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专题01 与三角形有关的线段
常考题型·精准突破
题型1 判断三边是否构成三角形（高频）
题型2 确定第三边的取值范围（重）
题型3 三角形三边关系的应用（重）
题型4 根据三角形的中线求解（高频）
题型5 重心的概念及有关应用（难）
题型6 根据三角形的角平分线求解（重）
题型7 画三角形的高（难）
题型8 根据三角形的高线求解（重）
题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线（高频）
题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 判断三边是否构成三角形
1．（25-26 八年级上·湖南郴州·期末）下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2 ，4
B．8，6 ，4
C．15，5，6
D．1，3，4
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可．
【详解】解：A 、∵较短边为1，2 ，最长边为4 ，1 2
3
4
+
=
，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵较短边为4 ，6 ，最长边为8，6
4
2
8
−
=
且6
4
10
8
+
=
，
∴能构成三角形，符合题意；
C 、∵较短边为5，6 ，最长边为15，5 6
11 15
+
=
，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D 、∵较短边为1，3，最长边为4 ，1 3
4
+ =
，不满足两边之和大于第三边，
∴不能构成三角形，不符合题意．
2．（25-26 八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
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A．1cm 2cm 3cm
，
，
B．2cm 3cm 4cm
，
，
C．3cm 4cm 5cm
，
，
D．5cm 6cm 10cm
，
，
【答案】A
【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果．
【详解】解：选项A 中，∵ 1 2
3
+
= ，不满足两边之和大于第三边，
∴ 不能组成三角形，符合题意；
选项B 中，∵ 2 3
4
+
，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项C 中，∵ 3
4
5
+
，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项D 中，∵ 5 6
10
+
，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意．
3．
（25-26 八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．4cm 4cm 8cm
，
，
B．8cm 16cm 7cm
，
，
C．11cm 5cm 5cm
，
，
D．13cm 10cm 20cm
，
，
【答案】D
【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形．
【详解】解：A. ∵4
4
8
+
=
，
∴ 长度为4cm 4cm 8cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，A 不符合题意；
B. ∵7 8 15 16
+ =
，
∴ 长度为8cm 16cm 7cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，B 不符合题意；
C. ∵5 5
10
11
+ =
，
∴ 长度为11cm 5cm 5cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，C 不符合题意；
D. ∵10 13
23
20
+
=
，
∴ 长度为13cm 10cm 20cm
，
，
的三根小木棒能组成三角形，D 符合题意．
◆题型2 确定第三边的取值范围
4．
（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______．
【答案】3
9
x
【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行
求解即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，得6 3
6 3
x
−
+ ，即3
9
x
；
故答案为：3
9
x
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5．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c 为三角形的三边，且a，b 满足
(
)
2
9
2
0
a
b
−
+
−
=
，第三边
c 为奇数，则c = _____ ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的
关键．
根据非负数的性质求出a 和b 的值，再利用三角形三边关系求出c 的范围，结合c 为奇数确定c 的值即可．
【详解】解：∵
2
|
9| (
2)
0
a
b
−
+
−
= ，
∴
9
0
a −
=
，
2
0
b
=
-
，
∴
9
a =
，
2
b =
，
根据三角形三边关系，有|
|
a
b
c
a
b
−
+
，即7
11
c
，
∵c 为奇数，
∴
9
c =
．
故答案为：9．
6．（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，x ，且x 是整数，则满足条件的三角形
有___________个．
【答案】5
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做
题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解x 的取值范围，再取整数
值即可．
【详解】解：由三角形三边关系，得：
3 4
x
+
，即
7
x
；
3
4
x
+
，即
1
x ；
4
3
x
+
，即
1
x −（恒成立），
所以x 的取值范围为1
7
x
，
由于x 是整数，因此x 可取 2，3，4，5，6，共5 个值，
即满足条件的三角形有5 个．
故答案为：5．
◆题型3 三角形三边关系的应用
7．（24-25 八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c 为三角形的三边，则式子|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
+
−
−
−
−
= （ ）
A．2a
B．2b
C．0
D．2
2
a
c
−
【答案】D
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【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边
关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到
0
a
b c
+ −
，
0
a
b
c
−−
，再根据绝对值
的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到
0
a
b c
+ −
，
0
a
b
c
−−
，
(
)
|
2
2
|
|
| a
b
c
a
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
−
−
−
−
+
+
=
=
−
−
−
−
．
故选：D．
8．已知
ABC
的三边分别为a、b、c，化简：a
b
c
a
b
c
c
b
a
+
−
−−+
+
−
−
−
= ．
【答案】a
b
c
−−
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝
对值即可．
【详解】解：由题意，得：a
b
c
a
c
b
b
c
a
+
+
+
，
，
，
∴
0,
0,
0
a
b
c
a
b
c
c
a
b
+
−
−+
+
−
−
，
∴原式
(
) (
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=
+
−−−+
+
−
+
−
a
b
c
a
b
c
a
b
c
=
+ −+ −−−−+
a
c
b
=
−−
．
故答案为：a
b
c
−−
9．（24-25 八年级上·云南文山·期中）若a ，b ，c 分别为
ABC
三边，化简：a
b
c
a
b
c
c
a
b
−
−
+
+
−
+
−
+
．
【答案】
3
a
b
c
−+
+
【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的
意义，化简即可.
【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
所以
0
a
b
c
−−
，
0
a
b c
+ −
，
0
c
a
b
−+
，
∴a
b
c
a
b
c
c
a
b
−
−
+
+
−
+
−
+
a
b
c
a
b
c
c
a
b
= −+ + + + −+ −+
3
a
b
c
= −+
+ .
