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3.4 一元一次不等式组
课标要点
1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念。
2.掌握解一元一次不等式组的步骤，会求解每个不等式并利用数轴确定公共解集。
3.熟记一元一次不等式组四种解集情况，能快速判断有解、无解情形。
4.能结合实际问题列不等式组求解，会根据实际条件取舍整数解、合理取值。
学习重难点
重点：
1.掌握一元一次不等式组的解法；
2.利用数轴准确找公共解集；
3.会解基础含不等式组的题型与简单实际问题。
难点：
1.准确区分四种解集类型，判断不等式组无解、有解情况；
2.借助数轴规范找公共部分，避免解集取值错误；
3.结合实际情境对不等式组解集进行合理取舍。
知识点
一元一次不等式组的概念
1. 一元一次不等式组：一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元
第三章
一元一次不等式
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一次不等式组。
2. 不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共
部分时，称这个不等式组无解。
随学随练
1．下列不等式组：①{𝑥≥−4
𝑥＞−3
；②{
𝑥＞0
𝑥+ 2＞4
；③{𝑥2 + 1＞0
𝑥+ 2＞4
；④{
𝑥+ 3＞0
1
𝑥＞0
；⑤{𝑥+ 1＞0
𝑦−1＞0
；
⑥{
𝑥+ 1＞3
2𝑥−1＞𝑥
3𝑥+ 2＞1 −𝑥
；⑦{
3𝑥−2＞0
(𝑥−2)(𝑥+ 3)＞0
，其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
知识点
解一元一次不等式组（重点）
1. 解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出不等式组中各不等式的解集；
②将各不等式的解集在数轴上表示出来；
③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
2. 一元一次不等式组的解集确定方法如下表所示：
不等式组
设𝑎＞𝑏
解集
数轴上的表示
口诀
{𝑥＞𝑎
𝑥＞𝑏
𝑥＞𝑎
同大取大
{𝑥＜𝑎
𝑥＜𝑏
𝑥＜𝑏
同小取小
{𝑥＞𝑎
𝑥≤𝑏
无解
大大小小无处找
b
a
b
a
b
a
易错提醒
1）未知数必须统一，含不同未知数的不等式不能组成不等式组；
2）单个不等式不能叫不等式组；
3）误认为不等式组一定有解，部分不等式组无解（无公共区域）。
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{𝑥＜𝑎
𝑥≥𝑏
𝑏≤𝑥＜𝑎
大小，小大中间找
随学随练
1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）不等式组{3𝑥−1 > 2
5 −𝑥≥1
的解集是（ ）
A．1 < 𝑥≤4
B．𝑥> 1
C．𝑥≤4
D．1 ≤𝑥< 4
2．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）解不等式组：{
5𝑥+ 3 > 4𝑥
①
15 −9𝑥> 5 −4𝑥
②
，并将解集在数轴上表示出
来．
3．（25-26 七年级下·上海普陀·期末）解不等式组：{
2(𝑥+ 1) > 𝑥+ 3
𝑥+5
2 −𝑥≥1
并将解集在数轴上表示出来．
知识点
一元一次不等式组的实际应用
用一元一次不等式组解决实际问题与一元一次不等式解决实际问题的步骤、方法一致。
随学随练
1．（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进𝐴，𝐵两种商品，𝐴商品每件的进价为100 元，𝐵商品每件
b
a
易错提醒
1）解单个不等式时，乘除负数忘记变号，导致整体解集错误；
2）不用数轴，仅凭口诀容易判断错含参、边界复杂题型；
3）公共部分判断失误，混淆空心、实心边界；
4）求整数解时多取、漏取边界数值。
易错提醒
1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程；
2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）；
3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值；
4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小；
5）设未知数语句不规范。
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的进价为60 元，该商场计划购进𝐴，𝐵两种商品共60 件，且购进𝐵商品的件数不少于𝐴商品件数的2
倍．若𝐴商品按每件150 元销售，𝐵商品按每件80 元销售，为满足销售完𝐴，𝐵两种商品后获得的总利润不
低于1770 元，则购进𝐴商品的件数为多少？
拓展
解不等式组与解单个不等式区别对比
对比维度
单个一元一次不等式
一元一次不等式组
式子构成
仅含一个不等式
由多个同未知数的一元一次不等式组成
解集逻辑
直接求解，结果唯一范围，不存在无解情
况
需取多个解集的公共部分，无公共部分则无解
解题关键
掌握不等式性质，重点注意变号规则
先单独求解，再借助数轴找公共重叠区域
活学活用
1．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式
1+2𝑥
3
≥−1，并将解集表示在如图所示的数轴上．
2．（25-26 八年级下·广东茂名·期末）解不等式组{ 3𝑥+ 5 > 2
1 −2𝑥≥−3
拓展
不等式组高频易错点归纳
1. 解集公共区域易错：解不等式组核心是取公共部分，不可直接套用单个不等式解集，容易忽略重叠范
围导致解集偏大或偏小。
2. 无解判定易错：混淆“大大小小无解”和“大小小大有解”模型，记错口诀，错误判定不等式组解集
