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分层作业
30.2 三角形的内切圆
目 录
A 组 巩固过关
题型01 三角形内心的性质
题型02 三角形周长、面积与周长的关系
题型03 三角形内切圆与外接圆的综合
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
三角形内心的性质
1．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交
点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可
得到答案．
【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部；
重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部；
外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，
因此外心不满足条件；
垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因
题型01
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此垂心不满足条件．
综上所述，满足条件的心共有2 种．
2．（25-26 九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（ ）
A．三条高的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【答案】C
【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等，
又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点．
3．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，ABC
是一个正在修建
的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB
AC
BC
、
、
的距离都相等，则凉亭H 是
ABC
的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三角形的内心
D．三角形的外心
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵ABC
是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路
AB
AC
BC
、
、
的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心．
故选：C．
4．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点O是ABC
外接圆的圆心，点I 是ABC
的内心，连接
OB
IA
、
．若
40
CAI
=
，则
OBC
的度数为___________．
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【答案】10/10 度
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理；
连接OC ，由点I 是ABC
的内心可得AI 平分
BAC
，根据角平分线的定义可得
2
80
BAC
CAI
=
=
，根
据圆周角定理可得
2
160
BOC
BAC
=
=
，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答
案．
【详解】解：如图，连接OC ，
∵点I 是ABC
的内心，
∴AI 平分
BAC
，
∵
40
CAI
=
，
∴
2
2 40
80
BAC
CAI
=
=
=
，
∵点O 是ABC
外接圆的圆心，
∴
2
2 80
160
BOC
BAC
=
=
=
，
∵OB
OC
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
160
10
2
2
OBC
OCB
BOC
=
=
−
=
−
=
，
故答案为：10．
5．（25-26 九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点O为ABC
的内心，
60
A
=
，则
BOC
的度数是
______．
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【答案】120/120 度
【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出
55
OBC
OCB
+
=
是解题
关键．
首先求出
180
120
ABC
ACB
A
+
=
−=
，然后利用内心的性质得出
1
2
ABO
CBO
ABC
=
=
，
1
2
ACO
BCO
ACB
=
=
，进而利用三角形内角和定理得出
OBC
OCB
+
，进而求出答案．
【详解】解：∵
60
A
=
，
∴
180
120
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∵O 是ABC
的内心，
∴
1
2
ABO
CBO
ABC
=
=
，
1
2
ACO
BCO
ACB
=
=
，
∴
(
)
1
60
2
OBC
OCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
120
BOC
OBC
OCB
=
−
+
=
．
故答案为：120．
三角形周长、面积与周长的关系
6．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A．1
2
B．1
C．
3
3
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆
心和顶点连线形成的直角三角形，利用30 度直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：等边ABC
的内切圆O 切AB 于D，连接OD ，则
1
1
2
AD
AB
=
= ，
1
30
2
OAD
CAB
=
=
，
∴
1
2
OD
OA
=
，
题型02
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∵
2
2
2
OD
AD
OA
+
=
，
∴
(
)
2
2
21
2
OD
OD
+
=
，
∴
3
3
OD =
（负值舍去）．
故选：C．
7．（24-25 九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，把ABC
剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l
上，点O都落在直线MN 上，直线MN
l
∥．在ABC
中，若
124
BOC
=
，则
BAC
的度数为（ ）
A．72
B．70
C．68
D．54
【答案】C
【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决
问题的关键．
过点O分别作OD
AC
⊥
于D ，OE
AB
⊥
于E ，OF
BC
⊥
于F ，如图所示，得到点O是ABC
的内心，即
点O为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：过点O分别作OD
AC
⊥
于D ，OE
AB
⊥
于E ，OF
BC
⊥
于F ，如图所示：
∵直线MN
l
∥，
∴OD
OE
OF
=
=
，
∴点O是ABC
的内心，即点O为三个内角平分线的交点，
∵
124
BOC
=
∴
180
56
OBC
OCB
BOC
+
=
−
=
∴
(
)
2
112
ABC
ACB
OBC
OCB
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
68
BAC
ABC
ACB
=
−
+
=
．
故选：C．
8．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知ABC
．
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(1)利用直尺和圆规作出ABC
的内切圆；
(2)若ABC
的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
（1）先分别作
ABC
和
ACB
的平分线，相交于点O，再过点O作OD
BC
⊥
于点D ，以点O为圆心，
OD 的长为半径画圆，即可得ABC
的内切圆．
（2）设ABC
的内切圆
O
分别与
,
AB AC 相切于点E
F
，
，连接OE
OF
OA
，
，
，由已知条件可得
1
1
1
1
24
24
2
2
2
2
AOB
BOC
AOC
AB
BC
AC
S
S
S
AB OE
BC OD
AC OF
AB
BC
AC OD
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
，
（
）
，
由此可得OD 的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，先分别作
ABC
和
ACB
的平分线，相交于点O，再过点O作OD
BC
⊥
于点
D ，以点O为圆心，OD 的长为半径画圆，
则
O
即为所求．
（2）解：设ABC
的内切圆
O
分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，连接OE ，OF ，OA，
ABC
的周长为24，
24
AB
BC
AC
+
+
=
．
ABC
的面积为24，OE
OF
OD
=
=
，
(
)
1
1
1
1
1
24
24
2
2
2
2
2
AOB
BOC
AOC
S
S
S
AB OE
BC OD
AC OF
AB
BC
AC
OD
OD
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
，
2
OD
=
，
它的内切圆的半径为2 ．
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9．（25-26 九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在ABC
中，
12
AB =
，
6
AC =
，
O
为ABC
的内切
圆，且半径为7 ，若ABC
的面积为14 7 ，则BC 的长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD
AB
⊥
、OE
AC
⊥
、OF
BC
⊥
，分别交AB 、AC 、BC
于D 、E 、F ，连接OA、OB 、OC ，由切线的性质得
7
OD
OE
OF
=
=
=
，由三角形的面积求解即可．
【详解】解：过O分别作OD
AB
⊥
、OE
AC
⊥
、OF
BC
⊥
