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分层作业
29.1.2 过三点的圆
目 录
A 组 巩固过关
题型01 外心概念的辨析
题型02 外心的确定
题型03 求外心的坐标
题型04 求三角形外接圆的半径
题型05 外心性质的应用
题型06 确定圆的条件
题型07 列举反证法的反例
题型08 用反证法证明
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
外心概念的辨析
1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（ ）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
题型01
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C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的
距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案．
【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂
直平分线的交点，故A、B 错误；D 正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的
中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C 错误．
故选：D．
2．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】A
【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为
三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有
外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等，
∴ 三角形一定有外接圆，
四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，
故选：A
3．（25-26 八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣
弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念以及三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的确定、弧的大小比
较、弦与弧的关系以及三角形外心的定义．
根据圆的确定条件、优弧与劣弧的定义、弦与弧的关系以及三角形外心的性质，对每个命题进行分析判
断，统计错误命题的个数．
【详解】命题①：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，若三点在同一直线上，则不能作圆，所以该
命题错误；
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命题②：在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误；
命题③：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧（优弧和劣弧）分别相等，缺少“同圆或等圆”的条件，该命
题错误；
命题④：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点
的距离相等，该命题正确．
综上，错误的命题有①②③，共3 个，
故选：B．
4．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90．
故选：C
外心的确定
5．（25-26 九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定ABC
的外心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．
题型02
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根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有A 选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：A．
6．（24-25 九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点
A B
C
D
E
F
G
，，，，，，
在小正方形的顶点上，则ABC
的外心是（ ）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外
心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AF
BF
CF
、
、
，
由勾股定理得，
2
2
1
2
5
FA =
+
=
，
2
2
2
1
5
FB =
+
=
，
2
2
2
1
5
FC =
+
=
，
∴FA
FB
FC
=
=
，
∴点F 是ABC
的外心，
故选：C ．
7．（2026·河南商丘·二模）如图，在Rt BAC
中，
90
C
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，P 是AC 的中点，用无刻度
直尺和圆规作图并解答问题．
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(1)以AP 为直径作
O
，
O
与BA交于点Q，连接PQ ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求PQ 的长度．
【答案】(1)如图所示，
O
即为所求
(2)
12
5
PQ =
【分析】（1）作AP 的垂直平分线交AP 于点O，再以O 为圆心，OA为半径作圆，
O
与BA交于点Q，
连接PQ ；
（2）由勾股定理求出AB ，证明
PQA
BCA
∽
△
△
，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：略
（2）解：由（1）可知，AP 为
O
的直径，
90
PQA
=
∠
，
在Rt BAC
中，
90
C
=
，
6
BC =
，
8
AC = ，
2
2
10
BA
BC
AC
=
+
=
，
P
是AC 的中点，
1
4
2
AP
AC
=
=
，
90
PQA
C
=
=
，
PAQ
BAC
=
，
PQA
BCA
△
∽△
，
PQ
AP
BC
AB
=
，即
4
6
10
PQ =
，
12
5
PQ
=
．
求外心的坐标
8．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
(
)
0,3
A
，
(
)
2,1
B
，
(
)
2, 3
C
−
，则
ABC
的外心坐标是（ ）
题型03
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A．(
)
2, 2
−
−
B．(
)
2, 1
−
−
C．(
)
1, 2
−
−
D．(
)
1, 1
−
−
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作
出线段
,
AB BC 的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：ABC
的外心坐标是(
)
2, 1
−
−
；
故选B．
9．（25-26 九年级上·广东广州·阶段检测）ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，
(
)
(
)
(
)
2,4 ,
4,2 ,
3,1
A
B
C
−
−
−
．其中每个小正方形的边长为1 个单位长度，按要求作图：
(1)将ABC
绕点O逆时针旋转90得到
A B C
△
；
(2)求出（1）中旋转过程点C 经过的路径长；
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(3)连接BB，
OBB
△
的外心坐标是_________．
【答案】(1)见解析
(2)
10 π
2
(3)(
)
3, 1
−
−
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外
心的定义是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）连接OC ，利用勾股定理求出
10
OC =
，再旋转角为90，利用弧长公式计算即可；
（3）利用网格的特征作
,
OB OB的中垂线，交于点
(
)
3, 1
F −
−
即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
A B C
△
为所求；
（2）解：由题意，得
2
2
3
1
10
OC =
+
=
，且旋转角为90，
则点C 经过的路径长为90 π
10
10 π
180
2
=
；
（3）解：如图所示，作
,
OB OB的中垂线，交于点
(
)
3, 1
F −
−
，
则
OBB
△
的外心坐标为(
)
3, 1
−
−
，