情况。
3. 临界符号易错：忽略不等号是否带等号，混淆实心、空心端点，导致区间取值范围出错。
4. 概念易错：不等式组无解不代表不等式无解，是指多个不等式的解集无公共重合区域，单个不等式本
身有解集。
活学活用
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1．已知关于𝑥的不等式组{3𝑥< 2 −𝑎
𝑥< 1
(1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求𝑎的值；
(2)若第二个不等式的解都是第一个不等式的解，求𝑎的取值范围．
2．解不等式组：{
4𝑥> 2𝑥−6
𝑥−1
3 ≤
𝑥+1
9
，并把解集在数轴上表示出来．
3．解不等式组：{
4𝑥< 𝑥+ 2①
𝑥−1
9 ≤
𝑥+1
3 ②
把它的解集在数轴上表示出来并求整数解．
题型
识别一元一次不等式组
▌例1．（25-26 七年级下·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．{𝑥+ 𝑦> 3
𝑥< 1
B．{𝑥≥3
𝑥> 1
C．{𝑥2 = 5
𝑥< 2
D．{
𝑥< 3
1
𝑥> 1
▌对点练1-1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A．{ 𝑥+ 3 < 2
𝑥−2 > −6
B．{𝑥2 −𝑥> 1
𝑥−1 < 0
C．{3𝑥−𝑥> 𝑥+ 1
𝑥+ 𝑦< 0
D．{𝑥+ 𝑦> 0
𝑥−𝑦< 0
▌对点练1-2．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①{𝑥> −2
𝑥< 3
；②{
𝑥> 0
𝑥+ 2 > 4
；③{𝑥+ 1 > 0
𝑦−4 < 0
；④{𝑥+ 3 > 0
𝑥< −7
；⑤{𝑥2 + 1 < 𝑥
𝑥3 + 2 > 4
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型
解一元一次不等式组
解题贴士
由两个及以上一元一次不等式组成的整体即为一元一次不等式组，核心满足：只含一个未知数、未知数
次数为1、整式不等式。
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▌例1．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）不等式组{
2𝑥+ 1 > 3
1
2 𝑥−2 ≤0 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例2．（25-26 七年级下·江西上饶·期末）解不等式组{
2𝑥−1 ≤5①
5(𝑥+ 3) > −𝑥−3②
，并将解集表示在数轴上．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东清远·期末）不等式组{2𝑥−1 > 3
−3𝑥≥−9
解集表示正确的是（ ）
A．𝑥< 3
B．2 < 𝑥≤3
C．𝑥> 2
D．𝑥≤3
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）解不等式组{
3𝑥≤𝑥+ 2
1 +
𝑥−1
2 >
𝑥
3
．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·广西河池·期末）解不等式组{ 𝑥+ 2 > 0
2𝑥−1 ≤3
，并将不等式组的解集在数轴上表
示出来．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）解不等式组{
2𝑥+ 3 < 𝑥+ 11 ①
2𝑥+4
3
≥3 −𝑥 ②
▌对点练1-5．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤9
𝑥+1
2 −1 < 𝑥
，并把解集在数轴上表示出
来．
题型
由一元一次不等式组的解集求参数
解题贴士
1）分别解出组内每个不等式的解集；
2）借助数轴或口诀确定公共解集；
3）最终写出不等式组解集。
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▌例1．（25-26 七年级下·山东东营·期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥< 𝑛
解集为𝑥≤6，则𝑛取值范围是（ ）
A．𝑛≥6
B．𝑛≤6
C．𝑛< 6
D．𝑛> 6
▌例2．（25-26 七年级下·青海玉树·期末）已知关于𝑥的不等式组{𝑥+ 𝑏< 2𝑥−3
𝑥< 𝑎
的解集为−2 < 𝑥< 3，则
𝑎+ 𝑏的值为________．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）若关于𝑥的不等式组{𝑥+ 9 < 4𝑥−3
𝑥≥𝑚
的解集是𝑥> 4，则𝑚
的取值范围是（ ）
A．𝑚≥4
B．𝑚≤4
C．𝑚< 4
D．𝑚= 4
▌对点练1-2．（2026·山东德州·二模）不等式组{𝑥> 1
𝑥> 𝑎
的解集为𝑥> 𝑎，请你写出一个符合条件的𝑎的值
_____．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川成都·期中）已知关于𝑥的不等式组{𝑥−𝑎≥1
𝑥−𝑏< 2
的解集是−1 ≤𝑥< 5，则
𝑎𝑏的值是_____．
题型
根据一元一次不等式组解集的情况求参数
▌例1．（25-26 七年级下·陕西安康·期末）若关于x 的不等式组{
𝑥−𝑎< 0
7−6𝑥
2
≤8 有且只有3 个整数解，则a 的取
值范围为（ ）
A．1 < 𝑎≤2
B．1 < 𝑎< 2
C．1 ≤𝑎< 2
D．1 ≤𝑎≤2
▌例2．（25-26 七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x 的不等式组{5 −3𝑥≥−1
𝑎−𝑥< 0
有解，则a 的取值范围是
_________．
解题贴士
1）先解含参数的不等式组，得到带参数的解集；