，分别交AB 、AC 、BC 于D 、E 、F ，连接
OA、OB 、OC ，
O
是ABC
的内切圆，且半径为7 ，
7
OD
OE
OF
=
=
=
，
1
1
1
14 7
2
2
2
AB OD
AC OF
OF BC
+
+
=
，
1
1
1
12
7
6
7
7
14 7
2
2
2
BC
+
+
=
，
解得
10
BC =
，
故选：D．
10．如图，已知O 是ABC
的内心，连接OA，OB ，OC ．若ABC
内切圆的半径为2，ABC
的周长为
12，求ABC
的面积．
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【答案】12
【分析】设切点为D，E，F，连接OD ，OE ，OF ，将三角形面积表示为
1
1
1
2
2
2
AB OD
BC OE
AC OF
+
+
，结合周长可得结果．
【详解】解：设切点为D，E，F，连接OD ，OE ，OF ，
∴
2
OD
OE
OF
=
=
=
，
∵ABC
的周长为12，
∴
12
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴ABC
的面积为：1
1
1
2
2
2
AB OD
BC OE
AC OF
+
+
(
)
1
2
2
AB
BC
AC
=
+
+
1 12 2
2
=
12
=
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．
三角形内切圆与外接圆的综合
11．已知ABC
的三边长为3cm，4cm，5cm，则ABC
的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm
A．1，2
B．1，2.5
C．2，2.5
D．2，2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条
边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得ABC
是直
角三角形，设ABC
的内切圆半径和外接圆半径分别为
,
R r ，则
(
)
1
1
3
4
5
3 4
2
2
R
+ +
=
，直角三角形外
接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解．
【详解】解：∵
2
2
2
3
4
5
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，
题型03
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设ABC
的内切圆半径和外接圆半径分别为
,
R r ，
则
(
)
1
1
3
4
5
3 4
2
2
R
+ +
=
，
解得：
1
R = ；
∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，
∴
1
5
2.5
2
r =
=
故选：B
12．（24-25 九年级上·江苏盐城·期中）如图，点O 是ABC
内心，也是DBC
的外心．若
70
A
=
，则
D
的度数_____________．
【答案】62.5
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的定义，三角形内角和定理，连接OB
OC
，
，先由三角
形内角和定理可得
110
ABC
ACB
+
=
，再由三角形内心的定义可得
1
1
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，
，则可求出
125
BOC
=
，再由圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图所示，连接OB
OC
，
，
∵
70
A
=
，
∴
180
110
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∵点O 是ABC
内心，
∴OB
OC
，
分别平分
ABC
ACB
，
，
∴
1
1
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，
，
∴
1
1
55
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
180
125
BOC
OBC
OCB
=
−
−
=
，
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∵点O 是DBC
的外心，
∴
1
62.5
2
D
BOC
=
=
，
故答案为：62.5．
13．（23-24 九年级上·福建福州·期中）如图，ABC
，
5
AB
AC
=
= ，
6
BC =
，若P 、Q 分别是ABC
的内
心和外心，则PQ 的长为________．
【答案】5
8
【分析】作AD
BC
⊥
于点D，作PF
AC
⊥
于点F，连接BQ 和PC ，可得AD平分
BAC
，且AD垂直平分
BC ，及
3
BD
CD
=
= 和
=4
AD
，点A、点P、点Q、和点D 共线，进一步求得BQ 、PF 和DQ ，由
PCF
PCD
≌
R t
R t
，得CF
CD
=
，利用勾股定理求得AP 即可求得答案．
【详解】解：作AD
BC
⊥
于点D，作PF
AC
⊥
于点F，连接BQ 和PC ，如图，
则
90
ADB
ADC
=
=
，
∵
5
AB
AC
=
= ，
∴AD平分
BAC
，且AD垂直平分BC ，
∵
6
BC =
，
∴
1
=
3
2
BD
CD
BC
=
= ，
∴
2
2 =4
AD
AB
BD
=
−
，
∵P 、Q 分别是ABC
的内心和外心，
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∴点P、点Q、线段PQ 都在线段AD上，
则
=
=4
BQ AQ
DQ
−
，
=
=4
PF PD
AP
−
，
90
PFC
PFA
=
=
，
在Rt
QDB
△
中，
2
2
2
=
BD
DQ
BQ
+
，得
(
)
2
2
2
3
4
DQ
DQ
+
=
−
，解得
7
= 8
DQ
，
在Rt PCF
和Rt PCD
中
PC
PC
PF
PD
=
=
∴
(
)
HL
PCF
PCD
≌
R t
R t
，
∴
3
CF
CD
=
= ，
则
5 3
2
AF
AC
CF
=
−
= −=
，
∵
2
2
2
AF
PF
AP
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
4
AP
AP
+
−
=
，解得
5
2
AP =
，
则
5
7
5
=4
=
2
8
8
PQ
AD
AP
DQ
=
−
−
−
−
．
故答案为∶5
8 ．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形
的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．在ABC
中，
90 ,
4,
3
C
AC
BC
=
=
=
，则ABC
的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差R r
−=
___________．
【答案】1.5
【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设
,
,
E F D 分别为
,
,
AC BC AB 与内切圆
的切点，则OE
OF
r
=
= ，根据勾股定理可求出AB 的长，从而得到R 的值，再证明四边形OECF 是矩形，
根据切线长定理可得
4
,
3
AD
AE
r BD
BF
r
=
=
−
=
=
−，可求出r，即可求解．
【详解】解：如图，设
,
,
E F D 分别为
,
,
AC BC AB 与内切圆的切点，则OE
OF
r
=
= ，
在ABC
中，
90 ,
4,
3
C
AC
BC
=
=
=
，
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由勾股定理得
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
∴外接圆半径
1
2.5
2
R
AB
=
=
．
∵
,
,
E F D 分别为
,
,
AC BC AB 与内切圆的切点，
∴
90
CEO
C
CFO
=
=
=
，
,
AD
AE BD
BF
=
=
，
∴四边形OECF 是矩形，
∵OE
OF
r
=
= ，
∴四边形OECF 是正方形，
∴
=
=
CE
CF
r ，
∴
4
,
3
AD
AE
r BD
BF
r
=
=
−
=
=
−，
∴4
3
5
r
r
−+ −=
，
解得：
1
r = ，
∴
1.5
R
r
−=
．
故答案为：1.5
15．
O
既是半径为1m的正△ABC 的外接圆，也是等边
1
1
1
A B C
△
的内切圆，则等边
1
1
1
A B C
△
的外接圆的面积
是________
2
m
【答案】4
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、解直角三角形、三角形的内切圆及外接圆，设
O
与
1
1
1
A B C
△
相切于点M ，N ，F ，可求得
1
1
30
MAO
=
，进而可求得
1
1
1
A B C
△
的外接圆的半径．
【详解】设
O
与
1
1
1
A B C
△
相切于点M ，N ，F ，连接
1
OA ，OM ，OF ．
根据题意可知
1m
OM
OF
=
=
，
1
1
90
A MO
A FO
=
=
．
在
1
Rt
A MO
△
和
1
Rt
A FO
△
中
1
1
OM
OF
OA
OA
=
=
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∴
1
1
Rt
Rt
A MO
A FO
△
≌
△
．
∴
1
1
MAO
FAO
=
．
∴
1
1
1
1
1
30
2
MAO
B AC
=
=
．
∴
1
1
2m
sin
MO
OA
MAO
=
=
．
根据题意可知
1
OA 为
1
1
1
A B C
△
的外接圆的半径，
∴
1
1
1
A B C
△
的外接圆的面积
2
2
1
4 m
OA
=
=
．
故答案为：4
16．如图，四边形ABCD为矩形，点E 在边CD上，
2
DE
CE
=
，
O
与四边形ABED的各边都相切，
O
的半径为x ，BCE
的内切圆半径为y ，则:
x y 的值为（ ）
A．2
B．8
3
C．3
D．10
3
【答案】C
【分析】本题考查了内切圆的性质和相似三角形的判定与性质，延长AD，BE于点F ，由四边形ABCD为
矩形，可证
ABF
CEB
∽
，再根据性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：延长AD，BE相交于点F ，
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∵
O
与AF ，BF ，AB 均相切，
∴
O
是
ABF
△
的内切圆，
∵四边形ABCD为矩形，
∴
90
ABF
CBE
+
=
，
90
A
C
=
=
，
∴
90
ABF
F
+
=
，
∴
F