◆题型4 根据三角形的中线求解
10．（2026 八年级·全国·专题练习）在
ABC
中，AB
AC
=
，ABC
的中线BD将
ABC
的周长分为12和15，
则
ABC
的边BC 的长为_____．
【答案】7 或11
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【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据中线的定义得到AD
CD
=
，设
2
AB
AC
x
=
=
，则AD
DC
x
=
=
，需分类讨论周长被分成的两部分，并
利用三角形三边关系验证．
【详解】解：设
2
AB
AC
x
=
=
，则AD
DC
x
=
=
．
中线BD将周长分为两部分：
3
AB
AD
x
+
=
和BC
DC
BC
x
+
=
+
．
若3
12
x =
，
15
BC
x
+
=
，
解得
4
x =
，
11
BC =
，
此时
8
AB
AC
=
= ，
11
BC =
，满足三边关系；
若3
15
x =
，
12
BC
x
+
=
，
解得
5
x = ，
7
BC =
，
此时
10
AB
AC
=
=
，
7
BC =
，满足三边关系．
故答案为：7 或11．
11．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）如图，AD是
ABC
的中线，BE ，CE 分别是
,
ABD
ACD
△
△
的中线，
若阴影部分的面积为
2
3cm ，则
ABC
的面积为__________
2
cm ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理
为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵BE ，CE 分别是
,
ABD
ACD
△
△
的中线，
∴
2
ABD
BDE
S
S
=
△
△
，
2
ACD
ACE
S
S
=
，
∵AD是
ABC
的中线，
∴
2
4
ABC
ABD
BDE
S
S
S
=
=
，
2
4
ABC
ACD
ACE
S
S
S
=
=
，
∴
BDE
ACE
S
S
=
△
△
，
∵阴影部分的面积为
2
3cm ，
∴
3
2
BDE
ACE
S
S
=
=
，
∴
(
)
2
3
4
4
6 cm
2
ABC
ACE
S
S
=
=
=
，
故答案为：6．
12．（25-26 八年级上·四川广安·期末）如图，
1
AP 为
ABC
的中线，
2
AP 为
1
APC
的中线，
3
AP 为
2
APC 的中
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线，，按此规律，
n
AP 为
1
−
n
AP C 的中线．
（1）若
12cm
AB =
，
16cm
AC =
，则
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP 的周长相差_____cm．
（2）若
ABC
的面积为64，则
5
AP C
的面积为_____．
【答案】 4 2
【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．
（1）根据三角形的中线性质，可得
1
1
BP
CP
=
，再根据三角形的周长公式解答即可；
（2）根据三角形的中线性质，可得
1
APC
的面积为32，
2
APC 的面积为16，以此类推，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵
1
AP 为
ABC
的中线，
∴
1
1
BP
CP
=
，
∵
12cm
AB =
，
16cm
AC =
，
∴
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP的周长的差为(
) (
)
(
)
1
1
1
1
16 12
4 cm
AC
AP
CP
AB
AP
BP
AC
AB
+
+
−
+
+
=
−
=
−
=
；
故答案为：4
（2）
1
AP
为
ABC
的中线，
1
1
32
2
APC
ABC
S
S
=
=
，
同理
2
1
1
16
2
AP C
APC
S
S
=
=
，
3
2
1
8
2
AP C
AP C
S
S
=
=
，
4
3
1
4
2
AP C
AP C
S
S
=
=
，
∴
5
4
1
2
2
AP C
AP C
S
S
=
=
．
故答案为：2．
◆题型5 重心的概念及有关应用
13．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点D 是
ABC
的重心，连接BD并延长，交AC 于点E ，
若
4
AE =
，则AC 的长度为（ ）
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A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心
在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知BE是AC 边上的中线，即E 为AC 的中点，因此AC
的长度为AE 的2 倍，代入AE 的数值即可计算出结果．
【详解】解：∵点D是ABC
的重心，
∴BE是ABC
的中线，
∴E 是AC 的中点，
4
AE =
，
∴
2
2 4
8
AC
AE
=
= = ；
故选：B．
14．（25-26 八年级上·安徽芜湖·期末）如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关
于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条高，取其交点
B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．
根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴支撑点是三角形三边中线的交点．
故选：B．
15．（25-26 八年级上·广东广州·期末）如图，在
ABC
中，AD经过
ABC
的重心G 交BC 于点D ，若
ABC
的面积为
2
16cm ，则阴影部分的面积为（ ）
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A．
2
8cm
B．
2
7cm
C．
2
6cm
D．
2
16 cm
5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底
之比．
延长BG 交AC 于E ，设
GDC
S
x
=
，则根据重心的概念可得BE
AD
、
是中线，通过面积转换可得
GBD
S
x
=
，
2
GBC
S
x
=
，
8
2
AGE
GEC
S
S
x
=
= −
，
2
ABG
S
x
=
△
，最后在
ABD
△
中，求解x 即可．
【详解】解：延长BG 交AC 于E ，如图，
设
GDC
S
x
=
．
∵G 是
ABC
的重心，
∴BE
AD
、
是中线，
∴D 是BC 中点，则
GBD
△
和GDC
