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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.1 反比例函数的概念（教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》27.1反比例函数的概念.主要内容包括：结合实际 情境抽象变量之间的反比例关系，归纳反比例函数的定义、三种基本表达式，明确自变量取值范围；掌握 反比例函数的判定方法，运用待定系数法求简单反比例函数解析式，初步建立反比例函数数学模型,是整章 反比例函数图像、性质、综合应用的基础起始课. 2. 内容解析 本节课是初中函数体系的重要组成部分，承接学生已学的一次函数、正比例函数、函数基本概念，是继一 次函数、二次函数后又一基础初等函数.教材以生活实际问题为切入点，通过路程、速度、时间，总价、数 量、单价等经典数量关系，引导学生列式、观察、对比、归纳，抽象出反比例函数概念.本节课核心价值在 于完善学生函数建模体系，让学生掌握“两个变量积为定值”的反比例变化规律，区别于一次函数“和差、 倍数”的变化规律，为后续学习反比例函数图像性质、实际应用、函数综合题型奠定概念基础，同时渗透 数学建模、类比推理的核心数学思想，落实新课标核心素养要求. 基于以上分析，本节课的教学重点为：反比例函数的概念及三种表达形式；反比例函数的判定；用待定系 数法求反比例函数解析式. 教学目标 (1)理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明 确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. (2)经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数， 培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. (3)感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用 函数知识解决实际问题的意识. 2.目标解析 目标1通过课本实例探究，让学生精准掌握反比例函数核心定义及k≠0、自变量x≠0两大关键条件，能区分 正比例函数与反比例函数的本质差异，夯实本章基础知识. 目标2依托列式探究、例题演练，让学生掌握从实际问题中提炼变量关系、建立函数模型的方法，熟练运用 待定系数法，提升抽象概括与运算解题能力. 目标3通过类比旧知探究新知，培养学生迁移学习能力；通过情境建模，强化数学建模、逻辑推理的核心素 养，适配初中函数模块的学习要求. 九年级学生已经系统学习了函数的定义、自变量与函数值、正比例函数、一次函数、二次函数的相关知识， 熟悉“变量对应关系”的函数本质，具备通过实例归纳函数概念、利用待定系数法求解析式的基础能力。 但学生存在明显认知短板：对积定型的反比例变化规律较为陌生，容易与正比例函数的商定型变化规律混 淆；容易忽略反比例函数k≠0、x≠0的隐含条件；在实际情境中，难以快速提炼反比例变量关系，建模能 力薄弱，需要通过具象实例、对比辨析、专项例题突破难点. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为理解反比例函数的本质特征（两个变量的积为定值）；结合实际 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 问题建立反比例函数模型；区分易混淆的函数关系式. 创设情景，引入新课 情境设问，列式探究 出示3个生活实际问题，引导学生列出变量关系式： （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； （3）总电量一定，电器功率P与工作时间t的关系。 提问：以上关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 小组讨论后总结：式子均为分式形式，两个变量的乘积是固定常数，一个变量增大，另一个变量随之减小. 引出课题. （设计意图：立足课本真实情境，让学生自主列式感知反比例变量关系，通过与旧知正比例函数对比，形 成认知冲突，自然引出课题） 探究点1 反比例函数定义 活动1.在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变 化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单 位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间 t(单位:天)的变化而变化. 学生讨论：在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着t的变化而变化，而且对于t 的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应.问题(2)(3)也一样.所以这些变量之间具有函数关系，它 们的解析式分别为：v= 1318 t ，y= 1000 x ，Q= 5 t.上述解析式都具有y= k x的形式，其中k是非零常数. 函数的定义：一般地，形如y= k x（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数. （设计意图：从具体实例中，让学生自主列式感知反比例变量关系形成反比例函数定义，避免概念被动灌 输，培养学生观察归纳能力.) 探究点2 反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 活动2.反比例函数不同表达形式 ① 分式型：y= k x(k≠0)（常用的表达形式） ② 乘积型：xy=k(k≠0) ③ 负指数型：y=kx−1(k≠0) 活动3.反比例函数y= k x（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ 自变量x≠0，函数值y≠0（分母不能为0，乘积定值不为0）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (设计意图:精准对标课本定义，完整呈现反比例函数三种常用形式，明确核心限制条件，构建完整的概念 知识体系，为函数判定、解题纠错奠定基础.) 探究点3 待定系数法求反比例函数解析式 问题：已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时，求y的值. 分析:因为y是x的反比例函数，所以设y= k x.把x=2，y=6 代入上式，就可求出常数k的值. 解:(1) 设y= k x，因为当x=2时，y=6，所以6= k 2 解得 k=12，因此y= 12 x . (2) 把x=4代人y= k x，得y= 12 4 =-3. 总结：待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤：设解析式→代入已知值→求k→定解析式. （设计意图：函数判定、待定系数法两大核心考点，完整展示审题、分析、规范学生答题格式，突破学生 易错的参数取值问题，夯实新知应用能力.） 典型例题 例1．已知一个反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ，求m 的值． 【分析】由反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ，可得 3 1 m − = −且 2 0 m+ ，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ， ∴ 3 1 m − = −且 2 0 m+ ， 解得： 2 m = ． 