CBE
=
，
∴
ABF
CEB
∽
，
∴
3
AB
DE
CE
CE
CE
+
=
= ，
∴
9,
3
ABF
ABF
BCE
BCE
S
C
S
C
=
=
．
连接
,
,
OA OB OF ，设
O
与
ABF
△
的边分别相切于H，M，N，连接O 与三边的切点，则
OH
OM
ON
x
=
=
=
，
∴
(
)
1
2
ABF
S
AF
AB
BF
x
=
+
+
，
同理：
(
)
1
2
BCE
S
BC
CE
BE
y
=
+
+
，
∴
(
)
(
)
ABF
BCE
AF
AB
BF
x
S
S
BC
CE
BE
y
+
+
=
+
+
∴
3
9
x
y
=
，
∴
3
x
y =
，
故选：C ．
17．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I 是ABC
的内心，点O 是ABC
的外心，若
160
BOA
=
，则
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BIA
的度数是（ ）
A．120
B．125
C．130
D．135
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到
C
的度数是解决本题的关键．
根据点O 是ABC
的外心，可求
C
的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求
解即可．
【详解】解：因为点O 是ABC
的外心，且
160
BOA
=
，
所以
1
80
2
C
BOA
=
=
，
在ABC
中有，
180
80
100
CAB
CBA
+
=
−
=
，
又因为点I 是ABC
的内心，
所以I
A 为
CAB
的角平分线，I
B 为
CBA
的角平分线，
所以
1
2
IAB
CAB
=
，
1
2
IBA
CBA
=
，
所以
(
)
1
1
1
50
2
2
2
IAB
IBA
CAB
CBA
CAB
CBA
+
=
+
=
+
=
，
所以
(
)
180
180
50
130
BIA
IAB
IBA
=
−
+
=
−
=
．
故选：C ．
18．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形ABCD中
120
ABC
=
，对角线AC 、BD相交于点O，AOB
的内
心I 与点O的距离为
2 ，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12
B．8 3
12
+
C．6 3
D．2 3
3
+
【答案】B
【分析】作IE
OB
⊥
于E， 作IF
OA
⊥
于F，连接IB ，由四边形ABCD是菱形，I 是AOB
的内心，求得
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1
OE = ．
2
IB
IE
=
= ．
3
EB =
．可得
2
2 3
DB =
+
．由
30
BAO
=
，
6
2 3
AC =
+
．则可得菱形ABCD
的面积．
【详解】解：作IE
OB
⊥
于E， 作IF
OA
⊥
于F，连接IB ，
90
IEO
IEB
IFO
=
=
=
．
四边形ABCD是菱形，
90
AOB
=
1
60
2
ABO
ABC
=
=
，
2
DB
OB
=
，
2
AC
AO
=
．
I
是AOB
的内心，
1
45
2
FOI
EOI
AOB
=
=
=
，
1
30
2
IBE
ABO
=
=
．
(
)
2
2
2
I
1
2
2
IO
OE
E
=
=
=
= ．
2
IB
IE
=
= ．
2
2
2
2
2
3
EB
IB
IE
=
=
=
−
−
．
1
3
OB
OE
EB
=
=
+
+
．
2
2
2 3
DB
OB
=
=
+
．
90
AOB
=
，
60
ABO
=
，
90
60
30
BAO
=
−
=
．
2
2 3
AB
OB
=
= +
．
2
2
3
3
AO
AB
OB
−
=
=
+
．
2
6
2 3
AC
AO
=
=
+
．
(
) (
)
1
1
6
2 3
2
2 3
8 3 12
2
2
ABCD
S
AC
DB
=
=
+
+
=
+
菱形
．
19．（24-25 九年级下·广东广州·期中）如图，点I 为ABC
的内心，
12cm
AB =
，
9cm
AC =
，
6cm
BC =
，
将
ACB
平移，使其顶点C 与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
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A．10cm
B．12cm
C．13.5cm
D．15cm
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是
角平分线的交点是关键．
连接I
A ，I
B ，根据点I 为ABC
的内心，可得IA和IB 分别平分
CAB
和
CBA
，再根据
ACB
平移，使
其顶点与点I 重合，可得DI
AC
∥
，
I
E
BC
可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周
长．
【详解】解：如图，连接I
A ，I
B ，
点I 为ABC
的内心，
IA
和IB 分别平分
CAB
和
CBA
，
CAI
DAI
=
，
CBI
EBI
=
，
将
ACB
平移，使其顶点与点I 重合，
DI
AC
∥
，
I
E
BC
，
CAI
DIA
=
，
CBI
EIB
=
，
DAI
DIA
=
，
EBI
EIB
=
，
DA
DI
=
，EB
EI
=
，
12
DE
DI
EI
DE
DA EB
AB
+
+
=
+
+
=
=
．
所以图中阴影部分的周长为12cm．
故选：B．
20．如图为ABC
的内切圆，点D，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE 为
I
的切线，若ABC
的周长为
21，BC 边的长为6，则ADE
的周长为（ ）
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A．15
B．9
C．7.5
D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长
定理．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM
DP
=
，BN
BM
=
，CN
CQ
=
，EQ
EP
=
，则
6
BM
CQ
+
=
，所以ADE
的周长
AD
DE
AE
AD
AE
DM
EQ
=
+
+
=
+
+
+
，代入求出即可．
【详解】解：∵ABC
的周长为21，
6
BC =
，
∴
21 6
15
AC
AB
+
=
−
=
，
设
I
与ABC
的三边AB
BC
AC
、
、
的切点为M
N
Q
、、
，切DE 于P ，
,
,
,
DM
DP BN
BM CN
CQ EQ
EP
=
=
=
=
，
6
BM
CQ
BN
CN
BC
+
=
+
=
=
，
ADE
C
AD
DE
AE
AD
AE
DP
PE
=
+
+
=
+
+
+
AD
DM
AE
EQ
=
+
+
+
AB
BM
AC
CQ
=
−
+
−
(
)
AC
AB
BM
CQ
=
+
−
+
15 6
9
=
−
=
，
故选：B．
21．（25-26 九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边
1
1
1
A B C
△
内接于等边ABC
的内切圆，则
1
1
A B
AB 的值为
（ ）
19 / 51
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A．1
2
B．
2
2
C．1
3
D．
3
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于ABC
、
1
1
1
A B C
△
都是等
边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O 分别作AB 、
1
1
A B 的垂线，连接OA、
1
OA ；
在构建的含特殊角的直角三角形中，用
O
的半径分别表示出AB 、
1
1
A B 的长，进而可求出它们的比值．
【详解】解：∵
1
1
1
A B C
△
和ABC
都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合．
如图，过点O 作AB 的垂线，交
1
1
A B 于E，连接OA、
1
OA ．
设圆O 的半径为R．
Rt
OAD
△
中，∵
30
OAD
OD
R
=
=
，
，
∴
3
AD
R
=
，即
2 3
AB
R
=
．
1
Rt OA E
中，∵
1
1
30
OA E
OA
R
=
=
，
，
∴
1
3
2
A E
R
=
，即
1
1
3
A B
R
=
．
∴
1
1
3
1
2
2 3
A B
R
AB
R
=
=
．
故答案为：1
2 ．
22．（25-26 九年级上·陕西西安·自主招生）如图，等边三角形ABC 的边长为9，点D、E、F 在ABC
边
上，等边三角形DEF 的边长为7，则三角形DBE的内切圆半径为______．
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【答案】
3
3
【分析】设三角形DBE的内切圆的圆心为点I，过点I 分别作
,
,
IG
AB IH
BC IK
DE
⊥
⊥
⊥
，垂足分别为
点G，H，K，则
,
,
DG
DK BG
BH EH
EK
=
=
=
，
1
2
GBI
ABC
=
，从而得到
(
)
(
)
1
1
7
2
2
BG
BD
BE
DE
BD
BE
=
+
−
=
+
−
，再证明
BDE
CEF
≌
△
△
，可得BD
CE
=
，从而得到
1
BG = ，即
可求解．
【详解】解：如图，设三角形DBE的内切圆的圆心为点I，过点I 分别作
,
,
IG
AB IH
BC IK
DE
⊥
⊥
⊥
，
垂足分别为点G，H，K，则
,
,
DG
DK BG
BH EH
EK
=
=
=
，
1
2
GBI
ABC
=
，
∴
(
)
BG
BH
BD
DG
BE
EH
BD
BE
DG
EH
+
=
−
+
−
=
+
−
+
，
∴
(
)
2BG
BD
BE
DK
EK
BD
BE
DE
=
+
−
+
=
+
−
，
∵等边三角形DEF 的边长为7，
∴
7,
60
DE
EF
DEF
=
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
7
2
2
BG
BD
BE
DE
BD
BE
=
+
−
=
+
−
，
180
120
BED
CEF
DEF
+
=
−
=
，
∵等边三角形ABC 的边长为9，
∴
60 ,
9
ABC
ACB
AB
BC
=
=
=
=
，
1
30
2
GBI
ABC
=
=
，
∴
180
120
BED
BDE
ABC
+
=
−
=
，
∴
BED
BDE
BED
CEF
+
=
+
，
∴
BDE
CEF
=
，
21 / 51
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∴