2）结合题目给出的已知解集，通过对应相等、边界匹配列等式或不等式，求解参数范围，重点验证端点
能否取等。
解题贴士
易错：①有解、无解的临界边界搞反；②整数解个数题型，漏卡临界值导致范围偏大/偏小；③端点等
号取舍错误，是高频扣分点；④忽略参数为整数、实数的题干限制。
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▌例3．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）若关于𝑥的不等式𝑥−5 >
𝑥+1
2 −1的解都能使不等式𝑥≥
𝑚−6
3
−2𝑥
成立，求𝑚的取值范围．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）不等式组{𝑥> 2
𝑥≤𝑚
无解，则m 的取值范围是（ ）．
A．𝑚< 2
B．𝑚≤2
C．𝑚> 2
D．𝑚≥2
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·江苏扬州·期末）若关于x 的不等式组{3𝑥+ 5 ≥−7
𝑥−𝑎< 2
的所有整数解的积大于
10，则实数a 的取值范围是__________．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）若关于𝑥的不等式组{
𝑥<
1
3 𝑎
𝑥−1 ≥
2𝑥−7
3
有且只有2 个偶数解，
则满足条件的𝑎的偶数解的个数为________．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知关于𝑥的不等式组{𝑥−𝑎> 0
3 −𝑥> 0
(1)当𝑎= 2时，求不等式组的解集；
(2)若不等式组有3个整数解，求𝑎的取值范围；
(3)若不等式组无解，直接写出𝑎的取值范围．
题型
不等式组与方程组结合
▌例1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y 的方程组{ 2𝑥+ 5𝑦= 3𝑚
𝑥−3𝑦= 2 + 𝑚
的解满足3𝑥+ 2𝑦> 7，则整数m 的
最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
▌例2．（25-26 七年级下·湖南怀化·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这
个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程3𝑥−6 = 0的解是𝑥= 2，同时𝑥= 2也是不
等式2𝑥+ 5 > 0的解，则方程3𝑥−6 = 0的解𝑥= 2是不等式2𝑥+ 5 > 0的“内含解”．
(1)判断方程4𝑥+ 5 = 𝑥−1的解是不是不等式
𝑥−2
4 > 0的“内含解”，并说明理由；
(2)若关于𝑥，𝑦的方程组{3𝑥+ 2𝑦= 4𝑘+ 2
2𝑥+ 3𝑦= 𝑘−7
的解是不等式𝑥+ 𝑦> 3的“内含解”，求𝑘的取值范围；
(3)若关于𝑥的方程𝑥−𝑚=
1
3的解是不等式组{ 𝑥+ 1 > 0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”，且该不等式组恰好有4 个整数解，
解题贴士
先解二元一次方程组，用参数表示未知数的解；再将解代入不等式组，得到关于参数的不等式，求解参
数取值范围，必要时取整数解。
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求𝑚的取值范围．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）若关于x，y 的方程组{2𝑥+ 𝑦= 𝑚−3
𝑥+ 2𝑦= 2𝑚
的解满足𝑥−𝑦<
0，则m 的取值范围是______．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·四川达州·期末）已知关于x，y 的方程组{
𝑥−𝑦= 1
𝑥+ 𝑦= 2𝑎+ 3
中x，y 均大于
0．若a 与正数b 的和为4，则𝑎−𝑏的取值范围是_______．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东临沂·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的
值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”．
例：已知方程2𝑥−3 = 1与不等式𝑥+ 3 > 0，方程的解为𝑥= 2，使得不等式也成立，则称“𝑥= 2”为方程
2𝑥−3 = 1和不等式𝑥+ 3 > 0的“琅琊解”．
(1)𝑥= −1是方程2𝑥+ 3 = 1和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号）
①𝑥−1 >
3
2；②2(𝑥+ 3) < 4；③
𝑥−1
2 < 3．
(2)若关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑎+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑎−5
和不等式组{𝑥> 𝑦−5
𝑥−𝑦< 1
有“琅琊解”，求𝑎的取值范围，
并化简|𝑎+ 9| + |𝑎−1|；
(3)若关于𝑥的方程𝑥−4 = −3𝑏和关于𝑥的不等式组{2𝑥+ 3 ≥2𝑏+ 1
𝑥−1 < 4
有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有
4 个，试求𝑏的取值范围．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·山东济宁·期末）阅读下面材料并完成解答过程中的填空．
问题：已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑥−𝑦= 2
𝑥+ 𝑦= 𝑎
的解满足𝑥> 1，𝑦< 0，求𝑎的取值范围．
分析：解方程组，即用含有𝑎的代数式分别表示出𝑥，𝑦，然后根据𝑥> 1，𝑦< 0列出关于𝑎的不等式组，解
