13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
13.2.2
三角形的中线、角平分线、高
知识与技
能
理解三角形中线、角平分线、高的定义；掌握它们的画法；了解三角形三条
中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。
过程与方
法
通过观察、动手画图、合作探究等活动，体会从一般到特殊的数学思想，提
高几何语言表达能力。
教学
目标
情感态度
价值观
在探究钝角三角形高线位置的过程中，培养学生勇于探索、克服困难的意
志，感受几何图形的对称美。提高学生动手操作及解决问题的能力.
教材
分析
本节课是在学生已经学习了“三角形的有关概念”和“三角形三边关系”的基础上进
行的。它不仅是三角形内部结构的第一次深入剖析，也是后续学习三角形全等等腰三角形
“三线合一”、以及三角形重心、内心、垂心的重要铺垫。从知识体系来看，三角形的这
三条特殊线段，实际上是小学学过的“垂线”、“角的平分线”和“线段中点”在三角形
这一特定封闭图形中的综合应用与再定义。因此，学好本节课，既能巩固旧知，又能培养
学生的图形转化能力和空间想象能力，起着承上启下的关键作用。
学情
分析
授课对象为八年级学生。他们在小学阶段已经接触过三角形高线的直观认识，在本章
前几节课中也掌握了三角形的构成要素和三边关系。同时，学生在七年级已经系统学习了
线段的中点、角的平分线和垂线的作法。这些都为新知的同化提供了良好的“固着点”。
尽管有基础，但在实际学习中，学生仍面临以下挑战：概念混淆：受前摄抑制影响，学生
容易把“三角形的角平分线”误认为是射线，而忽略了它是“顶点到对边交点”之间的一
段线段。作图定势：在画钝角三角形的高时，学生往往习惯于在三角形内部寻找垂直关
系，很难想到要去延长边，从而导致作图失败或产生畏难情绪。语言转换困难：八年级学
生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，将文字语言（如“中线”）准确转化
为图形语言和符号语言的能力还比较薄弱。
教学
重点
三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。
教学
难点
1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，
这是学生认知的难点。
2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三
角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。
教学
器材
多媒体ppt，包含1 个视频：《哪吒的困惑》
教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
【视频】展示ppt，让学生观看视频《哪吒的困惑》
【教师提问】哪吒画了一个三角形，想找到顶点到对边的垂线段、对边中点的连线、
内角平分线的线段，却不知道怎么命名和区分，邀请同学们帮忙解决。
【设计意图】用学生熟悉的动画人物创设问题情境，激发学习兴趣，自然引出本节
课的三个核心概念，让学生明确学习任务。
认真听情
境，明确本
节课要解
决的核心
问题，带着
兴趣进入
学习。
新知探究一、三角形的高
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角
形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
1.锐角三角形的高
问1.请画出锐角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AD ;
边AB 边上的高是 CF ;
边AC 边上的高是 BE ;
问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；
2.直角三角形的高
问1.请画出直角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AB ;
边AB 边上的高是 BC ;
边AC 边上的高是 BD ;
问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部问3.这三条高之间
有怎样的位置关系
直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处；
1. 学生动
手操作画
图.
2. 小组讨
论后派代
表回答问
题，纠正自
己画图中
的错误。
3. 记录概
念和性质，
重点标注
钝角三角
形高的画
法要点。
3.钝角三角形的高
问1.请画出钝角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AD ;
边AB 边上的高是 CE ;
边AC 边上的高是 BF ;
问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部.
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
钝角三角形的三条高不交于某一点；
钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点
【归纳总结】：三角形的三条高的特性
三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 垂心 .