BDE
CEF
≌
△
△
，
∴BD
CE
=
，
∴
9
BD
BE
BE
CE
BC
+
=
+
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
7
9
7
1
2
2
BG
BD
BE
=
+
−
=
−
= ，
∵
30
GBI
=
，
∴
3
3
tan
1
3
3
IG
BG
IBG
=
=
=
，
即三角形DBE的内切圆半径为
3
3 ．
故答案为：
3
3
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性
质，圆的切线长定理，根据已知得出IG 的长是解题关键．
23．（25-26 八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
=
C
，
O
是ABC
的内切圆，切
点分别是D 、E 、F ．
(1)连接OA、OB ，则
AOB
=______．
(2)若
6
BD =
，
4
AD =
，求
O
的半径．
(3)在（2）的条件下，Rt
ABC
△
的外心和内心的距离等于______．
【答案】(1)135
(2)2
(3) 5
【分析】（1） 内心O是三角形三条角平分线的交点，故OA平分
CAB
，OB 平分
CBA
．在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
CBA
+
=
，因此
45
OAB
OBA
+
=
，再由三角形内角和定理得
135
AOB
=
．
（2）设半径为r，由切线长定理得
6
BE
BD
=
=
，
4
AF
AD
=
=
，
=
=
CE
CF
r ．于是三边可表示为
4
AC
r
=
+ ，
6
BC
r
=
+ ，
10
AB =
．利用勾股定理建立关于r 的方程，即可求得答案．
（3）由（2）知
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边AB 的中点为M ，
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则M 到切点D 的距离为1，而
2
OD
r
=
=
且OD
AB
⊥
，在Rt OMD
中利用勾股定理可求得外心与内心的距
离．
【详解】（1）解：
O
是ABC
的内切圆，
OA
平分
CAB
，OB 平分
CBA
，
在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
90
CAB
CBA
+
=
，
1 (
)
45
2
OAB
OBA
CAB
CBA
+
=
+
=
，
180
45
135
AOB
=
−
=
．
（2）解：设半径为r，连接OE 、OF ，
O
是ABC
的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
由切线长定理得：
6
BE
BD
=
=
，
4
AF
AD
=
=
，CE
CF
=
，
90
C
=
，OE
BC
⊥
，OF
AC
⊥
，
四边形OECF 是正方形，
=
=
CE
CF
r ，
4
AC
AF
CF
r
=
+
=
+ ，
6
BC
BE
CE
r
=
+
=
+ ，
4
6
10
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
(4
)
(6
)
10
r
r
+
+
+
=
，
解得：
2
r =
或
12
r = −
（舍去负值），
O
的半径
2
r =
．
（3）解：由（2）知
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，
设斜边AB 的中点为M ，则M 是Rt
ABC
△
的外心，
分别连接
,
OM OD ，
4
AD =
，
10
AB =
，
1
5
2
AM
AB
=
= ，
5 4
1
MD
AM
AD
=
−
= −
= ，
OD
是内切圆半径，OD
AB
⊥
，
2
OD
r
=
=
，
在Rt OMD
中，由勾股定理得：
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2
2
2
2
2
1
5
OM
OD
MD
=
+
=
+
=
，
Rt ABC
的外心和内心的距离为5 ．
24．（25-26 九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠，点C 恰好与ABC
的内心I 重
合，若
40
ACB
=
，则
EIA
FIB
+
=（ ）
A．210
B．220
C．230
D．240
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握
三角形内心的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得出
140
BAC
ABC
+
=
，根据折叠的性质和
三角形内心的性质得出
40
EIF
ACB
=
=
，AI 平分
BAC
，BI 平分
ABC
，求得
70
IAB
IBA
+
=
，
即可求解．
【详解】解：∵在ABC
中，
40
ACB
=
，
∴
180
140
BAC
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∵ABC
沿EF 折叠，点C 恰好与ABC
的内心I 重合，
∴
40
EIF
ACB
=
=
，AI 平分
BAC
，BI 平分
ABC
，
∴
1
2
IAB
BAC
=
，
1
2
IBA
ABC
=
，
24 / 51
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∴
(
)
1
1 140
70
2
2
IAB
IBA
BAC
ABC
+
=
+
=
=
，
∴
(
)
180
180
70
110
AIB
IAB
IBA
=
−
+
=
−
=
，
∴
360
360
40
110
210
EIA
FIB
EIF
AIB
+
=
−
−
=
−
−
=
，
故选：A．
25．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片ABC 的三边之比
:
:
6:7:8
BC AB AC =
，
O
是它
的内切圆，
O
的三条切线DE 、FG 、MN 分别交ABC
的边于点D、E、F、G、M、N，则BDE
、
CFG
△
、AMN
的周长之比为（ ）
A．6:7:8
B．5:6:7
C．3:5:7
D．5:7:9
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设
6
BC
k
=
，
7
AB
k
=
，
8
AC
k
=
，分别过点O 作OH
DE
⊥
，OS
AB
⊥
，OK
MN
⊥
，OP
AC
⊥
，OJ
GF
⊥
，OQ
BC
⊥
，由切线长
定理知BQ
BS
=
，AS
AP
=
，CQ
CP
=
，分别连接OE ，OD ，ON ，OM ，OG ，OF ，利用“HL”证明
(
)
Rt
Rt
HL
OQE
OHE
≌
，同理可得
(
)
Rt
Rt
HL
OQF
OJF
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OJG
OPG
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OPM
OKM
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OKN
OSN
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OHD
OSD
≌
，从而得出HD
DS
=
，
SN
NK
=
，MK
MP
=
，GP
JG
=
，FJ
FQ
=
，设BQ
BS
a
=
=
，AS
AP
b
=
= ，CQ
CP
c
=
=
，将BED
，
MNA
△
，
CFG
△
的周长分别用含a、b、c 的式子表示出来，联立ABC
的周长表达式求得
21
2
a
b
c
k
+
+
=
，
进而得出a、b、c 含k 的表达式，最终经过计算得出比值．
【详解】解：由题意知，设
6
BC
k
=
，
7
AB
k
=
，
8
AC
k
=
，
如图，分别过点O 作OH
DE
⊥
，OS
AB
⊥
，OK
MN
⊥
，OP
AC
⊥
，OJ
GF
⊥
，OQ
BC
⊥
，
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由切线长定理知，从点B 引
O
两条切线BQ ，BS ，则有BQ
BS
=
，
同理得：AS
AP
=
，CQ
CP
=
，
分别连接OE ，OD ，ON ，OM ，OG ，OF ，
在Rt
OQE
△
和Rt
OHE
△
中，
OQ
OH
OE
OE
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OQE
OHE
≌
，
∴QE
EH
=
，
同理，易证得：
(
)
Rt
Rt
HL
OQF
OJF
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OJG
OPG
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OPM
OKM
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OKN
OSN
≌
，
(
)
Rt
Rt
HL
OHD
OSD
≌
，
∴HD
DS
=
，SN
NK
=
，MK
MP
=
，GP
JG
=
，FJ
FQ
=
，
设BQ
BS
a
=
=
，AS
AP
b
=
= ，CQ
CP
c
=
=
，
∴
2
BED
C
BE
BD
DE
BE
BD
EH
HD
BE
BD
QE
DS
BQ
BS
a
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
△
，
2
MNA
C
AM
AN
MN
AM
AN
KN
KM
AM
AN
NS
MP
AS
AP
b
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
△
，
2
CFG
C
CF
CG
FG
CF
CG
FJ
GJ
CF
CG
FQ
GP
CQ
CP
c
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
6
7
8
21
ABC
C
AB
BC
AC
a
b
c
k
k
k
k
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
△
，即
21
2
a
b
c
k
+
+
=
，
∴
6
BC
BQ
CQ
a
c
k
=
+
=
+
=
，
7
AB
BS
AS
a
b
k
=
+
=
+ =
，
8
AC
CP
AP
b
c
k
=
+
= + =
，
∴
5
2
a
k
=
，
9
2
b
k
=
，
7
2
c
k
=
，
∴
:
:
2 :2 :2
5:7:9
BDE
CFG
AMN
C
C
C
a
c
b
=
=
，
故选：D．
26．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
