知解
集确定n 的取值范围．
【详解】解：解不等式2𝑥−5 ≤𝑥+ 1得𝑥≤6，
∵不等式组的解集为𝑥≤6，
∴𝑛> 6．
▌例2．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）已知关于𝑥的不等式组{𝑥+ 𝑏< 2𝑥−3
𝑥< 𝑎
的解集为−2 < 𝑥< 3，则
𝑎+ 𝑏的值为________．
【答案】−2
【分析】先解不等式组，结合已知解集得到𝑎和𝑏的值，再计算𝑎+ 𝑏即可．
【详解】解：解{𝑥+ 𝑏< 2𝑥−3
𝑥< 𝑎
得𝑏+ 3 < 𝑥< 𝑎，
∵不等式组的解集为−2 < 𝑥< 3，
∴𝑏+ 3 = −2，𝑎= 3，
解题贴士
1）先解含参数的不等式组，得到带参数的解集；
2）结合题目给出的已知解集，通过对应相等、边界匹配列等式或不等式，求解参数范围，重点验证端点
能否取等。
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∴𝑏= −5，
∴𝑎+ 𝑏= 3 + (−5) = −2．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）若关于𝑥的不等式组{𝑥+ 9 < 4𝑥−3
𝑥≥𝑚
的解集是𝑥> 4，则𝑚
的取值范围是（ ）
A．𝑚≥4
B．𝑚≤4
C．𝑚< 4
D．𝑚= 4
【答案】B
【分析】先求解第一个不等式得到x 的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m 的
取值范围．
【详解】解：不等式𝑥+ 9 < 4𝑥−3，
移项得：𝑥−4𝑥< −3 −9，
合并同类项得：−3𝑥< −12，
系数化为1 得：𝑥> 4，
由于不等式组{𝑥+ 9 < 4𝑥−3
𝑥≥𝑚
的解集为𝑥> 4，
则𝑚≤4．
▌对点练1-2．（2026·山东德州·二模）不等式组{𝑥> 1
𝑥> 𝑎
的解集为𝑥> 𝑎，请你写出一个符合条件的𝑎的值
_____．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则“同大取大”，推导得到𝑎的取值范围，再写出一个符合条件
的𝑎的值即可．
【详解】根据题意可得𝑎≥1，
取满足𝑎≥1的一个值即可，
故答案为2（答案不唯一）．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川成都·期中）已知关于𝑥的不等式组{𝑥−𝑎≥1
𝑥−𝑏< 2
的解集是−1 ≤𝑥< 5，则
𝑎𝑏的值是_____．
【答案】
−6
【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到𝑎和𝑏
的值，最后计算𝑎𝑏即可．
【详解】解：解不等式𝑥−𝑎≥1，
得𝑥≥𝑎+ 1，
解不等式𝑥−𝑏< 2，
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得𝑥< 𝑏+ 2，
∵不等式组的解集是−1 ≤𝑥< 5，
∴𝑎+ 1 = −1，𝑏+ 2 = 5，
解得𝑎= −2，𝑏= 3，
∴𝑎𝑏= (−2) × 3 = −6．
题型
根据一元一次不等式组解集的情况求参数
▌例1．（25-26 七年级下·陕西安康·期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−𝑎< 0
7−6𝑥
2
≤8 有且只有3 个整数解，则a 的取
值范围为（ ）
A．1 < 𝑎≤2
B．1 < 𝑎< 2
C．1 ≤𝑎< 2
D．1 ≤𝑎≤2
【答案】A
【详解】解：解不等式𝑥−𝑎< 0，得𝑥< 𝑎，
解不等式
7−6𝑥
2
≤8，得𝑥≥−
3
2，
∴原不等式组的解集为−
3
2 ≤𝑥< 𝑎．
∵不等式组有且只有3 个整数解，
∴整数解为−1,0,1，
∴1 < 𝑎≤2．
▌例2．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x 的不等式组{5 −3𝑥≥−1
𝑎−𝑥< 0
有解，则a 的取值范围是
_________．
【答案】𝑎< 2
【分析】先分别求解两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定𝑎的取值范围．
【详解】解：{5 −3𝑥≥−1①
𝑎−𝑥< 0②
解不等式①，得
𝑥≤2，
解题贴士
易错：①有解、无解的临界边界搞反；②整数解个数题型，漏卡临界值导致范围偏大/偏小；③端点等
号取舍错误，是高频扣分点；④忽略参数为整数、实数的题干限制。
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解不等式②，得
𝑥> 𝑎，
∵不等式组有解，即两个不等式的解集存在公共部分，
∴𝑎< 2．
▌例3．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）若关于𝑥的不等式𝑥−5 >
𝑥+1
2 −1的解都能使不等式𝑥≥
𝑚−6
3
−2𝑥
成立，求𝑚的取值范围．
【答案】𝑚≤87
【分析】先解两个不等式，再根据𝑥> 9使𝑥≥
𝑚−6
9 都成立，可得
𝑚−6
9
≤9，进一步求解即可．
【详解】解：解不等式𝑥−5 >
𝑥+1
2 −1，
得𝑥> 9，
解不等式𝑥≥
𝑚−6
3
−2𝑥，
得𝑥≥
𝑚−6
9 ，
依题意，得
𝑚−6
9
≤9，
解得：𝑚≤87．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）不等式组{𝑥> 2
𝑥≤𝑚
无解，则m 的取值范围是（ ）．
A．𝑚< 2
B．𝑚≤2
C．𝑚> 2
D．𝑚≥2
【答案】B
【分析】不等式组无解意味着两个不等式的解集没有公共部分，结合解集规律即可推导𝑚的范围，
【详解】∵不等式组{𝑥> 2
𝑥≤𝑚
无解，
∴𝑥> 2与𝑥≤𝑚没有公共解集，
当𝑚> 2时，不等式组的解集为2 < 𝑥≤𝑚，存在解，不符合要求，
当𝑚= 2时，不等式组变为{𝑥> 2
𝑥≤2
，无公共解集，符合无解的要求，
当𝑚< 2时，不存在同时满足𝑥> 2和𝑥≤𝑚的𝑥，无解，符合要求，
综上可得𝑚的取值范围是𝑚≤2．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）若关于x 的不等式组{3𝑥+ 5 ≥−7
𝑥−𝑎< 2
的所有整数解的积大于
10，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】−5 < 𝑎≤−4或−3 < 𝑎≤−2
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据所有整数解的积大于10 的条件，确定符合要
求的整数解，进而得到关于𝑎的不等式，求解得到𝑎的取值范围．
【详解】解：解3𝑥+ 5 ≥−7得𝑥≥−4，
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解𝑥−𝑎< 2得𝑥< 𝑎+ 2，
因此不等式组的解集为−4 ≤𝑥< 𝑎+ 2，
若整数解中包含0，则所有整数解的乘积为0，不满足乘积大于10的条件，因此整数解中不含0，
若最大整数解小于等于−3，则整数解为−4，−3，乘积为(−4) × (−3) = 12 > 10，满足条件，故−3 < 𝑎+
2 ≤−2，
解得−5 < 𝑎≤−4，
若最大整数解小于等于−2，则整数解为−4，−3，−2，乘积为(−4) × (−3) × (−2) = −24 < 10，不满足
条件，
若最大整数解小于等于−1，则整数解为−4，−3，−2，−1，乘积为(−4) × (−3) × (−2) × (−1) = 24 >
10，满足条件，故−1 < 𝑎+ 2 ≤0，
解得−3 < 𝑎≤−2；
综上所述𝑎的取值范围为−5 < 𝑎≤−4或−3 < 𝑎≤2．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）若关于𝑥的不等式组{
𝑥<
1
3 𝑎
𝑥−1 ≥
2𝑥−7
3
有且只有2 个偶数解，
则满足条件的𝑎的偶数解的个数为________．
【答案】3
【分析】先解不等式组得到𝑥的取值范围，再根据不等式组有且只有2 个偶数解确定𝑎的取值范围，最后找
出范围内𝑎的偶数个数即可．
【详解】解：{
𝑥<
1
3 𝑎
𝑥−1 ≥
2𝑥−7
3
，
解不等式𝑥−1 ≥
2𝑥−7
3 ，得𝑥≥−4，
因此不等式组的解集为−4 ≤𝑥<
1
3 𝑎
∵不等式组有且只有2个偶数解，
∴−4 ≤𝑥<
1
3 𝑎中的两个偶数为−4, −2
∴−2 < 1
3 𝑎≤0
不等式两边同乘3得−6 < 𝑎≤0
其中满足−6 < 𝑎≤0的偶数𝑎为−4, −2,0，共3个．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知关于𝑥的不等式组{𝑥−𝑎> 0
3 −𝑥> 0
(1)当𝑎= 2时，求不等式组的解集；
(2)若不等式组有3个整数解，求𝑎的取值范围；
(3)若不等式组无解，直接写出𝑎的取值范围．
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【答案】(1)2 < 𝑥< 3
(2)−1 ≤𝑎< 0
(3)𝑎≥3
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解问题以及不等式组无解的条件，熟练掌
握解一元一次不等式组的步骤，理解整数解和无解的含义是解答本题的关键．
（1）将𝑎= 2代入不等式组，分别解两个一元一次不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集；
（2）先求出不等式组的解集，再根据“有3个整数解”确定整数解的具体值，进而反推出𝑎的取值范围；
（3）根据不等式组无解的条件“两个不等式的解集没有公共部分”，直接确定𝑎的取值范围．
【详解】（1）解：当𝑎= 2时，不等式组为{𝑥−2 > 0①
3 −𝑥> 0②
，
解①得，𝑥> 2，
解②得，𝑥< 3，
综上所述，不等式组的解集为2 < 𝑥< 3；
（2）解：{𝑥−𝑎> 0①
3 −𝑥> 0②
，
解①得，𝑥> 𝑎，
解②得，𝑥< 3，
不等式组的解集为𝑎< 𝑥< 3，
∵不等式组有3个整数解，
∴3个整数解为2,1,0，
∴−1 ≤𝑎< 0；
（3）解：由（2）得，不等式组的解集为𝑎< 𝑥< 3，
∵不等式组无解，
∴𝑎≥3．
题型
不等式组与方程组结合
▌例1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y 的方程组{ 2𝑥+ 5𝑦= 3𝑚
𝑥−3𝑦= 2 + 𝑚
的解满足3𝑥+ 2𝑦> 7，则整数m 的
最小值为（ ）
解题贴士
先解二元一次方程组，用参数表示未知数的解；再将解代入不等式组，得到关于参数的不等式，求解参
数取值范围，必要时取整数解。
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组
的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得3𝑥+ 2𝑦= 4𝑚+ 2，再根据方程组解的情况得到关于
𝑚的不等式，求最小整数解即可．
【详解】解：{ 2𝑥+ 5𝑦= 3𝑚①
𝑥−3𝑦= 2 + 𝑚②
，
由①+ ②得：3𝑥+ 2𝑦= 4𝑚+ 2，
∵方程组的解满足3𝑥+ 2𝑦> 7，
∴4𝑚+ 2 > 7，
解得：𝑚>
5
4，
∴整数m 的最小值为2，
故选：B．
▌例2．（25-26 七年级下·湖南怀化·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这
个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程3𝑥−6 = 0的解是𝑥= 2，同时𝑥= 2也是不
等式2𝑥+ 5 > 0的解，则方程3𝑥−6 = 0的解𝑥= 2是不等式2𝑥+ 5 > 0的“内含解”．
(1)判断方程4𝑥+ 5 = 𝑥−1的解是不是不等式
𝑥−2
4 > 0的“内含解”，并说明理由；
(2)若关于𝑥，𝑦的方程组{3𝑥+ 2𝑦= 4𝑘+ 2
2𝑥+ 3𝑦= 𝑘−7
的解是不等式𝑥+ 𝑦> 3的“内含解”，求𝑘的取值范围；
(3)若关于𝑥的方程𝑥−𝑚=
1
3的解是不等式组{ 𝑥+ 1 > 0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”，且该不等式组恰好有4 个整数解，
求𝑚的取值范围．
【答案】(1)不是，
理由：解方程4𝑥+ 5 = 𝑥−1得：𝑥= −2，
解不等式
𝑥−2
4 > 0得：𝑥> 2，
∴𝑥= −2不在𝑥> 2范围内，
∴方程4𝑥+ 5 = 𝑥−1的解不是不等式
𝑥−2
4 > 0的“内含解”．
(2)𝑘> 4
(3)𝑚的取值范围为1 ≤𝑚≤
7
2
【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可；
（2）先得出方程组的解为{𝑥= 2𝑘+ 4
𝑦= −𝑘−5
，然后根据题意可得2𝑘+ 4 + (−𝑘−5) > 3，进而求解即可；
（3）先得出方程和不等式组的解分别为𝑥= 𝑚+
1
3 , −1 < 𝑥≤
8+𝑚
3 ，然后根据题意可得3 ≤
8+𝑚
3
< 4, −1 <