故答案为：(
)
3, 1
−
−
．
求三角形外接圆的半径
10．在ABC
中，
5
AB = ，
3
AC =
，
4
BC =
，那么ABC
的外接圆半径为（ ）
题型04
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A．5
B．3
C．2
D．5
2
【答案】D
【分析】先根据勾股定理逆定理判断ABC
是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计
算即可．
【详解】解：∵
2
2
2
2
3
4
25
AC
BC
+
=
+
=
，且
2
2
5
25
AB =
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
C
=
，则ABC
是直角三角形，
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴ABC
的外接圆半径为1
1
5
5
2
2
2
AB =
=
．
11．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为_________．
【答案】25
6
【分析】在ΔABC 中，
5
AB
AC
=
= ，
8
BC = ，过点A 作AD
BC
⊥
于点D ，根据等腰三角形“三线合
一”的性质得出
4
BD
CD
=
=
，利用勾股定理求出
3
AD = ，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，
可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，在ΔABC 中，
5
AB
AC
=
=
，
8
BC = ，过点A 作AD
BC
⊥
于点D ，
∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴
1
4
2
BD
DC
BC
=
=
=
，AD 垂直平分BC ，
∴
2
2
2
2
5
4
3
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上，
∴外接圆圆心O 在射线AD上，连接OB ，设外接圆半径为R ，则OA
OB
R
=
=
，
∴
3
OD
R
=
−
，
在
Δ
Rt OBD 中，
2
2
2
OB
OD
BD
=
+
，
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∴
2
2
2
(3
)
4
R
R
=
−
+
，
解得：
25
6
R =
．即外接圆的半径为25
6 ．
外心性质的应用
12．如图，已知点O是ABC
的外心，
55
A
=
，连接BO
CO
，
，则
BOC
的度数是（ ）
A．100
B．90
C．110
D．70
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，掌握“三角形的外心是其外接圆的圆心”、“同弧所
对的圆心角的度数是圆周角的两倍”知识点是解题的关键．
由已知点O是ABC
的外心，说明点O是ABC
外接圆的圆心，根据圆周角定理即可求出
BOC
的度数．
【详解】解：点O是ABC
的外心，
55
A
=
，
A
是圆周角，
BOC
是同弧BC 所对的圆心角，
5
2
110
2
5
OC
A
B
=
=
=
．
故选：C．
13．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O 为ABC
的外心，
120
BOC
=
，求
A
的度数．”小
亮的解答：画出ABC
以及它的外接圆
O
，连接OB ，OC ，如图，由
2
120
BOC
A
= =
，得
60
A
=
．下列判断正确的是（ ）
A．小亮的求解不正确，
60
A
=
或120
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，
A
应该等于65
题型05
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D．小亮的求解不正确，
A
的度数不固定
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论ABC
是锐角三角形还是钝
角三角形是解决本题的关键．
本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论ABC
是锐
角三角形还是钝角三角形求解即可．
【详解】解：当ABC
是锐角三角形时，如图，
已知点O 为ABC
的外心，连接OB ，OC ，
此时
BOC
是圆心角，
A
是圆周角，且
120
BOC
=
，
即
1
1 120
60
2
2
A
BOC
=
=
=
；
当ABC
是钝角三角形时，如图，
同样连接OB ，OC ，
120
BOC
=
，
此时可得
1
1 120
60
2
2
D
BOC
=
=
=
，
则四边形ABCD为圆的内接四边形，
所以
180
180
60
120
A
D
=
−
=
−
=
，
总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，
60
A
=
或120．
故选：A．
14．（25-26 九年级上·福建南平·期末）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D 在ABC
外接圆
上，且CD平分
ACB
，则
BAD
的大小为（ ）
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A．30
B．45
C．60
D．随点C 的位置变化而变化
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到
1
45
2
BCD
ACB
=
=
，根据圆周角定理得到
45
BAD
BCD
=
=
，即可得出结果．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，CD平分
ACB
，
∴
1
45
2
BCD
ACB
=
=
，
∵点D 在ABC
外接圆上，
∴
45
BAD
BCD
=
=
；
故选B．
确定圆的条件
15．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块
去？（ ）
A．①
B．②
C．③
D．都可以
【答案】A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，
进而可得到半径的长．
16．（25-26 九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知A
B
C
D
、、、
为平面内不重合的四个点，且这四点不在同
题型06
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一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（1）有三点共线；（2 ）任意三点不共线，
解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆．
【详解】解：∵四点不在同一直线上，
∴根据题意分两种情况讨论：（1）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3个圆；
（2 ）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4 个圆；
∴确定圆的个数为1、3或4 ，不可能为2 ，
故选：B．
17．（25-26 九年级上·广西崇左·阶段检测）当
(
)
1,2
A
，
(
)
3, 3
B
−
，
(
)
5,
C
n 三点可以确定一个圆，求n 的取值
范围．
【答案】
8
n −
【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确
定直线AB 的解析式，然后点C 不满足求得的直线即可．
【详解】解：设直线AB 的解析式为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
1,2
A
，
(
)
3, 3
B
−
，
∴
2
3
3
k
b
k
b
+
=
+
= −
，
解得：
5
2
9
2
k
b
= −
=
，
∴直线AB 的解析式为
5
9
2
2
y
x
= −
+
，
∴若点
(
)
5,
C
n 在直线AB 上，
则有
5
9
5
8
2
2
n = −
+
= −，
∴当点
(
)
1,2
A
，
(
)
3, 3
B
−
，
(
)
5,
C
n 三点可以确定一个圆时，则n 需要满足的条件为
8
n −，
所以n 取值范围是
8
n −．
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列举反证法的反例
18．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“a 是负数”时，应先假设（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a =
D．
0
a
【答案】A
【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案．
【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“a 是负数”，即
