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专项 02 勾股定理逆定理的应用
考点1 勾股数的应用
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ，
为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等
③用含字母的代数式表示 组勾股数：
（ 为正整数）；
（ 为正整数）
（ ， 为正整数）
考点2 判断三角形的形状
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为
斜边。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化
为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三
角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角
三角形）。（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角
形，但是 为斜边）【考点1 勾股数的应用】
【典例1】下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2
C．1，1， D．0.4，0.3，0.5
【答案】A
【解答】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意；
B、22+22≠22，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
C、1，1， 不都是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、0.4，0.3，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8
【答案】C
【解答】解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；
D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
【答案】D
【解答】解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；
B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；
C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；
D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；
故选：D．【典例2】勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答
题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
a b c
1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1
2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1
3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1
4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1
… … … …
n a＝ b＝ ） c＝
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
【解答】解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；
（2）a2+b2＝c2，理由是：
∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
∴a2+b2＝c2；
（3）当2n+1＝2019时，n＝1009，
∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝
[2020×1009+1]2，
∵a2+b2＝c2；
∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
＝0．
【变式2-1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称 3，4，5为勾股数组，记为
（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），
（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，
102+242＝262，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第六组勾股数为14，48，50．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下：
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．
【变式2-2】已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝
B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三
边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ 1 5 8 1 7
勾股数组Ⅱ 35 1 2 3 7
【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ 15 8 17
勾股数组Ⅱ 35 12 37
故答案为：15，17；12，37．
【考点2 判断三角形的形状】
【典例3】在四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4 且AC⊥BC于点
C．试求：
（1）AC的长；（2）∠BCD的度数．
（3）四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴AC的长为4；
（2）∵AC＝4，AD＝4，CD＝4 ，
∴AC2+AD2＝42+42＝32，CD2＝（4 ）2＝32，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∵AC＝AD＝4，
∴∠ACD＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
∴∠BCD的度数为135°；
（3）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝ AC•CB+ AD•AC
＝ ×4×3+ ×4×4
＝6+8
＝14，∴四边形ABCD的面积为14．
【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
（2）解：S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ADC
＝ AB•BC+ AD•CD
＝ ×20×15+ ×24×7
＝234．
【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，∠C＝90°．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD，
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝20，∠C＝90°，
∴BD2＝BC2+CD2＝152+202＝625，
∴BD＝25；
（2）在△ABD中，AB＝24，AD＝7，
∴AB2＝576，AD2＝49，
∴AB2+AD2＝576+49＝625．
由（1）知，BD2＝625，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°．
∴S四边形ABCD ＝S△BDC +S△ABD ＝ ×15×20+ ×7×24＝234．
【典例4】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得 AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝
3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
【解答】解：连接AC，∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5（m），
∴S
Rt△ADC
＝ ＝ 3×4＝6（m2），
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∵AC2+AB2＝52+122＝169，BC2＝132＝169，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△CAB为直角三角形，
∴∠CAB＝90°，
∴S
Rt△CAB
＝ ＝ ×5×12＝30（m2），
∴菜地的面积＝S△CAB ﹣S△ADC ＝24（m2），
∴这块菜地的面积为24m2．
【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．
求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
在△ACD中，∵AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD
＝ AB•BC+ AC•CD＝ ×3×4+ ×5×12
＝6+30
＝36．
【变式4-2】如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接AC，
在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴ ；
（2） ，
在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC +S△ACD ＝6+30＝36，
答：四边形ABCD的面积为36．1．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝ ＝5，是勾股数，符合题意；
当4时最大时，a＝ ＝ ，不是正整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
2．如图，△ABC在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为
1，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：△ABC是直角三角形，
理由：由图可得，
AB＝ ＝ ，BC＝ ＝5，AC＝ ＝2 ，
∵（ ）2+（2 ）2＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
3．如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为 1．四边形ABCD的四个点都
在格点上．
（1）四边形ABCD的面积为 10. 5 ，周长为 ；
（2）求证：∠BAD是直角．【解答】（1）解：由题意得：
四边形ABCD的面积＝4×5﹣ ×2×1﹣ ×5×1﹣ ×2×4﹣ ×（1+3）×1
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5，
CD2＝12+22＝5，
AD2＝12+22＝5，
BC2＝12+52＝26，
AB2＝22+42＝20，
∴CD＝ ，AD＝ ，BC＝ ，AB＝ ＝2 ，
∴四边形ABCD的周长＝CD+AD+BC+AB＝4 + ，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为 ，
故答案为：10.5， ；
（2）证明：连接BD，
由题意得：
BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）四边形ABCD的面积为 ．
【解答】（1）证明：连接AC，
由题意得：AD2＝12+22＝5，
CD2＝22+42＝20，
AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：如图：由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝ AC•DF+ AC•BE
＝ ×5×2+ ×5×1
＝5+
＝ ，
故答案为： ．
5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝
90°．求阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∴S阴影 ＝S△ACD ﹣S△ABC ＝ ×10×24﹣ ×6×8＝120﹣24＝96．
故阴影部分的面积是96．
6．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，CD＝2，
AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵CD＝2，AD＝2 ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝ ，BC＝1，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ ．
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以
1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出
发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），
解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的
值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝ ，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝ ．
∴当t＝ 或 时，△APQ是直角三角形．
8．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，
如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也
是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，
那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大 3，我们把这
种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
【解答】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）勾股数3，4，5，把勾股数同时乘以3可得9，12，15，15﹣12＝3，9，12，15是
“新新勾股数”；
勾股数5，12，13，把勾股数同时乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，36，39是
“新新勾股数”；
勾股数7，24，25，把勾股数同时乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，72，75是
“新新勾股数”；
勾股数9，40，41，把勾股数同时乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，27，120，
123是“新新勾股数”；
勾股数11，60，61，把勾股数同时乘以 3可得33，180，183，183﹣180＝3，33，
180，183是“新新勾股数”．
综上所述，斜边小于200的所有“新新勾股数”有9，12，15；15，36，39；21，72，
75；27，120，123；33，180，183．
9．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：
3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，
且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 6 0 、 6 1 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分
别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律 4＝ ，12＝ ，24＝ …，于是他很快表示了第二数为 ，则用含a的代数式表示第三个数为
；
（3）用所学知识加以说明．
【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为 ，
则用含a的代数式表示第三个数为 ，
故答案为： ；
（3）∵a2+（ ）2＝ ，
（ ）2＝ ，
∴a2+（ ）2＝（ ）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a， ， 三个数组成的数是勾股数．
10．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