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𝑚+
1
3 ≤
8+𝑚
3 ，进而求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：{3𝑥+ 2𝑦= 4𝑘+ 2①
2𝑥+ 3𝑦= 𝑘−7②
，
①× 3 −②× 2得：5𝑥= 10𝑘+ 20，
解得：𝑥= 2𝑘+ 4，
把𝑥= 2𝑘+ 4代入①得：3(2𝑘+ 4) + 2𝑦= 4𝑘+ 2，
解得：𝑦= −𝑘−5，
∴方程组的解为{𝑥= 2𝑘+ 4
𝑦= −𝑘−5
，
∵方程组的解是不等式𝑥+ 𝑦> 3的“内含解”，
∴2𝑘+ 4 + (−𝑘−5) > 3，
∴𝑘> 4．
（3）解：{ 𝑥+ 1 > 0①
3𝑥−8 ≤𝑚②
，
由①可得：𝑥> −1，
由②可得：𝑥≤
8+𝑚
3 ，
∴不等式组的解集为−1 < 𝑥≤
8+𝑚
3 ，
∵该不等式组恰好有4 个整数解，且该4 个整数解分别为0，1，2，3，
∴3 ≤
8+𝑚
3
< 4，
解得：1 ≤𝑚< 4，
解方程𝑥−𝑚=
1
3可得𝑥= 𝑚+
1
3，
∵方程𝑥−𝑚=
1
3的解是不等式组{ 𝑥+ 1 > 0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”，
∴−1 < 𝑚+
1
3 ≤
8+𝑚
3 ，
解得：−
4
3 < 𝑚≤
7
2，
综上所述：𝑚的取值范围为1 ≤𝑚≤
7
2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y 的方程组{2𝑥+ 𝑦= 𝑚−3
𝑥+ 2𝑦= 2𝑚
的解满足𝑥−𝑦<
0，则m 的取值范围是______．
【答案】𝑚> −3
【分析】通过加减消元得到𝑥−𝑦关于𝑚的表达式，代入不等式求解即可得到𝑚的取值范围．
【详解】解： {2𝑥+ 𝑦= 𝑚−3①
𝑥+ 2𝑦= 2𝑚②，
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①−②得𝑥−𝑦= −𝑚−3，
由条件𝑥−𝑦< 0得−𝑚−3 < 0
解得𝑚> −3．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·四川达州·期末）已知关于x，y 的方程组{
𝑥−𝑦= 1
𝑥+ 𝑦= 2𝑎+ 3
中x，y 均大于
0．若a 与正数b 的和为4，则𝑎−𝑏的取值范围是_______．
【答案】−6 < 𝑎−𝑏< 4
【分析】先解二元一次方程组得到𝑥，𝑦关于𝑎的表达式，根据𝑥> 0，𝑦> 0得到𝑎的初步范围，再结合𝑎+
𝑏= 4和𝑏> 0确定𝑎的最终范围，将𝑎−𝑏变形后即可求出其取值范围．
【详解】解：{
𝑥−𝑦= 1
𝑥+ 𝑦= 2𝑎+ 3
，
解得{𝑥= 𝑎+ 2
𝑦= 𝑎+ 1
，
∵𝑥> 0, 𝑦> 0，
∴{𝑎+ 2 > 0
𝑎+ 1 > 0
，
解得𝑎> −1，
∵𝑎+ 𝑏= 4，
∴𝑏= 4 −𝑎，
∵𝑏> 0，
∴4 −𝑎> 0，
解得𝑎< 4，
∴−1 < 𝑎< 4，
∵𝑎−𝑏= 𝑎−(4 −𝑎) = 2𝑎−4，
∴当−1 < 𝑎< 4时，2 < 2𝑎< 8，
∴−6 < 2𝑎−4 < 4，
∴−6 < 𝑎−𝑏< 4．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的
值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”．
例：已知方程2𝑥−3 = 1与不等式𝑥+ 3 > 0，方程的解为𝑥= 2，使得不等式也成立，则称“𝑥= 2”为方程
2𝑥−3 = 1和不等式𝑥+ 3 > 0的“琅琊解”．
(1)𝑥= −1是方程2𝑥+ 3 = 1和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号）
①𝑥−1 >
3
2；②2(𝑥+ 3) < 4；③
𝑥−1
2 < 3．
(2)若关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑎+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑎−5
和不等式组{𝑥> 𝑦−5
𝑥−𝑦< 1
有“琅琊解”，求𝑎的取值范围，
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并化简|𝑎+ 9| + |𝑎−1|；
(3)若关于𝑥的方程𝑥−4 = −3𝑏和关于𝑥的不等式组{2𝑥+ 3 ≥2𝑏+ 1
𝑥−1 < 4
有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有
4 个，试求𝑏的取值范围．
【答案】(1)③
(2)−6 < 𝑎< −3，10
(3)−
1
3 < 𝑏≤
5
4
【分析】（1）分别把𝑥= −1代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可；
（2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出𝑎的取值范围，进一步计算即可求解，
（3）求出方程的解为𝑥= −3𝑏+ 4，不等式组的解集为𝑏−1 ≤𝑥< 5，再根据整数解的个数，列不等式求
解．
【详解】（1）解：把𝑥= −1代入不等式𝑥−1 >
3
2得，左边= −1 −1 = −2 <
3
2，
∴𝑥= −1不是不等式𝑥−1 >
3
2的解；
把𝑥= −1代入不等式2(𝑥+ 3) < 4得，左边= 2 × (−1 + 3) = 4，
∴𝑥= −1不是不等式2(𝑥+ 3) < 4的解；
把𝑥= −1代入不等式
𝑥−1
2 < 3得，左边=
−1−1
2
= −1 < 3，
∴𝑥= −1是不等式
𝑥−1
2 < 3的解；
（2）解方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑎+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑎−5
得{ 𝑥= −𝑎−12
𝑦= −3𝑎−19
，
∵二元一次方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑎+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑎−5
和不等式组{𝑥> 𝑦−5
𝑥−𝑦< 1
有“琅琊解”，
∴{ 𝑥= −𝑎−12
𝑦= −3𝑎−19
是不等式组的解，
把{ 𝑥= −𝑎−12
𝑦= −3𝑎−19
代入不等式组得{ −𝑎−12 > −3𝑎−19 −5
−𝑎−12 −(−3𝑎−19) < 1
，
解得−6 < 𝑎< −3，
∴𝑎+ 9 > 0，𝑎−1 < 0，
∴|𝑎+ 9| + |𝑎−1| = 𝑎+ 9 + 1 −𝑎= 10；
（3）解：由方程𝑥−4 = −3𝑏得𝑥= −3𝑏+ 4，
解不等式组{2𝑥+ 3 ≥2𝑏+ 1
𝑥−1 < 4
得𝑏−1 ≤𝑥< 5，
∵不等式组的正整数解有4 个，
∴不等式组的正整数解为1、2、3、4，
∴𝑏−1 ≤1，
∴𝑏≤2，
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又∵关于𝑥的方程𝑥−4 = −3𝑏和关于𝑥的不等式组{2𝑥+ 3 ≥2𝑏+ 1
𝑥−1 < 4
有“琅琊解”，
∴𝑏−1 ≤−3𝑏+ 4 < 5，
∴−
1
3 < 𝑏≤
5
4，
综上：𝑏的取值范围为−
1
3 < 𝑏≤
5
4．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济宁·期末）阅读下面材料并完成解答过程中的填空．
问题：已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑥−𝑦= 2
𝑥+ 𝑦= 𝑎
的解满足𝑥> 1，𝑦< 0，求𝑎的取值范围．
分析：解方程组，即用含有𝑎的代数式分别表示出𝑥，𝑦，然后根据𝑥> 1，𝑦< 0列出关于𝑎的不等式组，解
这个不等式组即可求得𝑎的取值范围．
解：解方程组{𝑥−𝑦= 2
𝑥+ 𝑦= 𝑎
，得{
𝑥=
𝑎+2
2
𝑦=
𝑎−2
2
，
又因为𝑥> 1，𝑦< 0，
所以{
𝑎+2
2 > 1
𝑎−2
2 < 0
，
(1)解这个不等式组，得 ．
(2)请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{2𝑥+ 𝑦= 𝑚+ 1
𝑥+ 2𝑦= 2
的解满足𝑥+ 𝑦> 0，求𝑚的取值范围；
②已知𝑥−𝑦= 4，且𝑥> 3，𝑦< 1，求代数式𝑥+ 𝑦的取值范围．
【答案】(1)0 < 𝑎< 2
(2)①𝑚> −3；②2 < 𝑥+ 𝑦< 6
【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”即可确定不等式组的解集；
（2）①解方程组得{
𝑥=
2𝑚
3
𝑦=
3−𝑚
3
，继而得到𝑥+ 𝑦=
𝑚+3
3
> 0，求出这个不等式的解集即可；
②设𝑥+ 𝑦= 𝑎，得到方程组{𝑥−𝑦= 4
𝑥+ 𝑦= 𝑎
，解得{
𝑥=
𝑎+4
2
𝑦=
𝑎−4
2
，继而得到{
𝑎+4
2 > 3
𝑎−4
2 < 1
，求出这个不等式组的解集
即可．
【详解】（1）解：{
𝑎+2
2 > 1①
𝑎−2
2 < 0②
，
解不等式①，得：𝑎> 0，
解不等式②，得：𝑎< 2，
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∴这个不等式组的解集为0 < 𝑎< 2；
（2）解：①解{2𝑥+ 𝑦= 𝑚+ 1
𝑥+ 2𝑦= 2
得：{
𝑥=
2𝑚
3
𝑦=
3−𝑚
3
，
∵𝑥+ 𝑦> 0，
∴𝑥+ 𝑦=
𝑚+3
3
> 0，
解得：𝑚> −3；
②设𝑥+ 𝑦= 𝑎，
构成方程组{𝑥−𝑦= 4
𝑥+ 𝑦= 𝑎
，
解得：{
𝑥=
𝑎+4
2
𝑦=
𝑎−4
2
，
∵𝑥> 3，𝑦< 1，
∴{
𝑎+4
2 > 3
𝑎−4
2 < 1
，
解得：2 < 𝑎< 6，
∴2 < 𝑥+ 𝑦< 6．
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一
次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程3𝑥−6 = 0的解为𝑥= 2，不等式组{𝑥−1 > 0
𝑥< 4
的解集为1 <
𝑥< 4，因为1 < 2 < 4，所以称方程3𝑥−6 = 0为不等式组{𝑥−1 > 0
𝑥< 4
的“友好方程”．
(1)方程①3𝑥−4 = 0，②−5𝑥+ 7 = 13中，___________（只填序号）是不等式组{ 3𝑥−2 > 𝑥−2
2(𝑥−2) −3𝑥< 5
的
“友好方程”；
(2)若关于𝑥的方程3𝑥−𝑘= 6是不等式组{ 3𝑥−2 > 𝑥−2
2(𝑥−2) −3𝑥< 5
的“友好方程”，求𝑘的取值范围．
(3)若关于𝑥的方程𝑥+ 8 −4𝑚= 0是不等式组{
𝑥+ 2𝑚> 2𝑚
𝑥+ 2𝑚≤4𝑚−1
的“友好方程”，且此时不等式组有且仅有3
个整数解，直接写出𝑚的取值范围．
【答案】(1)①
(2)𝑘> −6
(3)2 < 𝑚< 2.5
【分析】（1）分别求出方程的解和不等式组的解集，再由定义判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据定义得到不等式求解即可；
（3）先求出不等式组的解集，然后根据整数解的个数列出不等式组求解，再解一元一次方程，然后根据
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新定义得到不等式组求解，最后取解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：解方程3𝑥−4 = 0得𝑥=
4
3；
解方程−5𝑥+ 7 = 13得，𝑥= −
6
5；
{ 3𝑥−2 > 𝑥−2①
2(𝑥−2) −3𝑥< 5②
，
由①得𝑥> 0；
由②得𝑥> −9
∴不等式组的解集为𝑥> 0，
∵𝑥=
4
3在𝑥> 0范围内，𝑥= −
6
5不在𝑥> 0范围内，
∴①符合题意；
（2）解：由（1）可知不等式组的解集为𝑥> 0，
解方程3𝑥−𝑘= 6，得𝑥=
𝑘+6
3 ，
∵方程3𝑥−𝑘= 6是该不等式组的“友好方程”，
∴
𝑘+6
3 > 0，
解得𝑘> −6；
（3）解：{
𝑥+ 2𝑚> 2𝑚
𝑥+ 2𝑚≤4𝑚−1
，
解不等式𝑥+ 2𝑚> 2𝑚，得𝑥> 0，
解不等式𝑥+ 2𝑚≤4𝑚−1，得𝑥≤2𝑚−1，
∴不等式组的解集为0 < 𝑥≤2𝑚−1，
∵不等式组有且仅有3 个整数解，
∴3 ≤2𝑚−1 < 4，
解得2 ≤𝑚< 2.5，
解方程𝑥+ 8 −4𝑚= 0得，𝑥= 4𝑚−8，
∵关于𝑥的方程𝑥+ 8 −4𝑚= 0是不等式组{
𝑥+ 2𝑚> 2𝑚
𝑥+ 2𝑚≤4𝑚−1
的“友好方程”，
∴0 < 4𝑚−8 ≤2𝑚−1，
解得2 < 𝑚≤3.5，
综上：2 < 𝑚< 2.5．
题型
一元一次不等式组的实际应用——行程与工程问题
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▌例1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为𝑣 km/h．已知行驶速度限定为不超过