【设计意图】 1. 通过“做数学”让学生自主发现不同三角形高的位置差异，突破“钝
角三角形外高”的难点；
2. 动画演示将抽象的空间关系可视化，降低认知难度；
3. 培养学生观察、归纳、表达的能力。
新知应用一
1.下列各个图形中，哪一个图形中AD 是△ABC 的高( D )
【方法总结】：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
2.若𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，以𝐴𝐻为高的三角形有 3 个，它们分别∆𝐴𝐵𝐻,
∆𝐴𝐷𝐻,∆𝐴𝐶𝐻 。
3.如图所示𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐵𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,点𝐷、𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵和𝐵𝐶上，下列说
法：①△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶是𝐵𝐶边上的高；②△𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸是𝐵𝐶边上的高；③△𝐴𝐵𝐸中，
𝐷𝐸是𝐵𝐸边上的高；④△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷是𝐶𝐷边上的高．其中正确的结论为__①②④
1. 独立完
成习题，
同桌互
查，说明
错误原因
（如AD
未过顶
点、垂足
不在对边
上等）。
2. 跟随老
师推导面
______.（填序号）
4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶＝5，𝐵𝐶＝6，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，且𝐴𝐷＝4，若点𝑃在
边𝐴𝐶上移动，则𝐵𝑃的最小值为__
24
5 __．
5.如图,𝐴𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高,
(1)若𝐴𝐷= 10,𝐶𝐸= 9,𝐴𝐵= 12.则𝑆∆𝐴𝐵𝐶=__54____;𝐵𝐶=__10.8________
若𝐴𝐶= 8,则𝐴𝐶上的高为 13.5
(2)若𝐴𝐵:𝐵𝐶= 4:5，则𝐶𝐸:𝐴𝐷= 5：4 .
【方法总结】：可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此
解题方法通常称为“面积法”
【设计意图】1. 及时巩固高的概念，强化“高是从顶点向对边作的垂线段”这一本
质；
2. 渗透“面积法”这一重要解题思想，为后续几何计算打基础。
积法公
式，理解
“高与面积
的一一对
应关系”
新知探究 二、三角形的中线
定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB = 1
2𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线
【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线
动手画
图，观察
发现：无
论哪种三
角形，三
条中线都
在内部，
交于内部
一点。
的交点叫作三角形的重心
2.中线分周长问题
问1.观察图形𝐶∆𝐴𝐵𝐷与𝐶∆𝐴𝐶𝐷之差与𝐴𝐵,𝐴𝐶之间有怎样的数量关系
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
规律与方法：
三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边
之差.
3.中线分面积问题
问2.观察图形𝑆∆𝐴𝐵𝐷与𝑆∆𝐴𝐶𝐷之间有怎样的数量关系
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷= 1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
规律与方法:
三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
【设计意图】1.延续“动手画图—观察归纳”的学习路径，符合学生认知规律.
2. 通过面积问题渗透“等底同高”的核心几何模型，深化对中线性质的理解。
2. 小组讨
论面积问
题：两个
小三角形
等底同
高，所以
面积相
等，即中
线平分三
角形面
积。
新知应用二
1.如图所示,𝐷,𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶,𝐵𝐶的中点,则下列说法不正确的是( C )
A.𝐷𝐸是△𝐵𝐶𝐷的中线 B.𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线
C.𝐴𝐷= 𝐷𝐶,𝐵𝐷= 𝐸𝐶 D.𝐵𝐸= 1
2𝐵𝐶
2.已知 𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵上的中线，
(1)若𝐴𝐵= 6,𝐴𝐸= 2.5 ，则𝐵𝐹=___3__,𝐴𝐶=__5___
(2)若𝐴𝐸＝2，𝐴𝐹＝3，且△𝐴𝐵𝐶的周长为15， BC边上的高为4，则𝐵𝐶的长为
___5___，𝑆∆𝐴𝐵𝐶= ____10_____．
1. 独立完
成后小组
交流，明
确“公共边
抵消”的逻
辑。
2.体会中线
“平分面
积、影响
周长”的双
重作用。
3.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐵= 3,𝐴𝐶= 7，𝐵𝐶= 9,𝐴𝐷= 2.5,则
𝐶∆𝐴𝐵𝐷为___10_______ 𝐶∆𝐴𝐶𝐷 为___14_______。
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成25和40两部分，𝐴𝐶
= 30,则𝐴𝐵= 15𝑐𝑚 。
5.在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐶= 5𝑐𝑚，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成两部分，若其
差为3𝑐𝑚，则AB 的长为 8𝑐𝑚或2𝑐𝑚 规律与方法：无图时，注意分类讨论
6.若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
(1)如图1若△𝐴𝐵𝐷的面积为12, 则△𝐴𝐵𝐶的面积为__24___；
(2)如图2若△𝐴𝐵𝐶的面积是32，则△𝐴𝐵𝐷的面积为_16____；
则△𝐴𝐵𝐸的面积为 8 ； △𝐵𝐶𝐸的面积为 16
(3)如图3，若𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻,𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺,𝐴𝐵= 7𝑐𝑚,𝐴𝐶= 6𝑐𝑚,𝐷𝐻= 3𝑐𝑚，则𝐷𝐺
的长是__
7
2_____cm.
