文档内容
专题 9.15 不等式与不等式组（全章常考核心考点分类专题）（培优
练）
考点目录：
【考点1】不等式的定义； 【考点2】不等式的解集；
【考点3】不等式的基本性质； 【考点4】一元一次不等式（组）定义；
【考点5】一元一次不等式（组）解集； 【考点6】一元一次不等式（组）整数解；
【考点7】一元一次不等式（组）最大（小）整数解； 【考点8】由一元一次不等式（组）解集求参数；
【考点9】一元一次不等式（组）与方程综合求参数； 【考点10】一元一次不等式（组）与几何问题；
【考点11】一元一次不等式实际应用； 【考点12】一元一次不等式组实际应用.
一、选择题
【考点1】不等式的定义
1．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（ ）
A． ＜0 B． C． ≥1 D．
2． 的一半与 的差是负数，用不等式表示为( )
A． B．
C． D．
【考点2】不等式的解集
3．下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 是不等式 的解
C． 的解集是 D． 的解集就是 、 、
4．如果关于 的方程 的解是负值，那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】不等式的基本性质
5．若 ，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列判断不正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【考点4】一元一次不等式（组）定义
7． 是不小于 的负数，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点5】一元一次不等式（组）解集
9．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．关于 的不等式组 恰好只有四个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点6】一元一次不等式（组）整数解
11．已知关于x的不等式 的负整数解只有 , 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
12．不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点7】一元一次不等式（组）最大（小）整数解
13．不等式组 的最小正整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．414．若实数a关于x的不等式组 有解且最多有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数
是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点8】由一元一次不等式（组）解集求参数
15．若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知关于x的不等式组 有整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点9】一元一次不等式（组）与方程综合求参数
17．若方程组 的解满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．如果整数m使得关于x的不等式组 有解，且使得关于x，y的二元一次方程组
的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点10】一元一次不等式（组）与几何问题
19．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不
小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）A． B． C． D．
20．已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点11】一元一次不等式的实际应用
21．有一根长 的金属棒，欲将其截成x根 长的小段和y根 长的小段，剩余部分作废料处
理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
22．某商店为了促销一种定价为 元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过 件，按原
价付款；若一次性购买 件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有 元钱，那么她最多可以购买
该商品（ ）
A． 件 B． 件 C． 件 D． 件
【考点12】一元一次不等式组的实际应用
23．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为 的杯子中倒入 的水；再将
同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以
上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A． 以上， 以下 B． 以上， 以下
C． 以上， 以下 D． 以上， 以下
24．对于实数x,符号 可表示不超过x的最大整数，如 ．若 有正整数解，则正
实数a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．或
二、填空题
【考点1】不等式的定义
25．列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天的气温t(℃)的
变化范围是 ．
26．按商品质量规定：商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设
实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是 ．
【考点2】不等式的解集
27．已知关于 的不等式 的解集为 ，化简 ．
28．如图所示是某个不等式组的解集在数轴上的表示，它是下列四个不等式组① ；② ；③
；④ 中的 （只填写序号）
【考点3】不等式的基本性质
29．如果关于 的不等式 的解集是 ，那么 ， 满足的等量关系是 ， 的取值
范围是 ．
30．若 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
【考点4】一元一次不等式（组）定义
31．已知 是关于x的一元一次不等式，那么 ．
32．写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
【考点5】一元一次不等式（组）解集
33．已知a、b为常数，且 ，如果不等式 的解集是 ，则 的解集是 ．
34．不等式组 的解集为 ．【考点6】一元一次不等式（组）整数解
35．不等式 的最大正整数解是 ．
36．关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，则 的取值范围是 ．