这个不等式组即可求得𝑎的取值范围．
解：解方程组{𝑥−𝑦= 2
𝑥+ 𝑦= 𝑎
，得{
𝑥=
𝑎+2
2
𝑦=
𝑎−2
2
，
又因为𝑥> 1，𝑦< 0，
所以{
𝑎+2
2 > 1
𝑎−2
2 < 0
，
(1)解这个不等式组，得 ．
(2)请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{2𝑥+ 𝑦= 𝑚+ 1
𝑥+ 2𝑦= 2
的解满足𝑥+ 𝑦> 0，求𝑚的取值范围；
②已知𝑥−𝑦= 4，且𝑥> 3，𝑦< 1，求代数式𝑥+ 𝑦的取值范围．
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▌对点练1-5．（25-26 七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一
次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程3𝑥−6 = 0的解为𝑥= 2，不等式组{𝑥−1 > 0
𝑥< 4
的解集为1 <
𝑥< 4，因为1 < 2 < 4，所以称方程3𝑥−6 = 0为不等式组{𝑥−1 > 0
𝑥< 4
的“友好方程”．
(1)方程①3𝑥−4 = 0，②−5𝑥+ 7 = 13中，___________（只填序号）是不等式组{ 3𝑥−2 > 𝑥−2
2(𝑥−2) −3𝑥< 5
的
“友好方程”；
(2)若关于𝑥的方程3𝑥−𝑘= 6是不等式组{ 3𝑥−2 > 𝑥−2
2(𝑥−2) −3𝑥< 5
的“友好方程”，求𝑘的取值范围．
(3)若关于𝑥的方程𝑥+ 8 −4𝑚= 0是不等式组{
𝑥+ 2𝑚> 2𝑚
𝑥+ 2𝑚≤4𝑚−1
的“友好方程”，且此时不等式组有且仅有3
个整数解，直接写出𝑚的取值范围．
题型
一元一次不等式组的实际应用——行程与工程问题
▌例1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为𝑣 km/h．已知行驶速度限定为不超过
120 km/h，若他以80 km/h的平均速度行驶，则需6 h到达目的地；若他必须要在5 h内（包括5 h）到达乙
地，则𝑣的取值范围是_____．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由A，B两个工程队合作完成一段
总长300 米的河道清理工程．已知A工程队每日清理15 米，B工程队每日清理8 米，A，B两队施工天数均
为正整数．
(1)若A，B两队各自施工的天数之和为27 天，求A，B两队分别施工多少天；
(2)若完工时A队施工天数少于B队，求A队至多施工多少天；
(3)A队施工𝑎天，B队先按原有效率施工𝑏天，之后提升清理效率，改为每日清理10 米，继续施工𝑐天．若
两队合作完成全部清理任务，𝑎，𝑏，𝑐均为正整数且𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 23，求A工程队的施工天数．
▌对点练1-2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设
和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市
某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5 个月后，乙队再加入合作2 个月就可以完成这项工
程．已知若甲队单独做需要8 个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
解题贴士
根据行程、工程公式，提炼双重限制条件（时间、速度、工作量的上下限），列出两个不等式构成不等式
组；求解范围后，结合实际取合理数值。
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(2)已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须
在一年内竣工（包括12 个月），为了确保经费和工期，采取甲队做𝑎个月（𝑎为整数），乙队做4 个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
题型
一元一次不等式组的实际应用——经济问题
▌例1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4 元，每件乙文具
进价6 元．若购进甲、乙共80 件，总进价380 元．
(1)求购进甲、乙文具各多少件；
(2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100 件，甲不少于30 件，总进价不超过520 元，求甲文具最
多采购多少件．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给
七年级1 班作为班级劳动实践基地．七年级1 班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜
都必须种植．相关信息如下：
信息1：种植1 平方米黄瓜与1 平方米番茄共需成本14 元；种植2 平方米黄瓜和3 平方米番茄共需成本
34 元．
信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5 千克，每平方米番茄每月可收获2.5 千克．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？
(2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12 平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5 千
克且种植总成本不超过80 元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制