0
a
，
∴假设结论不成立，即为a 不是负数，可得
0
a
．
19．已知ABC
中
B
C
，求证AB
AC
．若用反证法证这个结论，应首先假设（ ）
A．
B
C
=
B．
A
B
=
C．AB
AC
=
D．
A
C
=
【答案】C
【分析】反证法证明命题时，需先假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立，据此即可确定答案．
【详解】解：本题要证明的结论是AB
AC
，其反面为AB
AC
=
，
∴ 应首先假设AB
AC
=
．
20．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45”时，应
先假设（ ）
A．有两个锐角都不大于45
B．只有一个锐角不大于45
C．有两个锐角都大于45
D．只有一个锐角大于45
【答案】C
【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立．
原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于45”，
“至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”，
又∵直角三角形有且仅有两个锐角，
∴应假设两个锐角都大于45．
用反证法证明
21．（25-26 七年级下·江苏无锡·阶段检测）用反证法证明命题：“若
2
2
a
b
，且
0,
0
a
b
，则a
b
”．
【答案】证明：假设a
b
，
当a
b
=
时，
0,
0
a
b
，
题型07
题型08
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∴
2
2
a
b
=
与条件
2
2
a
b
矛盾；
当a
b
时，
0,
0
a
b
，
∴
2
2
a
b
与条件
2
2
a
b
矛盾；
∴原假设不成立，原命题成立．
【分析】假设a
b
，分两种情况分析，当a
b
=
时，当a
b
时，分别验证即可．
【详解】略
22．（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，AB
AC
，求证：
45
C
．（用
反证法证明）
【答案】见解析．
【分析】假设
45
C
=
，通过三角形内角和定理可得
B
C
=
，所以AB
AC
=
，与AB
AC
相矛盾，从
而求证．
【详解】证明：假设
45
C
=
，
∵
90
A
=
，
∴
90
45
B
C
=
−
=
，
∴
B
C
=
，
∴AB
AC
=
，与AB
AC
相矛盾，
∴
45
C
=
不成立，
∴
45
C
．
23．（25-26 七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题
(1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明）
(2)在ABC
中，若
C
B
，求证：AB
AC
．
【答案】(1)已知：在ABC
中，
B
C
=
，
求证：AB
AC
=
，
证明：过点A 作AD
BC
⊥
于点D，
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则
90
ADB
ADC
=
=
，
在ADB
和ADC
中，
90
ADB
ADC
B
C
AD
AD
=
=
=
=
，
∴
(
)
ADB
ADC AAS
≌
，
∴AB
AC
=
．
(2)证明∶假设AB
AC
不成立，则有AB
AC
，
(1)假设AB
AC
=
，则
C
B
= ，与
C
B
矛盾，
∴AB
AC
=
不成立；
(2)假设AC
AB
，
过A 作AD
AB
=
，D 在AC 线段内，
则
ABD
ADB
=
，
∵
ADB
DBC
C
=
+
，
ABD
DBC
B
+
= ，
∴
2
0
B
C
DBC
−
=
，
这是和
C
B
矛盾的，
∴AB
AC
不成立，
∴只能AB
AC
．
【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A 作AD
BC
⊥
于点D，证明
(
)
AAS
ADB
ADC
≌
，即
可得出AB
AC
=
．
（2）利用反证法证明即可．
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【详解】（1）解：略；
（2）解：略．
24．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论
时，可假设（ ）
A．1
2
180
+=
B．1
2
180
+
C．1
2
l
l
∥
D．1l 与2l 不平行
【答案】C
【分析】反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立， 原命题的结论
是“两条直线不平行”，其反面是“两条直线平行”，据此可得答案．
【详解】解：用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行” 时，首先要假设结论不成立，
∵ 原命题的结论是“两条直线不平行” ，
∴ 其反面是“两条直线平行”，
∴首先要假设1
2
l
l
∥．
25．如图，点A，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2 个点加上点P 可以画出一个圆，据此列举所有可
能即可求解．
【详解】解：依题意，
,
A B ；
,
A C ；
,
A D ；
,
B C ；
,
B D ，
,
C D 加上点P 可以画出一个圆，
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∴共有6 个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
26．（2026·山东德州·一模）如图，AB
AC
=
，
42
A
=
，O 是ABC
的外接圆圆心，连接BO并延长，交
AC 于点D ，则
BDC
的度数为（ ）
A．69
B．96
C．63
D．48
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得出
69
ABC
ACB
=
=
，根据圆周角定理得出
84
BOC
=
，根据
OB
OC
=
得出
48
OBC
OCB
=
=
，即可求出
21
ABD
=
，利用三角形外角的性质即可得答案．
【详解】解：如图，连接OC ，
∵AB
AC
=
，
42
A
=
，
∴
1
(180
42 )
69
2
ABC
ACB
=
=
−
=
，
∵O是ABC
的外接圆圆心，
∴
2
84
BOC
A
= =
，
∵OB
OC
=
，
∴
1
(180
84 )
48
2
OBC
OCB
=
=
−
=
，
∴
21
ABD
ABC
OBC
=
−
=
，
∴
63
BDC
A
ABD
= +
=
．
27．（2026·河北石家庄·二模）如图，O 是ABC
的外心，则1
2
3
++=________．
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【答案】90/90 度
【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到1
OAC
=
，
2
OBC
=
，
3
OAB
=
，再根据三
角形的内角和定理和周角定义求解即可．
【详解】解：由题意，OA
OB
OC
=
=
，
∴1
OCA
=
，
2
OBC
=
，
3
OAB
=
，
∴
180
2 1
AOC
−
=
，
180
2 2
BOC
−
=
，
180
2 3
AOB
−
=
，
∵
360
AOC
BOC
AOB
+
+
=
，
∴180
2 1 180
2 2 180
2 3
360
−
−
−
+
+
=
，
∴2 1 2 2
2 3 180
+ + =
，则1
2
3
90
++=
．
28．（2026·河南平顶山·一模）如图，
ABC
是圆内接三角形，AB 为圆的直径．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)过点O的直线MN 交BC 的延长线于点E ，D 为边AC 的中点，连接OD ，OC ，DE ．若
2
BC
CE
=
，求
证：四边形OCED是平行四边形．
【答案】(1)解：点O即为所求，
(2)证明：如图，过点O的直线MN 交BC 的延长线于点E ，D 为边AC 的中点，连接OD ，OC ，DE ．并
作OF
BC
⊥
，
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AB
是直径，
90
ACB
=
，
D
是AC 的中点，
OD
AC
⊥
，即
90
ODC
=
，
OF
BC
⊥
，
90
OFC
=
，BF
CF
=
，
四边形ODCF 是矩形，
OD
FC
=
，OD
FC
∥
，
2
BC
CE
=
，
CE
FC
OD
=
=
，
四边形OCED是平行四边形．
【分析】（1）因为AB 是直径，所以找到AB 的中点即是圆心O；
（2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形ODCF 是矩形，若
2
BC
CE
=
，则CE
OD
=
，CE 平行且等于OD ，所以四边形OCED是平行四边形．
【详解】（1）略
（2）略
29．（24-25 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，ABC
中，
.