【考点7】一元一次不等式（组）最大（小）整数解
37．不等式组 的所有非负整数解是 ．
38．若关于 的不等式组 有解且最多有三个整数解，且关于 的分式方程
的解为整数，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【考点8】由一元一次不等式（组）解集求参数
39．已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 ．
40．若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是 ．
【考点9】一元一次不等式（组）与方程综合求参数
41．已知 且 ，则k的取值范围为 ．
42．关于x，y的二元一次方程组 的解x，y满足 ，则a的取值范围是 ．
【考点10】一元一次不等式（组）与几何问题
43．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿
A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，
它们同时停止运动．设Q点运动的时间为 （秒），在整个运动过程中，当 APQ为直角三角形时，则
相应的 的值或取值范围是 ． △44．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长
等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边
长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方
形恰为正方形，则操作终止．当 时，a的值为 ．
【考点11】一元一次不等式的实际应用
45．某陶艺工坊有 A 和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品． 两款电热窑每次可同时放置陶艺
品的尺寸和数量如下表所示．
数量（个）尺寸款
大 中 小
式
A 8 15 25
B 0 10 20
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置
不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为 55 元，B款电热窑烧每次烧制成本为20元，则烧制这批陶艺品成本
最低为 元．
46．现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，则至少派
出 辆车才能保证一次运走．
【考点12】一元一次不等式组的实际应用
47．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值 ”到“结果是否大于 ”为一次程序操作，如果程序
操作进行了两次才停止，那么 的取值范围是 ．48．如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下
表是由 个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和
均为非负数，则整数 的值为 ．参考答案：
1．B
【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可．
【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意；
B. 是等式，故此选项符合题意；
C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意；
D. 是不等式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、
“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．D
【分析】列代数式表示a的一半与b的差，是负数即小于0．
【详解】解：根据题意得
故选D．
【点睛】本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．
3．D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项， 的解集是 ，解不等式 得 ，故正确；
D选项， 的解集就是 、 、 ， 不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
4．D
【分析】先解出方程的解，再根据解是负值列式求出a与b的关系．
【详解】解： ，
，
，
，∵解是负值，∴ ，即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解不等式，解题的关键是根据一元一次方程的解是负值，列式求a与
b的不等量关系．
5．B
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质解答即可判断求解，掌握不等式的基本性
质是解题的关键．
【详解】解： ∵ ，∴ ，该选项一定成立，不合题意；
、∵ ，当 都为负数时，有 ，∴该不等式不一定成立，符合题意；
、∵ ，∴ ，该选项一定成立，不合题意；
、∵ ，∴ ，该选项一定成立，不合题意；
故选： ．
6．C
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到
答案．
【详解】解：若 ，则 ，故选项A正确；
若 ，则 ，故选项B正确；
若 ，则 ，故选项C 不正确；
若 ，则 ，故选项D正确．
故选C．
7．D
【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】 是不小于 的负数，则可表示为 .
故选D
【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示.
8．B
【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】因为 中，不含有未知数，故A不符合题意；
因为 是一元一次不等式，
故B符合题意；
因为 中，未知数不是整式，
故C不符合题意；
因为 中，含有两个未知数，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，熟练掌握定义是解
题的关键．
9．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴是表示不等式的解集，先解不等式，然后将解集表示在数
轴上即可，正确解答一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
合并同类项得， ，
在数轴是表示不等式的解集为：
故选： ．
10．C
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同
小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．此题可先根据一元一次不等式组解出 的取值，再根据不
等式组 恰好只有四个整数解，求出实数 的取值范围．
【详解】解：由不等式 ，可得 ，
由不等式 ，可得 ，