等底同高，
∴
GBD
S
x
=
．
∴
2
GBC
GBD
GDC
S
S
S
x
x
x
=
+
=
+
=
．
∵E 是AC 中点，
∴
ABE
CBE
S
S
=
1
16
2
=
2
8cm
=
．
∵
CBE
GBC
GEC
S
S
S
=
+
，
∴8
2
GEC
x
S
=
+
8
2
GEC
S
x
= −
，
又∵E 是AC 中点，AGE
和GEC
等底同高，
∴
8
2
AGE
GEC
S
S
x
=
= −
∴
ABE
ABG
AGE
S
S
S
=
+
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(
)
8
8
2
ABG
S
x
=
+
−
解得
2
ABG
S
x
=
△
，
在
ABD
△
中，
ABD
ABG
GBD
S
S
S
=
+
8
2x
x
=
+
解得
8
3
x =
，
∴
AGC
AGE
GEC
S
S
S
=
+
(
) (
)
8
2
8
2
x
x
=
−
+
−
16
4x
=
−
8
16
4
3
=
−
2
16 cm
3
=
，
∴
2
8
16
8cm
3
3
S
=
+
=
阴影
．
故选A．
◆题型6 根据三角形的角平分线求解
16．
（25-26 八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在
ABC
中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，且
3
AC
CD
=
，
3
BE
EC
=
，连接BD、AE 交于点F
BAF
，
的平分线交BD于点G ，且
:
1:2
AF AB =
，若AGB
的面积为
16，则
AGD
△
的面积为___________．
【答案】40
3
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题
的关键．
连接CF ，根据角平分线的性质，可得点G到AB 和AF 的距离相等，则可得AGF
的面积，再根据
3
AC
CD
=
，
得到
2
AD
CD
=
，进而求得
BFC
△
的面积，根据
3
BE
EC
=
求得
BEF
△
和
CEF
△
的面积，再根据
3
BE
EC
=
即
可求得
ACE
△
的面积，最后求得
AFD
△
的面积，即可求得
AGD
△
的面积，
【详解】解：由题意得AG 是
BAF
的平分线，且
:
1:2
AF AB =
，
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设点G 到AB 的距离为
1h ，到AF 的距离为
2h ，则
1
2
h
h
=
，
∵
1
1
16
2
AGB
S
AB h
=
=
，
2
1
2
AGF
S
AF
h
=
，
又∵
:
1:2
AF AB =
且
1
2
h
h
=
，
∴
1
8
2
AGF
AGB
S
S
=
=
，
∴
ABF
△
的面积为：
16
8
24
ABF
AGB
AGF
S
S
S
=
+
=
+
=
，
连接CF ，如下图，
∵
3
AC
CD
=
，
∴
2
AD
CD
=
，
∴
2
AFD
DFC
S
S
=
，
2
ABD
CBD
S
S
=
△
△
，
∴
(
)
2
ABD
AFD
CBD
DFC
S
S
S
S
−
=
−
，
∴
2
ABF
BFC
S
S
=
，
∵
ABF
AGB
AGF
S
S
S
=
+
16 8
=
+
24
=
，
∴
12
BFC
S
=
，
又∵
3
BE
EC
=
，
∴
3
BEF
CEF
S
S
=
△
△
，
3
ABE
ACE
S
S
=
△
△
，
又∵
12
BFC
S
=
，
∴
3
9
4
BEF
BFC
S
S
=
=
，
1
3
4
CEF
BFC
S
S
=
=
，
∴
1
3
ACE
ABE
S
S
=
(
)
1
3
ABF
BFE
S
S
=
+
(
)
1
24
9
3
=
+
1 33
3
=
11
=
，
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∴
AFC
AEC
CEF
S
S
S
=
−
11 3
=
−
8
=
∵
2
AFD
DFC
S
S
=
，
∴
2
2
16
8
3
3
3
AFD
ACF
S
S
=
=
=
，
∴
16
40
8
3
3
AGD
AGF
ADF
S
S
S
=
+
= +
=
．
故答案为：40
3 ．
17．（25-26 八年级上·浙江杭州·月考）
ABC
中，
50
BAC
=
，AD是BC 边上的高，AE 是
BAC
的角平
分线，若
40
DAE
=
，则
BAD
为__________度．
【答案】65或15/15 或65
【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解．
先由角平分线得到
1
25
2
BAE
BAC
=
=
，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解．
【详解】解：当点D在CB 延长线上时，如图：
∵AE 是
BAC
的角平分线，
50
BAC
=
，
∴
1
25
2
BAE
BAC
=
=
，
∴
40
25
15
BAD
DAE
BAE
=
−
=
−
=
；
当点D在BC 延长线上时，如图：
∵AE 是
BAC
的角平分线，
50
BAC
=
，
∴
1
25
2
BAE
BAC
=
=
，
∴
40
25
65
BAD
DAE
BAE
=
+
=
+
=
，
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∴
65
BAD
=
或15，
故答案为：65或15．
18．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，在锐角
ABC
中，BC 边上有E，D，F 三点，
,
BD
CD
BAE
DAE
=
=
，AF
BC
⊥
，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形有______；以AE 为角平分线的三角形有______；以AF 为高的钝角三角形有
______．
（2）若
88 ,
35
BAC
B
=
=
，则
CAF
的度数为______．
【答案】
ABC
ABD
△
,
,
ABE
ABD
ADE
33/33度
【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及三角形的内角和定理，正确认识三角形的中线、
高、角平分线是解题的关键．
（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；
（2）根据三角形的内角和定理和垂直的定义进行计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵
=
BD CD，
∴以AD为中线的三角形是
ABC
；
∵
BAE
DAE
=
∴以AE 为角平分线的三角形是
ABD
△
；
∵AF
BC
⊥
，
∴以AF 为高的钝角三角形有ABE
、
ABD
△
、
ADE
，
（2）解：在
ABC
中，
88?,
35?