120 km/h，若他以80 km/h的平均速度行驶，则需6 h到达目的地；若他必须要在5 h内（包括5 h）到达乙
地，则𝑣的取值范围是_____．
【答案】96 ≤𝑣≤120
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度𝑣的范围．
【详解】解：依题意得：{5𝑣≥80 × 6，
𝑣≤120，
解得：96 ≤𝑣≤120．
故答案为：96 ≤𝑣≤120．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由A，B两个工程队合作完成一段
总长300 米的河道清理工程．已知A工程队每日清理15 米，B工程队每日清理8 米，A，B两队施工天数均
为正整数．
(1)若A，B两队各自施工的天数之和为27 天，求A，B两队分别施工多少天；
(2)若完工时A队施工天数少于B队，求A队至多施工多少天；
(3)A队施工𝑎天，B队先按原有效率施工𝑏天，之后提升清理效率，改为每日清理10 米，继续施工𝑐天．若
两队合作完成全部清理任务，𝑎，𝑏，𝑐均为正整数且𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 23，求A工程队的施工天数．
【答案】(1)A 队施工12 天，B 队施工15 天
(2)A 队至多施工12 天
(3)A 工程队施工天数为16 天
【分析】（1）设A 队施工𝑥天，则B 队施工(27 −𝑥)天，由题意得：15𝑥+ 8(27 −𝑥) = 300，然后进行求
解即可；
（2）设A队施工𝑚天，B 队施工𝑛天，由题意得：15𝑚+ 8𝑛= 300，则有𝑛=
300−15𝑚
8
，然后可得𝑚<
300−15𝑚
8
，进而问题可求解；
（3）由题意易得{
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 23
15𝑎+ 8𝑏+ 10𝑐= 300
，则有𝑐= 58 −
7
2 𝑎，然后可得14 < 𝑎<
116
7 ，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设A 队施工𝑥天，则B 队施工(27 −𝑥)天，由题意得：
15𝑥+ 8(27 −𝑥) = 300，
解题贴士
根据行程、工程公式，提炼双重限制条件（时间、速度、工作量的上下限），列出两个不等式构成不等式
组；求解范围后，结合实际取合理数值。
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解得：𝑥= 12；
答：A 队施工12 天，B 队施工15 天
（2）解：设A队施工𝑚天，B 队施工𝑛天，由题意得：
15𝑚+ 8𝑛= 300，
∴𝑛=
300−15𝑚
8
，
∵完工时A队施工天数少于B队，
∴𝑚<
300−15𝑚
8
，
解得：𝑚<
300
23 ，
∵𝑚是正整数，且300 −15𝑚是8的倍数，
∴𝑚的最大值为12；
答：A 队至多施工12 天
（3）解：由题意得：
{
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 23①
15𝑎+ 8𝑏+ 10𝑐= 300②
，
②−①× 8得：7𝑎+ 2𝑐= 116，
∴𝑐= 58 −
7
2 𝑎，
∵0 < 𝑏< 23，即0 < 𝑎+ 𝑐< 23，0 < 𝑐< 23，
∴{
58 −
7
2 𝑎> 0
𝑎+ 58 −
7
2 𝑎< 23
，
解得：14 < 𝑎<
116
7 ，
∵𝑎, 𝑐取正整数，
∴𝑎= 16，
答：A 工程队施工天数为16 天．
▌对点练1-2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设
和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市
某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5 个月后，乙队再加入合作2 个月就可以完成这项工
程．已知若甲队单独做需要8 个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须
在一年内竣工（包括12 个月），为了确保经费和工期，采取甲队做𝑎个月（𝑎为整数），乙队做4 个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
【答案】(1)乙队需要16 个月完成
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(2)方案一：甲队作6 个月，乙队作4 个月；方案二：甲队作7 个月，乙队作4 个月．方案一最省钱，费用
为126 万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的
关键．
（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知
5
8 +
2
8 +
2
𝑥= 1，从而得出x=15． 即单独完成这项工程
需要15 个月．
（2）根据工程总费用不超过141 万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a 的取值范围，确定工
程方案，再求出费用即可．
【详解】（1）设乙队需要x 个月完成，根据题意得：
5
8 +
2
8 +
2
𝑥= 1，
解得𝑥= 16，
经检验𝑥= 16是原方程的根
答：乙队需要16 个月完成；
（2）根据题意得：{
15𝑎+ (15 −6) × 4 ≤141
𝑎
8 +
4
16 ≥1
，
解得6 ≤𝑎≤7
方案一：甲队作6 个月，乙队作4 个月，15 × 6 + (15 −6) × 4 = 126万元；
方案二：甲队作7 个月，乙队作4 个月，15 × 7 + (15 −6) × 4 = 141万元；
所以方案一最省钱，费用为126 万元．
题型
一元一次不等式组的实际应用——经济问题
▌例1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4 元，每件乙文具
进价6 元．若购进甲、乙共80 件，总进价380 元．
(1)求购进甲、乙文具各多少件；
(2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100 件，甲不少于30 件，总进价不超过520 元，求甲文具最
多采购多少件．
【答案】(1)甲50 件，乙30 件
(2)甲最多100 件
【分析】（1）设购进甲x 件，则购进乙(80 −𝑥)件，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可；
解题贴士
梳理成本、售价、利润、销量、优惠等关系，根据成本上限、利润下限、销量限制列双重不等关系，组
建不等式组，求解定价、进货量、降价范围。
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（2）设采购甲m 件，则采购乙(100 −𝑚)件，根据题意，列出不等式组进行求解即可.
【详解】（1）解：设购进甲x 件，则购进乙(80 −𝑥)件，
由题意，4𝑥+ 6(80 −𝑥) = 380，
4𝑥+ 480 −6𝑥= 380
−2𝑥= −100
𝑥= 50；
80 −50 = 30；
答：购进甲50 件，乙30 件；
（2）解：设采购甲m 件，则采购乙(100 −𝑚)件，
由题意，{
𝑚≥30
4𝑚+ 6(100 −𝑚) ≤520
100 −𝑚≥0
，
解得：40 ≤𝑚≤100，
∴甲最多100 件，
当𝑚= 100时成本400 ≤520，符合题意；
故甲最多100 件．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给
七年级1 班作为班级劳动实践基地．七年级1 班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜
都必须种植．相关信息如下：
信息1：种植1 平方米黄瓜与1 平方米番茄共需成本14 元；种植2 平方米黄瓜和3 平方米番茄共需成本
34 元．
信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5 千克，每平方米番茄每月可收获2.5 千克．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？
(2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12 平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5 千
克且种植总成本不超过80 元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值．
【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8 元，每平方米番茄种植成本为6 元
(2)3 平方米和4 平方米
【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x 元，每平方米番茄种植成本为y 元，根据题意列出二元一次方
程组求解即可；
（2）设黄瓜的种植面积为t 平方米，则番茄的种植面积为(12 −𝑡)平方米，根据题意列出一元一次不等式
组求解即可．
【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x 元，每平方米番茄种植成本为y 元，
根据题意得：{ 𝑥+ 𝑦= 14
2𝑥+ 3𝑦= 34
，
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解得：{𝑥= 8
𝑦= 6
，
答：每平方米黄瓜种植成本为8 元，每平方米番茄种植成本为6 元；
（2）解：设黄瓜的种植面积为t 平方米，则番茄的种植面积为(12 −𝑡)平方米，
根据题意得：{3.5𝑡+ 2.5(12 −𝑡) ≥32.5
8𝑡+ 6(12 −𝑡) ≤80
解得：2.5 ≤𝑡≤4，
因为t 为正整数，
所以𝑡= 3或𝑡= 4，
即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3 平方米和4 平方米．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制
在每千克8 元到14 元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为𝑚元/千克，政府补贴为𝑛
元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，𝑛与𝑚应满足等式
100(𝑚+ 𝑛−8) = 220 −3𝑚．为使市场价格不高于9 元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？
【答案】政府补贴至少应为0.93 元/千克
【分析】先根据𝑛与𝑚应满足等式100(𝑚+ 𝑛−8) = 220 −3𝑚，变形得到𝑚= −
100𝑛
103 +
1020
103 ，然后再根据
题意列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：∵100(𝑚+ 𝑛−8) = 220 −3𝑚；
∴𝑚= −
100𝑛
103 +
1020
103 ，
∵要使市场价格不高于9 元/千克，由题意得：{
8 ≤−
100𝑛
103 +
1020
103
−
100𝑛
103 +
1020
103 ≤9
，
解之得0.93 ≤𝑛≤1.96，
∴政府补贴至少应为0.93 元/千克．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·广东阳江·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全
守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某
商场欲购进一批头盔，已知购进1 个甲型头盔和2 个乙型头盔需要160 元，购进3 个甲型头盔和4 个乙型
头盔需要350 元．
(1)购进1 个甲型头盔和1 个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200 个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200 元，则最
少应购进甲型头盔多少个？
【答案】(1)购进1 个甲型头盔需要30 元，购进1 个乙型头盔需要65 元；
(2)最少应购进甲型头盔80 个．
【分析】（1）设购进1 个甲型头盔需要𝑥元，购进1 个乙型头盔需要𝑦元，根据题意，列出方程组进行求解
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即可；
（2）设购进甲型头盔𝑚个，则购进乙型头盔(200 −𝑚)个，根据题意，列出不等式组进行求解即可.