AB
AC
=
(1)用直尺和圆规作ABC
的外接圆
O
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若
5
AB
AC
=
= ，
6
BC =
，求ABC
的外接圆
O
的半径．
【答案】(1)见解析
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(2) 25
8
【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，再以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆，即可得
ABC
的外接圆．
（2）连接AO 并延长，交BC 于点D，连接OB ，可得AD
BC
⊥
，即可得
1
3
2
BD
DC
BC
=
=
=
，
90
ODB
=
，在Rt ABD
中，根据勾股定理得，
2
2
4
AD
AB
BD
=
−
=
，设ABC
的外接圆
O
的半径为
x，则OB
OA
x
=
=
，
4
=
−
=
−
OD
AD OA
x ，在Rt BOD
中，根据勾股定理得，
2
2
2
OB
OD
BD
=
+
，代入求
出x 的值即可．
【详解】（1）解：如图，分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，再以点O 为圆心，OB 的长为
半径画圆，
则
O
即为所求．
（2）解：连接AO 并延长，交BC 于点D，连接OB ，
得AD
BC
⊥
，
1
3,
90
2
=
=
=
=
BD
DC
BC
ODB
，
在Rt ABD
中，根据勾股定理得，
2
2
2
2
5
3
4
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
设ABC
的外接圆
O
的半径为x，
则OB
OA
x
=
=
，
4
=
−
=
−
OD
AD OA
x ，
在Rt BOD
中，根据勾股定理得，
2
2
2
OB
OD
BD
=
+
，
即
2
2
2
(
)
4
3
=
−
+
x
x
，
解得
25
8
x =
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ABC
的外接圆
O
的半径为25
8 ．
30．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形ABCD中，
44
B
ACB
=
=
，点E ，点F 分别从点B ，
点C 同时出发，在线段BC 上做等速运动，到达C 点，B 点后运动停止．
(1)求证：ABF
ACE
≌
；
(2)若AB
BF
=
，求
EAF
的度数；
(3)若
ACF
△
的外心在其内部时，求
BEA
的取值范围．
【答案】(1)证明：点E，点F 分别从点B，点C 同时出发，在线段BC 上做等速运动，
BE
CF
=
，
BE
EF
EF
CF
+
=
+
，即BF
CE
=
，
44
B
ACB
=
=
，
AB
AC
=
，
在
ABF
△
和
ACE
△
中，
BF
CE
B
ACB
AB
AC
=
=
=
，
(
)
SAS
ABF
ACE
≌
△
△
；
(2)44
(3) 46
90
BEA
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟
练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）根据题意可得BE
CF
=
，进而得到BF
CE
=
，根据等腰三角形的性质得到AB
AC
=
，利用“SAS”证
明ABF
ACE
≌
即可；
（2）先由AB
BF
=
，结合等腰三角形内角和计算
BAF
∠
的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关
系，进而推导
EAF
的度数；
（3）根据三角形外心在内部的性质，判断
ACF
△
为锐角三角形，得到三个内角均小于90的约束，求解
出
AFC
的取值范围，再根据
BEA
与
AFC
的等量关系得到最终范围．
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【详解】（1）略；
（2）解：
AB
BF
=
，
AFB
BAF
BAE
EAF
=
=
+
，
由（1）知，ABF
ACE
≌
，
AF
AE
=
，
AEF
AFB
=
，
AEF
BAE
B
=
+
，
44
EAF
B
==
；
（3）解：
ACF
△
的外心在其内部，
ACF
是锐角三角形，
90
BEA
AFC
=
，
44
B
=
，
180
44
90
BAE
BEA
=
−
−
，
46
BEA
，
46
90
BEA
．
31．（25-26 七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中
常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、
定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性．
如图，已知：直线1l 、2l 被直线3l 所截，3l 分别交1l 、2l 于点M 、N ，1
2
180
+=
，
求证：1
2
l
l
∥．
把以下证明过程补充完整
(1)证法一：如图1，假设直线1l 与直线2l 不平行，且1l 与2l 相交于点P ，
所以1
2
P
++=____________（ ），
所以1
2
+____________180 ，这与“ 1
2
180
+=
”矛盾，
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故假设不成立，所以1
2
l
l
∥．
(2)证法二：如图2，假设直线1l 与直线2l 不平行，那么可以过点M 作直线
2
GH
l
∥，则1
HMN
．
因为
2
GH
l
∥，
所以
2
180
HMN
+
=
（ ），
因为1
2
180
+=
，
所以_________________（ ），
这与“ 1
HMN
”矛盾，故假设不成立，所以1
2
l
l
∥．
【答案】(1)180；三角形内角和等于180；；
(2)两直线平行，同旁内角互补；1
HMN
=
；同角的补角相等
【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
32．（25-26 九年级上·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的6 6
网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，A，B ，C 三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四
条）
(1)在图1 中，确定ABC
的外心O；
(2)在图1 中，画出线段AC 的垂直平分线；
(3)在图2 中，确定一个不与B 点重合的格点E ，使得
AEB
ACB
=
；
(4)在图2 中，在BC 边上确定一点F ，使
45
AFB
=
．
【答案】(1)
ABC
的外心O如图所示：
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(2)线段AC 的垂直平分线MN 如图所示；
(3)
点E 如图所示：
(4)
点F 如图所示．
【分析】（1）利用三角形斜边中线的性质知，BC 与中间格线的交点为外心O；
（2）构造正方形ABMN ，则MN 是线段AC 的垂直平分线；
（3）构造圆内接四边形ABEC，则
AEB
ACB
=
；
（4）构造正方形ABMN ，则
45
ANB
=
，记BE与格线的交点为H ，连接NH 交BC 于点F ，则
45
A
AFB
NB
=
=
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）解：∵
2
2
1
2
5
MN
CN
EM
=
=
=
+
=
，
1
1
5
2
2
2
ON
MN
EM
=
=
=
，
又∵正方形ABMN ，
∴
90
CNO
NMH
=
=
，
∴
(
)
SAS
CNO
NMH
≌
，
∴
NCO
MNH
=
，
∴
90
NFC
NCO
CNF
MNH
CNF
CNO
=
+
=
+
=
=
，
∴
90
BAN
BFN
=
=
，
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∴四边形ABFN 是圆内接四边形，
∴
45
A
AFB
NB
=
=
．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性
质与判定，直角三角形斜边中线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
33．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”
时，应先假设（ ）
A．三个角都小于或等于60
B．三个角都大于或等于60
C．三个角都小于60