AD
=
为斜边BC 上的中线，若
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6,
8
AB
AC
=
=
，设ABD
与ACD
的内切圆半径分别为1
2
,
r r ，则1
2
:
r r 的值为（ ）
A．1.25
B．1.125
C．1.1
D．1.2
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设ACD
的内切圆圆心O，切点分别为E 、G 、H ，连接
OA、OB 、OC 、OE 、OG 、OH ，由内切圆可得
2
OG
OE
O
r
H
=
=
=
，OG
AD
⊥
，OE
AC
⊥
，
OH
CD
⊥
，则
2
2
2
1
1
1
12
2
2
2
ACD
AOC
AOD
COD
S
S
S
S
AC
A
r
r
D
C
r
D
=
+
+
=
+
+
=
，即可得到
2
24
4
3
AC
AD
D
r
C
=
=
+
+
，同理可得1
24
3
2
AB
AD
D
r
B
=
=
+
+
，再代入1
2
:
r r 计算即可．
【详解】解：设ACD
的内切圆圆心O，切点分别为E 、G 、H ，连接OA、OB 、OC 、OE 、OG 、
OH ，
∵
6,
8
AB
AC
=
=
，
90
BAC
=
∴
2
2
2
2
6
8
10
BC
AB
AC
=
+
=
+
=
，
1
1
6 8
24
2
2
ABC
AB A
S
C
=
=
=
，
∵AD为斜边BC 上的中线，
∴
1
5
2
AD
BD
CD
BC
=
=
=
=
，
1
12
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
，
∵ACD
的内切圆圆心O，切点分别为E 、G 、H ，ACD
的内切圆半径为2r ，
∴
2
OG
OE
O
r
H
=
=
=
，OG
AD
⊥
，OE
AC
⊥
，OH
CD
⊥
，
∴
2
2
2
1
1
1
12
2
2
2
ACD
AOC
AOD
COD
S
S
S
S
AC
A
r
r
D
C
r
D
=
+
+
=
+
+
=
，
∴2
24
24
4
8
5
5
3
AC
AD
CD
r =
=
=
+
+
+ +
，
同理可得1
24
24
3
6
5
5
2
AB
AD
BD
r =
=
=
+
+
+ +
，
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∴1
2
3
3
:
:
2
2
5
4
3
9
1.12
3
4
8
r r
=
=
=
=
，
故选：B．
27．（2026·湖北武汉·一模）如图，
45
ACD
BCD
=
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，ACD
内切圆半径为（ ）
A．15
5 2
4
−
B．15
5 2
4
+
C．3 2
2
−
D．3 2
2
+
【答案】C
【分析】由图中A、B、C、D 四点共圆，且
45
ACD
BCD
=
=
，可得
90
ACB
=
，因此AB 是圆的直
径，进一步可得
90
ADB
=
，同时AD
BD
=
．先在Rt ACB
中用勾股定理求AB 的长度，再在Rt ADB
中
求出AD的长度．过点A 作AE
CD
⊥
于点E，用勾股定理求出AE
CE
DE
，
，
的长度，即得CD的长度。设
ACD
的内心为点I，内切圆半径为r，过点I 作IF
CD
⊥
于点F，作IG
AC
⊥
于点G，作IH
AD
⊥
于点
H，则I
I
I
F
G
H
r
=
=
=
，由
1
1
1
1
I
I
I
2
2
2
2
ACD
S
CD F
AC
G
AD H
CD AE
=
+
+
=
，代入CD
AC
AD
AE
，
，
，
的
值，即可求出ACD
内切圆半径．
【详解】解：连接AB ，∵
45
ACD
BCD
=
=
，
∴
90
ACB
=
，
AD
BD
=
，
∴AD
BD
=
，
∴AB 是圆
O
的直径．
∴
90
ADB
=
，
在Rt ABC
中，
8
AC = ，
6
BC =
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
，
∴
2
5 2
2
AD
AB
=
=
．
过点A 作AE
CD
⊥
于点E，
则
90
AED
AEC
=
=
，
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∴
90
45
CAE
ACD
=
−
=
，
∴
2
4 2
2
AE
CE
AC
=
=
=
，
∴
2
2
3 2
DE
AD
AE
=
−
=
，
∴
7 2
CD
CE
DE
=
+
=
，
设ACD
的内心为点I，内切圆半径为r，过点I 作IF
CD
⊥
于点F，作IG
AC
⊥
于点G，作IH
AD
⊥
于点
H，
则I
I
I
F
G
H
r
=
=
=
，
∵
1
1
1
1
I
I
I
2
2
2
2
ACD
S
CD F
AC
G
AD H
CD AE
=
+
+
=
，
∴1
1
1
1
7 2
8
5 2
7 2
4 2
2
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
化简得(
)
8 12 2
56
r
+
=
，
解得
3 2
2
r =
−．
28．如图，
O
是ABC
的内切圆，与AB ，BC ，AC 分别相切于点D，E，F．若
O
的半径为2，
6
AB = ，
8
AC = ，
12
BC =
，则ABC
的面积为（ ）
A．12 3
B．24
C．26
D．52
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【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题
的关键；根据三角形面积= 三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可．
【详解】解：
O
是ABC
的内切圆且半径为2，
6
AB =
，
8
AC = ，
12
BC =
(
)
1
2
ABC
S
AB
AC
BC
r
=
+
+
，
(
)
1
6
8 12
2
26
2
ABC
S
=
+ +
=
，
则ABC
的面积为26，
故选：C
29．（2024·广东广州·一模）如图，ABC
的内切圆
I
与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若
I
的半径为r ，
FDE
=
，则(
)
AF
CD
AC
+
−
的值和
A
的大小分别为（ ）
A．0，180
2
−
B．r ，180
α
−
C．2r ，90
−
D．3r ，90
2
−
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接
,
IF IE ．利用切线长定理，可
得
,
,
,
AF
AE CD
CE IF
AB IE
AC
=
⊥
⊥
=
，从而得到AF
CD
AC
+
−
，再由圆周角定理，可得
2
2
EIF
EDF
=
=
，即可．
【详解】解：如图，连接
,
IF IE ．
∵ABC
的内切圆
I
与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，
∴
,
,
,
AF
AE CD
CE IF
AB IE
AC
=
⊥
⊥
=
，
∴
0
90
,
C
A
C
F
CD
A
AE
CE
AC
A
A
AFI
AEI
C =
+
+
−
−
=
−
=
=
=
，
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∴
2
2
EIF
EDF
=
=
，
∴
360
180
2
A
AFI
AEI
EIF
=
−
−
−
=
−
．
故选：A
30． 2023 九年级·山东济南·专题练习）如图，已知ABC
中，
70
10
C
AB
=
=
，
，内切圆
O
半径为3，
则图中阴影部分面积和是（ ）
A．
25
15
π
8
−
B．
15
15
π
8
−
C．
15
20
π
4
−
D．
25
20
π
4
−
【答案】A
【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是AOB
的面积与扇形TOQ 的面积的差，进而即可求
解．
【详解】解：如图令BO，AO 分别交
O
于T ，Q ，
∵
O
是ABC
的内切圆，切点分别为G，D，R，
∴图中阴影部分面积和是AOB
的面积−扇形TOQ 的面积，
∵OA、OB 分别是
CAB
、
CBA
的角平分线，
∴
1
2
OAB
CAB
=
，
1
2
OBA
CBA
=
，
∵
70
10
C
AB
=
=
，
，
∴
180
70
110
CAB
CBA
+
=
−
=
，
∴
1
1
55
2
2
OAB
OBA
CAB
CBA
+
=
+
=
∠
∠
，
∴
(
)
180
125
AOB
OAB
OBA
=
−
+
=
，
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∴
2
1
125
25
10 3
π 3
15
π
2
360
8
AOB
TOQ
S
S
S
=
−
=
−
=
−
．
31．（2025·湖南株洲·三模）如图，在ABC
中，AB
BC
=
，ABC
的角平分线AD、BE交于点O，则以点
O为圆心，以_____为半径，可作ABC
的内切圆．
【答案】OE / EO
【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O 是ABC
的内心，即点O到ABC
三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得BE
AC
⊥
，进而可得当以点O
为圆心，以OE 为半径，可作ABC
的内切圆．
【详解】解：根据题意可得点O 是ABC
的内心，即点O到ABC
三边的距离相等，
∵AB
BC
=
，
∴BE
AC
⊥
，
∴当以点O为圆心，以OE 为半径，可作ABC
的内切圆．
故答案为：OE ．
32．（2025·广东江门·三模）如图，点O 是ABC
的内心，连接
,
OA OC ，若OCA 的高
3
OD =
，则点O 到边
AB 的距离为：__________．
【答案】3
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关
键．作OH
AB
⊥
于点H，因为OD 是OCA 的高，所以OD
AC
⊥
于点D，由点O 是ABC
的内心，证明
AO 平分
BAC
，所以
3
OH
OD
=
= ，于是得到问题的答案．
【详解】解：作OH
AB
⊥
于点H，
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∵OD 是OCA 的高，
∴OD
AC
⊥
于点D，
∵点O 是ABC
的内心，
∴AO 平分
BAC
，
∵点O 在
BAC
的平分线上，且OH
AB
⊥
于点H，OD
AC
⊥
于点D，
∴
3
OH
OD
=
= ，
∴点O 到边AB 的距离为3，
故答案为：3．
33．（24-25 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知ABC