【详解】（1）解：设购进1 个甲型头盔需要𝑥元，购进1 个乙型头盔需要𝑦元．
根据题意，得{ 𝑥+ 2𝑦= 160
3𝑥+ 4𝑦= 350
，
解得{𝑥= 30
𝑦= 65
；
答：购进1 个甲型头盔需要30 元，购进1 个乙型头盔需要65 元；
（2）解：设购进甲型头盔𝑚个，则购进乙型头盔(200 −𝑚)个，
根据题意，得：{
200 −𝑚> 0
𝑚> 0
30𝑚+ 65(200 −𝑚) ≤10200
，
解得：80 ≤𝑚< 200．
∵𝑚为正整数，
∴𝑚的最小值为80．
答：最少应购进甲型头盔80 个．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购
进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元．
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件
150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进
A商品的件数最多为多少？
【答案】(1)A商品的进价是100 元/件，B商品的进价是60 元/件
(2)购进A商品的件数最多为20 件
【分析】（1）设A 商品的进价是𝑥元/件，B 商品的进价是𝑦元/件，根据“购进3件A商品比购进4件B商品费
用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元”列出关于𝑥、𝑦的二元一次方程组，解方程组即可得
出结果；
（2）设购进𝑚件A 商品，则购进(60 −𝑚)件B 商品，根据题意列出关于𝑚的一元一次不等式组，解不等式
组即可得出结果．
【详解】（1）解：设A 商品的进价是𝑥元/件，B 商品的进价是𝑦元/件．
根据题意{ 3𝑥−4𝑦= 60
5𝑥+ 2𝑦= 620
，
解得{𝑥= 100
𝑦= 60
，
故A 商品的进价是100 元/件，B 商品的进价是60 元/件；
（2）解：设购进𝑚件A 商品，则购进(60 −𝑚)件B 商品，
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根据题意得{
60 −𝑚≥2𝑚
(150 −100)𝑚+ (80 −60)(60 −𝑚) ≥1770
，
解得19 ≤𝑚≤20，
∴𝑚的最大值为20．
故购进A 商品的件数最多为20 件．
题型
一元一次不等式组的实际应用——分配问题
▌例1．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）学校给七年级男生安排宿舍，若每间安排5人，则还剩12人安排
不下；若每间安排8人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级男生分配的宿
舍可能有多少间？若设学校给七年级男生分配的宿舍有𝑥间，则可列不等式组为（ ）
A．0 < 5𝑥+ 12 −8(𝑥−1) < 8
B．8(𝑥−1) < 5𝑥−12 < 8𝑥
C．0 < 5𝑥+ 12 −8𝑥< 8
D．8𝑥< 5𝑥+ 12 < 8(𝑥+ 1)
【答案】A
【分析】先根据第一种住宿方案表示出七年级男生总人数，再根据第二种住宿方案中最后一间宿舍有人住
但未住满的人数范围列出不等式组即可．
【详解】解：设学校分配的宿舍有𝑥间，
∵每间安排5人，剩12人安排不下，
∴七年级男生总人数为5𝑥+ 12人，
∵每间安排8人时，有一间宿舍未住满且有人住，
∴有𝑥−1间宿舍住满，住满的总人数为8(𝑥−1)人，
最后一间未住满宿舍的人数为5𝑥+ 12 −8(𝑥−1)，
∵最后一间宿舍有人住，所以人数大于0，又未住满，所以人数小于8，
∴可得不等式组0 < 5𝑥+ 12 −8(𝑥−1) < 8．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任
刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3 本，那么剩余8 本；如果前面的每名同学分5 本，那么
最后一人分到了书但是不到3 本．则共有（ ）名同学．
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
解题贴士
根据物资分配的“有余、不足、不空、不超”双重约束，列出两个不等式组成不等式组；求解后取正整
数解，确定分配数量。
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【分析】设共有𝑥名同学，则书本总数为(3𝑥+ 8)本，根据最后一人分到书但不到3 本的条件列出不等式
组，求解后取正整数即可得到结果．
【详解】解：设共有𝑥名同学，则书本总数为(3𝑥+ 8)本，
根据题意，最后一人分得的书本数大于0 且小于3，可得不等式组：{3𝑥+ 8 −5(𝑥−1) > 0
3𝑥+ 8 −5(𝑥−1) < 3
化简第一个不等式得𝑥< 6.5，
化简第二个不等式得𝑥> 5，
因此不等式组的解集为5 < 𝑥< 6.5，
∵𝑥为正整数，
∴𝑥= 6．
即共有6 名同学．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4 人，
则还余20 人无宿舍住；若每间住8 人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________
间．
【答案】6
【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解．
【详解】解：设安排住宿的房间有𝑥间，则住宿生总人数为(4𝑥+ 20)人
根据题意，得{4𝑥+ 20 −8(𝑥−1) > 0①
4𝑥+ 20 −8(𝑥−1) < 8②
由①得，𝑥< 7；
由②得，𝑥> 5
∴不等式组的解集为5 < 𝑥< 7，
故𝑥取整数6，那么安排住宿的房间有6间．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为6dm × 6dm的大纸板剪裁成图①所示的𝐴
型长方形纸板和𝐵型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板
可以恰好裁成6 张𝐴型长方形纸板或者恰好裁成9 张𝐵型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要𝐴型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要𝐴型长方形纸板 张．
(2)若用8 张大纸板裁成𝐴型长方形纸板，用3 张大纸板剪裁𝐵型正方形纸板，且裁成的𝐴、𝐵两种型号纸板
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恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6 张𝐴型长方形纸板或者恰好裁成9 张𝐵型正方形纸板，也可以同时裁
出2 张𝐴型长方形纸板和6 张𝐵型正方形纸板．若要用15 张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒
．．．．，在充分利
用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒
．．．．多少个？
【答案】(1)解：3；4
(2)解：制作横式纸盒12 个，竖式纸盒3 个；
(3)解：最多可以制作横式纸盒20 个．
【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可；
（1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果；
（2）设制作横式纸盒𝑥个，竖式纸盒𝑦个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可；
（3）设a 张大纸板全部裁成A 型，b 张全部裁成B 型，c 张同时裁出2 张𝐴型长方形纸板和6 张𝐵型正方形
纸板,可以制作横式纸盒𝑡个，根据题意列不等式组，求最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，1 个横式无盖长方体纸盒需要3 张𝐴型和2 张𝐵型，1 个竖式无盖长方体纸
盒需要4 张𝐴型和1 张𝐵型，
故答案为：3，4；
（2）解：设制作横式纸盒𝑥个，竖式纸盒𝑦个，根据题意得，
{3𝑥+ 4𝑦= 8 × 6
2𝑥+ 𝑦= 3 × 9
，解得{𝑥= 12
𝑦= 3
，
答：制作横式纸盒12 个，竖式纸盒3 个；
（3）解：设a 张大纸板全部裁成A 型，b 张全部裁成B 型，c 张同时裁出2 张𝐴型长方形纸板和6 张𝐵型正
方形纸板,可以制作横式纸盒𝑡个，
∴{
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 15①
6𝑎+ 2𝑐≥3𝑡②
9𝑏+ 6𝑐≥2𝑡③
，
由①得𝑏= 15 −𝑎−𝑐，
代入③得：9(15 −𝑎−𝑐) + 6𝑐≥2𝑡，
∴135 −9𝑎−3𝑐≥2𝑡，
∴𝑛(135 −9𝑎−3𝑐) ≥2𝑛𝑡④（𝑛> 0），
由6𝑎+ 2𝑐≥3𝑡，
则𝑚(6𝑎+ 2𝑐) ≥3𝑚𝑡(𝑚> 0)⑤，
④+ ⑤得：𝑚(6𝑎+ 2𝑐) + 𝑛(135 −9𝑎−3𝑐) ≥3𝑚𝑡+ 2𝑛𝑡，
∴(6𝑚−9𝑛)𝑎+ (2𝑚−3𝑛)𝑐+ 135𝑛≥3𝑚𝑡+ 2𝑛𝑡，
∴{6𝑚−9𝑛= 0
2𝑚−3𝑛= 0
，
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∴{𝑚= 3
𝑛= 2
，
∴3(6𝑎+ 2𝑐) + 2(135 −9𝑎−3𝑐) ≥9𝑡+ 4𝑡，
∴𝑡≤
270
13 = 20
10
13，
∵t 是整数，
解得t 的最大值为20，
∴在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20 个．
题型
一元一次不等式组的实际应用——方案问题
▌例1.（25-26 八年级上·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90 个，已知每
个篮球的价格比每个沙包的价格高18 元，购买5 个沙包和8 个篮球共花费300 元．
(1)沙包和篮球的单价各是多少元？
(2)若采购总资金不超过1764 元，且篮球的数量不少于沙包数量的
2
3，请问有几种购买方案？写出所有购买
方案．
【答案】(1)沙包的单价为12 元，篮球的单价为30 元
(2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52 个，购买篮球38 个；方案二：购买沙包53 个，购买
篮球37 个；方案三：购买沙包54 个，购买篮球36 个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据
不等关系列出不等式．
（1）设沙包的单价为𝑥元，篮球的单价为𝑦元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18 元，购买5 个
沙包和8 个篮球共花费300 元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买沙包𝑚个，购买篮球(90 −𝑚)个，根据采购总资金不超过1764 元，且篮球的数量不少于沙包
数量的
2
3，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设沙包的单价为𝑥元，篮球的单价为𝑦元，根据题意得：
{
𝑦−𝑥= 18
5𝑥+ 8𝑦= 300
，
解得：𝑥= 12，𝑦= 30，
答：沙包的单价为12 元，篮球的单价为30 元．
（2）解：设购买沙包𝑚个，购买篮球(90 −𝑚)个，根据题意得：
解题贴士
1）设未知数表示分配、采购、生产数量，根据题干多重限制条件列不等式组；
2）求出整数解，每一组整数解对应一套可行方案，最后枚举所有方案并择优选择。
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{
12𝑚+ 30(90 −𝑚) ≤1764
90 −𝑚≥2
3 𝑚
解得：52 ≤𝑚≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52 个，购买篮球38 个；
方案二：购买沙包53 个，购买篮球37 个；
方案三：购买沙包54 个，购买篮球36 个．
▌对点练1-1.（25-26 八年级下·河南安阳·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景：学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．
素材一：购买甲种奖品5 件和乙种奖品2 件需花费275 元；
素材二：购买甲种奖品3 件和乙种奖品6 件需花费285 元；
素材三：学校计划购买甲、乙两种奖品共100 件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过
甲种奖品件数的2 倍．
请完成下列任务：
(1)任务一：甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用．
