第二十七章相似（七大热点，100题）-（人教版）（教师版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十七章 相似 1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．2、能画反比例函数 的图象，根据图象和表达式 探索并理解k >0和k <0时图象的变化情况． 3、能用反比例函数解决简单实际问题． 一.比例和比例线段的有关概念： 1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做 成比例线段，简称比例线段． 2 .比例的基本性质 (1)基本性质： ⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0） (3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0) ⇔ ＝.（b、d、···、n≠0） 3 .平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l∥l∥l，则 . 3 4 5 l 1 l 2 A D l 3 l B E 4 l C F 5 （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则 . A B O C D （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. A D E B C 4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线 段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5( － 1 )cm 二.相似三角形的判定方法 1.两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. D A B CE F 2. 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D， ，则 △ABC∽△DEF. D A B CE F 3.三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若 ，则△ABC∽△DEF.D A B CE F 三.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 四.位似 1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做 位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比. 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. ◎3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比 例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小. 题型一成比例线段 【例1】（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A． B． C． D． ， ， ， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由 ，可知这一组线段不成比例，所以A不符合题意； B、由 ，可知这一组线段不成比例．所以B不符合题意； C、由 ，可知这一组线段不成比例．所以C不符合题意； D、 由，可知这一组线段成比例．所以D符合题意．故选：D． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键，即如果四条线段a，b，c，d满足 ，那么这四条线段称为比例线段． 巩固训练： 1．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成 比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵ ， ∴长分别为 的四条线段是成比例线段，符合题意； B、∵ ， ∴长分别为 的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵ ， ∴长分别为 的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、∵ ， ∴长分别为 的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选A． 2．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段 ， ， ， 是成比例线段，其中 ， ， ，则 的值是（ ） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得 ，再把 ， ， 代入，即可． 【详解】解：∵线段 ， ， ， 是成比例线段， ∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， 解得： ． 故选：B 3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的 积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键． 【详解】A、∵ ，∴四条线段不成比例； B、∵ ，∴四条线段不成比例； C、∵ ，∴四条线段成比例； D、∵ ，∴四条线段不成比例． 故选：C． 4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数 ， ， ， 成比例，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，利用成比例的定义得到 ，然后根据比例性质求 即可，解题的 关键是理解比例线段的定义，利用了两内项之积等于两外项之积． 【详解】由题意得， ， ∴ ， ∴ ， 故选： ． 5．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）若线段a，b，c，d是成比例线段，且 ， ， ， 则 （ ） A． B．8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把 ， ， 代入计算即可． 【详解】解： 线段a，b，c，d是成比例线段，， ， ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键． 6．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）已知线段 ， ，如果线段 是线段 和 的比例中项，那 么线段 的长度是（ ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据线段的比例中项的定义得到 ，再代值求解即可． 【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键． 7．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）下列各组线段中，长度成比例的是（ ） A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ， 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间 两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于 ，所以不成比例，不符合题意； B、由于 ，所以不成比例，不符合题意； C、由于 ，所以不成比例，不符合题意； D、由于 ，所以成比例，符合题意． 故选：D．8．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A． ， ， ， B． ， ， ， ； C． ， ． ， ； D． ， ， ， 【答案】B 【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断 四条线段是否成比例即可． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项不符合题意； 故选B． 9．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）已知2， ，4， 是一组成比例线段，则下列结论 正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据成比例线段的概念，则可得 ，再根据比例的基本性质，即可求得 与b的关系． 【详解】∵ 是一组成比例线段， 故选：D． 【点睛】如果四条线段a、b、c、d满足 ，则称 、 、 、 为成比例线段，注意在 中，比例外项是 和 ，比例内项是 和c． 10．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在比例尺是 的地图上测得A、B两点间的距离为2厘 米，那么两地的实际距离为 千米． 【答案】10 【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离 实际距离，依题意列出比例式，即 可求得实际距离． 【详解】解：设这两地的实际距离是x厘米，则：解得： ， 1000000厘米=10千米． 故答案为：10． 11．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知线段 ，则线段a和b的比例中项为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例中项的概念，即“当两个比例内项相同时，就叫比例中项”，设线段a和b的比 例中项为c，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 又∵线段不能是负数， ∴ 舍去， ∴ ， 故答案为：6． 题型二平行线分线段成比例定理 【例2】（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图， 中，D、E分别在 上， ，若 ，求 的长． 【答案】 / 【分析】根据平行线分线段成比例，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 巩固训练： 1．（2023上·上海宝山·九年级统考期中） 中，D、E分别是边 、 上的点，下列各式中，能判 断 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可．掌握“如果一条直 线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边”是解题的关键． 