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第二十七章 相似真题模拟题拔高训练
1．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线 交 ， 于点D，E，连接 ．下列说法错
误的是（ ）
A．直线 是 的垂直平分线 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线 是 的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定
和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线 是 的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线 是 的垂直平分线，
∴点E是 的中点， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即点D是 的中点，
∴ ，
故选项正确，不符合题意；C．∵点D是 的中点，点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选项正确，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中
位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
2．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、
轴交于 两点，且与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 ．若点 坐标为 ，则
的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 轴于点 ，则 ，可得 ，进而根据已知条件的 ，
求得直线 的解析式，将 代入，得出点 的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，则
∴
∴
∵ ,
∴
∴
解得：
∵点 在 上，
∴
解得：
∴直线 的解析式为
当 时，
即
又反比例函数 在第一象限内的图象交于点
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点 的坐标是解题的关键．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图， ， 相交于点 ， ， 是 的中点，
，交 于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据 可得 ，从而得到 ，再根据 得到 ，
从而得到 ，最后得到 即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．
4．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，
与 相交于点G，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明 ， ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
， ，
，，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质
是解题的关键．
5．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 都在反比例函数
的图象上，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点 ，
连接 .若 ， 的面积是 ，则 的值为 .
【答案】6
【分析】过点B作 于点F，连接 ，设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则
，证明 ，则 ，得到 ，根据 ，进一步
列式即可求出k的值.
【详解】解：过点B作 于点F，连接 ，设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则
，
∵ ，∴ ，
∵ 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：6
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 是解题的关键.
6．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点P，Q分别在 和
上， ，M为 上一点，且满足 ．连接 、 ，若 ，则 的长为
．【答案】3
【分析】可令 的长为x，证明 ，可得 ，即 ，从而可得 ，
，最后利用 进行求解即可．
【详解】解：设 的长为x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，通
过相似比找出其他线段与 的关系是解题的关键．
7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落
在 上， 与 交于点E若 ，则 （从“ ”中选择
一个符合要求的填空）； ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据旋转的性质得出 ，即可推出 ；通过证明 ，得出
，求出 ，设 ， ，则 ， ，证明 ，得出
，则 ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
把 代入 解得：
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握
相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例．
8．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜
寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某
数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的
高度为 ，选取与塔底 在同一水平地面上的 、 两点，分别垂直地面竖立两根高为 的标杆 和
，两标杆间隔 为 ，并且东塔 、标杆 和 在同一竖直平面内．从标杆 后退 到
处（即 ），从 处观察 点， 、 、 在一直线上；从标杆 后退 到 处（即
），从 处观察A点，A、 、 三点也在一直线上，且 、 、 、 、 在同一直线上，请你根据以
上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔 的高度．【答案】36m
【分析】设 ，则 ，通过证明 ，得到 ，即 ，同理得
到 ，则可建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设 ，则
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
同理可证 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
∴ ，
∴该古建筑 的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
9．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图， 为 的直径， 和 相交于点F， 平分 ，
点C在 上，且 ， 交 于点P．(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得 ，再证 ，则 ，然
后证 ，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得 ，再证 ，然后证 ，得
，即可得出结论；
（3）过P作 于点E，证 ，再证 ，得 ，则
，进而得 ，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图2，过P作 于点E，由（2）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判
定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角
定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是正方形，点M在 上，点N在 的延长线
上， ，连接 ， ，点H在 的延长线上， ，点E在线段 上，且
，将线段 绕点E逆时针旋转得到线段 ，使得 ， 交 于点F．
(1)线段 与线段 的关系是______．
(2)若 ， ，求 的长．
(3)求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求证 ，即可得证结论 ；
（2）由题知， ，于是 ，可证 ，所以 ，于是 ；
（3）连接 ，令 ，则 ， 中， ，可求
，所以 ，得证 ；延长线段 至点I，使 ，
可证 ，得 ，于是 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， .