BAC
B
=
=
，
∴
180
88
35
57
C
=
−
−
=
，
∵AF
BC
⊥
，
∴
90
CFA
=
，
∴
180
90
57
33
CAF
−
−
=
=
．
故答案为：
ABC
；
ABD
△
；
,
,
ABE
ABD
ADE
；33．
◆题型7 画三角形的高
19．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）下面四个图形中，线段BD是
ABC
的高的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足
之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解．
【详解】解：A、B、C 选项中线段BD不能表示ABC
任何边上的高，
故选：D．
20．（25-26 八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段AD是
ABC
的高线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．
【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A 中线段AD是
ABC
的高线．
21．（25-26 八年级上·云南昭通·期末）如图，关于
CBA
△
边上的高，下列说法正确的是（ ）
A．线段AF 是AB 边上的高
B．线段DB是AC 边上的高
C．线段DB是BC 边上的高
D．线段BE 是AC 边上的高
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段
叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解．
【详解】解：
AF
BC
⊥
于点D ，
∴AF 是BC 边上的高，故A 不符合题意；
∵BE
AC
⊥
于点E，
∴线段BE 是AC 边上的高，故 D 符合题意；
线段DB不是任何边上的高，故B，C 不符合题意；
故选：D．
◆题型8 根据三角形的高线求解
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22．（25-26 八年级上·安徽合肥·月考）如图，在
ABC
中,
,
AB
AC P
=
是射线BC 上一点，过点P 作
,
PD
AB PE
AC
⊥
⊥
，垂足分别为
,
D E ，过点B 作BF
AC
⊥
，垂足为F，连接AP ．
(1)如图1，点P 在边BC 上，写出线段
,
,
PD PE BF 之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点P 在BC 的延长线上．当
10,
5,
2
ABC
S
AB
PE
=
=
=
时，求线段PD的长．
【答案】(1) BF
PD
PE
=
+
，理由见解析
(2)6
【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，
结合三角形的高推导线段间的数量关系．
（1）由题意得出
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
+
，则有1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PF
=
+
，再结合AB
AC
=
即可得出结
论；
（2）由题意得出
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
，则有1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PF
=
−
，再结合AB
AC
=
，得出
BF
PD
PE
=
−
，由三角形的面积求出BF 的长，最后即可得出答案．
【详解】（1）解：BF
PD
PE
=
+
，理由如下：
∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
+
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
=
+
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
+
；
（2）解：∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
=
−
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
−
．
∵
10
S ABC =
，
∴1
·
10
2 AC BF =
，
∵
5
AC
AB
=
= ，
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所以1 5
10
2
BF
=
，
整理得：5
20
BF =
，
解得
4
BF =
，
∴
4
2
6
PD
BF
PE
=
+
=
+
=
，
所以线段PD的长为6．
23．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，D 为BC 边上任意一点，连接AD．已
知DE，DF 分别是
ABD
△
，ACD
的高．
作图：
（1）请在图①上作出
ABC
中AC 边上的高BG．
探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG 之间的数量关系为________________________．
填空：（3）为了说明DE，DF，BG 之间的数量关系，小明是这样做的：
因为
_________
ABC
ACD
S
S
=
+
△
△
，
所以1
1
2
2
____________
BG
DE
AC
AB
+
=
．
因为AB
AC
=
，
所以________________________．
拓展：（4）当点D 在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG 之间的数量关系是否仍然成立，并说明
理由．
【答案】（1）见解析；（2）BG
DE
DF
=
+
；（3）
ABD
S
1
2 AC DF
，BG
DE
DF
=
+
；（4）不成立．理由见
解析
【分析】（1）过点B 作BG
AC
⊥
交AC 于点G ，即可作答；
（2）通过观察、测量，即可得到DE ，DF ，BG 之间的数量关系；
（3）将ABC
分成ABD
和ACD
，根据三角形的面积公式结合AB
AC
=
即可得到DE ，DF ，BG 之间的
数量关系；
（4）将ABD
分成ABC
和ACD
，根据三角形的面积公式结合AB
AC
=
即可得到DE ，DF ，BG 之间的
数量关系．
【详解】解：（1）如图①，BG 即为所求．
（2）BG
DE
DF
=
+
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（3）因为
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
，
所以1
1
1
2
2
2
AC BG
AB DE
AC DF
=
+
．
因为AB
AC
=
，
所以BG
DE
DF
=
+
．
故答案为：
ABD
S
，1
2 AC DF
，BG
DE
DF
=
+
．
（4）不成立．理由如下：
如图②，过点B 作BG
AC
⊥
于点G ．
ABD
ABC
ACD
S
S
S
=
+
，
1
1
1
2
2
2
AB DE
AC BG
AC DF
=
+
．
AB
AC
=
，
DE
BG
DF
=
+
，
BG
DE
DF
=
−
．
24．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，
10
AC =
，BD
AC
⊥
，垂足为点D ，则BD的
长是_______；
(2)如图2，在
ABC
中，
3
AB = ，
6
BC =
，则
ABC
的高AD与CE 的比是________；
(3)如图3，在
ABC
中，
90
A
=
，
45
ABC
，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BE
EC
=
，DM
BE
⊥
，
DN
AC
⊥
，垂足分别为点M ，N ．若
8
AB =
，
3
DM =
，求DN 的值．
【答案】(1) 24
5
(2)12
：
(3)5
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【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．
（1）根据题意可得
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC BD
=
=
，即可求解；
（2）根据题意可得1
1
3
6
2
2
CE
AD
=
，即可求解；
（3）根据可得1
1
1
2
2
2
AB CE
DM BE
DN CE
=
+
，再由BE
CE
=
，可得AB
DM
DN
=
+