【设计意图】巩固中线的核心性质，培养学生用几何性质解决实际问题的能力，渗透“转
化思想”。
新知探究 三、三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线
段叫三角形的角平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶(三角形角平分线的定义)
∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷
动手画
图，观察
发现：三
条角平分
线都在三
角形内
部，交于
内部一点
1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线
归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平
分线的交点叫做三角形的内心.
【设计意图】延续“动手画图—观察归纳”的学习路径，符合学生认知规律.
新知应用三
1.如图,在△𝐴𝐵𝐶中, ∠1 = ∠2,𝐺为𝐴𝐷中点,延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于𝐸,𝐹为𝐴𝐵上一点,𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于
𝐻,判断:
①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐸的角平分线.( 错 )
②𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线. ( 错 )
③𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶上的中线. ( 错 )
④𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷边𝐴𝐷上的高. ( 对 )
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为角平分线．
(1)若∠𝐴𝐵𝐶＝50°，则∠𝐴𝐵𝐷＝ 25° .
(2)若∠𝐴𝐵𝐷＝20°，则∠𝐴𝐵𝐷＝ 40° .
3.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹//𝐴𝐵，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点
F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
解：∠1 = ∠2．理由：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷．
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠𝐹𝐴𝐷．
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠2，
∴∠1 = ∠2．
【设计意图】巩固角平分线的定义，同时串联三角形内角和的知识点，体现知识的综合
性。.
1. 独立完
成计算，
同桌互
查。
2. 总结解
题逻辑：
角平分线
→得角的
一半→结
合其他条
件计算。
典例分析
认真思考
问题，根
据教师示
范学习规
例1.如图所示，已知𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 10cm，
∠𝐶𝐴𝐵= 90°．试求：
(1)求作BC边的高AD，并求AD的长；
(2) △ABE的面积；
(3) △ACE和△ABE的周长的差．
(4)∠𝐵= 50°，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
解（1）作图如下高线𝐴𝐷即为所求，
∵∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∵𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 𝐴𝐵× 𝐴𝐶= 1
2 × 6 × 8 = 24(cm2)．
∵𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐵𝐶= 10cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 𝐴𝐷× 𝐵𝐶= 5𝐴𝐷，
∴5𝐴𝐷= 24，即𝐴𝐷= 4.8(cm)，
即𝐴𝐷的长度为4.8cm
（2）∵𝐴𝐸是中线，∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 1
2𝐵𝐶，
∴根据高相同，面积之比等于底之比，
有𝑆△𝐴𝐵𝐸= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 24 = 12(cm2)；
（3）∵𝐴𝐸是中线，∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∵△𝐴𝐶𝐸的周长与△𝐴𝐵𝐸的周长的差为：
(𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸)−(𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸)
∵𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，
∴(𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸)−(𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸) = 𝐴𝐶−𝐴𝐵= 2cm．
（4）：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°,∠𝐵= 50°，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶= 40°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180°−90°−40° = 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= 50°−40° = 10°．