【详解】 A选项：由 可得 ，但 不能得到 ； B选项：由 不一定得到 ； C选项：由 可得 ； D选项：由 不一定得到 ． 故选：C 2．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，小明在练习本上画出直线 ，直线m，n分别与直 线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出对应线段是解题的关键． 【详解】A. ， ，结论正确，故不符合题意； B. ， ，结论正确，故不符合题意； C. 线段不是直线m，n上的线段， 与 不一定相等，结论错误，故符合题意； D. ， ，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 3．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，直线 ，直线AC和DF被直线 、 、 所截， ， ， ，则 的长为（ ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可． 【详解】解： ， ，， ． 故选B． 4．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，直线 ，直线m分别交直线a，b，c于点A，B， C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若 ， ，则DF的长为（ ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据 得 ，进行计算即可得，掌握平行线 分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 5．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，已知直线 ， ， 分别交直线 于点 、 、 ，交直 线 于点 、 、 ，且 ．若 ， ， ，则 （ ）A． B．6 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是先由 ，运用平行线分线段成比例的 内容可得 ；再结合 ， ， 求解． 【详解】解： ， ， 即 ， 解得 ． 故选B． 6．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中 ， ， ， ，则 长为（ ） ． A． B． C．50 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解 题的关键．由 ，利用平行线分线段成比例，可求出 的长． 【详解】解： ，， 即 ， ， 的长是 ． 故选：D． 7．（2023上·河南郑州·九年级校联考期中）如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于 点 ， ， 和点 ， ， ，若 ， ， ，则 的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代 入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 8．（2023上·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，则 的长度为 ．【答案】3 【分析】根据 ， ，判断出 ，再根据 ， ，得出 ， ，便可求解了． 【详解】解： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 又 ， 又 ， ， ， ∴ ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的 关键． 9．（2023上·湖南株洲·九年级校考期中）如图，点A，B分别在函数 图象的两支上（ 在第一象限），连接 交 轴于点 ．点D，E在函数 图象上， 轴， 轴，连接 ．若 ， 的面积为9，四边形 的面积为14，则 的值为 ． 【答案】9 【分析】如图，延长 ， 交于点 ， 与 轴交于点 ，而 轴， 轴，可得 ， 的面积是5，设 ， ，则 ， ， ，利用面积可得 ， ，由 ， ，可得 ，可得 ③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长 ， 交于点 ， 与 轴交于点 ，而 轴， 轴， ∴ ， ∵ 的面积为9，四边形 的面积为14， ∴ 的面积是5，设 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， 整理得： ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，则 ③， 把③代入②得： ， ∴ ，即 ④， 把③代入①得： ⑤， 把④代入⑤得： ； 故答案为：9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利 用方程思想解题是关键． 10．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）已知线段 、 、c（如图），求作线段 ，使 ．（不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】先作 ，再在 的边 上依次截取 ， ，在边 上截取 ，连接 ，作 ，角的一边交 于 ，可得 ，可得 ，从而得到线段 即为所 求作的线段． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 作图如下： 线段 就是所求的线段x． 【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平行线的判定，比例的基本性质， 平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例并应用于作图是解本题的关键． 11．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，直线 ，直线m、n与a、b、c分别相交于点 A、B、C和点D、E、F．若 ， ．求 的长． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由 ，可得 ，由 ，可得 ，即 ，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得， ， ∴ 的长为9． 12．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在 中、已知 ， ， ， ， 求 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到 即可求出 的值，得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ． 13．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在 中， ，且 ， ， ， 求 的长．【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例，可得 ，即可求解． 【详解】解： ， ． ∵ ， ， ， ∴ ． 14．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，在 中，点D是 边上的一点， ． (1)尺规作图：作直线 交 于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）如图所示，直线 即为所求； （2）由作图可知 ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 题型三相似多边形的性质和判定 【例3】（1）（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，四边形 四边 形 ， ， ， ，则 . 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形 四边形 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． （2）（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）一块矩形绸布的宽 ，长 ，按照图中所示的 方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么 a的值应当是 ．【答案】 【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程，即可求解． 【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴ ， 解得： （负值舍去）． 故答案为： 巩固训练： 1．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）下列命题中，正确命题的是（ ） A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似 C．底边相等的两个等腰三角形相似 D．对角线相等的两个矩形相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对 应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例， ∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意； B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等， ∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意； C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错 误，不符合题意； 故选A． 2．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）下列命题中真命题是（ ） A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似 C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，根据相似三角形以及相似多边形的判定，对比每个选项，看能否举出 反例即可得出答案． 