D．三个角都大于60
【答案】C
【详解】解：∵用反证法证明命题，第一步需假设原结论不成立
原命题结论为“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”
∴该结论的反面为“三角形的三个内角都小于60”
因此应先假设三个内角都小于60．
34．已知点
(
)
1
1
,
A x y
、
(
)
2
2
,
B x
y
为抛物线
2
2
1
y
ax
ax
=
−
+ （a 为常数，
0
a
）上的两点，当
1
1
t
x
t
+ ，
2
2
3
t
x
t
+
+ 时（ ）
A．若
1
t ，则
1
2
y
y
B．若
1
2
y
y
，则
1
t −
C．若
1
t − ，则
1
2
y
y
D．若
1
2
y
y
，则
1
t
【答案】B
【分析】先求得抛物线对称轴为
1
x = ，
0
a
开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且
2x 恒大于
1x ，A
取
1
t = 反例，两点在对称轴右侧，由右侧y 随x 增大而增大得
1
2
y
y
，判定A 错误；B 要
1
2
y
y
恒成立需
所有
1x 到轴距离均大于
2x ，
1
t −时满足该条件，
1
t −则无法保证，判定B 正确；C 取
1
t = −反例，
1x 离
对称轴更远得
1
2
y
y
，与结论矛盾，判定C 错误；D 取
0
t =
反例，满足
1
2
y
y
但
1
t ，与结论矛盾，判定
D 错误．
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【详解】解：∵抛物线
2
2
1
y
ax
ax
=
−
+ ，
0
a
，
∴抛物线开口向上，对称轴为
2
1
2
a
x
a
−
= −
= ，
又∵
1
1
t
x
t
+ ，
2
2
3
t
x
t
+
+ ，
∴
1
2
x
x
，
开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；在对称
轴右侧，y 随x 的增大而增大，
对于A：取
1
t = ，此时
1
1
2
x
，
2
3
4
x
，两点都在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，得
1
2
y
y
，
故A 错误，该选项不符合题意；
对于B：要使
1
2
y
y
恒成立，需保证所有满足条件的
1x ，到对称轴的距离都大于所有
2x 到对称轴的距离，
当
1
t −时：
1
1
0
x
t
+
，所有
1x 都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于1 0
1
−
= ；
2x 在
2
t +
到
3
t + 之间，结合
1
t −，任意
1x 到对称轴的距离恒大于任意
2x 到对称轴的距离，
因此所有
1x 离对称轴更远，
1
2
y
y
恒成立，
反之，若
1
t −，则会出现
2x 离对称轴更远的情况，无法保证
1
2
y
y
，
因此“若
1
2
y
y
，则
1
t −”成立，故B 正确，该选项符合题意；
对于C：取
1
t = −，此时
1x 在1
−到0 之间（对称轴左侧），
2x 在1到2 之间（对称轴右侧），
1x 到对称轴的距离都大于1，
2x 到对称轴的距离都小于1，
根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得
1
2
y
y
与结论矛盾，故C 错误，该选项不符合题意；
对于D：取
0
t =
，此时
1x 在0 到1之间（对称轴左侧），
2x 在2 到3之间（对称轴右侧），
1x 到对称轴的距离都小于1，
2x 到对称轴的距离都大于1，因此
1y <
2y ，但此时
0
1
t =
，与结论矛盾，故
D 错误，该选项不符合题意．
35．（25-26 七年级下·北京昌平·期末）某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根
据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发
出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ）
A．甲是后卫，乙年龄最小
B．乙是后卫，丙年龄最小
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C．甲是后卫，丙年龄最小
D．乙是后卫，乙年龄最小
【答案】B
【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项．
【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件：
1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙；
2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙；
3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋；
∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。
∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大，
∴ 乙的年龄大于丙的年龄；
又∵ 乙比前锋年龄小，
∴ 前锋年龄大于乙的年龄；
得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小．
综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B 正确．
36．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
有两个不相等的有理根，则a，b，c 不可能全为奇数”时，应先假设（ ）
A．a，b，c 全为偶数
B．a，b，c 至多有一个奇数
C．a，b，c 全为奇数
D．a，b，c 至多有两个奇数
【答案】C
【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设．
【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：a ，b ，c
不可能全为奇数，
∴该结论的否定为：a ，b ，c 全为奇数，即应先假设a ，b ，c 全为奇数．
37．（25-26 九年级上·北京西城·阶段检测）已知
4
AB =
，点C 满足
90
ACB
=
，作射线BM ，使得
30
ABM
=
，作CH
BM
⊥
于点H，则BH 长的最大值是（ ）
A．2
3
+
B．
3
1
2
+
C．1
3
+
D．2
2
+
【答案】A
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【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并
能运用求解．
由四边形CDEH 是矩形，从而可得EH
DC
=
，再利用含30度角的直角三角形的性质得到
1
2
OE
BO
=
，再
利用勾股定理求得BE，从而可得
2
3
EH
BE
+
+
，于是可得
2
3
BH
+
，从而可求得BH 长的最大
值．
【详解】解：作ABC
的外接圆，圆心为点O，连接OC ，
∵
4
AB =
，
90
ACB
=
，
∴AB 是圆O的直径，
∴
1
2
2
OC
OB
OA
AB
=
=
=
=
，
作OE
BM
⊥
于点E ，CD
OE
⊥
于点D ，
则
90
CDE
DEH
OEB
=
=
=
，
∵CH
BM
⊥
，
∴
90
CHE
=
，
∴四边形CDEH 是矩形，
∴EH
DC
=
，
∵
30
ABM
=
，
∴
1
1
2
OE
BO
=
= ，
∴
2
2
3
BE
OB
OE
=
−
=
，
DC
OC
∵
，
∴
2
EH
，
2
3
EH
BE
+
+
∴
，
2
3
BH
+
∴
，
∴BH 长的最大值是2
3
+
，
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故选：A．
38．如图，二次函数
2
3
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，连结
AC ，BC ，则
ACB
=________°；设点P 是该抛物线对称轴上的一点，若
60
APC
=
，则点P 的坐标为
_______．
【答案】 90 (
)
1,0 或
2 3
1,
3
【分析】利用交点式求得抛物线的解析式，进而求得C 的坐标，通过解直角三角形求得
60
CAO
BCO
=
=
，由
90
CAO
ACO
+
=
，得到
90
BCO
ACO
+
=
，即
90
ACB
=
，求得抛物线
的对称轴，设对称轴与x 轴的交点为
1P ，则
1
1
OP = ，连接
1
CP ，则
1
ACP
是等边三角形，
1
60
APC
=
，故
(