，即可求解．
【详解】（1）解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
， BD
AC
⊥
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB BC
AC BD
=
=
△
，
∵
6
AB =
，
8
BC = ，
10
AC =
，
∴
6 8
5
24
10
AB BC
BD
AC
=
=
=
；
故答案为：24
5 ；
（2）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
AB CE
BC AD
=
=
，
3
6
AB
BC
=
=
，
，
∴1
1
3
6
2
2
CE
AD
=
，
∴2AD
CE
=
，
∴
:
1:2
AD CE =
；
故答案为：1:2；
（3）解：∵
1
1
1
2
2
2
BCE
BDE
CDE
S
AB CE
S
DM BE
S
DN CE
=
=
=
，
，
，
且
BCE
BDE
CDE
S
S
S
=
+
，
∴1
1
1
2
2
2
AB CE
DM BE
DN CE
=
+
，
又∵BE
CE
=
，
∴AB
DM
DN
=
+
，
∵
8
AB =
，
3
DM =
，
∴
5
DN
．
◆题型9 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线
25．（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形
的顶点为格点，点A、B 、C 都是格点．
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(1)仅用直尺过点C 画CD，使CD
AB
∥
；
(2)仅用直尺画出
ABC
的高CH ；
(3)比较大小：CH _____CA （填“>”、“=”或“<”），理由是__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【分析】本题主要考查相交线与平行线：
（1）将直线AB 沿着AC 平移，当点A到达点C 时，直线CD即为所求；
（2）根据
ACG
HAG
=
和
90
ACG
AGC
+
=
，可求得
90
AHG
=
；
（3）根据“垂线段最短”，即可求得答案．
【详解】（1）如图所示，直线CD即为所求．
（2）如图所示，线段CH 即为所求．
如图所示，可知
ACG
HAG
=
．
因为
90
ACG
AGC
+
=
，
所以
90
HAG
AGC
+
=
．
所以
90
AHG
=
．
所以
AB
CH ⊥
．
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（3）根据图形可知，CH
CA
，理由是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短
26．（25-26 七年级下·全国·周测）如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点A，B ，C 在小正方形的顶
点上．
(1)画出
ABC
中边BC 上的高AD，边AC 上的中线BE ；
(2)若ABE
的周长比BCE
的周长长4.5，则AB 比BC 长____________；
(3) ABE
的面积为____________．
【答案】(1)见解析
(2)4.5
(3)4
【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三
角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键．
（1）根据三角形高的定义，从点A向BC 边作垂线得到AD，根据中线定义找到AC 的中点E ，连接BE得
到中线；
（2）利用中线的性质，AE
CE
=
，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到AB 与BC 的差；
（3）先计算ABC
的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到ABE
的面积．
【详解】（1）解：如图所示，线段AD、线段BE 即为所求．
（2）解：∵BE 是
ABC
的中线，
∴AE
CE
=
．
∵ABE
的周长比BCE
的周长长4.5 ，
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∴
(
)
4.5
AB
AE
BE
BC
CE
BE
+
+
−
+
+
=
，
4.5
AB
BC
−
=
．
（3）解：∵
1
1
4 4
8
2
2
ABC
S
BC AD
=
=
=
，BE 是
ABC
的中线，
∴
1
4
2
ABE
ABC
S
S
=
=
△
△
．
27．（25-26 九年级上·湖北武汉·月考）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，
保留作图痕迹．
(1)在图（1）中画
ABC
的角平分线BD，标出点D；
(2)在图（2）中，作
ABC
的BC 边上的高AD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的
定义是解题的关键．
（1）取格点T，连接BT 交AC 于点D，则线段BD即为所求；根据网格的特点可得点T 到直线AB 的距离
与点T 到直线BC 的距离相等，即点T 在
ABC
的角平分线上；
（2）取格点D，连接AD，则AD即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段BD即为所求；
（2）解：如图所示，线段AD即为所求．
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◆题型10 三角形中高线、中线、角平分线综合求解
28．
（24-25 七年级下·江苏泰州·期中）如图，在
ABC
中，AD是BC 上的中线，点E 是AD的中点，连接CE ，
EF
BC
⊥
．
(1)若
20
DEF
=
，
37
BAD
=
，求
B
的度数；
(2)若
ABC
的面积为24，
4
CD =
，求线段EF 的长度．
【答案】(1)73°
(2)3
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的
关键．
（1）先求出
EDF
的度数，在
ABD
△
中，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：
EF
BC
⊥
，
90
DEF
EDF
+
=
，
20
DEF
=
，
70
EDF
=
，
180
B
BAD
EDF
+
+
=
，
37
BAD
=
，
180
70
37
73
B
=
−
−
=
；
（2）解：
AD
是
ABC
的中线，
1
1
24
12
2
2
ACD
ABC
S
S
=
=
=
，
点E 是AD的中点，
1
1 12
6
2
2
CDE
ACD
S
S
=
=
=
，
1
2
CDE
CD EF
S
=
，
1
4
6
2
EF
=
，
3
EF
= ．
29．（25-26 八年级上·河南信阳·期中）如图，在
ABC
中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B
重合），CD与BE 交于点O．
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(1)若CD是中线，
7,
5
BC
AC
=
=
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
=
，CD是
ABC
的高，求
BOC
的度数．
【答案】(1)2
(2)122
【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余：
（1）根据三角形中线的定义可得AD
BD
=
，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，再由三角形高的定义可得
=90
BDC
，从而得到
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，即可求解．
【详解】（1）解：∵CD是
ABC
的中线，
∴AD
BD
=
，
∵
7,
5
BC
AC
=
=
，
∴
BCD
△
与ACD
的周长差为(
) (
)
2
BC
CD
BD
AC
CD
AD
BC
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
；
（2）解：∵BE 是角平分线，
64
ABC
=
，
∴
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，
∵CD是
ABC
的高，
∴
=90
BDC
，
∴
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，
∴
180
122
BOC