【详解】解：A、四个内角都相等的两个四边形，但是四条边不一定成比例，原命题是假命题，本选项不 符合题意； B、菱形的四条边都对应成比例，但是四个内角不一定对应相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、所有的等边三角形三个角都等于 ，三个角都相等，原命题是真命题，本选项符合题意； D、一条线段有两个黄金分割点，原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：D． 3．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）已知矩形 中， ，下面四个矩形中 与矩形 相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A： ，符合题意； B： ，不符合题意； C： ，不符合题意； D： ，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 4．（2023上·北京通州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似 C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确选项．【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似； B、两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； C、两个等腰直角三角形对应角相等，且对应边的比也相等，故一定相似； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，故不一定相似． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似图形的判定，注意相似图形的对应角相等，对应边的比相等． 5．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，将一个矩形纸片 沿 ， 的 中点 ， 的连线对折，若对折后的矩形 与原矩形 相似，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应边成比例，根据相似矩形得到 ，推出 ， 由此得到答案，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵E，F分别为 ， 的中点， ∴ ， ∵对折后的矩形 与原矩形 相似， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． A B C D 1 1 1 1 6．（2023上·山西运城·九年级统考期中）如图，四边形 四边形 ，若 ，， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． A B C D 1 1 1 1 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形 ， ， ∴ ． ∵四边形ABCD的内角和为 ， ， ， ∴ ． 故选：C． 7．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，把一个矩形纸片分割成三个全等的小矩形纸片，若小矩形 纸片与原矩形纸片相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的对应边的比相等，设原矩形纸片的长为x，宽为y，则小矩形纸片的长为 y，宽为 ，根据题意得 ，进行计算即可得，分清楚对应边是解题的关键． 【详解】解：设原矩形纸片的长为x，宽为y，则小矩形纸片的长为y，宽为 ， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴ ， ， ， 故选：C． 8．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）四边形 是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ；使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ． 若矩形 与原矩形 相似， ，则矩形 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得 ，设 的长为x，则 ，再根据相似 多边形性质得出 ，即 ，求得 ，进而根据矩形 的面积等于矩形 的面积减 去2个正方形的面积，即可求解． 【详解】解：，由折叠可得： ， ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， 设 的长为x，则 ， ∵矩形 ， ∴ ， ∵矩形 与原矩形 相似，∴ ，即 ， 解得： （负值不符合题意，舍去） ∴ ， ∴矩形 的面积为 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题 的关键． 9．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）开本指书刊幅面的规格大小，如图，将一张矩形印刷用纸对折 后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……这些开本纸都是相似的图 形，则这些相似的矩形的长与宽的比值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．设16开的纸的长为 a，宽为b，则8开的纸的长为 ，宽为a，根据相似多边形的性质得到 ，然后整理求解． 【详解】解：设16开的纸的长为a，宽为b，则8开的纸的长为 ，宽为a， ∵这两种长方形相似， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，或 （舍去）， ∴这些相似的矩形的长与宽的比值 ． 故答案为： ． 10．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，四边形 四边形 ，若 ，则 ． 【答案】 / 度 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应角相等，由四边形相似得到 ，由四边形内角和 即可求出答案，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 四边形 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 11．（2023上·全国·九年级专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽 度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说 明理由． 【答案】不能，见解析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为 米，宽为 米，将两个矩形 的长与宽分别相比，得 ，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为 米，宽为 米，将两个矩形 的长与宽分别相比，得 ，解得： ， 经检验， 是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩 形一定不相似，因为 （a、b、c都是正数）． 12．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 的边 上任取一点O（不与点A、 B重合）连接 、 ，分别取 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 ， 四边形 与四边形 相似吗？为什么？ 【答案】四边形 四边形 ，见解析 【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案． 【详解】解：四边形 四边形 ，理由如下： 证明： 、 是 、 的中点， ， ， ， 同理 ， ， ， ， ， 同理 ， ， ， 四边形 四边形 ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三 角形中位线定理是解题的关键． 题型四相似三角的判定 【例4】（1）（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，点 ， 在线段 上， ， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定，根据平行线的性质推出 ，根据两组对应边成比例夹角相等 即可证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵ ， ， ， ． （2）（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中， 和 的顶点都在网格的格点上．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得 ， ， 根据勾股定理，得 ， ， ， ∴ ． 巩固训练： 1．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列条件中，不能判定 与 相似的是（ ） A． ， ， ； B． ， ， ， ， ； C． ， ； D． ， 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故A不符合题意； ∵ ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ；故B不符合题意； 如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 即 ， ∴ ；故C不符合题意； ∵ ， ，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故选D． 2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在 中， 是 的平分线， 与 交于点 M， ，下列结论中正确的个数是（ ） ① ；② ； ③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形 相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ，故②符合题意； ∴ ， ∵ 是 的平分线，∴ ， ∴ ， ；故①④符合题意； 与 只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在 和 中，已知 ，则添加下 列条件能判定 和 相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． A、 ，对应的两角相等，可以证明，故本选项符合题意； B、 ，不是对应角，不可以证明，故本选项不符合题意； C、 ，不是对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意； D、 ，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，D，E分别是 的边AB，AC上的动点（与点A，B，C 均不重合），添加下列一个条件，不能判定 与 相似的是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定 与 相似，故A不符合题意； B、由 ，判定 与 相似，故B不符合题意； C、两三角形两边对应成比例，但夹角 不一定相等，不能判定 与 相似，故C符合 题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定 与 相似，故D不符合题 意； 故选：C． 