【答案】(1)甲种奖品的单价为45 元，乙种奖品的单价为25 元，
(2)购买甲种奖品34 件，乙种奖品66 件时，购买费用最少，最少总费用为3180 元．
【分析】（1）根据购买甲种奖品5 件和乙种奖品2 件需花费275 元；购买甲种奖品3 件和乙种奖品6 件需
花费285 元，设甲单价𝑥元，乙单价𝑦元即可得二元一次方程组；
（2）根据购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2 倍，和乙数量大于0 即可得出𝑚取值范围，列出费
用式子，根据一次函数的性质即可得出最少费用．
【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为𝑥元，乙种奖品的单价为𝑦元，
根据题意得{5𝑥+ 2𝑦= 275
3𝑥+ 6𝑦= 285
，解得{𝑥= 45
𝑦= 25
，
答：甲种奖品的单价为45 元，乙种奖品的单价为25 元．
（2）解：设购买甲种奖品𝑚件，总费用为𝑤元，则购买乙种奖品(100 −𝑚)件，
根据题意得{100 −𝑚≤2𝑚
100 −𝑚> 0
，
解得33
1
3 ≤𝑚< 100，
根据题意得𝑤= 45𝑚+ 25(100 −𝑚) = 20𝑚+ 2500，
∵20 > 0，
∴𝑤随𝑚的增大而增大．
∵𝑚为正整数，
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∴当𝑚取最小值34 时，𝑤取得最小值，此时100 −𝑚= 66，𝑤= 20 × 34 + 2500 = 3180．
答：购买甲种奖品34 件，乙种奖品66 件时，购买费用最少，最少总费用为3180 元．
▌对点练1-2.为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根
据预算，共需资金1 300 万元．改造一所中学和一所小学共需资金135 万元；改造两所中学和一所小学共
需资金215 万元．
(1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？
(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8 所，则要改造的小学有多少所？
(3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10 所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年
市财政拨付的改造资金不超过550 万元；区财政投入的改造资金不少于110 万元，其中区财政投入到中、
小学的改造资金分别为每所15 万元和10 万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？
【答案】(1)改造一所中学需资金80 万元，改造一所小学需资金55 万元
(2)要改造的小学有12 所
(3)四种改造方案∶方案一∶改造2 所中学，8 所小学；方案二∶改造3 所中学，7 所小学；方案三∶改造4 所中
学，6 所小学；方案四∶改造5 所中学，5 所小学
【分析】（1）设改造一所中学需资金x 万元，改造一所小学需资金y 万元，根据改造一所中学和一所小学
共需资金135 万元；改造两所中学和一所小学共需资金215 万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设要改造的小学有m 所，根据要改造的乡镇中学不超过8 所，列出不等式进行求解即可；
（3）设改造中学a 所，则改造小学(10 −𝑎)所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550 万元；区财政投
入的改造资金不少于110 万元，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）设改造一所中学需资金x 万元，改造一所小学需资金y 万元，根据题意，得{ 𝑥+ 𝑦= 135
2𝑥+ 𝑦= 215
，
解得{𝑥= 80
𝑦= 55
，
答∶改造一所中学需资金80 万元，改造一所小学需资金55 万元．
（2）设要改造的小学有m 所，根据题意，得0 <
1300−55𝑚
80
≤8，
解得12 ≤𝑚< 23
7
11．
∵m 为正整数，且在12 ≤𝑚< 23
7
11范围内，使
1300−55
80
为整数的𝑚值只有12，
∴𝑚= 12．
答∶要改造的小学有12 所．
（3）设改造中学a 所，则改造小学(10 −𝑎)所，根据题意，
得{
15𝑎+ 10(10 −𝑎) ≥110
(80 −15)𝑎+ (55 −10)(10 −𝑎) ≤550
，解得2 ≤𝑎≤5．
∵a 取整数，
∴a 的值为2，3，4，5．
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∴(10 −𝑎)对应的值分别为8，7，6，5，
∴有以下四种改造方案∶
方案一∶改造2 所中学，8 所小学；
方案二∶改造3 所中学，7 所小学；
方案三∶改造4 所中学，6 所小学；
方案四∶改造5 所中学，5 所小学．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组
和不等式组是解题的关键．
▌对点练1-3.（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦
江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购
进3 袋牛肉干和2 瓶豆腐乳，总花费86 元；第二次采购：购进5 袋牛肉干和4 瓶豆腐乳，总花费152
元．
(1)求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元．
(2)学校计划第三次采购两种商品共40 件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625
元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的
1
3．若设本次采购牛肉干𝑚袋，试通过计算说明所有符合条件的采
购方案并写出来．
【答案】(1)每袋牛肉干的单价为20 元，每瓶豆腐乳的单价为13 元；
(2)共有6 种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10 袋，豆腐乳30 瓶；②采购牛肉干11 袋，豆
腐乳29 瓶；③采购牛肉干12 袋，豆腐乳28 瓶；④采购牛肉干13 袋，豆腐乳27 瓶；⑤采购牛肉干14
袋，豆腐乳26 瓶；⑥采购牛肉干15 袋，豆腐乳25 瓶．
【分析】（1）设每袋牛肉干的单价为x 元，每瓶豆腐乳的单价为y 元，根据：购进3 袋牛肉干和2 瓶豆腐
乳，总花费86 元；购进5 袋牛肉干和4 瓶豆腐乳，总花费152 元建立方程组求解即可；
（2）根据学校本次采购预算上限为625 元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的
1
3列出不等式组求出m 的
取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设每袋牛肉干的单价为x 元，每瓶豆腐乳的单价为y 元，
由题意得，{ 3𝑥+ 2𝑦= 86
5𝑥+ 4𝑦= 152
，
解得{𝑥= 20
𝑦= 13
，
答：每袋牛肉干的单价为20 元，每瓶豆腐乳的单价为13 元；
（2）解：由题意得，{
20𝑚+ 13(40 −𝑚) ≤625
𝑚≥
1
3 (40 −𝑚)
，
解得10 ≤𝑚≤15，
∵m 为整数，
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∴当𝑚= 10时，40 −𝑚= 30，
当𝑚= 11时，40 −𝑚= 29，
当𝑚= 12时，40 −𝑚= 28，
当𝑚= 13时，40 −𝑚= 27，
当𝑚= 14时，40 −𝑚= 26，
当𝑚= 15时，40 −𝑚= 25，
答：共有6 种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10 袋，豆腐乳30 瓶；②采购牛肉干11 袋，
豆腐乳29 瓶；③采购牛肉干12 袋，豆腐乳28 瓶；④采购牛肉干13 袋，豆腐乳27 瓶；⑤采购牛肉干
14 袋，豆腐乳26 瓶；⑥采购牛肉干15 袋，豆腐乳25 瓶．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022 年版）提出：初中阶段的
阅读量不少于260 万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为94cm的
单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约1.2cm，艺术类
图书每本厚约0.8cm．
(1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20 本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以
摆放多少本？
(2)现有文学类和艺术类图书共100 本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书
数量的2 倍，请问有哪几种摆放方案？
【答案】(1)87 本
(2)共有2 种摆放方案，方案1：摆放34 本文学类图书，66 本艺术类图书；方案2：摆放35 本文学类图
书，65 本艺术类图书
【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）
求解．
（1）设艺术类图书还可以摆放x 本，根据文学类图书的厚度+艺术类图书的厚度小于等于94建立不等式求
解；
（2）设文学类图书摆放m 本，则艺术类图书摆放(100 −𝑚)本，根据题意建立不等式组求解整数解即可．
【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x 本，根据题意得：1.2 × 20 + 0.8𝑥≤94，
解得：x≤
175
2 ，
又∵x 为正整数，
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∴𝑥= 87．
∴艺术类图书最多还可以摆放87 本
（2）解：设文学类图书摆放m 本，则艺术类图书摆放(100 −𝑚)本，
根据题意得：{1.2𝑚+ 0.8(100 −𝑚) ≤94
100 −𝑚≤2𝑚
，
解得：
100
3 ≤𝑚≤35，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为34，35，
∴共有2 种摆放方案，
方案1：摆放34 本文学类图书，66 本艺术类图书；
方案2：摆放35 本文学类图书，65 本艺术类图书．
题型
一元一次不等式组的实际应用——其他问题
▌例1．（25-26 七年级下·安徽滁州·期末）如图，用长为45 米的栅栏网一边靠墙围成两个长方形菜园（靠
墙部分不使用栅栏网），墙的长度𝑀𝑁= 35米，要求靠墙的𝐴𝐷边不小于20 米且不超过30 米，设与墙垂直
的一边𝐴𝐵的长度为𝑥米，则𝑥的取值范围为______．
【答案】5 ≤𝑥≤
25
3
【分析】设与墙垂直的一边𝐴𝐵的长度为𝑥米，根据题意，得{45 −3𝑥≥20
45 −3𝑥≤30
，求解即可；
【详解】解：设与墙垂直的一边𝐴𝐵的长度为𝑥米，根据题意，得四边形𝐴𝐵𝐹𝐸，四边形𝐸𝐹𝐶𝐷都是长方形，
∴𝐴𝐵= 𝐸𝐹= 𝐷𝐶= 𝑥米，
∴𝐴𝐷= 45 −𝐴𝐵−𝐸𝐹−𝐷𝐶= 45 −3𝑥米，
∴{45 −3𝑥≥20
45 −3𝑥≤30
，
解得5 ≤𝑥≤
25
3 ，
故𝑥的取值范围为5 ≤𝑥≤
25
3 ．
解题贴士
提取题干多重数量约束，将两类及以上限制条件转化为不等关系，构建不等式组求解，结合生活实际（人
数、物品数为正整数）取舍结果。
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▌对点练1-1．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻
纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯
布，若70 块坯布打一卷，则刚好打完；若60 块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18 块坯布剩
余．求出这批坯布的块数．
【答案】490 块
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键．
设70 块坯布可以打𝑥卷，根据“若70 块坯布打一卷，则刚好打完；若60 块坯布打一卷，则需多打一卷且还
有不超过18 块坯布剩余”建立不等式组求解即可．
【详解】解：设70 块胚布可以打𝑥卷，
则由题意得{70𝑥−60(𝑥+ 1) ≤18
70𝑥−60(𝑥+ 1) > 0
解得6 < 𝑥≤7.8，
所以整数𝑥= 7
所以坯布数量70 × 7 = 490块．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·湖北宜昌·期末）学校在思维运动会中开展“数字寻宝”游艺实践项目，数学