由以上可得不等式组的解集为： ，因为不等式组 恰好只有四个整数解，
可得： ，
解得 ，
故选：C
11．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练
掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵不等式 的负整数解只有 ,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴ ，
故选B．
12．B
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再求所有整数解的和．
【详解】解： ，
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
不等式组 的解集为 ，
不等式组的整数解有： ， ，0，1，2，3，
所有整数解的和是 ，
故选B．13．A
【分析】
本题主要考查不等式组的含参问题，明确不等式组有解的情况是解决本题的关键．求出不等式组的解集，
再根据数轴求出最小正整数解即可．
【详解】解： ，
由不等式①得 ，
由不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的最小正整数解是1．
故选：A．
14．A
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围，有解且最多有4个整数解，进一步即可求得符合条件的a
的个数．
【详解】解：由不等式 1 得：x≤﹣3，
由不等式x﹣1 得，x≥a+2，
∴不等式组的解集为：a+2≤x≤﹣3，
∵关于x的不等式组 有解且最多有4个整数解，
∴﹣7＜a+2≤﹣3，
∴﹣9＜a≤﹣5，
∴所有满足条件的整数a的个数为4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
15．A
【分析】
本题考查了不等式组的解集，解题关键是理解不等式组解集的取法．根据不等式组无解，即“大大小小无
处找”，可得答案．【详解】
解：解关于x的不等式组 ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式无解，
，
．
故选：A．
16．C
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题；解不等式组的两个不等式，然后由不等式组有整数解即可
得 的取值范围；根据不等式组的整数解的个数得出关于 的不等式是解题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有整数解，
故选：C．
17．A
【分析】将方程组两个方程相加，表示出 ，代入 求解即可；
【详解】解： ，
得： ，
，
，
即： ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解方程组与不等式组的步骤
是解题关键．
18．C【分析】不等式组整理后，根据有解确定出m的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意m的值，判
断即可．
【详解】解：
由①得， ，
由②得，
∵不等式组 有解，
∵不等式组的解集为m＜x≤4，
∴m＜4，
方程组 ，
①－②得：（m﹣2）x＝4，
解得：x ，
把x 代入②得： y＝1，
解得：y＝1 ，
∵x与y都为整数，
∵m＜4，
∴m－2＜2，且m≠2，
∴m－2＝1或﹣1或﹣2或﹣4，
解得：m＝3或1或0或﹣2，
故符合条件的所有整数m的个数为4个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关
键．
19．D
【分析】根据题意和图形列出不等式 即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，解得： ，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
20．A
【详解】解：①1-2m＞0时，m＜ ，
m-1＜0，
所以，点P可以在第四象限，一定不在第一象限；
②1-2m＜0时，m＞ ，
m-1既可以是正数，也可以是负数，
点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限．
故选：A．
21．B
【分析】本题考查不等式的应用．
根据金属棒的长度是 ，则可以得到 ，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结
果，分别计算出省料的长度即可确定．
【详解】根据题意，得 ，
∴ ，
∵ 且y为正整数，
∴y的值可以是1或2或3或4，
当 时， ，则 ，此时剩余的废料为： ，
当 时， ，则 ，此时剩余的废料为： ，
当 时， ，则 ，此时剩余的废料为： ，当 时， ，则 ，不合题意，舍去．
综上所述，要使剩余废料最少，则 ， ．
故选：B
22．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设她最多可以购买该商品 件，根据题意列关于 的一元一
次不等式求解即可，理解题意，找出题中的数量关系，列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设她可以购买该商品 件，根据题意得，
，
解得： ，
∵ 取整数，
∴ ，
∴她最多可以购买该商品 件，
故选： ．
23．C
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为 ，
则有： ，
解得： ，
∴一颗玻璃球的体积在 以上， 以下，
故选：C．
24．C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先根据题意列出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 有正整数解，a是正数，
∴ ，即x可取1、2，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
综上，a的取值范围是 或 ．
故选：C．
25．25≤t≤33．
【分析】根据题意、不等式的定义解答．
【详解】解：由题意得，当天的气温t（℃）的变化范围是25≤t≤33，
故答案为25≤t≤33．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不
等式，
26．495≤x≤505
【详解】根据题意，可知x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.
故答案为495≤x≤505.
27．-1
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a的值，从而解不等式.
【详解】解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
，
， ，
，
故答案为 ；
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握计算法则是解题关键.