∴
又∵ ，
∴
∴ ．
（2）解：由题知， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：连接 ，令 ，则 ，
中， ，
∴ ．
中， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
延长线段 至点I，使 ，连接 ，则 垂直平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·上海杨浦·统考一模）已知 是线段 的黄金分割点，且 ，那么下列等式能成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是
掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，故选：A．
2．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知 与 位似，位似中心为 ，且 的面积与
的面积之比是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的
面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到 ，根据相似三角形的性
质得到 ，证明 ，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵ 与 位似，位似中心为 ，
∴ ， ，
∵ 的面积与 的面积之比是 ，
∴ 的面积与 的相似比是 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图， 中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，
分别交 ，B于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线
，交 于点D，过点D作 交 于点H．已知 ， ，则 的长为（ ）A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线及平行的性质可得 ，再证明 ，最后根据相似三角形的
性质求解即可．
【详解】解：由题意可知 平分 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的作法，平行的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比
例进行解题是关键．
4．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面 的
距离为 米，车头 近似看成一个矩形，且满足 ，若盲区 的长度是 米， 则车宽
的长度为（ ）米.A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，根
据题意，设 米，由 得， ，证明 ，得出 ，根据
列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，
则 ，设 米，
由 得， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故选：D．
5．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图， 与 是以点O为位似中心的位似图形，若 ，， ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若两个图形 和 以原点为位似中心，相似比是 ， 上一点的坐标是 ，则在
中，它的对应点的坐标是 或 ，进而求出即可．
【详解】解： ，
，
∴相似比为
∵ ，
点 的坐标为： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对
应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在等腰 中， ，点D是 上一点，且 ，
连接 ，将 沿 翻折，得到 ， 与 交于点F．若 ， 的面积分别为1和
16，则 （ ）A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据已知易证 ，从而求出对应边的比，然后设 ，表示出 与
的长，再根据 ，求出 ，最后进行计算即可解答．
【详解】解： ，
，
由折叠得： ，
，
，
，
的面积分别为1和16，
，
，
∴设 ，
，
，
设 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解题的关键．
二、填空题
7．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在 中，D为 边的中点，点E在线段 上， 的延
长线交 边于点F，若 ， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ,由平行线分线段成比例定理得 ，求得 ，再结合中点进
一步可得 ，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ；
则 ；
而 ， ，
；
为 边的中点，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
8．（2024·上海杨浦·统考一模）如图，在 中，点 是重心，过点 作 ，交边 于点 ，
连接 ，如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接 ，延长
交 于点 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是熟练掌握基本知识的
应用．
【详解】连接 ，延长 交 于点 ，
∵点 是重心，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（2023上·河南焦作·九年级校联考期中）如图：正方形 中， ， 为对角线，P为
内一点，连接 、 、 ，若 ， ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题关键．设 ，先证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，
，再在 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：设 ，
∵正方形 中， ， 为对角线，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
， ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
即 的长度为 ，
故答案为： ．
10．（2023·浙江·九年级统考期中）如图，在 中， ，动点 从 点出发到 点
止，动点 从 点出发到 点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 两点同时
出发，则当以点 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 s．
【答案】3或4.8
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：① 与 对应；②
与 对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则 ．
①当D与B对应时，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②当D与C对应时，有 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s，
故答案为：3s或4.8s．
11．（2023·广东广州·广州市第十六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点为
， ，以O为位似中心，在第三象限内作与 的位似比是 的位似图形 ，则点C
的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的性质计算即可．在平面直角坐标系中，如果位似变换是
以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
【详解】解： 与 是位似图形，位似比为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
12．（2023·陕西西安·校考一模）如图，在四边形 中， ， ，
， ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】将 绕点A顺时针旋转至 ，可推得 及 ，由勾股定理将
用 表示出来，求得 的最小值，再结合 ，可得答案．
【详解】解：如图，将 绕点A顺时针旋转至 ，使 与 重合，连接 ，
则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值为∵ ，
∴
∴ 的最小值是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相
关性质及定理是解题的关键．
13．（2023·山西晋城·模拟预测）如图， 在第一象限，其面积为 点 从点 出发，沿 的边从
运动一周，在点 运动的同时，作点 关于原点 的对称点 ，再以 为边作等边三角形
，点 在第二象限，点 随点 运动所形成的图形的面积为 ．
【答案】24