中，
3
AC
BC
=
=
，
4
AB =
．请按照题意用无
刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)请在图1中作一个能覆盖ABC
且面积最小的
O
，则
O
的半径为 ；
(2)请在图2 的ABC
纸片中剪出一个面积最大的
I
，则
I
的半径为 ．
【答案】(1)作图见解析，9 5
10
(2)作图见解析，2 5
5
【分析】（1）分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，则
O
即为所求；设线段AB 的垂直平分线交AB 于点D ，结合等腰三角形的性质可得直线OD 过点C ，由勾
股定理可求得CD的长；设
O
的半径为r ，则
5
OD
r
=
−，在Rt AOD
中，由勾股定理得，
2
2
2
OA
OD
AD
=
+
，代入求出r 的值即可；
（2）分别作
BAC
和
ABC
的平分线，相交于点I ，再过点I 作AB 的垂线，交AB于点D ，以点I 为圆
心，线段ID的长为半径画圆，则
I
即为所求；
I
为ABC
的内切圆，记
I
与AC 相切于点E ，与BC
相切于点F ，连接IC ，设
O
的半径为r ，结合等腰三角形的性质可得直线ID过点C ，
1
2
2
AD
AB
=
=
，
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由勾股定理可求得CD的长；根据三角形的面积公式以及
ABC
ABD
BCD
ACD
S
S
S
S
=
+
+
，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图1，分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为
半径画圆，则
O
即为所求．
设线段AB 的垂直平分线交AB 于点D ，
1
2
2
AD
AB
=
=
．
3
AC
BC
=
=
∵
，
ABC
为等腰三角形，
直线OD 过点C ，
2
2
2
2
3
2
5
CD
AC
AD
=
−
=
−
=
．
设
O
的半径为r ，则
5
OD
CD
OC
r
=
−
=
−．
在Rt AOD
中，由勾股定理得，
2
2
2
OA
OD
AD
=
+
，
即
(
)
2
2
2
5
2
r
r
=
−
+
，
解得
9 5
10
r =
，
O
的半径为9 5
10
．
故答案为：9 5
10
；
（2）解：如图2 ，分别作
BAC
和
ABC
的平分线，相交于点I ，再过点I 作AB 的垂线，交AB于
点D ，以点I 为圆心，线段ID的长为半径画圆，则
I
即为所求．
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由题意得，
I
为ABC
的内切圆，
记
I
与AC 相切于点E ，与BC 相切于点F ，连接IC ，
设
O
的半径为r ，
3
AC
BC
=
=
∵
，
ABC
为等腰三角形，
直线ID过点C ，
1
2
2
AD
AB
=
=
，
2
2
2
2
3
2
5
CD
AC
AD
=
−
=
−
=
，
1
1
4
5
2 5
2
2
ABC
S
AB CD
=
=
=
，
ABC
ABD
BCD
ACD
S
S
S
S
=
+
+
△
△
△
△
，
1
1
1
4
3
3
2 5
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
解得
2 5
5
r =
，
I
的半径为2 5
5
．
故答案为：2 5
5
．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：作垂直平分线、作角平分线、作垂线，等腰三角形的性质、勾股定
理、三角形的外接圆与内切圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．（25-26 九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究．
(1)如图①，在
O
中，AB ，CD是弦，且AB
CD
=
．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB ，CD的
距离相等．小红发现延长AB ，CD交于点P ，则PA
PC
=
．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择
一个完成证明．
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(2)如图②，已知ABC
，
O
与ABC
各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB = ，
O
的半径为r ，则r 的取值范围是_____．
【答案】(1)见解析
(2)1
2
r
【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对
等边即可得证；
（2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作ABC
角平分线的交点即可；
②因为得满足
O
与三边相交，所以找临界值相切时r 值，再看OA
OB
OC
、
、
最短的，就作为另一个临界
值．
【详解】（1）解：①选择小明．
理由：如图①，过点O 分别作OE
AB
⊥
，OF
CD
⊥
，垂足分别为E、F，连接OA、OC ，
∵OE
AB
⊥
，且OE 过圆心O，
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∴
1
2
AE
EB
AB
=
=
，
∵OF
CD
⊥
，且OF 经过点O，
∴
1
2
CF
DF
CD
=
=
，
∵AB
CD
=
，
∴AE
CF
=
，
∵
90
AEO
CFO
=
=
，OA
OC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OEA
OFC
≌
，
∴OE
OF
=
，
即O 到AB 、CD的距离相等；
②选择小红．
证明：如图①，连接AC ，
∵AB
CD
=
，
∴
AB
CD
=
，
∴
AB
BD
CD
BD
+
=
+
，
∴
AB
CD
=
，
∴
C
A
= ，
∴PA
PC
=
；
（2）解：如图②中，
O
即为所求．
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∵
3
4
5
AC
BC
AB
=
=
=
，
，
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
当
O
是ABC
的内切圆时，
则有
(
)
1
1
3
4
5
3 4
2
2
r
+
+
=
，
解得
1
r = ，
当
O
过点C 时可得
2
2
OC
r
=
=
，
又因为
O
得满足与三边相交，
∴1
2
r
．
故答案为：1
2
r
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
35．如图，ABC
的内切圆
O
与AB
BC
CA
、
、
分别相交于点D
E
F
、、
，若
10cm,
16cm,
14cm
AB
BC
CA
=
=
=
．
(1)求BD的长；
(2)求
O
的半径．
(3)连接
,
AO CO ，求AO
CO
、
与
O
围成的劣弧的弧长．
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【答案】(1)
6cm
BD =
(2)
O
的半径为2 3cm
(3) 4 3 cm
3
【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内
切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键；
（1）由切线长定理可得
,
,
BD
BE AD
AF CE
CF
=
=
=
，设
,
,
BD
BE
x AD
AF
y CE
CF
z
=
=
=
=
=
=
，则有
10
14
16
x
y
y
z
x
z
+
=
+
=
+
=
，进而求解即可；
（2）连接
,
,
OA OB OC ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，由题意易得OD
OE
OF
=
=
，设
cm
BH
t
=
，则
(
)
16
cm
CH
t
=
−
，然后根据勾股定理可得
5
t =
，进而根据等积法可进行求解；
（3）如（2）的解图，由（2）可知：
5 3cm
AH =
，
10cm
AB =
，
O
的半径为2 3cm ，然后可得
60
ABH
=
，则有
180
120
AOC
OAC
OCA
=
−
−
=
∠
∠
∠
，进而根据弧长计算公式可进行求解．
【详解】（1）解：∵
O
是ABC
的内切圆，
∴
,
,
BD
BE AD
AF CE
CF
=
=
=
，
设
,
,
BD
BE
x AD
AF
y CE
CF
z
=
=
=
=
=
=
，且
10cm,
16cm,
14cm
AB
BC
CA
=
=
=
，
∴
10
14
16
x
y
y
z
x
z
+
=
+
=
+
=
，解得：
6
4
10
x
y
z
=
=
=
，
∴
6cm
BD =
；
（2）解：连接
,
,
OA OB OC ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，如图所示：
由题意得：OD
OE
OF
=
=
，
设
cm
BH
t
=
，则
(
)
16
cm
CH
t
=
−
，
在Rt ABH
中，由勾股定理可得：
2
2
2
2
100
AH
AB
BH
t
=
−
=
−
，
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同理可得：
(
)
2
2
2
2
196
16
AH
AC
CH
t
=
−
=
−
−
，
∴
(
)
2
2
100
196
16
t
t
−
=
−
−
，
解得：
5
t =
，
∴
(
)
2
196
16
5
5 3cm
AH =
−
−
=
，
∵
1
2
ABC
AOB
AOC
BOC
S
BC AH
S
S
S
=
=
+
+
，
∴
(
)
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
BC AH
AB OD
AC OF
BC OE
AB
AC
BC
OD
=
+
+
=
+
+
，
∴
16 5 3
2 3cm
10 14 16
OD
=
=
+
+
，
即
O
的半径为2 3cm ；
（3）解：如（2）的解图：
由（2）可知：
5 3cm
AH =
，
10cm
AB =
，
O
的半径为2 3cm ，
∴
3
sin
2
AH
ABH
AB
=
=
，
∴
60
ABH
=
，
∴
120
BAC
ACB
+
=
，
∵
,
OA OC 分别平分
,
BAC
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
=
=
OAC
BAC
OCA
ACB，
∴
1
1
60
2
2