在每千克8 元到14 元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为𝑚元/千克，政府补贴为𝑛
元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，𝑛与𝑚应满足等式
100(𝑚+ 𝑛−8) = 220 −3𝑚．为使市场价格不高于9 元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·广东阳江·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全
守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某
商场欲购进一批头盔，已知购进1 个甲型头盔和2 个乙型头盔需要160 元，购进3 个甲型头盔和4 个乙型
解题贴士
梳理成本、售价、利润、销量、优惠等关系，根据成本上限、利润下限、销量限制列双重不等关系，组
建不等式组，求解定价、进货量、降价范围。
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头盔需要350 元．
(1)购进1 个甲型头盔和1 个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200 个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200 元，则最
少应购进甲型头盔多少个？
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购
进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元．
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件
150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进
A商品的件数最多为多少？
题型
一元一次不等式组的实际应用——分配问题
▌例1．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）学校给七年级男生安排宿舍，若每间安排5人，则还剩12人安排
不下；若每间安排8人，则有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住．那么，学校给七年级男生分配的宿
舍可能有多少间？若设学校给七年级男生分配的宿舍有𝑥间，则可列不等式组为（ ）
A．0 < 5𝑥+ 12 −8(𝑥−1) < 8
B．8(𝑥−1) < 5𝑥−12 < 8𝑥
C．0 < 5𝑥+ 12 −8𝑥< 8
D．8𝑥< 5𝑥+ 12 < 8(𝑥+ 1)
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任
刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3 本，那么剩余8 本；如果前面的每名同学分5 本，那么
最后一人分到了书但是不到3 本．则共有（ ）名同学．
A．6
B．7
C．8
D．9
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4 人，
则还余20 人无宿舍住；若每间住8 人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________
间．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·四川乐山·期中）用若干张规格为6dm × 6dm的大纸板剪裁成图①所示的𝐴
型长方形纸板和𝐵型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板
可以恰好裁成6 张𝐴型长方形纸板或者恰好裁成9 张𝐵型正方形纸板．
解题贴士
根据物资分配的“有余、不足、不空、不超”双重约束，列出两个不等式组成不等式组；求解后取正整
数解，确定分配数量。
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(1)制作一个横式纸盒需要𝐴型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要𝐴型长方形纸板 张．
(2)若用8 张大纸板裁成𝐴型长方形纸板，用3 张大纸板剪裁𝐵型正方形纸板，且裁成的𝐴、𝐵两种型号纸板
恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6 张𝐴型长方形纸板或者恰好裁成9 张𝐵型正方形纸板，也可以同时裁
出2 张𝐴型长方形纸板和6 张𝐵型正方形纸板．若要用15 张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒
．．．．，在充分利
用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒
．．．．多少个？
题型
一元一次不等式组的实际应用——方案问题
▌例1.（25-26 八年级上·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90 个，已知每
个篮球的价格比每个沙包的价格高18 元，购买5 个沙包和8 个篮球共花费300 元．
(1)沙包和篮球的单价各是多少元？
(2)若采购总资金不超过1764 元，且篮球的数量不少于沙包数量的
2
3，请问有几种购买方案？写出所有购买
方案．
▌对点练1-1.（25-26 八年级下·河南安阳·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景：学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．
素材一：购买甲种奖品5 件和乙种奖品2 件需花费275 元；
素材二：购买甲种奖品3 件和乙种奖品6 件需花费285 元；