组策划游戏规则：制作50张数字卡片，分别标注1~50的不重复正整数．参与者随机抽取5张卡片，按摆放
顺序记为A，B，C，D，E．为增加游戏趣味性，采用信息隐藏式推理模式：工作人员仅记录并公布相邻两
张卡片的数字和，隐藏所有原始数字，要求参与者通过分析有限数据，推理出原始数字并完成项目探
究．本次测试采集到的有效数据为A + B = 23，B + C = 47，C + D = 36，D + E = 29．
【约束条件】A，B，C，D，E 为1~50之间互不相等的正整数．
【实践探究任务】
(1)根据相邻和的数量关系，统一变量，用含字母A 的代数式表示B，C，D，E；
(2)结合正整数定义、数字不重复的约束条件，通过不等式推理求出字母A 的合法取值；
(3)在A，B，C，D，E 五张卡片中，直接判断最大值对应的卡片是哪张．
【答案】(1)B = 23 −A；C = 24+A；D = 12 −A；E = 17+A
(2)A 的合法取值为𝐴= 1，2，4，5，7，8，9，10，11（𝐴= 3，6数字重复，剔除）
(3)C 一定最大
【分析】（1）根据等式的基本性质以及整式的加减运算法则逐步运算即可；
（2）先根据题意列不等式组确定A 的取值范围，然后逐一列举合法取值（正整数）并验证，从而确定A
的合法取值；
（3）根据作差法比较整式的大小即可．
【详解】（1）解：∵A + B = 23，
∴B = 23 −A；
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∵B + C = 47，
∴C = 47 −B=47 −(23 −A) = 24 + A；
∵C + D = 36，
∴D = 36 −C = 36 −(24 + A) = 12 −A；
∵D + E = 29，
∴E = 29 −D = 29 −(12 −A) = 17 + A．
（2）解：由题意可得：
{
𝐴≥1
23 −𝐴≥1
24 + 𝐴≥1
12 −𝐴≥1
17 + 𝐴≥1
，解得：1 ≤𝐴≤11，
逐一列举合法取值（正整数）：𝐴可取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．
以𝐴= 1为例：𝐴= 1，𝐵= 22，𝐶= 25，𝐷= 11，𝐸= 18；
以𝐴= 2为例：𝐴= 2，𝐵= 21，𝐶= 26，𝐷= 10，𝐸= 19；
以𝐴= 3为例：𝐴= 3，𝐵= 20，𝐶= 27，𝐷= 9，𝐸= 20（舍去，𝐵，𝐸重复）；
⋮
以𝐴= 6为例：𝐴= 6，𝐵= 17，𝐶= 30，𝐷= 6，𝐸= 23（舍去，𝐴，𝐷重复）；
⋮
以此类推，可筛选出所有无重复数字的组合，𝐴的合法取值为𝐴= 1，2，4，5，7，8，9，10，11（𝐴=
3，6数字重复，剔除）．
（3）解：∵B = 23 −A；C = 24+A；D = 12 −A；E = 17+A，
∴C −E = 7 > 0，C −B = 1 + 2A > 0，C −D = 12 + 2A > 0，C −A = 24 > 0，
∴在A，B，C，D，E 五张卡片中，C 一定最大．
题型
一元一次不等式组的其他应用
▌例1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个
该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m 的范
围是（ ）
解题贴士
易错：①多条件联立出现矛盾，不会判断无解情况；②区间临界值取舍模糊；③不会利用不等式组求
最值，盲目取值；④混淆单一不等式与不等式组的约束精度。
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A．𝑚> 50g
B．𝑚< 75g
C．50g ≤𝑚≤75g
D．50g < 𝑚< 75g
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知2𝑚> 100g且2𝑚< 150g，解不等式组
即可得出答案．
【详解】解：由题图可知，2𝑚> 100g且2𝑚< 150g，
∴50g < 𝑚< 75g，
故选D．
▌例2．（25-26 七年级下·四川泸州·期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值𝑥”到“结果是否大于
17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操
作进行了两次才停止，那么输入的𝑥的取值范围是________．
【答案】5 < 𝑥≤8
【分析】根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出输入的x 的
取值范围．
【详解】解：根据题意，得{
2𝑥−1 ≤17①
2(2𝑥−1) −1 > 17②
，
由①得，𝑥≤8；
由②得，𝑥> 5
∴不等式组的解集为5 < 𝑥≤8，
∴输入的𝑥的取值范围为5 < 𝑥≤8．
▌对点练1-1．a、b、c 是三个非零的自然数，它们的平均数为25，其中最大的数比最小的数大11，那么
这三个数中最大的是（ ）
A．25
B．33
C．32
D．36
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式组的应用．根据三个数的平均数为25，可得总和为75．设最小数为𝑚，中
间数为𝑥，则最大数为𝑚+ 11，且𝑚≤𝑥≤𝑚+ 11，通过建立方程并分析中间数的取值范围，确定符合条
件的最大数，即可．
【详解】解：∵三个数的平均数为25，
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∴总和为 25 × 3 = 75，即 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 75，
设最小数为𝑚，中间数为𝑥，则最大数为𝑚+ 11，且𝑚≤𝑥≤𝑚+ 11，
∴𝑚+ 𝑥+ (𝑚+ 11) = 75，
整理得：2𝑚+ 𝑥= 64，即𝑥= 64 −2𝑚，
∵𝑚≤𝑥≤𝑚+ 11，代入𝑥= 64 −2𝑚得：
{
𝑚≤64 −2𝑚
64 −2𝑚≤𝑚+ 11
，
解得：18 ≤𝑚≤21，
∵m 为自然数，
∴m 最大取21，
此时三个数为21、22、32，满足总和为75 且中间数在范围内．
所以三个数中最大的是32，
故选：C．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）已知[𝑥]表示不超过x 的最大整数，例如[2.8] = 2，
[−4.8] = −5．若[
2−𝑥
3 ] = −1，则x 的取值范围是（ ）
A．2 < 𝑥≤5
B．5 < 𝑥≤8
C．5 < 𝑥< 8
D．5 ≤𝑥≤8
【答案】A
【分析】根据[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数的定义，可列出关于𝑥的不等式组，解不等式组即可得到𝑥的取值
范围．
【详解】解：∵[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，且[
2−𝑥
3 ] = −1，
∴−1 ≤
2−𝑥
3 < 0，
∴−3 ≤2 −𝑥< 0，
∴−5 ≤−𝑥< −2，
∴2 < 𝑥≤5．
▌对点练1-3．三角形的三边分别是2，7，2𝑥−3，则𝑥的取值范围________________．
【答案】4 < 𝑥< 6
【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边
之和大于第三边．据此列出不等式组并求解．
【详解】解：∵三角形的三边分别是2，7，2𝑥−3，
∴{
2 + 7 > 2𝑥−3
2 + (2𝑥−3) > 7
7 + (2𝑥−3) > 2
，
解得：4 < 𝑥< 6，
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即𝑥的取值范围是4 < 𝑥< 6．
故答案为：4 < 𝑥< 6．
基础通关
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）下列不等式组无解的是（ ）
A．{ 𝑥< 1
𝑥< −4
B．{ 𝑥< 1
𝑥> −4
C．{ 𝑥> 1
𝑥> −4
D．{ 𝑥> 1
𝑥< −4
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组解集的判断规则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解
了”逐一判断即可．
【详解】解：A 选项 { 𝑥< 1
𝑥< −4
，根据同小取小，解集为𝑥< −4，有解，不符合要求；
B 选项 { 𝑥< 1
𝑥> −4
，根据大小小大中间找，解集为−4 < 𝑥< 1，有解，不符合要求；
C 选项 { 𝑥> 1
𝑥> −4
，根据同大取大，解集为𝑥> 1，有解，不符合要求；
D 选项 { 𝑥> 1
𝑥< −4
，
∵没有数同时满足𝑥> 1且𝑥< −4，∴不等式组无解，符合要求．
2．下列是一元一次不等式组的是（ ）
A．{
𝑥> 1
𝑥+ 𝑦> 2
B．{𝑥2 + 𝑥> 1
2𝑥+ 3 > 1
C．{
𝑥+ 1 > 2
2𝑥+ 3 >
1
2 𝑥
D．{
1
𝑥+ 𝑥> 1
2𝑥−1 > 𝑥
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知
数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x 和y，不符合定义，故此选项不符合题意；
B、选项中的第一个不等式中未知数x 的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题
意；
C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x 的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组
的定义，故此选项符合题意；
D、选项中的第一个不等式中含有
1
𝑥（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意；
故选：C．
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3．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）若关于𝑥的一元一次不等式组{𝑥> 4
𝑥< 𝑚
有解，则𝑚的取值范围为（ ）
A．𝑚< 4
B．𝑚≤4
C．𝑚> 4
D．𝑚≥4
【答案】C
【分析】一元一次不等式组有解，说明两个不等式的解集存在公共部分，据此判断𝑚的取值范围．
【详解】解：∵关于𝑥的一元一次不等式组{𝑥> 4
𝑥< 𝑚
有解，
∴需要两个不等式的解集存在公共部分，即存在𝑥同时满足𝑥> 4和𝑥< 𝑚，
∴𝑚> 4．
4．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）不等式组{3𝑥−9 < 0
7 −2𝑥≤5
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来
即可．
【详解】解：{3𝑥−9 < 0①
7 −2𝑥≤5②
解不等式①得，𝑥< 3，
解不等式②得，𝑥≥1，
∴不等式组的解集为1 ≤𝑥< 3，
在数轴上表示为：
5．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）如果不等式组{−𝑥+ 2 < 𝑥−8
𝑥< 3𝑎
的解集有2 个偶数解，则𝑎的取值范围
是__________．
【答案】
8
3 < 𝑎≤
10
3
【分析】得到不等式组的解集，再根据偶数解的个数确定端点的取值范围，进而得到a 的取值范围．
【详解】解：解{−𝑥+ 2 < 𝑥−8
𝑥< 3𝑎
得5 < 𝑥< 3𝑎，
∵不等式组的解集有2个偶数解，
∴符合条件的两个偶数解为6和8，
∴8 < 3𝑎≤10，
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∴
8
3 < 𝑎≤
10
3 ．
6．（25-26 七年级下·湖南益阳·期末）不等式组{𝑥+ 1 ≥0
𝑥< 3
的所有整数解的和是__________．
【答案】2
【分析】先求解不等式组得到解集，再找出解集内的所有整数，计算所有整数的和即可．
【详解】解：{𝑥+ 1 ≥0①
𝑥< 3②
，
解不等式①得𝑥≥−1，
因此不等式组的解集为−1 ≤𝑥< 3，
则不等式组的整数解为−1,0,1,2，
所有整数解的和为−1 + 0 + 1 + 2 = 2．
7．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）小华用零花钱在超市购买了价值30 元的东西，剩余的零花钱不超过
10 元，则小华原有的零花钱可能是_______元．（写出一个即可）
【答案】35（答案不唯一）
【分析】设小华原有的零花钱为𝑥元，根据题意结合剩余零花钱非负，列出不等式，求出𝑥的取值范围，在
范围内任取一个值即可．
【详解】解：设小华原有的零花钱为𝑥元．
由题意可知，购买商品后剩余零花钱为(𝑥−30)元，剩余零花钱不超过10元且不为负数，可得不等式：
0 ≤𝑥−30 ≤10
解得：30 ≤𝑥≤40
