13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （导学案）
【学习目标】
1、理解三角形中线、角平分线、高的定义；
2、掌握它们的画法；
3、了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。
【学习重点】
三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。
【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对
边，这是学生认知的难点。
2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”
（线段）与“点到直线的距离”。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
1. 三角形的高
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
2. 三角形的中线
定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB = 1
2𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
3. 三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的
角平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷 (三角形角平分线的定义)
【课堂探究】
探究一、三角形的高
1. 锐角三角形的高
问1.请画出锐角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AD ;
边AB 边上的高是 CF ;
边AC 边上的高是 BE ;
问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；
2.直角三角形的高
问1.请画出直角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AB ;
边AB 边上的高是 BC ;
边AC 边上的高是 BD ;
问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处；
3.钝角三角形的高
问1.请画出钝角三角形的三条高
边BC 边上的高是 AD ;
边AB 边上的高是 CE ;
边AC 边上的高是 BF ;
问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部.
问3.这三条高之间有怎样的位置关系
钝角三角形的三条高不交于某一点；
钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点
【归纳总结】：三角形的三条高的特性
三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 垂心 .
新知应用一
1.下列各个图形中，哪一个图形中AD 是△ABC 的高( D )
【方法总结】：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
2.若𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，以𝐴𝐻为高的三角形有 3 个，它们分别∆𝐴𝐵𝐻,∆𝐴𝐷𝐻,∆𝐴𝐶𝐻 。
3.如图所示𝐴𝐶⊥𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐵𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,点𝐷、𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵和𝐵𝐶上，下列说法：①△𝐴𝐵𝐶
中，𝐴𝐶是𝐵𝐶边上的高；②△𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸是𝐵𝐶边上的高；③△𝐴𝐵𝐸中，𝐷𝐸是𝐵𝐸边上的高；④△𝐴𝐶𝐷中，
𝐴𝐷是𝐶𝐷边上的高．其中正确的结论为 ①②④ .（填序号）
4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶＝5，𝐵𝐶＝6，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，且𝐴𝐷＝4，若点𝑃在边𝐴𝐶上移动，
则𝐵𝑃的最小值为__
24
5 __．
5.如图,𝐴𝐷、𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高,
(1)若𝐴𝐷= 10,𝐶𝐸= 9,𝐴𝐵= 12.则𝑆∆𝐴𝐵𝐶= 54 ;𝐵𝐶= 10.8
若𝐴𝐶= 8,则𝐴𝐶上的高为 13.5
(2)若𝐴𝐵:𝐵𝐶= 4:5，则𝐶𝐸:𝐴𝐷= 5：4 .
探究二、三角形的中线
1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线
【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三
角形的重心
2.中线分周长问题
问1.观察图形𝐶∆𝐴𝐵𝐷与𝐶∆𝐴𝐶𝐷之差与𝐴𝐵,𝐴𝐶之间有怎样的数量关系
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
规律与方法：
三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差.
3.中线分面积问题
问2.观察图形𝑆∆𝐴𝐵𝐷与𝑆∆𝐴𝐶𝐷之间有怎样的数量关系
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷= 1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
规律与方法:
三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
新知应用二
1.如图所示,𝐷,𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶,𝐵𝐶的中点,则下列说法不正确的是( C )
A.𝐷𝐸是△𝐵𝐶𝐷的中线 B.𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线
C.𝐴𝐷= 𝐷𝐶,𝐵𝐷= 𝐸𝐶 D.𝐵𝐸= 1
2𝐵𝐶
2.已知 𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵上的中线，
(1)若𝐴𝐵= 6,𝐴𝐸= 2.5 ，则𝐵𝐹= 3 ,𝐴𝐶= 5
(2)若𝐴𝐸＝2，𝐴𝐹＝3，且△𝐴𝐵𝐶的周长为15， BC边上的高为4，则𝐵𝐶的长为 5 ，𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =
10 ．
3.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的中线，且𝐴𝐵= 3,𝐴𝐶= 7，𝐵𝐶= 9,𝐴𝐷= 2.5,则𝐶∆𝐴𝐵𝐷为 10
𝐶∆𝐴𝐶𝐷 为 14 。
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成25和40两部分，𝐴𝐶= 30,则𝐴𝐵= 15
𝑐𝑚 。
5.在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐶= 5𝑐𝑚，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成两部分，若其差为3𝑐𝑚，则
AB 的长为 8𝑐𝑚或2𝑐𝑚
规律与方法：无图时，注意分类讨论
6.若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
(1)如图1若△𝐴𝐵𝐷的面积为12, 则△𝐴𝐵𝐶的面积为 24 ；
(2)如图2若△𝐴𝐵𝐶的面积是32，则△𝐴𝐵𝐷的面积为 16 ；
则△𝐴𝐵𝐸的面积为 8 ； △𝐵𝐶𝐸的面积为 16
(3)如图3，若𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻,𝐷𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺,𝐴𝐵= 7𝑐𝑚,𝐴𝐶= 6𝑐𝑚,𝐷𝐻= 3𝑐𝑚，则𝐷𝐺的长是__
7
2
_____cm.
探究三、三角形的角平分线
1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线
归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫作三
角形的内心.