素材三：学校计划购买甲、乙两种奖品共100 件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过
甲种奖品件数的2 倍．
请完成下列任务：
(1)任务一：甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用．
解题贴士
1）设未知数表示分配、采购、生产数量，根据题干多重限制条件列不等式组；
2）求出整数解，每一组整数解对应一套可行方案，最后枚举所有方案并择优选择。
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▌对点练1-2.为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根
据预算，共需资金1 300 万元．改造一所中学和一所小学共需资金135 万元；改造两所中学和一所小学共
需资金215 万元．
(1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？
(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8 所，则要改造的小学有多少所？
(3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10 所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年
市财政拨付的改造资金不超过550 万元；区财政投入的改造资金不少于110 万元，其中区财政投入到中、
小学的改造资金分别为每所15 万元和10 万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？
▌对点练1-3.（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦
江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购
进3 袋牛肉干和2 瓶豆腐乳，总花费86 元；第二次采购：购进5 袋牛肉干和4 瓶豆腐乳，总花费152
元．
(1)求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元．
(2)学校计划第三次采购两种商品共40 件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625
元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的
1
3．若设本次采购牛肉干𝑚袋，试通过计算说明所有符合条件的采
购方案并写出来．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022 年版）提出：初中阶段的
阅读量不少于260 万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为94cm的
单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约1.2cm，艺术类
图书每本厚约0.8cm．
(1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20 本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以
摆放多少本？
(2)现有文学类和艺术类图书共100 本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书
数量的2 倍，请问有哪几种摆放方案？
题型
一元一次不等式组的实际应用——其他问题
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▌例1．（25-26 七年级下·安徽滁州·期末）如图，用长为45 米的栅栏网一边靠墙围成两个长方形菜园（靠
墙部分不使用栅栏网），墙的长度𝑀𝑁= 35米，要求靠墙的𝐴𝐷边不小于20 米且不超过30 米，设与墙垂直
的一边𝐴𝐵的长度为𝑥米，则𝑥的取值范围为______．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻
纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯
布，若70 块坯布打一卷，则刚好打完；若60 块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18 块坯布剩
余．求出这批坯布的块数．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·湖北宜昌·期末）学校在思维运动会中开展“数字寻宝”游艺实践项目，数学
组策划游戏规则：制作50张数字卡片，分别标注1~50的不重复正整数．参与者随机抽取5张卡片，按摆放
顺序记为A，B，C，D，E．为增加游戏趣味性，采用信息隐藏式推理模式：工作人员仅记录并公布相邻两
张卡片的数字和，隐藏所有原始数字，要求参与者通过分析有限数据，推理出原始数字并完成项目探
究．本次测试采集到的有效数据为A + B = 23，B + C = 47，C + D = 36，D + E = 29．
【约束条件】A，B，C，D，E 为1~50之间互不相等的正整数．
【实践探究任务】
(1)根据相邻和的数量关系，统一变量，用含字母A 的代数式表示B，C，D，E；
(2)结合正整数定义、数字不重复的约束条件，通过不等式推理求出字母A 的合法取值；
(3)在A，B，C，D，E 五张卡片中，直接判断最大值对应的卡片是哪张．
题型
一元一次不等式组的其他应用
解题贴士
提取题干多重数量约束，将两类及以上限制条件转化为不等关系，构建不等式组求解，结合生活实际（人
数、物品数为正整数）取舍结果。
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▌例1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个