故答案为35（答案不唯一，满足30 ≤𝑥≤40即可）．
8．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）请写出满足不等式组{𝑥< 2
𝑥< 0
的一个解______．
【答案】𝑥= −3（答案不唯一，只要𝑥< 0即可）
【详解】解：不等式组{𝑥< 2
𝑥< 0
的解集为𝑥< 0，
故𝑥= −3（答案不唯一，只要𝑥< 0即可）．
9．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组{
𝑥+ 2(𝑥−1) ≤4
1+𝑥
3 −𝑥< 1
，并画数轴表示解集，写出不等式组整
数解．
【答案】
不等式组的解集为−1 < 𝑥≤2，整数解为0,1,2，
【详解】解：{
𝑥+ 2(𝑥−1) ≤4①
1+𝑥
3 −𝑥< 1②
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解不等式①得，𝑥≤2
解不等式②得，𝑥> −1
所以不等式组的解集为−1 < 𝑥≤2
所以整数解为0,1,2，
数轴表示见答案．
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）解不等式组{
1
2 𝑥+
1
2 < 1
3𝑥−7 < −1
，并把解集表示在数轴上．
【答案】不等式组的解集为𝑥< 1，数轴表示如下：
【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集即可得出不等式组的解集，在数轴上表示
不等式组的解集即可．
【详解】解：{
1
2 𝑥+
1
2 < 1①
3𝑥−7 < −1②
解不等式①得，𝑥< 1，
解不等式②得，𝑥< 2，
∴不等式组的解集为𝑥< 1．
解集在数轴上表示如下：略
11．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）已知关于x 的不等式组{𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
的解集如图所示．
(1)求m 的取值范围；
(2)若关于x 的不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解集为𝑥> 1，求m 的取值范围．
【答案】(1)𝑚≤3
(2)1 < 𝑚≤3
【分析】（1）首先求出不等式𝑥+ 8 < 4𝑥−1的解为𝑥> 3，然后根据数轴上不等式的解集求解；
（2）根据解集为𝑥> 1得到𝑚−1 > 0，进而求解即可．
【详解】（1）解：{𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
解不等式𝑥+ 8 < 4𝑥−1得𝑥> 3，
由数轴可得，关于x 的不等式组{𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
的解集为𝑥> 3，
∴𝑚≤3；
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（2）解：∵关于x 的不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解集为𝑥> 1，
∴𝑚−1 > 0，
∴𝑚> 1，
由（1）得，𝑚≤3，
∴m 的取值范围为1 < 𝑚≤3．
12．（25-26 七年级下·北京·期末）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤5𝑥−1
5𝑥−3
2
< 2𝑥
；并写出该不等式组的非负整数解．
【答案】−1 ≤𝑥< 3，非负整数解是0，1，2
【详解】解：{
3(𝑥−1) ≤5𝑥−1①
5𝑥−3
2
< 2𝑥②
解不等式①得，𝑥≥−1
解不等式②得，𝑥< 3
∴不等式组的解集为−1 ≤𝑥< 3，非负整数解是0，1，2．
13．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）若关于𝑥不等式组{
𝑥−1
6 + 2 > 2𝑥
𝑎−𝑥≤0
有解，且关于𝑦的方程4(3 −𝑦) +
𝑎= 2𝑦的解为正整数，求满足条件的所有整数𝑎．
【答案】满足条件的所有整数𝑎有0和−6
【分析】先解不等式组求出𝑎≤𝑥< 1，则𝑎< 1，解4(3 −𝑦) + 𝑎= 2𝑦得到𝑦= 2 +
𝑎
6，再根据解的情况讨
论即可．
【详解】解：{
𝑥−1
6 + 2 > 2𝑥①
𝑎−𝑥≤0②
解不等式①得𝑥< 1，
解不等式②得𝑥≥𝑎．
∵关于𝑥的不等式组{
𝑥−1
6 + 2 > 2𝑥
𝑎−𝑥≤0
有解，
∴𝑎≤𝑥< 1．
∴𝑎< 1．
解4(3 −𝑦) + 𝑎= 2𝑦，得𝑦= 2 +
𝑎
6．
∵关于𝑦的方程4(3 −𝑦) + 𝑎= 2𝑦的解为正整数，
∴a 为6 的倍数，且𝑎< 1，
∴当𝑎= 0时，𝑦= 2 +
𝑎
6 = 2，
∴𝑎= 0符合题意，
∴当𝑎= −6时，𝑦= 2 +
𝑎
6 = 2 −1 = 1，
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∴𝑎= −6符合题意，
当𝑎= −12时，𝑦= 2 +
𝑎
6 = 2 −2 = 0，
∴𝑎= −12应舍去，
当𝑎< −12时，𝑦= 2 +
𝑎
6 < 0，不符合条件，
∴满足条件的所有整数𝑎有0和−6．
素养提升
1．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机
程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x 的
取值范围是（ ）
A．𝑥≥6
B．
10
3 ≤𝑥< 6
C．
7
3 ≤𝑥< 6
D．𝑥< 6
【答案】C
【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入𝑥，其结果< 17；第二次输入(3𝑥−1)，其结果≥17，
据此建立一个关于𝑥的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：由题意得：第一次输入𝑥，其结果< 17；第二次输入(3𝑥−1)，其结果≥17，
即{
3𝑥−1 < 17
3(3𝑥−1) −1 ≥17
，
解得
7
3 ≤𝑥< 6．
2．（25-26 七年级下·湖南岳阳·期末）记[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数．例如[1.414] = 1，[−3.14] = −4．若
[2𝑥−1] = −2，则𝑥的取值范围是________．
【答案】−
1
2 ≤𝑥< 0
【分析】根据[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数的定义，列出关于𝑥的不等式组，求解不等式组即可得到𝑥的取值
范围．
【详解】解：∵[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，且[2𝑥−1] = −2，
∴−2 ≤2𝑥−1 < −1，
解不等式−2 ≤2𝑥−1，移项得2𝑥≥−2 + 1，即2𝑥≥−1，解得𝑥≥−
1
2，
解不等式2𝑥−1 < −1，移项得2𝑥< −1 + 1，即2𝑥< 0，解得𝑥< 0，
∴𝑥的取值范围是−
1
2 ≤𝑥< 0．
3．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4 人，
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则有20 人无法安排，若每间8 人，则有一间不空也不满．设宿舍有x 间，可列不等式组
_________________．
【答案】{8(𝑥−1) < 4𝑥+ 20
4𝑥+ 20 < 8𝑥
【分析】每间4 人，则有20 人无法安排，若每间8 人，则有一间不空也不满．设宿舍有x 间，列出不等式
组即可．
【详解】解：设宿舍有x 间，寄宿学生的人数为(4𝑥+ 20)人，
由题意可得{8(𝑥−1) < 4𝑥+ 20
4𝑥+ 20 < 8𝑥
．
4．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，
进价分别为360元，260元．近两周销售情况如下：
销售时段
甲型号数量
乙型号数量
销售收入
第一周
3个
4个
2780元
第二周
5个
6个
4420元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）
(1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价；
(2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过16000元的金额再采购这两种型号智能手环共50个，求甲型号智能
手环最多能采购多少个？
(3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这50个智能手环的利润能否超过5300元？
若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)甲型号智能手环销售单价为500元，乙型号智能手环销售单价为320元
(2)甲型号智能手环最多能采购30个
(3)能实现利润超过5300元的目标，采购方案如下：
甲型号智能手环采购29个，乙型号智能手环采购21个时，总利润为5320元；
当甲型号智能手环采购30个，乙型号智能手环采购20个时，总利润为5400元．
【分析】（1）由等量关系：甲型号智能手环的数量×甲型号智能手环单价+乙型号智能手环的数量×乙型号
智能手环单价=销售总收入，列方程组求解即可；
（2）由不等关系：甲型号智能手环采购的数量×甲型号智能手环的进价+（50 −甲型号智能手环采购的数
量） ×乙型号智能手环的进价≤16000，列不等式求解即可；
（3）由不等关系：甲型号智能手环的销售数量×甲型号智能手环单件商品的利润+（50 −甲型号智能手环
采购的数量）×乙型号智能手环单件商品的利润> 5300，结合第（2）小问即可求得．
【详解】（1）解：设甲型号的智能手环的销售单价为𝑥元，乙型号的智能手环的销售单价为𝑦元，
{3𝑥+ 4𝑦= 2780
5𝑥+ 6𝑦= 4420
，
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解得{𝑥= 500
𝑦= 320
，
答：甲型号的智能手环的销售单价为500元，乙型号的智能手环的销售单价为320元；
（2）解：设甲型号智能手环采购𝑎个，则乙型号智能手环采购(50 −𝑎)个，
360𝑎+ 260(50 −𝑎) ≤16000
解得𝑎≤30
答：甲型号智能手环最多能采购30 个；
（3）解：设甲型号智能手环采购𝑎个，则乙型号智能手环采购(50 −𝑎)个，
(500 −360)𝑎+ (320 −260)(50 −𝑎) > 5300
解得𝑎>
115
4
∴当
115
4 < 𝑎≤30，𝑎为正整数时，能实现利润超过5300元的目标，
采购方案如下：甲型号智能手环采购29个，乙型号智能手环采购21个时，总利润为5320元；
当甲型号智能手环采购30个，乙型号智能手环采购20个时，总利润为5400元．
5．（25-26 七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知𝑥−𝑦= 2，且𝑥> 1, 𝑦< 0，试确定𝑥+ 𝑦的取值范围．
【方法】由𝑥−𝑦= 2可知𝑥= 𝑦+ 2．由𝑥> 1可知𝑦+ 2 > 1即𝑦> −1，从而可以得到−1 < 𝑦< 0．
因为𝑥+ 𝑦= (𝑦+ 2) + 𝑦= 2𝑦+ 2，所以由−1 < 𝑦< 0可得0 < 2𝑦+ 2 < 2．即0 < 𝑥+ 𝑦< 2．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)已知𝑥+ 2𝑦= 3，且𝑥< 1, 𝑦< 5，求𝑥+ 𝑦的取值范围．
(2)已知6𝑎= 3𝑏+ 12 = 2𝑐，且𝑏≥0, 𝑐≤9，设𝑡= 2𝑎+ 𝑏−𝑐，求𝑡的最大值与最小值的差．
(3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1 张桌子的售价比2 把椅子贵40 元，若一张桌子的售价不低
于120 元，一把椅子的售价不超过50 元，求出售一套桌椅（1 张桌子+4 把椅子）的定价范围．
【答案】(1)
−2 < 𝑥+ 𝑦< 2
(2)
1
(3)
一套桌椅定价范围为不少于280元，不超过340元
【分析】（1）先表示出𝑥= 3 −2𝑦，再结合𝑥< 1可得1 < 𝑦< 5，然后得出𝑥+ 𝑦= 3 −2𝑦+ 𝑦= 3 −𝑦，接
下来根据1 < 𝑦< 5可得−2 < 3 −𝑦< 2，则此题可解；
（2）先表示出𝑐=
3
2 𝑏+ 6, 𝑎=
1
2 𝑏+ 2，再根据𝑐≤9可得0 ≤𝑏≤2，然后整理得出𝑡= 2𝑎+ 𝑏−𝑐=
1
2 𝑏−
2，进而得出−2 ≤
1
2 𝑏−2 ≤−1，则此题可解；
（3）先设一把椅子的售价为x 元，则一张桌子的售价为(2𝑥+ 40)元，根据题意得出不等式组，并求出解
集，再得出一套桌椅的定价为2𝑥+ 40 + 4𝑥= 6𝑥+ 40，并求出取值范围即可得出答案．
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【详解】（1）解：已知𝑥+ 2𝑦= 3，则𝑥= 3 −2𝑦，