BOD
=
−
=
．
30．（25-26 八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，
自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知
ABC
的高
cm
AD
ab
=
，面积为(
)
2
2
2
2
cm
a b
ab
+
，求BC 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D 是BC 中点，
2cm
AB
AC
−
=
，
16cm
ABD
C
=
△
，求
ACD
C
．
(3)小宇：如图3，已知AD平分
BAC
，
40
B
=
，
60
C
=
，求
DAC
．
【答案】(1)2
4
ab+
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(2)14cm
(3)40
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键．
（1）根据
1
2
ABC
S
BC
AD
=
△
即可求解；
（2）根据
ABD
C
AB
AD
BD
=
+
+
、
ACD
C
AC
AD
CD
=
+
+
△
、BD
CD
=
、
2cm
AB
AC
−
=
即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出
BAC
即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
2
ABC
S
BC
AD
=
△
，
又∵
cm
AD
ab
=
，
(
)
2
2
2
2
cm
S
a b
ab
=
+
，
∴
2
2
2
a b
ab
+
= 1
2
BC ab
，
∴
2
4
BC
ab
=
+ ；
（2）解：∵D 是BC 中点，
∴BD
CD
=
，
∵
16cm
ABD
C
AB
AD
BD
=
+
+
=
△
，
∴
16cm
AB
AD
CD
+
+
=
，
∵
ACD
C
AC
AD
CD
=
+
+
△
，
2cm
AB
AC
−
=
，
∴
2
2
14cm
ACD
C
AB
AD
CD
AB
AD
CD
=
−+
+
=
+
+
−
=
；
（3）解：∵
40
B
=
，
60
C
=
，
∴
180
40
60
80
BAC
=
−
−
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
1
40
2
DAC
BAC
=
=
．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．2
,2
,5
cm
cm
cm
B．3
,4
,7
cm
cm
cm
C．4
,6
,1
cm
cm cm
D．6
,7
,5
cm
cm
cm
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可．
【详解】解：A. 2
2
4
5
+
=
，不能组成三角形；
B. 3 4
7
+
=
，不能组成三角形；
C. 1 4
5
6
+
=
，不能组成三角形；
D. 5
6
11
7
+
=
，能组成三角形．
2．（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，点D 是BC 上一点，DE
AB
⊥
，垂
足为E ，点F 是AB 上一点，连接DF ，且DF
BC
⊥
，下列说法中不正确的是（ ）
A．线段DE 是ABD
中AB 边上的高
B．线段DE 是ADF
中AF 边上的高
C．线段DF 是ABD
中BD边上的高
D．线段AC 是ABD
中BD边上的高
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可．
【详解】解：A． 线段DE 是ABD
中AB 边上的高，正确，不符合要求；
B． 线段DE 是ADF
中AF 边上的高，正确，不符合要求；
C． 线段DF 是BDF
中BD边上的高，不是ABD
中BD边上的高，原说法错误，符合要求；
D． 线段AC 是ABD
中BD边上的高，正确，不符合要求．
3．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）若a ，b ，c 是ABC
的三边，化简：a
b
c
a
c
b
+
−
−
−−
=（ ）
A．0
B．2
2
a
c
−
C．2
2
a
c
−
+
D．2b
【答案】B
【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵, ,
a b c 是ABC
的三边，
∴a
b
c
+
，b
c
a
+
，
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∴
0
a
b c
+ −
，
0
a
c b
−−
，
∴a
b
c
a
b
c
+
−
=
+
−，
(
)
a
c
b
a
c
b
b
c
a
−−
= −
−−
=
+ −
，
∴原式(
) (
)
a
b
c
b
c
a
=
+
−
−
+
−
a
b
c
b
c
a
=
+ −−−+
2
2
a
c
=
−
．
4．
（25-26 七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，BE是ABC
的中线，AD是ABC
的BC 边上的高，
6
DC = ，
4
BD =
，
3
AD = ，则ABE
的面积是（ ）
A．1.5
B．2
C．3
D．4.5
【答案】A
【分析】先求出
1
3
2
ABC
S
BC AD
=
=
，再根据中线的性质即可求出ABE
的面积．
【详解】解：∵AD是ABC
的BC 边上的高，
∴AD
BC
⊥
．
∵
6
DC = ，
4
BD =
，
∴
6
4
2
BC =
−
=
，
∴
1
1
2 3
3
2
2
ABC
S
BC AD
=
=
=
．
∵BE是ABC
的中线，
∴
1
1
3
1.5
2
2
ABE
ABC
S
S
=
=
=
．
5．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐
比”．若等腰ABC
的周长为20 ，其中一边长为6 ，则它的“和谐比”为（ ）
A．3
4
B．7
6
C．4
3 或6
7
D．3
4 或7
6
【答案】D
【分析】分已知边长6 为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可．
【详解】解：等腰ABC
的周长为20 ，一边长为6 ，
∴分两种情况讨论：
当6 为腰长时，底边长为20
6 2
8
−= ，
6
6
8
+
，
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∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比
6
3
8
4
=
=
；
当6 为底边长时，腰长为
(
)
1
20
6
7
2
−
=
，
7
6
7
+
，
∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比
7
6
=
；
综上：等腰ABC
的“和谐比”为3
4 或7
6 ，
二、填空题
6．
（25-26 七年级下·陕西咸阳·期末）一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x 为偶数，则x 的值为________．
（写
出一个即可）
【答案】8（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系确定x 的取值范围，再根据x 为偶数确定符合要求的x 的值．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，9，x ，
∴9 3
9 3
x
−
+ ，
∴6
12
x
，
∵x 为偶数，
∴x 的值为8或10．
7．
（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图，
90
B
D
=
=
，AD与BC 交于点E ，
3
AE = ，
2
EC =
，
2.5
AB =
，
则CD的长是______．
【答案】5
3
【分析】以CE 为底、AB 为高表示面积，再以AE 为底、CD为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建
立等式，代入已知线段长度，求出CD的长．
【详解】解：
90
B
=
，即AB
BC
⊥
，
以CE 为底时，
AEC
△
的高为AB ，
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1
2
AEC
S
CE AB
=
，
90
D
=
，即CD
AD
⊥
，
以AE 为底时，
AEC
△
的高为CD，
1
2
AEC
S
AE CD
=
，
∴
2
2
CE AB
AE CD
=
，
∴CE AB
AE CD
=
，
把
3
AE = ，