)
1 1,0
P
符合题意，作等边三角形
1
APC 的外接圆
M
，交直线
1
x = 于另一点
2P ，求得三角形外心M 的坐
标，然后求得
2
2 3
1,
3
P
，利用圆周角定理即可判断
2
2 3
1,
3
P
符合题意．
【详解】解：二次函数
2
3
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象与x 轴交于(
)
(
)
1,0 ,
3,0
A
B
−
两点，
函数解析式为
(
)(
)
3
1
3
3
y
x
x
= −
+
−
，
令
0
x =
，则
(
)
3
1
3
3
3
y = −
−
=
，
(
)
0, 3
C
，
)
,
( 1 0
A −
，
(3,0)
B
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1,
3,
3
OA
OB
OC
=
=
=
3
tan
3,tan
3
3
OC
OB
CAO
BCO
OA
OC
=
=
=
=
=
，
60
CAO
BCO
=
=
，
90
CAO
ACO
+
=
，
90
BCO
ACO
+
=
，
90
ACB
=
，
1
OA = ，
3
OC =
，
1 3
2
AC =
+
=
，
二次函数
2
3
3
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象与x 轴交于
(
) (
)
1,0
3,0
A
B
−
两点，
抛物线的对称轴为直线
1 3
1
2
x
−+
=
= ，
设对称轴与x 轴的交点为
1P ，则
1
1
OP = ，连接
1
CP ，
1
2,
60
AC
AP
CAO
=
=
=
，
1
ACP
是等边三角形，
1
60
APC
=
，
(
)
1 1,0
P
符合题意，
∴
(
)
1
1
1
2
AP = −−
=
，
∴
1
1
2
AP
PC
AC
=
=
=
，
作等边三角形
1
APC 的外接圆
M
，交直线
1
x = 于另一点
2P ，
CO垂直平分
1
AP ，
M 在CO轴上，
1
1
1
1
2
1
2
2
OP
AP
=
=
= ，
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连接
1
MP ，
M 是等边
1
ACP
的外心，
1
MC
MP
=
，
1
1
30
MCP
MPC
=
=
，
∴
1
1
1
30
2
OPM
OPC
=
=
，
∴
1
2
PM
MO
=
，
由勾股定理得
2
2
2
1
1
MO
OP
PM
+
=
，
∴
(
)
2
2
21
2
MO
OM
+
=
，
解得
3
3
MO =
，
3
0, 3
M
，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
把
(3,0)
B
，(
)
0, 3
C
分别代入得：
3
0
3
k
b
b
+
=
=
解得
3
3
3
k
b
= −
=
∴直线BC 的解析式为
3
3
3
y
x
= −
+
，
直线
1
x = 平行于y 轴，
当
1
x = 时，
2 3
3
y =
∴
2
2 3
1,
3
P
，
1
2
60
APC
APC
=
=
，
2
2 3
1,
3
P
符合题意，
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综上，点P 的坐标为(
)
1,0 或
2 3
1,
3
．
故答案为：90；(
)
1,0 或
2 3
1,
3
．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形
的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，数形结合是解题的关键．
39．（2026·江苏连云港·三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相
等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的
半径为______．
【答案】10
5 2
−
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行
计算即可．
【详解】解：如图所示：
如图，
O
与等腰直角ABC
的三条边都有两个交点，截得的三条弦
,
,
CG DE CF 相等，
∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等，
∴等弦圆
O
的圆心到等腰直角ABC
三条边的距离相等，故圆心O就是等腰直角ABC
的内心，
∴当
O
过C 时，且在等腰直角三角形ABC 的三边上截得的弦相等，即CG
CF
DE
=
=
，此时
O
最大，
过点O分别作弦
,
,
CG CF DE 的垂线，垂足分别为,
,
P N M ，连接
,
,
OC OA OB ，
CG
CF
DE
=
=
，
OP
OM
ON
=
=
，
90 ,
10,
ACB
AB
AC
BC
=
=
=
，
2
10
5 2
2
AC
BC
=
=
=
，
AOC
BOC
AOB
ABC
S
S
S
S
+
+
=
，
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1
1
1
1
2
2
2
2
ABC
AC OP
BC ON
AB OM
S
AC BC
+
+
=
=
，
设OM
x
=
，则OP
ON
x
=
=
，
5 2
5 2
10
5 2 5 2
x
x
x
+
+
=
，
解得：
5 2
5
x =
−，
即
5 2
5
OP
ON
=
=
−，
在Rt CON
中，
1
45
2
OCN
ACB
=
=
，
∴
2
10 5 2
OC
ON
=
=
−
．
40．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内
或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形
的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小
覆盖圆吗？如图，在ABC
中，
120
C
=
，
3
AC =
，
2
BC =
．
(1)在图中，作出ABC
的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2) ABC
的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出ABC
的最小覆盖圆的
直径．
【答案】(1)
解：如图，
O
即所求．
(2)不是，19
【分析】（1）作线段AC ，AB 的垂直平分线交于点O，连接OB 以O 为圆心，OB 为半径作
O
即可；
（2）ABC
的外接圆不是它的最小覆盖圆，以AB 为直径的圆是最小覆盖圆．
【详解】（1）略
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（2）解：ABC
的外接圆不是它的最小覆盖圆．以AB 为直径的
O
是ABC
的最小覆盖圆．
如图，过点B 作BH
AC
⊥
交AC 的延长线于点H ．
120
ACB
=
，
60
BCH
=
，
30
CBH
=
，
1
1
2
CH
BC
=
= ，
2
2
3
BH
BC
CH
=
−
=
，
4
AH
AC
CH
=
+
=
，
(
)
2
2
2
2
4
3
19
AB
AH
BH
=
+
=
+
=
，
ABC
的最小覆盖圆的直径为19 ．
41．（2026·陕西·模拟预测）问题提出
（1）如图1，在等边三角形ABC 中，
8cm
AB =
，D 是边BC 上的一点，且
3
BD
cm
=
，连接AD，求
ABD
的面积；
问题解决
（2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地ABCD用来种植花卉，并在其中修一条观赏小
路BE（小路的宽度不计），点E 在AD边上．若要求：
120 ,
2
ABC
AE
ED
=
=
，
200m
BE =
．请问是否存
在满足上述条件的面积最大的
ABCD
？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根
号）
【答案】（1）
2
6 3cm ；（2）存在，最大面积为
2
30000 3m
【分析】（1）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，根据三线合一的性质求出
4cm
BE =
，根据勾股定理求出
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4 3cm
AE =
，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出
60
A
=
，连接BD，可求出
3
ABCD
ABE
S
S
=
△
，判断点A在ABE
的外接
圆O的优弧BAE （不含
,
B E ）上运动，则当AO
BE
⊥
，即AO
BE
⊥
时，
ABE
S