∵𝑥< 1，
∴3 −2𝑦< 1，
解得𝑦> 1，
∵𝑦< 5，
∴1 < 𝑦< 5，
由𝑥+ 𝑦= 3 −2𝑦+ 𝑦= 3 −𝑦，
∵1 < 𝑦< 5，
∴−5 < −𝑦< −1，
∴−2 < 3 −𝑦< 2，
即−2 < 𝑥+ 𝑦< 2；
（2）解：∵3𝑏+ 12 = 2𝑐, 6𝑎= 3𝑏+ 12，
∴𝑐=
3
2 𝑏+ 6, 𝑎=
1
2 𝑏+ 2，
∵𝑐≤9，
∴
3
2 𝑏+ 6 ≤9，
解得𝑏≤2，
∴0 ≤𝑏≤2，
由𝑡= 2𝑎+ 𝑏−𝑐= 2 × (
1
2 𝑏+ 2) + 𝑏−(
3
2 𝑏+ 6) = 𝑏+ 4 + 𝑏−
3
2 𝑏−6 =
1
2 𝑏−2，
∴0 ≤
1
2 𝑏≤1，
∴−2 ≤
1
2 𝑏−2 ≤−1，
∴t 的最大值为−1，最小值为−2，
所以最大值与最小值的差为−1 −(−2) = 1；
（3）解：设一把椅子的售价为x 元，则一张桌子的售价为(2𝑥+ 40)元，根据题意，得
{2𝑥+ 40 ≥120
𝑥≤50
，
解得40 ≤𝑥≤50，
一套桌椅的定价为2𝑥+ 40 + 4𝑥= 6𝑥+ 40，
∵40 ≤𝑥≤50，
∴240 ≤6𝑥≤300，
∴280 ≤6𝑥+ 40 ≤340，
所以出售一套桌椅的定价的范围不少于280 元，不超过340 元．
6．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）阅读理解：我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式
组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘
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组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”．
初步感知：
(1)组合{5𝑥−10 = 0
3𝑥−2 < 3
是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）；
问题解决：
(2)若关于x 的组合{
3𝑥−9 = 0
𝑥−𝑚
3
> 𝑚 是“有缘组合”，求m 的取值范围；
(3)若关于x 的组合{
3 −𝑥= 𝑥−2𝑛
𝑥−2
2 + 3 > 𝑥+ 𝑛 是“无缘组合”，求n 的取值范围．
【答案】(1)无缘组合
(2)𝑚<
3
4
(3)𝑛≥
5
6
【分析】（1）分别解方程及不等式，再根据题意判断即可；
（2）先解方程得𝑥= 3，解不等式得𝑥> 4𝑚，然后根据“有缘组合”可得4𝑚< 3，再解不等式即可；
（3）先解方程得𝑥=
3+2𝑛
2 ，解不等式得𝑥< 4 −2𝑛，然后根据“无缘组合”可得4 −2𝑛≤
3+2𝑛
2 ，再解不等式
即可；
【详解】（1）解：5𝑥−10 = 0，解得𝑥= 2，
3𝑥−2 < 3，解得𝑥<
5
3，
则一元一次方程的解不是一元一次不等式的解，
故组合{5𝑥−10 = 0
3𝑥−2 < 3
是“无缘组合”；
（2）解：解方程3𝑥−9 = 0，得𝑥= 3，
解关于x 的不等式
𝑥−𝑚
3
> 𝑚，得𝑥> 4𝑚，
因为，关于x 的组合{
3𝑥−9 = 0
𝑥−𝑚
3
> 𝑚 是“有缘组合”，
所以，方程3𝑥−9 = 0的解𝑥= 3，也是关于x 的不等式
𝑥−𝑚
3
> 𝑚的解，
所以，4𝑚< 3，所以，解得𝑚<
3
4，
所以，m 的取值范围是𝑚<
3
4．
（3）解：解关于x 的方程3 −𝑥= 𝑥−2𝑛，得𝑥=
3+2𝑛
2 ，
解关于x 的不等式
𝑥−2
2 + 3 > 𝑥+ 𝑛，得𝑥< 4 −2𝑛，
因为，关于x 的组合{
3 −𝑥= 𝑥−2𝑛
𝑥−2
2 + 3 > 𝑥+ 𝑛 是“无缘组合”，
所以，关于x 的方程3 −𝑥= 𝑥−2𝑛的解𝑥=
3+2𝑛
2 ，不是关于x 的不等式
𝑥−2
2 + 3 > 𝑥+ 𝑛的解，
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所以，4 −2𝑛≤
3+2𝑛
2 ，解得𝑛≥
5
6，
所以，n 的取值范围是𝑛≥
5
6．
7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）2025年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配
送任务．快递公司需要从仓库A调运一批货物到仓库B，途中必须经过中转站C．仓库A到中转站C的距离为
30千米，中转站C到仓库B的距离为40千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时2元，货物需要在
中转站C停留2小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物500元．
（运输总成本=直接运输成本+中转操作成本；直接运输成本= 2 ×运输距离×运输时间）
(1)如果货车的平均行驶速度为50千米/小时，写出从仓库A到仓库B的运输时间______小时，直接运输成本
______元；运输总成本______元；
(2)仓库A到中转站C路段：货车的平均行驶速度为𝑣千米/小时；中转站C到仓库B路段：由于城市道路拥
堵，货车的平均行驶速度为
1
2 𝑣千米/小时．从仓库A到仓库B全程用时4小时（全程用时=运输时间+中转站
停留时间），求：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度𝑣；
(3)在（2）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），记货车从仓
库A到中转站C的平均速度𝑣千米/小时，请直接写出𝑣的取值范围______．
【答案】(1)1.4，196，696；
(2)货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度为55千米/小时；
(3)
220
3 ≤𝑣≤110．
【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1）根据从仓库A到仓库B的运输时间为：(30 + 40) ÷ 50 = 1.4（小时），直接运输成本为：
2 × 70 × 1.4 = 196（元），运输总成本为：196 + 500 = 696（元），从而求解；
（2）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：
30
𝑣小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：
40
1
2𝑣=
80
𝑣小时；
根据题意得
30
𝑣+
80
𝑣+ 2 = 4，然后解方程并检验即可；
（3）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：
30
𝑣小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：
40
1
2𝑣=
80
𝑣小时，
所以全程共用时
30
𝑣+
80
𝑣+ 2 =
110
𝑣+ 2（小时），由于全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），得
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出则{
110
𝑣+ 2 ≥3
110
𝑣+ 2 ≤3.5
，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：从仓库A到仓库B的运输时间为：(30 + 40) ÷ 50 = 1.4（小时），
直接运输成本为：2 × 70 × 1.4 = 196（元），
运输总成本为：196 + 500 = 696（元），
故答案为：1.4，196，696；
（2）解：由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：
30
𝑣小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：
40
1
2𝑣=
80
𝑣小
时；
根据题意得，
30
𝑣+
80
𝑣+ 2 = 4，
解得：𝑣= 55，
经检验：𝑣= 55是原方程的解且符合题意，
答：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度为55千米/小时；
（3）解：由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：
30
𝑣小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：
40
1
2𝑣=
80
𝑣小
时，
所以全程共用时
30
𝑣+
80
𝑣+ 2 =
110
𝑣+ 2（小时），
由于全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），
则{
110
𝑣+ 2 ≥3
110
𝑣+ 2 ≤3.5
，解得：
220
3 ≤𝑣≤110，
∴𝑣的取值范围是
220
3 ≤𝑣≤110，
故答案为：
220
3 ≤𝑣≤110．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于𝑎，𝑏定义一种新的运算“※”，规定：𝑎※𝑏= 2𝑎−𝑏，若关
于𝑥的不等式组{2𝑥※3 ≤2𝑚−5
𝑥※(𝑥−4) > −3
有且只有2个整数解，则𝑚的取值范围是（ ）
A．−9 ≤𝑚< −7 B．𝑚> −9
C．−9 < 𝑚≤−7
D．𝑚≤−7
【答案】A
【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x 的取值范围，再根据整数解的个数确定m 的取值范
围即可．
【详解】解：∵2𝑥※3 = 2 ⋅(2𝑥) −3 = 4𝑥−3，𝑥※(𝑥−4) = 2 ⋅𝑥−(𝑥−4) = 𝑥+ 4，
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∴原不等式组化为：{4𝑥−3 ≤2𝑚−5
𝑥+ 4 > −3
，
∴不等式组的解集为−7 < 𝑥≤
𝑚−1
2 ．
∵不等式组有且只有2 个整数解，大于−7的最小两个连续整数为−6, −5，
∴−5 ≤
𝑚−1
2
< −4，
解不等式组得−9 ≤𝑚< −7．
2．（25-26 七年级下·北京·期末）当𝑏> 𝑎时，若关于𝑥的不等式组的解集为𝑎≤𝑥≤𝑏，规定：𝑎≤𝑥1 <
𝑎+𝑏
2
为此不等式组的一次中点解集，𝑎≤𝑥2 <
3𝑎+𝑏
4 为此不等式组的二次中点解集．如不等式组{𝑥+ 1 ≤4
𝑥−1 ≥0
的解
集为1 ≤𝑥≤3，则1 ≤𝑥< 2为其一次中点解集，1 ≤𝑥<
3
2为其二次中点解集．
(1)不等式组{ −𝑥+ 2 ≥𝑥−6
3𝑥−1 ≥−(𝑥+ 1)
的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为
__________；
(2)已知关于𝑥的不等式组{
𝑥+2
3 ≤𝑥+ 1
2𝑥+ 3𝑚≤5(𝑚+ 2)
的一次中点解集中有且仅有3个整数解，二次中点解集中有
且仅有1个整数解，求𝑚的取值范围．
【答案】(1)0 ≤𝑥< 1，0
(2)−
1
2 < 𝑚≤
1
2
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解
集的整数解即可；
（2）先求出不等式组的解集为−
1
2 ≤𝑥≤𝑚+ 5，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中
点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有3个整数解，二次中点解集中有且仅有1个整数解分
别求出𝑚的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案．
【详解】（1）解：{ −𝑥+ 2 ≥𝑥−6①
3𝑥−1 ≥−(𝑥+ 1)②
解不等式①得，𝑥≤4，
解不等式②得，𝑥≥0，
∴不等式组的解集为0 ≤𝑥≤4，
∴不等式组{ −𝑥+ 2 ≥𝑥−6
3𝑥−1 ≥−(𝑥+ 1)
的二次中点解集是0 ≤𝑥<
0×3+4
4
，即0 ≤𝑥< 1，
∴二次中点解集中包含的整数解为0．
（2）解：{
𝑥+2
3 ≤𝑥+ 1①
2𝑥+ 3𝑚≤5(𝑚+ 2)②
解不等式①得，𝑥≥−
1
2，
解不等式②得，𝑥≤𝑚+ 5，
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∴原不等式组的解集为−
1
2 ≤𝑥≤𝑚+ 5，
∴原不等式组的一次中点解集为−
1
2 ≤𝑥<
−1
2+𝑚+5
2
，即−
1
2 ≤𝑥<
𝑚
2 +
9
4，
∵一次中点解集中有且仅有3个整数解，
∴整数解为0，1，2，
∴2 <
𝑚
2 +
9
4 ≤3，
解得：−
1
2 < 𝑚≤
3
2，
原不等式组的二次中点解集为−
1
2 ≤𝑥<
−1
2×3+𝑚+5
4
，即−
1
2 ≤𝑥<
𝑚
4 +
7
8，
∵二次中点解集中有且仅有1个整数解，
∴整数解为0，
∴0 <
𝑚
4 +
7
8 ≤1，
解得：−
7
2 < 𝑚≤
1
2，
∴𝑚的取值范围为−
1
2 < 𝑚≤
1
2．