OAC
OCA
BAC
ACB
+
=
+
=
，
∴
180
120
AOC
OAC
OCA
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∴AO
CO
、
与
O
围成的劣弧的弧长为120
2 3
4 3 cm
180
3
=
．
36．已知
O
内接四边形ABCD中，BD平分
ABC
．
(1)如图1，若AC
BD
，
相交于E，求证：
AEB
BCD
=
．
(2)如图2，连接OD 交AC 于F．若
16
10
AC
AD
=
=
，
，求
O
的半径．
(3)如图3，若AC 为
O
直径，
7 2
3
2
AB
BD
=
=
，
，求ABC
的内心与点O 的距离．
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【答案】(1)见解析
(2) 25
3
(3)
5
2
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的
性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到
ACD
ABD
=
，由同弧所对的圆周角相等可得
ACD
ABD
=
，则
ACD
CBD
=
，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论；
（2）连接OA，先证明
AD
CD
=
，由垂径定理得到
1
8
2
OD
AC
AF
AC
=
=
⊥
，
，由勾股定理得
6
DF =
，设
OA
OD
x
=
=
，则
6
OF
OD
DF
x
=
−
=
−，由勾股定理得
(
)
2
2
2
8
6
x
x−
=
+
，解方程即可得到答案；
（3）过点D 作DE
BA
⊥
交BA延长线于E，DH
BC
⊥
于H，可求出
90
ABC
=
，则
1
45
2
ABD
ABC
=
=
，可证明BDE
是等腰直角三角形，得到BE
DE
=
，则可求出
7
2
BE
DE
=
=
，
1
2
AE
BE
AB
=
−
=
；证明四边形EBHD是矩形，得到
7
2
DH
BE
DE
=
=
=
，
7
2
BH
DE
=
=
；证明
(
)
AAS
DEA
DHC
≌
，得到
1
2
CH
AE
=
=
，则
4
BC
BH
CH
=
+
=
，
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
；设ABC
的内
心为I，设
I
分别与AB
BC
AC
，
，
相切于D、E、F，连接AI
DI
BI
EI
CI
OI
FI
，
，
，
，
，
，
，根据
ABC
AIB
BIC
AIC
S
S
S
S
=
+
+
△
△
△
△
，可求出
1
IF = ；再证明四边形BDIE 是矩形，得到
1
BD
IE
=
= ，则
3 1
2
AF
AD
=
= −=
，再利用勾股定理求出OI 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
CBD
=
，
∵
ACD
ABD
=
，
∴
ACD
CBD
=
，
∵
AEB
ACB
CBD
=
+
，
BCD
ACD
ACB
=
+
，
∴
AEB
BCD
=
；
（2）解：如图所示，连接OA，
∵BD平分
ABC
，
∴
ABD
CBD
=
，
∴
AD
CD
=
，
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∴
1
8
2
OD
AC
AF
AC
=
=
⊥
，
，
∴在Rt
ADF
△
中，由勾股定理得
2
2
6
DF
AD
AF
−
=
=
，
设OA
OD
x
=
=
，则
6
OF
OD
DF
x
=
−
=
−，
在Rt AOF
中，由勾股定理得
2
2
2
OA
AF
OF
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
8
6
x
x−
=
+
，
解得
25
3
x =
，
∴
25
3
OA =
，即
O
的半径为25
3 ；
（3）解；如图3 所示，过点D 作DE
BA
⊥
交BA延长线于E，DH
BC
⊥
于H，
∵AC 为
O
直径，
∴
90
ABC
=
，
∵BD平分
ABC
，
∴
1
45
2
ABD
ABC
=
=
，
∴BDE
是等腰直角三角形，
∴BE
DE
=
，
∴
2
2
7 2
2
2
BD
BE
DE
BE
=
+
=
=
，
∴
7
2
BE
DE
=
=
，
∴
1
2
AE
BE
AB
=
−
=
；
∵
90
DE
BE
DH
BC
EBH =
⊥
，
⊥
，∠
，
∴四边形EBHD是矩形，
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∴
7
2
DH
BE
DE
=
=
=
，
7
2
BH
DE
=
=
；
∵四边形ABCD是
O
的内接四边形，
∴
180
BAD
BCD
+
=
，
∵
180
BAD
EAD
+
=
，
∴
EAD
HCD
=
，
又∵
90
DEA
DHC
=
=
，
∴
(
)
AAS
DEA
DHC
≌
，
∴
1
2
CH
AE
=
=
，
∴
4
BC
BH
CH
=
+
=
，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
；
如图4 所示，设ABC
的内心为I，设
I
分别与AB
BC
AC
，
，
相切于D、E、F，连接
AI
DI
BI
EI
CI
OI
FI
，
，
，
，
，
，
，
∴ID
IF
IE
=
=
，ID
AB
IE
BC
IF
AC
⊥
，
⊥
，
⊥
，
∵
ABC
AIB
BIC
AIC
S
S
S
S
=
+
+
△
△
△
△
，
∴1
1
1
1
2
2
2
2
AB BC
AB ID
BC IE
AC IF
=
+
+
，
∴1
1
1
1
3 4
5
4
3
2
2
2
2
IF
IF
IF
=
+
+
，
∴
1
IF = ；
∴
1
ID
IE
=
= ，
∵
90
ID
AB
IE
BC
DBE =
⊥
，
⊥
，∠
，
∴四边形BDIE 是矩形，
∴
1
BD
IE
=
= ，
∴
3 1
2
AF
AD
=
= −=
，
∵
1
5
2
2
OA
AC
=
=
，
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∴
1
2
OF
OA
AF
=
−
=
，
∴
2
2
5
2
OI
IF
OF
=
+
=
，
∴ABC
的内心与点O 的距离为
5
2 ．
37．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题：
(1)问题提出
如图1，在直角ABC
中，
30
A
=
，
O
是ABC
的内切圆，若
O
的半径是1，则ABC
的斜边长
为 ．
(2)问题解决
小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2 所示的四边形原石BDFE进行切割设计．顾客首
先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在
B
附近区域，所以玉
镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF 和DF 的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过DF
边和EF 边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打
磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的ABC
（点A 在BD上，点C 在BE上），应使得AC 尽可能
短，同时ABC
的周长和面积尽可能的小．经过测量，
60
B
=
，
156mm
BE =
，
175mm
BD =
．根据顾客
的需求，手镯的内圈直径为56mm，外圈直径为70mm，即小圆
O
的直径为56mm，大圆
O
的直径为
70mm．
请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A 和点C 使得覆盖大圆
O
的ABC
周长取得
最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出ABC
的周长及面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2 3
2
+
(2)存在，210 3mm，
2
3675 3mm
【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解；
（2）参照（1）中思路可得
70 3
2
ABC
C
AB
BC
AC
AC
=
+
+
=
+
，所以要使ABC
的周长最小，则求AC 最
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小值即可，由
35
OP =
，
120
AOC
=
识别定角定高模型，进而作OAC
的外接圆求解即可．
【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O 分别作AB
AC
BC
、
、
的垂线段，垂足分别为D、E、F，
连接OA
OB
OC
、
、
，则OD
OE
OF
R
=
=
=
，
30
A
=
，
设BC
x
=
，则
2
AB
x
=
，
3
AC
x
=
，
由内切圆可得，CE
CF
R
=
=
，
AD
AE
AC
R
=
=
−
，BD
BF
BC
R
=
=
−
，
2
AB
AD
BD
AC
BC
R
=
+
=
+
−
，
3
1
2
2
AC
BC
AB
x
x
R
+
−
−
=
=
= ，
解得
3
1
x =
+ ，
2
2 3
2
AB
x
=
=
+
，即斜边长为2 3
2
+
，
故答案为：2 3
2
+
；
（2）解：由题意可知大
O
与ABC
相切，如图，过O 作AB
AC
BC
、
、
的垂线段，垂足分别为M、N、
P，连接OA
OB
OC
、
、
，
大
O
的直径为70mm，
35mm
OM
OP
ON
=
=
=
，
60
B
=
，
30
OBN
OBM
=
=
，
1
90
120
2
AOC
B
=
+
=
，
35 3mm
BM
BN
=
=
，
AM
AP
=
，CN
CP
=
，
45 / 51
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ABC
C
AB
BC
AC
=
+
+
BM
AM
AC
BN
CN
=
+
+
+
+
BM
BN
AP
CP
AC
=
+
+
+
+
70 3
2AC
=
+
，
要使ABC
的周长最小，则求AC 最小值即可，
如图，作AOC
的外接圆
Q
，连接OQ ，过Q 作QH
AC
⊥
于点H，
120
AOC
=
，
120
AQC
=
，
设QA
QC
QO
r
=
=
=
，则
3
AC
r
=
，
1
2
QH
r
=
，
QH
OP
OQ
+
，
1
35
2 r
r
+
，
70
r
，
3
70 3
AC
r
=
，即当
70 3
AC =
时，有最小值，
此时
70 3
2
210 3mm
ABC
C
AC