例2.已知：如图△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，P 是底边𝐵𝐶上的任一点（不与B、C 重合），
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹．
求证：𝐶𝐷= 𝑃𝐸+ 𝑃𝐹；
范书写和
如何思考
问题
证明：如图，连接𝑃𝐴，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于F，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐵× 𝐶𝐷，𝑆△𝑃𝐴𝐵= 1
2𝐴𝐵× 𝑃𝐸，
𝑆△𝑃𝐴𝐶= 1
2𝐴𝐶× 𝑃𝐹，
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝑃𝐴𝐵+ 𝑆△𝑃𝐴𝐶，
∴1
2𝐴𝐵× 𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐵× 𝑃𝐸+ 1
2𝐴𝐶× 𝑃𝐹，
∵AB = AC，∴𝐶𝐷= 𝑃𝐸+ 𝑃𝐹．
例3.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，且𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶的周长分为9𝑐𝑚和
12𝑐𝑚两部分，求三角形的各边长。
解：如图，∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，设𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥,则𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥
①当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 12时，2𝑥+ 𝑥= 12，解得𝑥= 4,
∴2𝑥= 8
∵中线𝐵𝐷将△ABC 周长分成9𝑐𝑚和12𝑐𝑚
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为21𝑐𝑚
当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8𝑐𝑚时，𝐵𝐶= 5𝑐𝑚，能构成三角形。
∴△𝐴𝐵𝐶各边长依次是：8𝑐𝑚,8𝑐𝑚,5𝑐𝑚
②当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 9时，2𝑥+ 𝑥= 9，解得𝑥= 3
∴2𝑥= 6，
当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6𝑐𝑚 时，𝐵𝐶= 9𝑐𝑚 ，能构成三角形
∴△𝐴𝐵𝐶的三边依次为：6𝑐𝑚,6𝑐𝑚,9𝑐𝑚
综上所述：△ABC 的各边长分别为：8𝑐𝑚,8𝑐𝑚,5𝑐𝑚或6𝑐𝑚,6𝑐𝑚,9𝑐𝑚.
【设计意图】巩固三角形三线的性质，同时串联等腰三角形的知识点，体现知识的综合
性。
变式训练
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐸为𝐴𝐵上一点，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6.若△𝐵𝐷𝐸与
四边形𝐴𝐸𝐷𝐶的周长相等，求𝐵𝐸−𝐴𝐸的值.
解：∵𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷.
∵△𝐵𝐷𝐸与四边形𝐴𝐸𝐷𝐶的周长相等，
∴𝐵𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶,
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶,
∴𝐵𝐸−𝐴𝐸= 𝐴𝐶.
∴𝐴𝐶= 6，∴𝐵𝐸−𝐴𝐸= 6.
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵＞𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成60
和40两部分，求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
解：设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥,则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
∵𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成60和40两部分,𝐴𝐵> 𝐵𝐶，
①当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 60,𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 40时，4𝑥+ 𝑥= 60,解得：𝑥=12,
∴𝐴𝐶= 4𝑥=48,𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 12,
∴𝐴𝐵= 40−𝐵𝐷= 40−12 = 28,
∴𝐴𝐵= 28 > 𝐵𝐶= 24，满足条件;
∵𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 28 + 24 = 52 > 𝐴𝐶= 48,满足三边关系，
∴𝐴𝐶= 48,𝐴𝐵= 28;
②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 40,𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 60时，
4𝑥+ 𝑥= 40,解得：𝑥= 8,∴𝐴𝐶= 4𝑥=32,∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 8,
𝐴𝐵= 60−𝐵𝐷= 60−8 = 52,
∵𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 32 + 16 = 48 < 52 = 𝐴𝐵,
∴不满足三角形的三边关系，不合题意，舍去，
∴综上所述𝐴𝐶= 48,𝐴𝐵= 28.