该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m 的范
围是（ ）
A．𝑚> 50g
B．𝑚< 75g
C．50g ≤𝑚≤75g
D．50g < 𝑚< 75g
▌例2．（25-26 七年级下·四川泸州·期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值𝑥”到“结果是否大于
17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操
作进行了两次才停止，那么输入的𝑥的取值范围是________．
▌对点练1-1．a、b、c 是三个非零的自然数，它们的平均数为25，其中最大的数比最小的数大11，那么
这三个数中最大的是（ ）
A．25
B．33
C．32
D．36
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）已知[𝑥]表示不超过x 的最大整数，例如[2.8] = 2，
[−4.8] = −5．若[
2−𝑥
3 ] = −1，则x 的取值范围是（ ）
A．2 < 𝑥≤5
B．5 < 𝑥≤8
C．5 < 𝑥< 8
D．5 ≤𝑥≤8
▌对点练1-3．三角形的三边分别是2，7，2𝑥−3，则𝑥的取值范围________________．
基础通关
1．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）下列不等式组无解的是（ ）
A．{ 𝑥< 1
𝑥< −4
B．{ 𝑥< 1
𝑥> −4
C．{ 𝑥> 1
𝑥> −4
D．{ 𝑥> 1
𝑥< −4
解题贴士
易错：①多条件联立出现矛盾，不会判断无解情况；②区间临界值取舍模糊；③不会利用不等式组求
最值，盲目取值；④混淆单一不等式与不等式组的约束精度。
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2．下列是一元一次不等式组的是（ ）
A．{
𝑥> 1
𝑥+ 𝑦> 2
B．{𝑥2 + 𝑥> 1
2𝑥+ 3 > 1
C．{
𝑥+ 1 > 2
2𝑥+ 3 >
1
2 𝑥
D．{
1
𝑥+ 𝑥> 1
2𝑥−1 > 𝑥
3．（25-26 七年级下·云南曲靖·期末）若关于𝑥的一元一次不等式组{𝑥> 4
𝑥< 𝑚
有解，则𝑚的取值范围为（ ）
A．𝑚< 4
B．𝑚≤4
C．𝑚> 4
D．𝑚≥4
4．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）不等式组{3𝑥−9 < 0
7 −2𝑥≤5
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 七年级下·安徽合肥·期末）如果不等式组{−𝑥+ 2 < 𝑥−8
𝑥< 3𝑎
的解集有2 个偶数解，则𝑎的取值范围
是__________．
6．（25-26 七年级下·湖南益阳·期末）不等式组{𝑥+ 1 ≥0
𝑥< 3
的所有整数解的和是__________．
7．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）小华用零花钱在超市购买了价值30 元的东西，剩余的零花钱不超过
10 元，则小华原有的零花钱可能是_______元．（写出一个即可）
8．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）请写出满足不等式组{𝑥< 2
𝑥< 0
的一个解______．
9．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组{
𝑥+ 2(𝑥−1) ≤4
1+𝑥
3 −𝑥< 1
，并画数轴表示解集，写出不等式组整
数解．
10．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）解不等式组{
1
2 𝑥+
1
2 < 1
3𝑥−7 < −1
，并把解集表示在数轴上．
11．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）已知关于x 的不等式组{𝑥+ 8 < 4𝑥−1
𝑥> 𝑚
的解集如图所示．
(1)求m 的取值范围；
(2)若关于x 的不等式(𝑚−1)𝑥> 𝑚−1的解集为𝑥> 1，求m 的取值范围．
12．（25-26 七年级下·北京·期末）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤5𝑥−1
5𝑥−3
2
< 2𝑥
；并写出该不等式组的非负整数解．
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13．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）若关于𝑥不等式组{
𝑥−1
6 + 2 > 2𝑥
𝑎−𝑥≤0
有解，且关于𝑦的方程4(3 −𝑦) +
𝑎= 2𝑦的解为正整数，求满足条件的所有整数𝑎．
素养提升
1．（25-26 七年级下·安徽芜湖·期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机
程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x 的
取值范围是（ ）
A．𝑥≥6
B．
10
3 ≤𝑥< 6
C．
7
3 ≤𝑥< 6
D．𝑥< 6
2．（25-26 七年级下·湖南岳阳·期末）记[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数．例如[1.414] = 1，[−3.14] = −4．若
[2𝑥−1] = −2，则𝑥的取值范围是________．
3．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4 人，
则有20 人无法安排，若每间8 人，则有一间不空也不满．设宿舍有x 间，可列不等式组