2
CE =
，
2.5
AB =
代入得：
2 2.5
3 CD
=
5
3
CD =
．
8．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）如图，ABC
中，点D 是边BC 的中点，E 是边AB 上靠近点B 的三等
分点，点F 在BC 上，且满足3DF
BD
=
，连接AF 、ED，若四边形AEDF 的面积为5，则ABC
的面积为
______．
【答案】10
【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与ABC
面积的比例，再结合四边形
AEDF 面积为5建立等式，进而求出ABC
的面积．
【详解】解：连接AD，四边形AEDF 可拆分为ADE
和ADF
，
设ABC
的面积为S，
点D是BC 的中点，
1
2
BD
DC
BC
=
=
，
∵ABD
和ADC
等高
1
2
2
ABD
ADC
ABC
S
S
S
S
=
=
=
，
E
是AB 上靠近B 的三等分点，
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:
1:2
BE AE
=
，
ADE
和ABD
等高，
2
2
3
3
2
3
ADE
ABD
S
S
S
S
=
=
=
，
3DF
BD
=
，BD
DC
=
，
1
1
3
3
DF
BD
DC
=
=
，
ADF
和ADC
等高，
1
1
3
3
2
6
ADF
ADC
S
S
S
S
=
=
=
，
∵
5
ADE
ADF
AEDF
S
S
S
=
+
=
四边形
，
5
3
6
S
S
+
=
，
解得：
10
S =
．
9．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，在ABC
中，
9
AB = ，
8
BC = ，AE 为BC 边上的高，
7
AE =
，
P 为AB 上一动点．给出下面四个结论：①
28
ABC
S
=
△
；②BP
EC
=
；③当CP
AB
⊥
时，BAE
PCB
=
；④
CP 的最小值为56
9 ；上述结论中，正确结论的序号是_______．
【答案】①③④
【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据BP的值不确定，即可判断②错误；根据同角
的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确．
【详解】解：∵在ABC
中，
8
BC = ，AE 为BC 边上的高，
7
AE =
，
∴
1
1 8 7
28
2
2
ABC
S
BC AE
=
=
=
，故①正确，符合题意；
∵P 为AB 上一动点，
∴BP的值不确定，
∴BP不一定与EC 相等，故②错误，不符合题意；
当CP
AB
⊥
时，
90
PCB
B
+=
，
∵AE 为BC 边上的高，
∴
90
AEB
=
，
∴
90
BAE
B
+=
，
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∴
BAE
PCB
=
，故③正确，符合题意；
由垂线段最短得，当CP
AB
⊥
时，CP 的值最小，此时1
1
9
28
2
2
AB CP
CP
=
=
，
∴
56
9
CP =
，
∴CP 的最小值为56
9 ，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是①③④．
10．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
中，AD为BC 边上的中线．
（1）若ABD
的周长比ACD
的周长大4，
14
AB
AC
+
=
，则AC =___________；
（2）若ABC
的面积为17，则ACD
的面积为___________；
（3）若
6
BC =
，
4
AD =
，则ABC
的面积的最大值为___________．
【答案】 5 8.5 12
【分析】（1）先得出BD
CD
=
，再根据三角形的周长公式可得
4
AB
AC
−
=
，与
14
AB
AC
+
=
联立求解即可；
（2）根据三角形的中线性质即可得；
（3）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，先求出ABC
的面积为3AE，再根据垂线段最短求出AE 的最大值即可．
【详解】解：（1）∵在ABC
中，AD为BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
∵ABD
的周长比ACD
的周长大4，
∴(
) (
)
4
AB
AD
BD
AC
AD
CD
+
+
−
+
+
=
，
∴
4
AB
AD
BD
AC
AD
BD
+
+
−
−
−
=
，即
4
AB
AC
−
=
，
∵
14
AB
AC
+
=
，
∴联立
4
14
AB
AC
AB
AC
−
=
+
=
，
解得
9
5
AB
AC
=
=
．
（2）∵在ABC
中，AD为BC 边上的中线，且ABC
的面积为17，
∴
1
1 17
8.5
2
2
ACD
ABD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
．
（3）如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
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∵
6
BC =
，
∴ABC
的面积为1
3
2 BC AE
AE
=
，
∴要使得ABC
的面积最大，则需AE 的值最大，
由垂线段最短可知，AE
AD
（当且仅当点
,
D E 重合时，等号成立），
∵
4
AD =
，
∴
4
AE
，
∴AE 的最大值为4，
∴ABC
的面积的最大值为3 4
12
=
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知a ，b ，c 是ABC
的三边长．
(1)若
(
)
2
0
a
b
b
c
−
+
−
=
，试判断ABC
的形状．
(2)化简：a
b
c
b
c
a
c
a
b
−
−
+
+
−
+
−
−
．
【答案】(1)
等边三角形
(2)
3
a
b
c
−+
+
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a
b
c
=
= ，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到
0
a
b
c
−−＜，
0
b
c
a
+ −
，
0
c
a
b
−−＜，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
0
a
b
b
c
−
+
−
=
，
0
a
b
−
=
，且
0
b
c
−=
，
a
b
c
=
=
，
ABC
为等边三角形．
（2）解：∵a ，b ，c 是ABC
的三边长，
∴
0
a
b
c
−−＜，
0
b
c
a
+ −
，
0
c
a
b
−−＜，
∴：
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
−
−
−
−
−
+
+
+
= −+
+ +
+ −
−+
+
= −+
+
．
12．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题．
(1)在ABC
中，
6
AB =
，
2
BC =
，AC 的长为偶数，求ABC
的周长；
(2)已知ABC
的三边长分别为3，7，m，化简
2
10
2
4
m
m
m
+
−
−
+
−
．
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【答案】(1)14
(2)4
16
m−
【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AC 的取值范围，结合AC 为偶数
确定AC 的长度，再计算三角形周长；
（2）先根据三角形三边关系得到m 的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果．
【详解】（1）解：∵ AB
BC
AC
AB
BC
−
+
，
6
AB =
，
2
BC =
，
∴ 6 2
6
2
AC
−
+
，即4
8
AC
．
又∵AC 为偶数，
∴
6
AC =
．
∴ABC
的周长为
6
14
=
6+2+
．
（2）解：∵ABC
的三边长分别为3，7 ，m ，
∴7 3
7
3
m
−
+ ，即4
10
m
．
∴
2
0
m+
，
10
0
m−
，
4
0
m−
．
∴原式
(
2)
(10
)
2(
4)
m
m
m
−
−
=
+
−
+
2 10
2
8
m
m
m−
=
+ −
+
+
4
16
m
=
−
．
13．
（25-26 七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点A B
C
，，