5．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据 得出 ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． A、∵ ，故本选项不符合题意； B、∵ ，故本选项不符合题意； C、∵ 与 的大小无法判定， ∴无法判定 ，故本选项符合题意； D、∵ ，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）下列图形中，与已知三角形相似的三角形是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据图示知该三角形是含 和 的直角三角形，所以由相似三 角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解： A、根据图示知，该直角三角形的一个角为 ，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B、由图示知，该直角三角形有一个角为 ，由“两组角对应相等”证得相似．故本选项正确； C、由图示知，该直角三角形的一个角为 ，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形． 故本选项错误； D、由图示知，该三角形为等腰直角三角形，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； 故选：B． 7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图， 、 分别是 的 、 上的点，则下 列条件不能判定 与 相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：A．∵ ，∴ ，故该选项正确，符合题意； B．∵ ， ∴ ，故该选项正确，符合题意； C．∵条件 ， ，不能判定 与 相似， 故该选项不正确，不符合题意； D．∵ ， ∴ ，故该选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，已知 ，请你再补充一个条件 ， 使得 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】解：添加条件 ，理由如下： ∵ ， 添加 ， ∴ ， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键． 9．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在 和 中， ，请你添加一个条件： ，使得 ．（填一个即可）【答案】 （或 ） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 根据有两组角分别对应相等的三角形相似，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，添加 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ． 10．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，线段 、 是 的两条 高．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到 ，进而根据两 组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段 、 是 的两条高， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 11．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）在锐角三角形 中，点 、 分别在边 、 上， 于点 ， 于点 ， ． (1)求证： ；(2)若 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）此题主要考查相似三角形的判定，根据直角三角形两锐角互余，得到 ，再根据 ，即可得到 ，又因为 ，即可证明 . （2）此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可求解. 【详解】（1）证明： 于点 , 于点 又 为公共角 （2）解： , 于点 , 于点 , , 题型五相似三角形的性质 【例5】（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在 中，点D、E分别在边 上， 相交于点O， ， ．(1)如果 ，求 的长; (2)如果 的面积为2，求 的面积. 【答案】(1)16(2)6 【分析】（1）证明 ，证明 且得到 的值，再证明 ，通过 即可解答； （2）本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，当 和 以 为底时，高 相同，即可通过 解题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当 和 以 为底时，高相同， ， 根据（1）可得 ，， ， ， 的面积为 ． 巩固训练： 1．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图， 中，边 ，高 ，边长为x的正方 形 的一边在 上，其余两个顶点分别在 上，则正方形边长x为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明 三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解．由正方形的性质得 ，可证 ， 根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求 的值． 【详解】解：如图， ， ， ， 即 ， 解得 ． 故选：A．2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）两个相似三角形的相似比是 ，则这两三角形面积的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此进行求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题 的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是 ，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴这两三角形面积的比是 ， 故选：D 3．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图， ， ，若 ，则 的长为（ ）． A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题关键．根据 ，求出 ， 进而得到 ，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故选C． 4．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点E，且 ．已知 ，则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过证明 ，得到 ，由此求出 是解题的关键． 【详解】解：∵ ，即 ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 5．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸 按如图所示的方式折叠，使点B落在边 上，记为点F，折痕为 ．已知 ， ，若以点C，D，F为顶点的三角形与 相 似，则 的长是（ ） A． B． C． 或4 D． 或4 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到 ，设 ， 则 ，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到 的长，找到 边长之间的关系是解题的关键．【详解】解：∵ 沿 折叠， 和F重叠， ∴ ， 设 ， ∵ ， ∴ ， 当 时， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 ； 当 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 ； 当 时，同理可得 ， 故 或4， 故选：D． 6．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ．已知 ， ，则 的长是 ．【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意得 ，掌握相似三角形的判定方法及 性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ，则 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：6 7．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图， 是一张锐角三角形的纸板， 是 上的高， ， ，从这张纸板上如图剪下一个矩形 ，且 ，则剪下的这个矩形的 周长为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是由四边形 是矩形， 是 的高，得到 ， ，进而得到 ，由此得到 ；根据矩形的长是宽的2倍，可设 ，则 ， ，进而利用比例式 即可求出矩形的长和 宽，由此即可得到矩形 的周长． 【详解】解： 四边形 为矩形， ， ， ， ． ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形 的周长为 ， 故答案为：72． 