=
+
=
，
(
)
2
1
1
1
210 3 35
3675 3(mm)
2
2
2
ABC
ABC
S
AB
BC
AC
R
C
R
=
+
+
=
=
=
．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模
型的掌握是解题的关键．
38． 24-25 九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊
点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
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性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知ABC
是锐角三角形，
O
是其外接圆，点H 是ABC
的垂心，分别连接
,
,
AH BH CH 并延长，
交
O
于点
,
,
M N K ．
求证：点
,
,
M N K 分别是点H 关于边
,
,
BC AC AB 的对称点．
证明：如图，连接BM ．
∵点H 是ABC
的垂心，
∴BN
AC
⊥
，AM
BC
⊥
，
∴1
90
ACB
+
=
，
2
90
ACB
+
=
，
∴
1
2
= ，
又
2
3
= （依据），
∴1
3
= ，
∴直线BM 和BN 关于BC 对称．
∴点M 和点H 关于BC 对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点K 和点H 关于AB 对称．
【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等
(2)B
(3)
证明：如图所示，连接BK ，设AB 于CK 交于点T ，
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∵点H 是ABC
的垂心，
∴BA
CK
⊥
，CK
AB
⊥
，
∴
90
ABN
BAC
+
=
，
90
ACK
BAC
+
=
，
∴
ABN
ACK
=
，
又
ABK
ACK
=
（同弧或等弧所对圆周角相等），
∴
ABK
ABN
=
，
在
BKT
△
和BHT
中，
90
KBT
HBT
BT
BT
BTK
BTH
=
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BKT
BHT
≌
，
∴KT
HT
=
，
又∵
⊥
KH
AB ，
∴点K 与点H 是对应点，
∴直线BK 和BN 关于AB 对称．
∴点K 和点H 关于AB 对称．
【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是
解题的关键．
（1）根据图示可得
2
与
3
所对的弧均是CM ，由此即可求解；
（2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解；
（3）根据材料提示方法证明即可．
【详解】（1）解：根据图示可得，
2
与
3
所对的弧均是CM ，
∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）解：根据图示可得，
小学
初中
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A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意；
B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意；
C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故
原选项错误，不符合题意；
故选：B；
（3）略
39．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，
6m
AB
AD
=
=
，
8cm
CB
CD
=
=
，
B
为
直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm．
【答案】24
7
【分析】连接AC ，作
ABC
的平分线交AC 于点O ，作OH
BC
⊥
于H ，如图求得
(
)
ABC
ADC SSS
≌
，则
BAC
DAC
=
，
ACB
ACD
=
，所以AC 平分
BAC
和
BCD
，加上
OB 平分
ABC
，根据角平分线性质得到点O到四边形ABCD的各边的距离相等，则得到
O
是四边形
ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH ，接着证明BOH
为等腰直角三角形得
到OH
BH
=
，设OH
r
=
，则BH
r
= ，
8
CH
r
= −，然后证明
COH
CAB
∽
△
△
，利用相似比可计算出r ．
【详解】解：连接AC ，作
ABC
的平分线，交AC 于点O，作OH
BC
⊥
于H ，
在ABC
和ADC
中，
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AB
AD
CB
CD
AC
AC
=
=
=
，
∴
(
)
ABC
ADC SSS
≌
，
∴
BAC
DAC
=
，
ACB
ACD
=
AC
平分
BAD
和
BCD
，
OB
平分
ABC
，
点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴
O
是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为OH ，
90
ABC
=
，
1
45
2
OBH
ABC
=
=
，
∴BOH
为等腰直角三角形，
OH
BH
=
，
设
cm
OH
r
=
，则
cm
BH
r
=
，
(
)
8
cm
CH
BC
BH
r
=
−
=
−
，
∵
90
ABC
=
，OH
BC
⊥
，
∴OH
AB
∥
，
COH
CAB
∽
，
OH
CH
AB
CB
=
即
8
6
8
r
r
−
=
，
24
7
r
=
．
即
O
的半径为24 cm
7
，
∴圆形纸片的半径为24 cm
7
．
故答案为：24
7
【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆
是所求的面积最大的圆是解题的关键．
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40．（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图①，在ABC
中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
，垂足为D ．若
15
AB =
，
8
AC = ，则AD的长为
______；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块ABC
型板材，其中
100cm
AB =
，
160
BC
cm
=
，
140
AC
cm
=
．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中
确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出
O
的半径；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）120
17
（2）可以，
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是ABC
的内心，
作
ABC
和
ACB
的平分线
,
BE CF 交于点O，则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
O
的半径为20 3cm．
【分析】（1）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后利用等面积法求解即可；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作
ABC
和
ACB
的平分线
,
BE CF 交于
点O，则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，过点O作OH
BC
⊥
于H ，OP
AC
⊥
于P ，
OQ
AB
⊥
于Q ，连接
,
,
OA OB OC ，过点A作AM
BC
⊥
于M ，设BM
xcm
=
，
O
的半径为cm
R
，则
(
)
160
CM
x cm
−
=
，利用勾股定理解得
50
x =
，易得
50 3
AM
cm
=
，再求得
2
4000 3
ABC
S
cm
=
，然后根据
ABC
OBC
OCA
OAB
S
S
S
S
=
+
+
求得R 的值，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵在ABC
中，
90
BAC
=
，
15
AB =
，
8
AC = ，
∴
2
2
2
2
15
8
17
BC
AB
AC
=
+
=
+
=
，
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∵AD
BC
⊥
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB
AC
BC
AD
=
=
△
，即1
1
15 8
17
2
2
AD
=
，
解得
120
17
AD =
．
故答案为：120
17 ；
（2）设BM
xcm
=
，
O
的半径为cm
R
，
∵
100cm
AB =
，
160
BC
cm
=
，
140
AC
cm
=
，
∴
(
)
160
CM
x cm
−
=
，
在Rt
ABM
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
100
AM
AB
BM
x
−
=
=
−
，
在Rt ACM
中，由勾股定理得
(
)
2
2
2
2
2
140
160
AM
AC
CM
x
−
−
=
=
−
，
∴
(
)
2
2
2
2
100
140
160
x
x
−
−
=
−
，
解得
50
x =
，
∴
2
2
100
50 3
AM
x
cm
=
−
=
，
∴
2
1
1 160 50 3
4000 3
2
2
ABC
S
BC
AM
cm
=
=
=
，
∵点O为ABC
的内心
∴OH
OP
OQ
Rcm
=
=
=
，
又∵
ABC
OBC
OCA
OAB
S
S
S
S
=
+
+
，
∴
2
1
1
1
4000 3
2
2
2
BC OH
AC OP
AB OQ
cm
+
+
=
，
即
2
1
1
1
160
140
100
4000 3
2
2
2
R
R
R
cm
+
+
=
，
解得
20 3
R
cm
=
，
即
O
的半径为20 3cm．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最
大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键．