28．④
【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案【详解】解： ，即﹣3＜x≤2，
则不等式组 的解集在数轴上表示即为所示，
故答案为④
【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，难度不大
29．
【分析】
本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出 ， ，即可求解．
【详解】
因为不等式 的解集是 ，
所以 ， ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
30．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解： 的解集为 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
31．-1
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以 ，求解即可；
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案是：-1．
【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查
32． （答案不唯一）【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知
只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
【详解】根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为 此题答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用
口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
33．
【分析】本题考查了不等式的解集．不等式 的解集是 ，判断出 且 ，再解出不等式
的解集即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ 且 ，即 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
34．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、
大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集为 ．故答案为： ．
35．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解出不等式的解集，然后在解集范围内求出整数解即可，熟练掌
握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
∴最大正整数解是 ，
故答案为： ．
36．
【分析】
本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，利用不等式的整数解得出关于 a的不等式是
解题关键．
先求出不等式组的解集并写出整数解，再根据不等式组的整数解建立a的不等式，求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵不等式组 有且仅有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解是： ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
37．0，1，2
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，先求出不等式组的解集，再根据解集求出所有非负整数解即
可．
【详解】解：由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
则该不等式组的解集为 ，
∴该不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
38．4
【分析】
本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式
组的一般步骤是解题的关键．
先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相
加即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ ，
∵不等式有解，且最多有三个整数解，即最多为：3，2，1三个整数解，
∴
解得： ．
即：a可取
解分式方程 得： ．
∵分式方程的解为整数，且 （ 时原分式方程无意义）
∴符合条件的所有整数a的值为0、1、3，
∴符合条件的所有整数a的和为 ，
故答案为：4．
39．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用 、 表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据 即可得到关于 和 的方程，求得 和 的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得
到关于 和 的方程是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
∵不等式 的解集为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
40． /
【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，根据不等式的性质得 ，然后解关于 的
不等式即可，解题的关键是熟练掌握解解一元一次不等式的步骤及不等式的性质．
【详解】解：∵关于 的不等式 的解集是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
41．
【分析】由 得： ，再代入 ，再解不等式组即可．
【详解】解： ，
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题的关
键．
42． /
【分析】解方程组，得到 因此可得 ，解得 ．
【详解】解： ，
得： ，
得： ，
解得 ，
把 ，代入①，解得
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式与方程组结合问题，熟练计算求出 ，是解题的关键．
43．0＜ ≤ 或x=2．
【分析】由题意可得当0＜x≤ AQM是直角三角形，当 ＜x＜2时 AQM是锐角三角形，当x=2时，
△ △
AQM是直角三角形，当2＜x＜3时 AQM是钝角三角形．
△ △【详解】解：当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时 APQ为直角三角形，则0＜x≤ ；
△
当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时 APQ为锐角三角形，则 ＜x＜2；
△
当点P在C处，此时点Q在D处，此时 APQ为直角三角形，则x=2时；
当点P在CD上时，点Q在DC上时，此△时 APQ为钝角三角形，则2＜x＜3．
△
故答案是：0＜x≤ 或x=2．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，还要熟
练掌握三角形形状的判断，此题难度一般．
44． 或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到 的取值范围；第三次操作
后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为： ，长为： ；
第二次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
∵在第 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵∴ 符合题意；
当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
∴ 的值为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不
等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
45． 2 130
【分析】
本题考查一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，理解题意，正确列出不等式或算式是解答的关键．
（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次，根据“共生产了10个大尺寸陶艺品”列不等式求解即
可；
（2）先求得A款电热窑烧制2次和B款电热窑烧制1次的成本，以及A款电热窑烧制3次时的成本，然后
比较即可得出答案．
【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次，
根据题意，得 ，则 ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为2，
即烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用了2次，
故答案为：2；
（2）根据题意，A款电热窑烧制2次时，第2次的5个大尺寸陶艺品位置烧制10个中尺寸陶艺品，1个大
尺寸陶艺品位置烧制6个小尺寸陶艺品，
则还需烧制中尺寸陶艺品 （个），小尺寸陶艺品 （个），∴还需B款电热窑烧制一次刚刚好，所需成本为 （元），
如A款电热窑烧制3次时，所需成本为 （元），
∵ ，
∴烧制这批陶艺品成本最低为130元，
故答案为：130．
46．4
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
设派出 辆车才能保证一次运走，根据派出的货车一次可运走货物不少于10吨，可列出关于 的一元一次
不等式，解之可得出 的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设派出 辆车才能保证一次运走，
根据题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
的最小值为4，
至少派出4辆车才能保证一次运走．
故答案为：4．
47．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次才停止，即可得出关于 的一元
一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，根据运行程序正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ，
解得 ，
故答案为： ．
48． 或 /2或1
【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据每一列所有数之和分别为 ，每一行所有数之
和分别为 ，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负
整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案，解题的关键是读懂题意，根据题目中的操作
要求，列出不等式组．
【详解】解：∵每一列所有数之和分别为 ，每一行所有数之和分别为 ，则操作第三列，第一行之和为 ，第二行之和为 ，
由题意可得 ，
解得 ，
∵ 为整数，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