3.如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是18，点𝐷,𝐸分别位于𝐴𝐵,𝐵𝐶上，𝐷𝐸//𝐴𝐶，且𝐴𝐷= 4，
𝐷𝐵= 5，求△𝐴𝐵𝐸 的面积.
解：连接𝐷𝐶.由已知，得𝑆∆𝐴𝐷𝐶:𝑆∆𝐵𝐷𝐶= 𝐴𝐷:𝐷𝐵= 4:5
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐶= 18
∴𝑆∆𝐴𝐷𝐶= 8, 𝑆∆𝐵𝐷𝐶= 10
∵𝐷𝐸//𝐴𝐶,
∴𝑆∆𝐴𝐶𝐸= 𝑆∆𝐴𝐷𝐶= 8,
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐸= 𝑆∆𝐴𝐵𝐶−𝑆∆𝐴𝐶𝐸= 1
【设计意图】通过此题提高学生综合解决问题的能力
独立完成
计算，同
桌互查。
教师评讲
课
堂
练
习
1.下列说法中正确的是（ D ）
A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离
B.三角形的角平分线是射线
C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外
D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
2. 如图.(1）若𝐴𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 12𝑐𝑚，则𝐵𝑀= 𝐶𝑀= ___6_____cm；
(2)若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶= ___
1
2∠𝐵𝐴𝐶______；若∠𝐵𝐴𝐶= 106°，
则∠𝐷𝐴𝐶= ___ 53°______
(3）若𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高，则△𝐴𝐵𝐻是__直角_____三角形.
3.在△𝐴𝐵𝐶中, 𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷= 10𝑐𝑚,则𝐴𝐵边上的高𝐶𝐸= 10 ；
结论：等腰三角形两腰上的高相等
4.如图，𝐴𝐷,𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵= 4𝑐𝑚，𝐵𝐶= 8𝑐𝑚,𝐶𝐸= 6𝑐𝑚，则𝐴𝐷的长为
___3___
5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐴𝐵,周长为16𝑐𝑚， 𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成周长差为2𝑐𝑚的两
个三角形，求△𝐴𝐵𝐶的各边长
解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
(1)若𝐴𝐵> 𝐵𝐶，则𝐴𝐵−𝐵𝐶= 2，又因为2𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 16,
联立方程组并求解得：𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 4，
6cm、6cm、4cm 三边能够组成三角形;
(2)若𝐴𝐵< 𝐵𝐶，则𝐵𝐶−𝐴𝐵= 2，又因为2𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 16,
联立方程组并求解得：𝐴𝐵=
14
3 ,𝐵𝐶= 20
3
14
3 cm,
14
3 cm ,20
3 𝑐𝑚三边能够组成三角形;
因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm 或
14
3 cm,
14
3 cm ,20
3 𝑐
板
书
设
计
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
一、三角形的高 二、三角形的中线 三、三角形的角平分线
1．定义：顶点→对边所在直线 1．定义：顶点→对边中点 1．定义：内角平分线→对边交点
垂足的线段
2．位置特征： 2．位置特征： 2．位置特征：
-锐角：全在内部 －所有三角形：全在内部 -所有三角形：全在内部
-直角：两直角边+内部一条
-钝角：1 条内部+2 条外部
3．交点：垂心 3．交点：重心（内部） 3．交点：内心（内部）
-锐角：内部
-直角：直角顶点
-钝角：外部（延长线交点）
4．性质：-得90° 4．性质：-平分面积 4．性质：－分得两个等角
5．核心思想：等积思想 -周长差=另外两边差
课
堂
小
结
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
作
业
1. 必做：教材P8 练习1；P9 练习2，复习巩固4；P10 复习巩固7。
2. 选做：画一个钝角三角形，标出它的三条高、三条中线、三条角平分线，并用不同颜色
的笔区分，写出每种线段的特点。