最大，此时ABE
为等边三
角形，根据三角形面积公式求出
ABE
S
，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
∵ABC
是等边三角形，
∴
8cm
AB
BC
AC
=
=
=
，
∴
1
4cm
2
=
=
BE
BC
，
∴
(
)
2
2
8
4
4 3 cm
AE =
−
=
．
∵
3
BD
cm
=
，
∴
(
)
2
1
1
3 4 3
6 3 cm
2
2
ABD
S
BD
AE
=
=
=
；
（2）存在．
∵在
ABCD
中，AD
BC
∥
，
∴
180
A
ABC
+
=
，且
120
ABC
=
，
∴
60
A
=
．
如图，连接BD，
∵
2
ABCD
ABD
S
S
=
，
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∴
1
2
ABD
ABCD
S
S
=
∵
2
AE
ED
=
，
∴
2
2
1
1
3
3
2
3
ABE
ABD
ABCD
ABCD
S
S
S
S
=
=
=
△
△
，
∴
3
ABCD
ABE
S
S
=
△
∵
60 ,
200m
A
BE
=
=
，
∴点A在ABE
的外接圆O的优弧BAE （不含
,
B E ）上运动，如图所示，
∴当AO
BE
⊥
，即AO
BE
⊥
时，
ABE
S
最大，此时ABE
为等边三角形，
∴
ABE
S
的最大值
(
)
2
2
2
3
3
200
10000 3 m
4
4
BE
=
=
=
∴
ABCD
面积的最大值为：
(
)
2
3
3 10000 3
30000 3 m
ABCD
ABE
S
S
=
=
=
，
综上可知，存在满足条件的面积最大的平行四边形ABCD，其最大面积为
2
30000 3m ．
42．（2026·广东茂名·二模）问题提出
(1)如图①，在ABC
中，
30
A
=
，
4
BC =
，求ABC
面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点A是
B
上任意一点，点C 在
B
外，已知
2
AB =
，
4
BC =
，ACD
是等边三角形，求
BCD
的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段AB 为
O
的直径，点C 在AB 的延长线上，
40
AB =
，
20
BC =
，点P 是
O
上一动点，
连接CP ，以CP 为斜边在PC 上方作Rt
PCD
△
，使
60
DCP
=
，连接AD，求ACD
的面积最大值．
【答案】(1)8
4 3
+
(2)4 3
4
+
(3)300 3
300
+
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【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，
圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）作出ABC
的外接圆
O
，连接OB ，OC ，当ABC
的BC 边上的高经过点O 时，ABC
面积最大，
如图，过点O 作OD
BC
⊥
，并延长DO 交圆于点A，连接A B
，A C
，得出
OBC
△
为等边三角形，则
30
BOD
=
，
4
OB
OA
BC
=
=
=
，求出
2 3
OD =
，则由三角形面积公式可得出答案；
（2）如图所示，以BC 为边作等边BCE
，连接DE ，可证
(
)
DCE
ACB SAS
≌
，可得
2
DE
AB
=
=
，点
D 在以点E 为圆心的圆上，且半径
2
DE =
，过点E 作EF
BC
⊥
于点F ，即EF 是BC 的垂直平分线，当点
D 在EF 上其在点E 的上方时，BCD
的面积的最大值，根据等边三角形，含30角的直角三角形的性质可
求出EF ，DF 的值，根据三角形的面积即可求解．
（3）如图，作
COE
△
，使得
90
CEO
=
，
60
ECO
=
，则
2
CO
CE
=
，
20 3
OE =
，
OCP
ECD
=
，由
COP
CED
∽
△
△
，推出
2
OP
CP
ED
CD
=
=
，即
1
10
2
ED
OP
=
=
（定长），由点E 是定点，DE 是定长，推出点D 在
半径为10的
E
上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】（1）解：作出ABC
的外接圆
O
，连接OB ，OC ，当ABC
的BC 边上的高经过点O 时，
ABC
面积最大，
如图，过点O 作OD
BC
⊥
，并延长DO 交圆于点A，连接A B
，A C
，
∵
30
BAC
=
，
∴
60
BOC
=
，
∵OB
OC
=
，
∴
OBC
△
为等边三角形，
∴
30
BOD
=
，
4
OB
OA
BC
=
=
=
，
∴
cos30
2 3
OD
OB
=
=
，
∴
4
2 3
A D
=
+
，
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∴
1
1
4 (4
2 3)
8
4 3
2
2
A BC
S
BC
A D
=
=
+
= +
．
即ABC
面积的最大值(
)
8
4 3
+
.
（2）解：如图所示，以BC 为边作等边BCE
，连接DE ，
∵ACD
是等边三角形，
∴
60
ACD
ACE
ECD
=
+
=
，
∵BCE
是等边三角形，
∴
60
BCE
BCA
ACE
=
+
=
，
∴
BCA
ECD
=
，且DC
AC
=
，EC
BC
=
，
∴
(
)
DCE
ACB SAS
≌
，
∴
2
DE
AB
=
=
，
∴点D 在以点E 为圆心的圆上，且半径
2
DE =
，过点E 作EF
BC
⊥
于点F ，即EF 是BC 的垂直平分线，
当点D 在EF 上且在点E 的上方时，BCD
的面积取得最大值，
∴在BCE
中，
4
BC
CE
BE
=
=
=
，
60
BCE
=
，EF
BC
⊥
，
∴
1
1
4
2
2
2
CF
BF
BC
=
=
=
=
，
∴
3
2 3
EF
CF
=
=
，且
2
DE =
，
∴
2 3
2
DF
EF
DE
=
+
=
+
，
∴
(
)
1
1
·
4
2 3
2
4 3
4
2
2
BCD
S
BC DF
=
=
+
=
+
，
（3）解：∵
40
AB =
，
20
BC =
，
∴
1
20
2
OB
AB
=
=
，
40
OC =
，
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如图，连接OP ，作
COE
△
，使得
90
CEO
=
，
60
ECO
=
，则
1
20
2
CE
CO
=
=
，
20 3
OE =
，
OCP
ECD
=
，
∵
90
CDP
=
，
60
DCP
=
，
∴
2
CP
CD
=
，
∴
2
CO
CP
CE
CD
=
=
，
∴
COP
CED
∽
△
△
，
∴
2
OP
CP
ED
CD
=
=
，
即
1
10
2
ED
OP
=
=
（定长），
∵点E 是定点，DE 是定长，
∴点D 在半径为10的
E
上，
过E 点作EH
AC
⊥
，交
E
于点D ，则当点D 在点E 的上方时，ACD
的面积取得最大值，
∵
1
1
20 3
10 3
2
2
EH
OE
=
=
=
，
∴
10 3 10
DH
EH
ED
=
+
=
+
，
∴
(
)
1
1
·
60
10 3 10
300 3
300
2
2
ACD
S
AC DH
=
=
+
=
+
．
43．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数
2
(
1)
y
x
m
x
m
−
−
=
−
+
（其中
1
m ）的图象与x 轴交于A、B 两
点，与y 轴交于点C．
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(1)点B 的坐标为______，点C 的坐标为_______；
(2)若点D 为ABC
的外心，判断BCD
的形状并说明理由；
(3)若点D 为ABC
的外心，BCD
与ACO
的面积之比为5:8，求二次函数的表达式．
【答案】(1)(
)
1,0 ，(
)
0,m
(2)解：BCD
是等腰直角三角形，
理由：由（1）知点
(
)
1,0
B
，点
(
)
,0
A
m
−
，点
(
)
0,
C
m ，
∴OA
m
m
−
=
=
，OC
m
=
，
∴OA
OC
m
=
=
，
又∵
90
AOC
=
，
∴AOC
是等腰直角三角形，且
45
BAC
=
，
∵点D 为ABC
的外心，
∴DA
DC
DB
=
=
，即ABC
是
D
的内接三角形，如图：
∴
2
90
BDC
BAC
=
=
，
∴BCD
是等腰直角三角形；
(3)
2
2
y
x
x
−
−
=
+
【分析】（1）在
2
(
1)
y
x
m
x
m
−
−
=
−
+
中，分别令
0
y =
，
0
x =
，即可求解；
（2）由（1）知点
(
)
1,0
B
，点
(
)
,0
A
m
−
，点
(
)
0,
C
m ，可得OA
OC