8．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）在 中， 是 的角平分线， 交 线段 于点E， ， ， ，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】过点A作 于点F，延长 交 于点H，过点H作 于点G，则根据勾股定理可 得 的长，由题意易得 ，然后可得 ，进而问题可求解．【详解】解：过点A作 于点F，延长 交 于点H，过点H作 于点G，如图所示： 设 ，则 ，在 中，由勾股定理可得 ， 在 中，由勾股定理可得 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点E为 的中点，∴ ； 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正 确作出辅助线． 9．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，在等边 中， ，点P为 边上一动点，M 为 的中点，连接 ． （1）当点P为 的中点， 的长为 ； （2）若点P移动到使 时， 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质． （1）利用等边三角形的性质及勾股定理即可求解； （2）证明 ，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：（1）当P是中点时， ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 由勾股定理得： ； ∵M为 的中点， ∴ ；在 中，由勾股定理得： ； 故答案为： ； （2）∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴由 得： ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 10．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，在 中，D、E在 、 上， ， ，求 的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ． 11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ． (1)求证： (2)作 于点 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余及等量代换得出 ，再由相似三角形的判定和 性质得出 ，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得出 ，再由相似三角形的判定确定 ，由勾股定 理得出 ，，再由相似三角形的判定和性质得出 ，设 ，则 ，利用勾股 定理求解即可 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： （负值舍去），即 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的两个锐角互余等，正确理 解题意熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图， ， 与 相交于点 ， ． (1)求证： ； (2)若 ， ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，（ ）利用已知条件推导出 ，再根据相似三 角形的性质即可得到 ；（ ）先证明 ，得到 ，把这种关系代入到 可得到 ，再通过 可算出 ，解题的关键从图形中找到相似三角形 并利用它的性质求解． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 13．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ． (1)求证： ； (2)如果 的面积为10，则四边形 的面积为______． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积关系等知识；在判定两个三角形相似时，应注意 利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由题意得 根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出 ，求出三角形 的面积，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ， 又∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ 的面积为10， ∴ 的面积为90， ∴ ． 14．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，在为等腰梯形 中， ，对角线 、 交于点 沿着直线 翻折得到 联结 ，分别于 、 相交于点F、G． (1)求证： 、 互相平分； (2)若 ，求 的比． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到 ，根据翻折性质得到，从而证出 ，得出四边形 是平行四边形，即可求证； （2）过点D作 交 于点M，得出 是等边三角形， ，再证明 ，得出 ，即可求证 【详解】（1）证明：在等腰梯形 中， ∴ ． ∵ 沿着直线 翻折得到 ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 又 ． ∴ ． ∴四边形 是平行四边形． ∴ 、 互相平分； （2）解：过点D作 交 于点M， 四边形 是平行四边形， 则 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】该题主要考查了相似三角形判定和性质“对应边的比等于相似比”、平行四边形的判定和性质、 等腰梯形的性质“两腰相等，两底角相等”、翻折的性质“翻折前后对应边相等，对应角相等”、等边三 角形的判定和性质“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”“等边三角形三边相等”等知识点，解 题的关键是作平行线，构建平行四边形． 15．（2023上·北京通州·九年级统考期中）如图，在等腰三角形 中， ，D是 边上的一个动点，（不与B、C重合）在 边上取一点E，使 ． (1)求证： ； (2)设 ，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) ， 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质得到 ，根据相 似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式． 【详解】（1）证明： ， ， ， ，， 又 ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 由题意得： ， ． 16．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图， ， ，动点 从点 出发，以每秒 的速度沿边 向点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 的速度沿边 向点 运动，点 到达点 后，点 也停止，设运动时间为 秒，当 为何值时， 与 相似？ 【答案】当 时， 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分 和 两种情况进行讨论求解即 可． 【详解】解：由题意，得： ， ∴ ；分两种情况：（1）若 ， ， ， 解得 ． ②若 ， ， 即 ， 解得 ． ， ， 当 时， ． 17．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图， 是 的角平分线，延长 至D，使得 ． (1)求证： ； (2)若 ， ， ，求 长． 【答案】(1)见解析；(2) ． 【分析】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质． （1）由角平分线及 ，可得 ，从而可得 ； （2）由 ，得到对应边成比例，即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线，∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． 18．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， ． (1)求证： ； (2)若 求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握两脚对应相等的两三 角形相似． （1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得 ，又因为 ，即可得 ； （2）根据相似三角形的判定得 ，根据题意 得 ，代入比例式即可解题． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 （舍去）． 19．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）在 中， ， ， ，如图1，将 绕点A顺时针旋转某个角度得到 ，其中D是点B的对应点，E是点C的对 应点，连接 ， ． (1)求证： ； (2)如图2，当点D在线段 上时，求线段 的长； (3)连接 ， ，在旋转过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 是定值，定值为50 【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ， ，进而得出 ， ，即可求证 ；（2）法一：过点A作 于F，根据勾股定理求出 ， 用等面积法得出 ，则 ，再根据勾股定理得出 ，再根据三线合一得出 ， 最后根据 ，即可求解； 法 二：过点A作 于F，通过证明 ，得出 ，则 ； 最后根据三线合一， 即可得出 ； （3）设 和 相交于点G， 和 相交于点H，通过证明 ，得出 即可解答． 【详解】（1）证明：∵将 绕点A顺时针旋转得到 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 即 ， ， ∴ ； （2）解：法一：如图，过点A作 于F， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵将 绕点A顺时针旋转得到 ， ∴ ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ∴ ； 法二：如图，过点A作 于F， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 即 ∴ ； ∵ ， ∴ ． （3）解：如图，设 和 相交于点G， 和 相交于点H，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ 是定值，定值为50． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键 是掌握相似三角形对应边成比例，等腰三角形三线合一，旋转前后对应边和对应角相等，直角三角形两直 角边平方和等于斜边平方． 题型六 相似三角形性质的实际应用 【例6】（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如ABC的锐角三角形木料，其中BC120mm， 高AD80mm，张师傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC PQ AD 上， 与 交于点H．AB PQ (1)当点P恰好为 中点时， ______； PQMN (2)当四边形 为正方形时，求出这个零件的边长； PN:PQ1:2 (3)若这个零件的边 ．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为48mm； 480 240 mm mm (3)矩形的长为 ，宽为 ． 7 7 【分析】本题考查了相似三角形的应用． PQ∥BC APQ∽ABC （1）根据 ，得到 ，利用相似三角形的性质可得到答案； amm PQ∥BC APQ∽ABC （2）设正方形的边长为 ，根据 ，得到 ，得到对应高之比等于相似比， PQ AH  ，据此求解即可； BC AD PQ AH （3）设矩形的宽为 ，则长为 ，然后根据相似三角形  ，列出比例关系式求解． x 2x BC AD PQMN 【详解】（1）解：∵四边形 为矩形， ∴PQ∥BC， ∴APQ∽ABC， PQ AP  ∴ ， BC AB ∵P为AB中点，AP 1  ∴ ， AB 2 PQ 1  ， 120 2 PQ60mm ∴ ； 故答案为：60； PQMN （2）解：∵四边形 为正方形， ∴PQ∥BC，PQPN HD， 设正方形的边长为amm，则PQPN HDamm， ∵PQ∥BC， ∴APQ∽ABC， PQ AH ∴  ， BC AD a 80a  ∴ ， 120 80 解得a48， 答：这个零件的边长为48mm； （3）解：设矩形宽为xmm，则长为2xmm， 同理APQ∽ABC， PQ AH ∴  ， BC AD 2x 80x  ∴ ， 120 80 240 480 x 2x 解得 ， ， 7 7 480 240 mm mm 故矩形的长为 ，宽为 ． 7 7 巩固训练： 1．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使 用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”， 如图 所示．图 是其工作示意图，已知 ，拉杆 ， ．若 米，则两梯杆跨度 ， 之间的距离为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质可得 ，进而可求解， 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ （米）， 故选：C． 2．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）为了测量河宽 ，有如下方法：如图， 取一根标尺 横放，使 ，并使点 ， ， 和点 ， ， 分别在同一条直线上，量得 米， 米， 米，则河宽 的长度为（ ）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【答案】C【分析】根据题意得到 ，由该相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 米， 米， 米， ∴ 米， ∴ ． ∴ 米， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，一斜坡 长 ，高 为 ，将重物从坡底A推到 坡上高度是 的M出处停下，则斜坡 的长度为 米． 【答案】15 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，作 于D，证 ，根据线段比例关 系求出 的值即可． 【详解】解：作 于D， ∴ ， ∴ ， ， ， ，故答案为：15． 4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）小明的身高是 ，他的影长是 ．同一时刻古塔 的影长是 ，则古塔的高是 ． 【答案】48 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出古塔高度即可列方程解答． 【详解】解：设古塔高度为 ，列方程得： ， 解得 ． 故旗杆的高度为 ． 故答案为：48． 【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决 问题． 5．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）小丽同学准备测量学校教学楼 的高度．如图， 她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离 为24米，然后在射线 上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离 为3米， 若小丽的眼睛距离地面高度 为 米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼 的高度． 【答案】教学大楼的高度 是 米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据 ， ，得出 ，进而得出 ，即可求解． 【详解】解：∵由题意得， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ，答：教学大楼的高度 是 米． 6．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上 前后移动，直到自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（ 米）．已知 小明的身高是1.8米（ 米），他的影长是2米（ 米），点E在AC上，且 ， ．求信号发射塔的高度 ． 【答案】信号发射塔 的高度为 米． 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明 ，利用三角形相似的性质即 可求解． 【详解】解： ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， （米）， ∴信号发射塔 的高度为 米． 7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，小明在某一时刻测得 米长的竹竿竖 直放置时影长 米，在同一时刻旗杆 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得 落在地面上影长为 米，留在墙上的影长 米，求旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为 米 【分析】此题考查相似三角形的应用；根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形 为矩形，利 用矩形的对边相等，可得 米， 米，利用 在同一时刻物高与影长的比相等 ，可 得 ，从而求出 的长，继而求出 的长． 【详解】解：如图， 过点 作 于点 ，可得四边形 为矩形， 米， 米， 由题意可得： ， 米 ， 米) ． 答：旗杆的高度为10米． 8．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根 EC AB27m 3.7m 高 的竹竿 直立在离旗杆 的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶 部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为3m，小刚的目高（眼睛到底面的距离）DF为1.7m， 则旗杆AB的高度为（ ） A．19.7m B．20.7m C．21.7m D．22.7m 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，过F 作FG AB于G, 交CE于H，利用相似三角形 的判定得出AGF∽EHF，再利用相似三角形的性质计算是解题关键.【详解】如图，设旗杆高ABxm, 过F 作FG AB于G, 交CE于H, ∴AGF∽EHF. ∵FD1.7m,GF 27330m, HF 3m, AGx1.7m EH 3.71.72m ∴ , . ∵AGF∽EHF, AG GF x1.7 30   , ∴ ，即 EH HF 2 3 所以x21.7, 故选: C. 9．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度． 工具：1.5米长的标杆和2.5米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度AB，测量过程如下： （1）小康站在河岸BD的一端点B处立了一根1.5米长的标杆BC（BC BD）； （2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根2.5米长的标杆DE（DEBD）； （3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上； （4）小康利用皮尺测出BD10米． 求解过程： ∵CB AD，ED AD，∴ABC ADE90． AB BC ∵ ，∴ ，∴  ． BACDAE △ABC∽△ADE AD DE ∵BC 1.5米，DE2.5米，BD10米，设ABx， ∴ ① ， 解得x ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度AB用到的几何知识是______． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）． x 1.5  【答案】(1) ， x10 2.5 x15 (2)相似三角形的判定与性质 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）根据利用了相似三角形的判定与性质进行作答即可； （3）如图，设计使BD、CD、CE可测量，CEBC，ABBC，通过△ABD∽△ECD，可计算求解AB 的值． 