均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出ABC
的边AB 上的高CD；
(2)画出ABC
的边AB 上的中线CE ；
(3)过点A作线段AF
BC
且AF
BC
=
；
(4)线段
5
AC = ，则点B 到直线AC 的距离为___________个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)1.6
【分析】（1）借助网格作高即可；
（2）取AB 的中点E，连接CE 即可；
（3）取格点F，利用平移的性质连接AF 即可；
（4）利用等面积法求解即可．
小学
初中
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【详解】（1）解：ABC
的边AB 上的高CD如图所示；
（2）解：ABC
的边AB 上的中线CE 如图所示；
（3）解：如图，线段AF 即为所作；
（4）解：ABC
的面积
1
2 4
4
2
=
=
，
设点B 到直线AC 的距离为h，则1
4
2
AC h
=
，即1
5
4
2
h
=
解得
8
1.6
5
h =
=
．
14．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其
悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对
三角形重心的几何性质展开探究．
【观察发现】
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(1)如图2，小组成员在ABC
上画出中线AD，可以得到
ABD
S
ACD
S△
（填“ ”“ = ”或“”）；
【初步探究】
(2)如图3，AD、BE、CF 是ABC
的三条中线，三者相交于点O，猜想
AOB
S
与
BOC
S
的数量关系并证明你
的结论；
【拓展应用】
(3)如图4，在ABC
中，点O是ABC
的重心．连接BO，CO并延长分别交AC ，AB 于点E ，F ．若BO
CO
⊥
，
9
BE =
，
15
CF =
，求四边形AEOF 的面积．
【答案】(1) =
(2)
AOB
BOC
S
S
=
△
△
；
证明：∵AD是ABC
的中线，
∴OD 是
OBC
△
的中线，
∴
OBD
OCD
S
S
=
,
同理可得：
OAE
OCE
S
S
=
,
OAF
OBF
S
S
=
,
设
OBD
OCD
S
S
a
=
=
，
OAE
OCE
S
S
b
=
=
，
OAF
OBF
S
S
c
=
=
∴
2
ABD
OAF
OBF
OBD
S
S
S
S
c
a
=
+
+
=
+
,
2
ADC
OAE
OEC
ODC
S
S
S
S
b
a
=
+
+
=
+
∵
ABD
ADC
S
S
=
∴2
2
c
a
b
a
+
=
+
∴b
c
=
同理可知，
,
a
b a
c
=
=
，
∴
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
∴
AOB
OAF
OBF
S
S
S
=
+
,
BOC
OBD
ODC
S
S
S
=
+
,
∴
AOB
BOC
S
S
=
△
△
(3)30
【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等；
（2）根据中线可知
OBD
OCD
S
S
=
，根据面积转化即可求得
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
，进而
可判断相等；
（3）连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，根据面积公式可知
1
2
OE
OB =
，
1
2
OF
OC =
，即可求解
,
OE OC ，进而可
求解面积．
【详解】（1）解：∵AD是ABC
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵ABD
和ACD
的高相等，
则两个三角形的面积相等；
（2）略
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（3）连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，
由（2）可知
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
，
∵BO
CO
⊥
，
∴
1
1
2
1
2
2
EOC
COB
OC
OE
S
OE
S
OB
OB OC
=
=
=
,
同理可知
1
2
BOF
COB
S
OF
S
OC
=
=
,
∵
9
BE =
，
15
CF =
，
∴
1
3
1 2
OE
BE
=
=
+
,
2
10
1 2
OC
CF
=
=
+
,
∴
1
15
2
OCE
S
OE OC
=
=
，
∴
15
OBD
OCD
OAE
OCE
OAF
OBF
S
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
=
，
∴四边形AEOF 的面积为：
15 15
30
OAE
OAF
S
S
+
=
+
=
．
15．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在ABC
中，
2
AB =
，
4
BC =
，则ABC
的高AD与CE 的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2 ，
若ABC
中，D 是边BC 上的点，则
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
△
△
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，ABC
中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AD与BE交于点O．若BD
CD
=
，
2
AE
CE
=
，
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请直接写出AO
AD 的值．
【答案】(1)
1
2
AD
CE =
(2)猜想正确，
证明：如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
∴
1
2
ABD
S
BD AE
=
△
，
1
2
ACD
S
CD AE
=
△
．
∴
1
2
1
2
ABD
ACD
BD AE
S
BD
S
CD
CD AE
=
=
．
(3) 4
5
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出2AD
CE
=
，即可求解；
（2）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，根据三角形的面积公式，分别表示出ABD
、ACD
的面积，再求比值，
即可求解；
（3）连接CO，设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
，根据已知条件，分别得出
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
，
结合图形分别求得AOB
，ABD
的面积，进而根据
AOB
ABD
S
AO
AD
S
=
△
△
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB CE
=
=
，
∴1
1
4
2
2
2
AD
CE
=
，
∴2AD
CE
=
，
∴
1
2
AD
CE =
．
（2）略
（3）连接CO，
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设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
∵BD
CD
=
，
∴
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
．
∴
2
3
ABD
ACD
AOE
COE
COD
S
S
S
S
S
a
a
b
a
b
=
=
+
+
=
+
+
=
+
△
△
△
△
△
．
∴
3
3
AOB
ABD
BOD
S
S
S
a
b
b
a
=
−
=
+ −
=
△
△
△
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
ABE
BCE
S
S
=
△
△
．即
(
)
2
AOB
AOE
BOD
COD
COE
S
S
S
S
S
+
=
+
+
△
△
△
△
△
，
∴
(
)
3
2
2
a
a
b
b
a
+
=
+
+
，
∴
3
4
b
a
=
．
∴
3
4
BOD
S
a
=
△
，
3
15
3
4
4
ABD
S
a
a
a
=
+
=
△
．
∴
3
4
15
5
4
AOB
ABD
S
AO
a
AD
S
a
=
=
=
△
△
．
∴AO
AD 的值为4
5 ．