m
=
=
，易证AOC
是等腰直角三角形，
且
45
BAC
=
，根据点D 为ABC
的外心，得到ABC
是
D
的内接三角形，利用圆周角定理可得
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90
CDB
=
即可说明；
（3）由（2）得AOC
BCD
、
是等腰直角三角形，易证BCD
ACO
∽
，结合已知可得
2
2
5
8
BC
AC =
，求出
2
2
2
2
2
,
1
AC
m BC
m
=
= +
，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在
2
(
1)
y
x
m
x
m
−
−
=
−
+
中，令
0
y =
得
2
(
1)
0
x
m
x
m
−
−
−
+
=
，即(
)(
)
1
0
x
x
m
−
+
=
，
解得
1
1
x = ，
2x
m
= −
，
∴点
(
)
1,0
B
，点
(
)
,0
A
m
−
，
在
2
(
1)
y
x
m
x
m
−
−
=
−
+
中，令
0
x =
得y
m
=
，
点
(
)
0,
C
m ；
（2）略
（3）解：由（2）得AOC
BCD
、
是等腰直角三角形，
∴BCD
ACO
∽
，
2
2
2
5
8
BCD
ACO
S
BC
BC
S
AC
AC
=
=
=
，
∵点
(
)
1,0
B
，点
(
)
,0
A
m
−
，点
(
)
0,
C
m ，
∴
2
2
2
2
2
,
1
AC
m BC
m
=
= +
，
∴
2
2
1
5
2
8
m
m
+ =
，
解得
2
m = ，
∵
1
m ，
∴
2
m =
；
∴二次函数的表达式为
2
2
y
x
x
−
−
=
+
．
44．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
①若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5 的整数，能被5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
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A．①②⑤
B．③④
C．④⑤
D．①③
【答案】B
【详解】解：逐个判断命题：
①若
2
2
a
b
=
，则a
b
= ，例如
2
a =
，
2
b = −满足
2
2
a
b
=
但a
b
，①是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是5 的整数可表示为
(
)
10
5
5 2
1
k
k
+
=
+
，其中k 为整数，该数是5 的倍数，能被5 整除，③是
真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相
等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
45．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连
续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1 为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续
的弧连成一圈．图2 为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
(1)若将图2 中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2 中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)七
(2)
如图所示，即为所求，
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【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识．
（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案；
（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧．
【详解】（1）七
（2）略
46．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股
数，记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为勾股
数．本项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
2
1
(
)
3,4,5
1
3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
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2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数(
)
35,12,37 对应的m = _____，n =_____；
(3)序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的增
大而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请问
他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】(1)24，10，26，7
(2)6，1
(3)11，60，61
(4)不正确，
理由：当
5
m =
，
4
n =
时，
2
2
2
2
5
4
41
m
n
，序号为(
) (
)
5 1
5
2
4
10
2
−
−
+
=
；
当
6
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
6
1
37
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
6 1
6
2
1
11
2
−
−
+ =
；
∵41 37
，10
11
，
∴序号从10 增加到11 时，
2
2
m
n
+
的值减小，
∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，把
2
2
35
m
n
−
=
、
2
2
37
m
n
+
=
两
式相加并结合已知条件则求出m 的值，然后把m 的值代入2
12
mn =
求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m 对应的勾股数组数为(
)
1
m−
组，从得出m 值从2 取到k 时，勾股数
的总组数为(
)
1
2
k k −
组，然后根据题意得出(
)
1
15
2
k k −
=
，求出k 的值，即可求解；
小学
初中
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（4）举反例说明即可．
【详解】（1）解∶当
5
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
5
1
24
m
n =
−
=
−
，2
2 5 1 10
mn = =
，
2
2
2
2
5
1
26
m
n =
+
=
+
，
∴
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是(
)
24,10,26 ，序号为7；
（2）解：根据题意，得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，
∴
2
2
2
2
35
37
m
n
m
n
+
=
+
−
+
，即
2
2
72
m =
，
又
0
m
，
∴
6
m =
，
把
6
m =
代入2
12
mn =
，得2 6
12
n
=
，
解得
1
n = ，
∴勾股数(
)
35,12,37 对应的
6
m =
，
1
n = ；
（3）解：由表格知，当
2
m =
时，符合题意的勾股数有2 1 1
−= 组；
当
3
m =
时，符合题意的勾股数有3 1
2
−=
组；
当
4
m =
时，符合题意的勾股数有4 1
3
−= 组；
……
当m
k
=
（
2
k
的整数）时，符合题意的勾股数有(
)
1
k −
组；
此时一共有
(
)
(
)1
1 2
3
1
2
k k
k
−
−
+
+ +
+
=
组勾股数，
当(
)
1
15
2
k k −
=
时，解得
6
k =
或
5
k
−
=
（舍去），
∴序号为15 时，
6
m
k
=
= ，
1
5
n
k
=
−= ，
∴
2
2
2
2
6
5
11
m
n =
−
=
−
，2
2 6 5
60
mn = =
，
2
2
2
2
6
5
61
m
n =
+
=
+
，
序号为15 的勾股数是(
)
11,60,61 ；
（4）略