【详解】（1）解：∵CB AD，ED AD， ∴ABC ADE90． ∵BACDAE， ∴△ABC∽△ADE， AB BC  ∴ ． AD DE ∵BC 1.5米，DE2.5米，BD10米，设ABx， x 1.5  ∴ ， x10 2.5 解得x15， 答：闽江河的一条支流宽度为15米． x 1.5  故答案为： ， ； x10 2.5 x15 （2）解：由题意知，用到的几何知识是相似三角形的判定与性质， 故答案为：相似三角形的判定与性质； （3）解：如图，在河岸一边，确定恰好在同一条直线上的三点B，D，C，利用皮尺测BD、CD的长，在 端点C处，立一根2.5米长的标杆CE（CEBC），在B点正对岸点A处（ABBC），测点A，D，E恰 好在同一条直线上；由ABCE可证△ABD∽△ECD，计算求解即可；10．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端 M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线 上，此时测得DF为6米，CF为4米． 猜想与计算：已知MN ND，ABND，EF ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间 存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据： (1)直接写出平面镜到建筑物的距离CN 与建筑物高度MN之间的数量关系； (2)计算建筑物的高度MN（平面镜大小忽略不计）． 【答案】(1)CN 2MN (2)建筑物MN的高度为10米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． AB BC 1.5 3 （1）由题意得： ，证明 ，则  ，即  ，解得， ACBMCN △ACB∽△MCN MN CN MN CN CN 2MN； （2）设MN x米，则CN 2x米，由DF 6，CF 4，EF 2，可得DN 102x，证明 MN DN x 102x   ，则 ，即 ，计算求解即可． △DNM∽△DFE EF DF 2 6【详解】（1）解：由题意得：ACBMCN ， ∵MN ND，ABND， ∴ABC MNC 90， ∴△ACB∽△MCN ， AB BC 1.5 3 ∴  ，即  ，解得， ， MN CN MN CN CN 2MN ∴CN 2MN； （2）解：设MN x米，则CN 2x米， ∵DF 6，CF 4，EF 2， ∴DN DFCFCN 102x， ∵MN ND，EF ND， ∴DNM DFE90， ∵MDN EDF， ∴△DNM∽△DFE， MN DN x 102x   ∴ ，即 ，解得： ， EF DF 2 6 x10 答：建筑物MN的高度为10米． 11．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF．在河对岸有一棵 高4.64米的树GF ，树GF 在河里的倒影为HF，且GF HF，小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B 处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE0.58米，小斌的眼睛与地 AB 1.74 BC 2.7 ABBC CEEF HF EF GF EF BC∥EF 面的距离 为 米， 米， ， ， ， ， ，视线 AH 与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据，求出河的宽度EF． 【答案】河的宽度EF为8.1米【分析】首先推知ABC∽CED、CED∽HFD，利用相似三角形对应边成比例求得线段DF 7.2米， 则EF EDDF 8.1米． 【详解】解：∵BC∥EF ，ABBC，CEEF， ∴ACBCDE，ABC CED90， ∴ABC∽CED． AB BC  ∴ ， CE ED 1.74 2.7 即  ， 0.58 ED ∴ED0.9． ∵CEEF，FH EF， ∴CEDHFD90， ∵CDEHDF， ∴CED∽HFD， FH DF  ∴ ， CE ED 4.64 DF  即 ， 0.58 0.9 ∴DF 7.2， ∴EF EDDF 0.97.28.1（米）， ∴河的宽度EF为8.1米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．解决此问题的关键 在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 题型七图形的位似 【例7】（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图，正方形 网格中，ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)以原点O为对称中心，画出ABC的中心对称图形DEF ． (2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出ABC的位似三角形△HMN ，ABC与△HMN 的位似比为 1 2； (3) △HMN 的面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征，写出点D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）延长AO到H使OH 2AO，则点H为点A的对应点，同样方法作出点B的对应点M、点C的对应点 N，从而得到△HMN ； （3）采用割补法即可求解． 【详解】（1）如图，DEF 为所作； （2）如图，△HMN 为所作；1 1 1 （3） △HMN 的面积： 64 2 24 2 26 2 2410 ． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似 中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述 各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和旋转变换． 巩固训练： 1．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心， 2,1 CD2AB ．若点A的坐标为 ，则点C的坐标为（ ） 6,3 5,3 4,2 4,3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形ABC和ABC′以原点为位 x,y kx,ky ABC ABC 似中心，相似比是k， 上一点的坐标是 ，则在 中，它的对应点的坐标是 或 kx,ky ，进而求出即可． 【详解】∵AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD2AB ． 2,1 点A的坐标为 ， 4,2 ∴点C的坐标为 ， 故选C． 2．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）如图，ABC与ABC是以点O为位似中心的位似图形．若 S 4 S 25 OA:AA ABC ， △ABC ，则 的值为（ ）3 2 5 2 A． B． C． D． 2 3 5 2 【答案】B AB OA 2 5 【分析】根据位似图形得到 ，由相似三角形性质得到   ，则 OA OA ，进 △ABC∽△ABC AB OA 5 2 一步即可得到答案． 【详解】∵ABC与ABC是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△ABC， S 4 S 25 ∵ ABC ， △ABC ，  AB  2  OA 2 S 4      ABC  ∴ AB OA S 25， ABC AB OA 2   ∴ ， AB OA 5 5 OA OA ∴ ， 2 3 AAOAOA OA ∴ ， 2 2 OA:AA2:3 ∴ ， 3 故选：B． 【点睛】此题考查了位似图形、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·广东深圳·深圳市罗湖区翠园东晓中学校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，AOB的顶点 A3，1，B2，0，O0，0 AOB 分别为 ，若以原点为位似中心，相似比为2，将 放大，则点A的对应点的坐 标为 ． 6，2 6，2 【答案】 或【分析】分AOB关于原点的位似图形与AOB在原点同侧和异侧两种情况求解即可． AOB AOB 32，12 【详解】解：当 关于原点的位似图形与 在原点同侧时，点A的对应点的坐标为 ， 6，2 即 ； AOB AOB 23，21 6，2 当 关于原点的位似图形与 在原点异侧时，点A的对应点的坐标为 ，即 ； 6，2 6，2 综上所述，点A的对应点的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k． 4．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，ABO与△ABO是以原点O为位似中心的位似图形， 3,2 且相似比为 3:1 ，点A 的坐标为 ，则点A的坐标为 ． 9,6 【答案】 【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原 图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．把点A的横纵坐标分别乘以3即可得到 点A的坐标． 【详解】解：由题意得：ABO与△ABO是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3:1， A3,2 又∵ ，且原图形与位似图形是异侧， 轾3�(-3)，�2 ( 3) 9,6 ∴点A的坐标是 臌 ，即点A的坐标是 ． 9,6 故答案为： ．A3,0 ABC 5．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图， 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 ， B4,2 C2,4 ， （正方形网格中每个小正方形的边长为1）． O ABC △A 1 B 1 C 1 △A 1 B 1 C 1 ABC 2:1 (1)以点 为位似中心，在第一象限画出 的位似图形 ，使 与 的位似比为 ； (2)若点 Pm,n 是 ABC 上的任意一点，则变换后的对应点 P 1的坐标是______． 【答案】(1)见解析 2m,2n (2) 【分析】本题考查了作图——位似变换、坐标系与位似图形： OC OC 2OC C B A （1）连接 并延长，使得 1 ，得点 1，同理得：点 1，点 1，依次连接，即可求解； （2）根据位似变换的性质即可求解； 熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． OC OC 2OC C 【详解】（1）解：连接 并延长，使得 1 ，得点 1， B A 1 1 同理得：点 ，点 ，依次连接， △ABC 1 1 1 如图所示， 即为所求：（2）根据 △A 1 B 1 C 1与 ABC 的位似比为 2:1 得： Pm,n P 2m,2n 变换后的对应点 1的坐标为： ， 2m,2n 故答案为： ． 