【分析】设 点对应的 ， ， 的点分别为 ， ， ，由 是等边三角形，得出
，同理 ，又因 ，得出 ，得出 ，同
理， ， ，所以 的面积是 的3倍．求出点 随点 运动所形
成的图形的面积为24．
【详解】解：如图， 点 从点 出发，沿 的边从 运动一周，且点 关于原点 与点
对称，点 随点 运动所形成的图形是 关于 的中心对称图形，
以 为边作等边 ， 点对应的 ， ， 的点分别为 ， ， ，
是等边三角形，
，
同理 ，
，
，
，
，
，
同理， ， ，
的面积 ，
即点 随点 运动所形成的图形的面积为24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了轨迹，轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出 与
边长的关系．
三、解答题
14．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中
找一格点满足下列要求：
(1)在图①中，将 平移，使点 平移到点 ，画出经平移后得到的 ．
(2)在图②，作 的高线 ．
(3)在图③中， 是 与网格的交点，在线段 上画一点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的高的定义作出图形即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：如图，高线 即为所求，
过点B作 的长方形的对角线即可；（3）解：点 即为所求，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题是几何变换综合题， 考查作图 应用与设计作图，解题的关键是理解三角形的高，掌握平行
线分线段成比例定理．
15．（2023·河南新乡·校联考三模）如图， 是 的直径，点 为 上一点，连接 ， ，过点
作 的切线．交线段 的延长线于点 ．
(1)尺规作图：作 的平分线，交线段 于点 （不写作法，只保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若 的半径为2， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作角平分线的步骤逐步画图即可；
（2）由（1）得 平分 ，可得 ．证明 ．可得 ．证明
．而 ，可得 ．求解 ．再结合切线的性质与勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，射线 即为 的平分线．
．
（2）解：由（1）得 平分 ，
∴ ．
由同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，可知 ．
∴ ．
∴ ．而 ，
∴ ．
∴ ．
与 相切于点 ，
∴ ．
∵ 的半径为2，∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，切线的性质，圆周角定理的应用，平行线分线段成比例的应用，勾股定理的应用，掌握圆中的基本定理与圆的性质是解本题的关键．
16．（2023·广东阳江·统考一模）如图， 是 的直径，点C是圆上的一点， 于点D， 交
于点F，连接 ，若 平分 ，过点F作 于点G交 于点H．
(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 和 交于点E，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形相似的性质和判定，切线的判定等知识．
（1）如图1，连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，由角平分线的定义得到
，等量代换得到 ，根据平行线的判定定理得到 ，由平行线的性质
即可得到结论；
（2）设 ，则 ，根据平行线的性质得 ，证明 ，根据相似三
角形的性质即可得解．
【详解】（1）如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
17．（2023·广东阳江·统考二模）有一张矩形纸片 ，其中 ， ，现将矩形纸片折叠，
点D的对应点记为点P，折痕为 （点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．(1)当点P与点A重合时， °，当点E与点A重合时， °；
(2)如图1，若点P为 的中点，求 的长；
(3)如图2，若点P落在矩形 的外部，点F与点C重合，点E在 上， 与 交于点M，当
时，请求出 的长．
【答案】(1)90，45
(2)
(3)
【分析】（1）当点P与点A重合时， 是 的中垂线，即可解答；当点E与点A重合时，此时
；
（2）设 交 于点T，根据勾股定理得出 ，则 ，通过证明 ，得
出 ，进而求出 ，最后根据 ，即可求解；
（3）连接 ，先证明 ，设 ，则 ，则 ，则
， ，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当点P与点A重合时，如图 ，
∵ 是 的中垂线，
∴ ，
当点E与点A重合时，如图 ，此时 ；
故答案为：90，45；
（2）解：如图 中，设 交 于点T，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
18．（2024·上海杨浦·统考一模）已知：如图，在等腰梯形 中， ， ，点 在边
上， 与 交于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)如果点 是边 的中点，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关
键．
(1)先证明 ，得到 ；再证明 ，得到 ，等量代换即
可．(2)先 ，得到 ；再证明 ，得到 ，等量代换即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵等腰梯形 中， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
（2）∵等腰梯形 中， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是边 的中点，
∴ ．
∴ ；
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
19．（2023·广东清远·统考三模）平行四边形 的对角线相交于点M， 的外接圆交 于点E
且圆心O恰好落在 边上，连接 ，若 ．
(1)求证： 为 切线；
(2)求 的度数；
(3)若 的半径为1，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据圆周角定理得到
，根据平行线的性质得到 ，即可得到结论；
（2）连接 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据直角三角形的性质得到 ，求得
，于是得到 ；
（3）连接 ，过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到 ，则
，所以 ， ， ，再证 ，得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 为 的半径，
∴ 为 切线；
（2）解：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 ，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ，负值舍去．
【点睛】本题考查了圆的综合题，需要掌握切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角
形的判定和性质，相似三角形的判定及性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出
发，沿 以每秒 个单位的速度向终点 运动；点 从点 出发，沿 以每秒 个单位的速度向终
点 运动，当点 停止运动时，点 也随之停止．点 、 同时出发，设点 的运动时间为 秒 ．
求：
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)当 为何值时， ；
(3)当 时，求 的长；
【答案】(1) ；
(2) 时， ；
(3)
【分析】（1）首先求出 的长度，然后用 的长度减去 的长度，求出 的长度是多少即可．
（2）在 中，由勾股定理，先求出 的长．再证 ,利用相似三角形的性质得 ，
进而构造方程 ，求解方程即可；
（3）作 于点 ，证 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，进而得
，再利用勾股定理即可得解。
【详解】（1）解：∵点 从点 出发，沿 以每秒 个单位的速度向终点 运动，
∴ ，
又∵ ，∴ ．
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ 即 ，
∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：如图，当 时， ,如图，作 于点 ，
，∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ 即 ，
解得 ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，垂线的定义以及列代数式，熟练掌握相似
三角形的判定及性质是解题的关键