新知应用三
1.如图,在△𝐴𝐵𝐶中, ∠1 = ∠2,𝐺为𝐴𝐷中点,延长𝐵𝐺交𝐴𝐶于𝐸,𝐹为𝐴𝐵上一点,𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐻,判断:
①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐸的角平分线.( 错 )
②𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷边𝐴𝐷上的中线. ( 错 )
③𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶上的中线. ( 错 )
④𝐶𝐻是△𝐴𝐶𝐷边𝐴𝐷上的高. ( 对 )
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为角平分线．
(1)若∠𝐴𝐵𝐶＝50°，则∠𝐴𝐵𝐷＝_ 25°____.
(2)若∠𝐴𝐵𝐷＝20°，则∠𝐴𝐵𝐷＝__ 40°___.
3.如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹//𝐴𝐵，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点F，图中∠1与
∠2有什么关系？为什么？
解：∠1 = ∠2．理由：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷．
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠𝐹𝐴𝐷．
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠2，
∴∠1 = ∠2．
典例分析
例1.如图所示，已知𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 10cm，∠𝐶𝐴𝐵= 90°．试
求：
(1)求作BC边的高AD，并求AD的长；
(2) △ABE的面积；
(3) △ACE和△ABE的周长的差．
(4)∠𝐵= 50°，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
解（1）作图如下高线𝐴𝐷即为所求，
∵∠𝐶𝐴𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∵𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 𝐴𝐵× 𝐴𝐶= 1
2 × 6 × 8 = 24(cm2)．
∵𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐵𝐶= 10cm，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 𝐴𝐷× 𝐵𝐶= 5𝐴𝐷，
∴5𝐴𝐷= 24，即𝐴𝐷= 4.8(cm)，
即𝐴𝐷的长度为4.8cm
（2）∵𝐴𝐸是中线，∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 1
2𝐵𝐶，
∴根据高相同，面积之比等于底之比，
有𝑆△𝐴𝐵𝐸= 1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2 × 24 = 12(cm2)；
（3）∵𝐴𝐸是中线，∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∵△𝐴𝐶𝐸的周长与△𝐴𝐵𝐸的周长的差为：
(𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸)−(𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸)
∵𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐶= 8cm，
∴(𝐴𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸)−(𝐴𝐵+ 𝐵𝐸+ 𝐴𝐸) = 𝐴𝐶−𝐴𝐵= 2cm．
（4）：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°,∠𝐵= 50°，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶= 40°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180°−90°−40° = 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶= 50°−40° = 10°．
例2.已知：如图△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，P 是底边𝐵𝐶上的任一点（不与B、C 重合），𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，
𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹．
求证：𝐶𝐷= 𝑃𝐸+ 𝑃𝐹；
证明：如图，连接𝑃𝐴，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于F，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐵× 𝐶𝐷，𝑆△𝑃𝐴𝐵= 1
2𝐴𝐵× 𝑃𝐸，
𝑆△𝑃𝐴𝐶= 1
2𝐴𝐶× 𝑃𝐹，
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝑃𝐴𝐵+ 𝑆△𝑃𝐴𝐶，
∴1
2𝐴𝐵× 𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐵× 𝑃𝐸+ 1
2𝐴𝐶× 𝑃𝐹，
∵AB = AC，∴𝐶𝐷= 𝑃𝐸+ 𝑃𝐹．
例3.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，且𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶的周长分为9𝑐𝑚和12𝑐𝑚两部分，
求三角形的各边长。
解：如图，∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，设𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥,则𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2𝑥
①当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 12时，2𝑥+ 𝑥= 12，解得𝑥= 4,
∴2𝑥= 8
∵中线𝐵𝐷将△ABC 周长分成9𝑐𝑚和12𝑐𝑚
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为21𝑐𝑚
当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8𝑐𝑚时，𝐵𝐶= 5𝑐𝑚，能构成三角形。
∴△𝐴𝐵𝐶各边长依次是：8𝑐𝑚,8𝑐𝑚,5𝑐𝑚
②当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 9时，2𝑥+ 𝑥= 9，解得𝑥= 3
∴2𝑥= 6，
当𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6𝑐𝑚 时，𝐵𝐶= 9𝑐𝑚 ，能构成三角形
∴△𝐴𝐵𝐶的三边依次为：6𝑐𝑚,6𝑐𝑚,9𝑐𝑚
综上所述：△ABC 的各边长分别为：8𝑐𝑚,8𝑐𝑚,5𝑐𝑚或6𝑐𝑚,6𝑐𝑚,9𝑐𝑚.