6．（2023上·湖南常德·九年级统考期中）如图，两个相似图形ABO和△ABO，若OA:OA4:1，则 AB:AB  ． 【答案】4:1 【分析】已知两个图形是位似图形，则其相似，根据相似比可求解． 【详解】解：∵ABO和△ABO是位似图形， ∴ABO∽ABO， ∴AB：ABOA：OA 4：1， 故答案为：4:1． A2,1 B3,3 C4,2 7．（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．(1)画图：以O点为位似中心将ABC向右侧放大两倍； ABC Pa,b Pa,b (2)若 内有一点 ，则放大后点 对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 2a,2b (2) 【分析】本题考查了位似图形的基本概念， （1）位似中心是坐标原点，且向右放大两倍，可以得到相似比为2，通过连接AO、BO、CO，分别乘以 相似比，得到新的三角形即为向右放大两倍的图形； （2）根据位似图形的基本概念，坐标系中的位似图形，在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 kk 0 横坐标、纵坐标都乘以一个数 ，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似 k k k 比为 ．此时，位似图形对应点的坐标为原来点的坐标乘以（或除以） 或 ．因此三角形内一点，放大 后对应坐标乘以相似比得到对应点的坐标． AO C OC 2OA BO B 1 【详解】（1）如图所示，连接 并延长至点 ，使得 ；连接 并延长至点 ，使得 OB 1 2OB ；连接 CO 并延长至点 C 1，使得 OC 1 2OC ， CC 1 B 1为所求作的三角形；Pa,b 2a,2b （2）由位似图形的基本概念知，放大后点 对应点的坐标是 ． 2a,2b 故答案为 ． A1,2 B3,1 ABC 7．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， C2,3 ． ABC x △A 1 B 1 C 1 (1)画出 关于 轴对称的 ； O △ABC △ABC 2:1 (2)以原点 为位似中心在第二象限内画一个 2 2 2，使它与 1 1 1 位似，且相似比为 ； △ABC M a,b M △ABC M (3)若 1 1 1内部一点 1的坐标为 ，则点 1在 2 2 2中的对应点 2的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析2a,2b (3) 【分析】本题考查了作轴对称图形，画位似图形，位似图形的性质 （1）根据轴对称的性质作图即可； △ABC 2 2 2 （2）依据位似中心及位似比的大小即可作出 ； （3）根据位似图形的性质，将横纵坐标乘以2，即可求解． △ABC 1 1 1 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求． △ABC 2 2 2 （2）解：如图所示，． 即为所求；（3）∵ △A 2 B 2 C 2与 △A 1 B 1 C 1位似，原点 O 为位似中心，且位似比为 2:1 ， △A 1 B 1 C 1内部一点 M 1 的坐标为 a,b ， M 2a,2b ∴ 2的坐标是 ABC A(0,- 3) B(3,-2) 8．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， C(2,-4)． △A 1 B 1 C 1 △A 1 B 1 C 1 ABC x (1)在网格中画出 ，使 与 关于 轴对称； △ABC △ABC ABC C 2 2 2 2 2 2 2 (2)在网格中画出 ，使 是 的位似图，且位似中心为点 ，位似比值为 ； B B 1 2 (3)写出 ， 两点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； B(3,2) B（4，0） (3) 1 ， 2 ． 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换作图，根据要求正确画出图形是解题的关键． A(0,3) B(3,2) C (2,4) （1）确定对称点坐标 1 ， 1 ， 1 ，描点，连线即可； （2）根据位似性质，描点，连线即可； B(3,2) B（4，0） （3）根据（1）（2）中图可直接写出 1 ， 2 ．A(0,- 3) B(3,-2) C(2,-4) x A(0,3) B(3,2) C (2,4) 【详解】（1）解： ， ， 关于 轴对称的为 1 ， 1 ， 1 ， △A 1 B 1 C 1 ABC x ∴如图所示： 与 关于 轴对称． △ABC ABC C 2 2 2 2 （2）解：如图所示， 即为 以点 为位似中心的位似图，且位似比值为 ． B (3,2) 1 （3）解：由（1）可知，点 的坐标为 ， B (4,0) 2 由（2）可知，点 的坐标为 ． 9．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，且每个小正方形的顶点称为格点，OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度 的直尺，且保留必要的画图痕迹）BO △OBC △OBC∽△ABO (1)在图1中，以 为边，画出 ，使 ，C为格点； OD 2 (2)在图2中，以点O为位似中心，在网格中画出 ，使 与 位似，且位似比 ，点 ODE ODE OAB OA D、E为格点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 △OBC AOC 90 △OBC∽△ABO 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出 ，满足 ，则满足 ； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出ODE． 【详解】（1）解：如图，△OBC即为所求作； （2）如图，ODE即为所求作． 【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．1313 ABC M(1,2) 10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在 的网格中，已知 和点 ． (1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出ABC的位似图形ABC； (2)写出ABC的各顶点坐标． 【答案】(1)见解析 A(3,6),B(5,2),C(11,4) (2) 【分析】（1）位似比为2，又知位似中心M，利用位似图形的性质以A，B，C为关键点，作射线得各对应 点位置，连接即可； （2）利用所画图形即可求解． 【详解】（1）解：ABC如图所示； ABC A(3,6),B(5,2),C(11,4) （2）解： 的各顶点坐标为： ；【点睛】本题是一道关于位似变换作图的问题，得出对应点位置是解题关键． 11．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，AOB的三个顶点的坐标分别为 A6,3 O0,0 B0,6 ， ， ． 1 (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将AOB缩小得到 △A 1 OB 1 ，相似比为2，请画出 △A 1 OB 1 ； A 1 (2)直接写出点 的坐标（______，______）； △AOB 1 1 (3)求出 的面积． 【答案】(1)见解析 3 3, (2) 2 9 (3) 的面积为 △AOB 2 1 1 AOB B 1 ,A 1 【分析】（1）根据 的三个顶点，位似比的值，可算出点 的坐标，连接即可求解； （2）根据相似比即可求解； （3）根据图形，运用三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵ A6,3 ， O0,0 ， B0,6 ，以原点O为位似中心，相似比为 1 2， ∴OB6， OB 1 OB 1 1  1  ∴ ，即 ， OB 2 6 2OB 3 B(0,3) 1 1 ∴ ，则  3 同理，A 3, ，连接 ，如图所示， 1  2 AB 1 1 ∴△AOB 即为所求图形． 1 1 A6,3 1 （2）解：根据题意， ，位似比为2，  3 ∴A 3, ， 1  2 3 3, 故答案为： 2．  3 A 3,  （3）解：∵ 1  2，B 1 (0,3)， 1 1 9 ∴S  OBx  33 ， △A1OB1 2 A 2 2 9 ∴ 的面积为 ． △AOB 2 1 1 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的 关键． O A，B A(3,1) 12．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图， 为坐标原点， 两点的坐标分别为 ， B(2,1)．AOB y △AOB 1 1 (1)作出 关于 轴对称的 ． (2)将AOB沿着x轴的负方向平移2个单位长度，再沿着 y 轴的正方向向上平移2个单位长度得到 △A BO △A BO 2 2 1 2 2 1 ，请作出 ． y O OAB OA 3 B 3 A 3 B 3 :AB2:1 (3)在 轴的左侧以 为位似中心，作 的位似三角形 ，使得 ，并分别写出点 A，B A B 3 3 的对应点 ， 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 A (6,2) B (4,2) (3)见解析， 3 ， 3 A、B △AOB 【分析】（1）先求出 1 1点的坐标，再连接线段，即可画出 1 1． A，B，O A，B，O （2）利用平移变换的性质分别作出 的对应点 2 2 1即可． A B 3 3 （3）根据位似的定义，先求出 ， 点的坐标，再连接线段即可． △AOB 1 1 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求,△A BO 2 2 1 （2）解：如图所示， 即为所求, OAB 3 3 （3）解：如图所示， 即为所求, AB :AB2:1 A(3,1) B(2,1) 3 3 ∵ ， ， ， A (6,2) B (4,2) ∴ 3 ， 3 【点睛】本题考查作图之旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换 的性质．