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/小时（汽车行时速度不超过100千 米/小时），根据经验，v ，t 的一组对应值如下表； v （千米/小时） 75 80 85 90 95 t （小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)根据表中的数据，分析说明平均速度v （千米/小时）关于行驶时间t （小时）的函数关系，并求出其表 达式； (2)汽车上午8:00从甲地出发，能否在上午10:30之前到达乙地？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中数据，可知v 是t 的反比例函数，设 ( 0) k v k t = ，利用待定系数法即可求解； （2）上午8:00出发，到上午10:30之前，可知时间为2.5 小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵75 4 300 = ，80 3.75 300 = ，即每一对v 与t 的对应值乘积为一定值，t 在减小，v 在 增大， ∴v 与t 成反比关系，设 ( 0) k v k t = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 把 75 v = ， 4.00 t = 代入反比例函数得， 300 k = ， ∴v 与t 的表达式为 300 v t = ， ∵汽车行时速度不超过100千米/小时， ∴ 300 100 t ， ∴ 3 t ， ∴平均速度v （千米/小时）关于行驶时间t （小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 300 ( 3) v t t = ． （2）解：∵10.5 8 2.5 −= （小时）， ∴ 300 120 2.5 v = = （千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过100千米/小时，120 100 ， ∴不能． （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际 应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解， 规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习（P65）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课 时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力 开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB BC ， 分别为线段，BC x ∥ 轴，CD为双曲线的一部分），其中AB 段的关系式为 2 20 y x = + ． (1)点B坐标为_______； (2)根据图中数据，求出CD段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲20 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适 当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）∵AB 段的关系式为 2 20 y x = + ，点B的横坐标为10， ∴ 2 10 20 40 y = + = ， ∴点B坐标为( ) 10,40 ； 故答案为：( ) 10,40 （2）解：如图，BC x ∥ 轴，点B坐标为( ) 10,40 ， ∴点C的坐标为( ) 24,40 ， 设C、D所在双曲线的解析式为 2 k y x = ， 把 ( ) 24,40 C 代入得， 40 24 k = ， 960 k = ， ∴ ( ) 960 24 y x x = ． （3）令 2 20 32 y x = + = ， ∴ 6 x = ． 令 960 32 y x = = ， ∴ 30 x = ， ∵30 6 24 20 − = ， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1) 5 xy = −；(2) 2 y x = − ；(3) 3 x y = ；(4) 3 5 y x = − ． 【详解】（1） 5 xy = −，是反比例函数， 5 k = −； （2） 2 y x = − ，不是反比例函数； （3） 3 x y = ，不是反比例函数； （4） 3 5 y x = − ，是反比例函数， 3 5 k = − ． 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单 位：）与车速v（单位：km/ h）之间的关系式是 4000 f v = ．当车速为80km/h 时，他的视野为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：由题意，将 80 v = 代入 4000 f v = 得： 4000 50 80 f = = ， 即他的视野为50． 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过 程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实 验数据，根据表中数据，y 与x 之间的函数关系式为（ ） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 y/g 0.5 1 2 4 5 A．y= 9 𝑥 B．y＝9x C．y= 1 9x D．y= 1 9𝑥 【解答】解：通过观察表格数据可知： 𝑦 𝑥= 1 9， 故y 与x 之间的函数关系式为y= 1 9x， 故选：C． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：本节课掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式；能根据定义判定一个函数是否为反比例 函数；明确了自变量和函数值均不为0的取值要求；熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式的基本 步骤，能初步辨析正比例函数与反比例函数的区别. 思想方法：（1）类比思想：类比正比例函数的定义、形式、学习方法，探究反比例函数新知，实现旧知迁 移、新知建构；（2）建模思想：从生活实际情境中提炼变量关系，抽象为反比例函数数学模型，体会函数 刻画现实变化规律的作用；（3）方程思想：利用方程、不等式求解参数取值，解决反比例函数判定问题. 易错提醒：（1）忽略核心条件：判定反比例函数时，忘记验证k≠0，导致参数取值错误；（2）概念混淆： 混淆正比例函数y=kx与反比例函数y= k x(k≠0)的解析式形式和变化规律；（3）取值遗漏：忽略反比例函数自 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变量x≠0的隐含条件；（4）格式错误：不会灵活运用乘积型、负指数型变式，解题形式单一. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题26.1第1、2、3题. 探究性作业：课本习题26.1第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.1 反比例函数的概念 一、定义 二、三种形式及自变量取出范围 三、判定条件 四、求解析式（待定系数法） 五、易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演