变式训练
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐸为𝐴𝐵上一点，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6.若△𝐵𝐷𝐸与四边形𝐴𝐸𝐷𝐶的
周长相等，求𝐵𝐸−𝐴𝐸的值.
解：∵𝐷为𝐵𝐶的中点，∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷.
∵△𝐵𝐷𝐸与四边形𝐴𝐸𝐷𝐶的周长相等，
∴𝐵𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶,
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐶,
∴𝐵𝐸−𝐴𝐸= 𝐴𝐶.
∴𝐴𝐶= 6，∴𝐵𝐸−𝐴𝐸= 6.
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐵＞𝐵𝐶)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成60和40两部分，
求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
解：设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥,则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
∵𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成60和40两部分,𝐴𝐵> 𝐵𝐶，
①当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 60,𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 40时，4𝑥+ 𝑥= 60,解得：𝑥=12,
∴𝐴𝐶= 4𝑥=48,𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 12,
∴𝐴𝐵= 40−𝐵𝐷= 40−12 = 28,
∴𝐴𝐵= 28 > 𝐵𝐶= 24，满足条件;
∵𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 28 + 24 = 52 > 𝐴𝐶= 48,满足三边关系，
∴𝐴𝐶= 48,𝐴𝐵= 28;
②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 40,𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 60时，
4𝑥+ 𝑥= 40,解得：𝑥= 8,∴𝐴𝐶= 4𝑥=32,∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 8,
𝐴𝐵= 60−𝐵𝐷= 60−8 = 52,
∵𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 32 + 16 = 48 < 52 = 𝐴𝐵,
∴不满足三角形的三边关系，不合题意，舍去，
∴综上所述𝐴𝐶= 48,𝐴𝐵= 28.
3.如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是18，点𝐷,𝐸分别位于𝐴𝐵,𝐵𝐶上，𝐷𝐸//𝐴𝐶，且𝐴𝐷= 4，𝐷𝐵= 5，求△𝐴𝐵𝐸 的
面积.
解：连接𝐷𝐶.由已知，得𝑆∆𝐴𝐷𝐶:𝑆∆𝐵𝐷𝐶= 𝐴𝐷:𝐷𝐵= 4:5
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐶= 18
∴𝑆∆𝐴𝐷𝐶= 8, 𝑆∆𝐵𝐷𝐶= 10
∵𝐷𝐸//𝐴𝐶,
∴𝑆∆𝐴𝐶𝐸= 𝑆∆𝐴𝐷𝐶= 8,
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐸= 𝑆∆𝐴𝐵𝐶−𝑆∆𝐴𝐶𝐸= 1
【课堂总结】
【课堂练习】
1.下列说法中正确的是（ D ）
A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离
B.三角形的角平分线是射线
C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外
D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
2. 如图.(1）若𝐴𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 12𝑐𝑚，则𝐵𝑀= 𝐶𝑀= ___6_____cm；
(2)若𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶= __
1
2∠𝐵𝐴𝐶__；若∠𝐵𝐴𝐶= 106°，则∠𝐷𝐴𝐶= _ 53°___
(3）若𝐴𝐻是△𝐴𝐵𝐶的高，则△𝐴𝐵𝐻是__直角_____三角形.
3.在△𝐴𝐵𝐶中, 𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐶边上的高𝐵𝐷= 10𝑐𝑚,则𝐴𝐵边上的高𝐶𝐸= 10 ；
结论：等腰三角形两腰上的高相等
4.如图，𝐴𝐷,𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条高，𝐴𝐵= 4𝑐𝑚，𝐵𝐶= 8𝑐𝑚,𝐶𝐸= 6𝑐𝑚，则𝐴𝐷的长为___3___
5.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐴𝐵,周长为16𝑐𝑚， 𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷将△𝐴𝐵𝐶分成周长差为2𝑐𝑚的两个三角形，求
△𝐴𝐵𝐶的各边长
解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
(1)若𝐴𝐵> 𝐵𝐶，则𝐴𝐵−𝐵𝐶= 2，又因为2𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 16,
联立方程组并求解得：𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 4，
6cm、6cm、4cm 三边能够组成三角形;
(2)若𝐴𝐵< 𝐵𝐶，则𝐵𝐶−𝐴𝐵= 2，又因为2𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 16,
联立方程组并求解得：𝐴𝐵=
14
3 ,𝐵𝐶= 20
3
14
3 cm,
14
3 cm ,20
3 𝑐𝑚三边能够组成三角形;
因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm 或
14
3 cm,
14
3 cm ,
20
3 cm
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