_________________．
4．（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售甲、乙两种型号的智能手环，
进价分别为360元，260元．近两周销售情况如下：
销售时段
甲型号数量
乙型号数量
销售收入
第一周
3个
4个
2780元
第二周
5个
6个
4420元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）
(1)求甲、乙两种型号的智能手环的销售单价；
(2)若华兴智能家居专卖店计划用不超过16000元的金额再采购这两种型号智能手环共50个，求甲型号智能
手环最多能采购多少个？
(3)在（2）的条件下，华兴智能家居专卖店智能手环柜台销售完这50个智能手环的利润能否超过5300元？
若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
5．（25-26 七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知𝑥−𝑦= 2，且𝑥> 1, 𝑦< 0，试确定𝑥+ 𝑦的取值范围．
【方法】由𝑥−𝑦= 2可知𝑥= 𝑦+ 2．由𝑥> 1可知𝑦+ 2 > 1即𝑦> −1，从而可以得到−1 < 𝑦< 0．
因为𝑥+ 𝑦= (𝑦+ 2) + 𝑦= 2𝑦+ 2，所以由−1 < 𝑦< 0可得0 < 2𝑦+ 2 < 2．即0 < 𝑥+ 𝑦< 2．
根据以上信息，解决下列问题：
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(1)已知𝑥+ 2𝑦= 3，且𝑥< 1, 𝑦< 5，求𝑥+ 𝑦的取值范围．
(2)已知6𝑎= 3𝑏+ 12 = 2𝑐，且𝑏≥0, 𝑐≤9，设𝑡= 2𝑎+ 𝑏−𝑐，求𝑡的最大值与最小值的差．
(3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1 张桌子的售价比2 把椅子贵40 元，若一张桌子的售价不低
于120 元，一把椅子的售价不超过50 元，求出售一套桌椅（1 张桌子+4 把椅子）的定价范围．
6．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）阅读理解：我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式
组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘
组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”．
初步感知：
(1)组合{5𝑥−10 = 0
3𝑥−2 < 3
是“__________”（填“有缘组合”或“无缘组合”）；
问题解决：
(2)若关于x 的组合{
3𝑥−9 = 0
𝑥−𝑚
3
> 𝑚 是“有缘组合”，求m 的取值范围；
(3)若关于x 的组合{
3 −𝑥= 𝑥−2𝑛
𝑥−2
2 + 3 > 𝑥+ 𝑛 是“无缘组合”，求n 的取值范围．
7．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）2025年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配
送任务．快递公司需要从仓库A调运一批货物到仓库B，途中必须经过中转站C．仓库A到中转站C的距离为
30千米，中转站C到仓库B的距离为40千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时2元，货物需要在
中转站C停留2小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物500元．
（运输总成本=直接运输成本+中转操作成本；直接运输成本= 2 ×运输距离×运输时间）
(1)如果货车的平均行驶速度为50千米/小时，写出从仓库A到仓库B的运输时间______小时，直接运输成本
______元；运输总成本______元；
(2)仓库A到中转站C路段：货车的平均行驶速度为𝑣千米/小时；中转站C到仓库B路段：由于城市道路拥
堵，货车的平均行驶速度为
1
2 𝑣千米/小时．从仓库A到仓库B全程用时4小时（全程用时=运输时间+中转站
停留时间），求：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度𝑣；
(3)在（2）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），记货车从仓
库A到中转站C的平均速度𝑣千米/小时，请直接写出𝑣的取值范围______．
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迁移创新
1．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于𝑎，𝑏定义一种新的运算“※”，规定：𝑎※𝑏= 2𝑎−𝑏，若关
于𝑥的不等式组{2𝑥※3 ≤2𝑚−5
𝑥※(𝑥−4) > −3
有且只有2个整数解，则𝑚的取值范围是（ ）
A．−9 ≤𝑚< −7 B．𝑚> −9
C．−9 < 𝑚≤−7
D．𝑚≤−7
2．（25-26 七年级下·北京·期末）当𝑏> 𝑎时，若关于𝑥的不等式组的解集为𝑎≤𝑥≤𝑏，规定：𝑎≤𝑥1 <
𝑎+𝑏
2
为此不等式组的一次中点解集，𝑎≤𝑥2 <
3𝑎+𝑏
4 为此不等式组的二次中点解集．如不等式组{𝑥+ 1 ≤4
𝑥−1 ≥0
的解
集为1 ≤𝑥≤3，则1 ≤𝑥< 2为其一次中点解集，1 ≤𝑥<
3
2为其二次中点解集．
(1)不等式组{ −𝑥+ 2 ≥𝑥−6
3𝑥−1 ≥−(𝑥+ 1)
的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为
__________；
(2)已知关于𝑥的不等式组{
𝑥+2
3 ≤𝑥+ 1
2𝑥+ 3𝑚≤5(𝑚+ 2)
的一次中点解集中有且仅有3个整数解，二次中点解集中有
且仅有1个整数解，求𝑚的取值范围．
