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专题07.圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型
模型1、内切圆模型
【模型解读】
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这
个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线
段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
【常见模型及结论】
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= 。
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt 的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= ；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论： 。
例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在 中， ，半径为 的 是 的内切圆，
连接 ，分别交 于D，E两点，则 的长为 ．（结果用含 的式子表示）例2．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在 中， ，过点 作 于点D，P是
内一点，且 ，连接 交 于点 ，若点 恰好为 内心，则 的度数为
（ ）
A．36° B．48° C．60° D．72°
例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图， 是 的内切圆，切点分别为 ，且
， ， ，则 的半径是 ．
例4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点 是 的内心， ， ， ，
，则 的半径为 ．例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若 ，
，则 的值是 ．
例6．（2023·成都市九年级期中）如图， 是 的内切圆， 、 、 为切点， ，
， ， 切 交 于 ，交 于 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（ ，1）与x轴、y
轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O 的半径r ＝ ﹣1；若⊙O 与⊙O 、l、y
1 1 2 1
轴分别相切，⊙O 与⊙O 、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 的半径r ＝ ．
3 2 2014 2014例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中， ，
，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD （ ）
A． B． C． D．
模型2、多边形的外接圆模型
【模型解读】
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，
若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。
【常见模型及结论】
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；② 。图1 图2 图3
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：① ，PM平分 ；②PA=PB+PC；③ ；
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：① ； ；② 。
例1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测） ABC中，∠A＝80°，点M是 ABC的外心，点N是 ABC的内心，
连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠△BNC的差为（ ） △ △
A．30° B．35° C．40° D．45°
例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角 的外心、内心，若
，则 的度数为 ．
例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4 ，BC=8，则⊙O的半
径为 .例4．（2022春·江苏·九年级期末） 中， ， ，点I是 的内心，点O是
的外心，则 ．
例5．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点
D，E，已知⊙O的半径为 ．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．
例6．（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图， 、 、 、 是 上的四个点，
．
(1)判断 的形状，并证明你的结论；(2)探究 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论．
例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．课后专项训练
1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，
F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．162．（2023春·湖北九年级课时练习）已知 的内切圆 的半径为 ，且 ， 的周
长为16，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将 折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕 ．
将 再次折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕 ， ， 交于点 ．则以下结论一定成
立的是（ ）
A． B．
C．点 到 三边的距离相等 D．点 到 三个顶点的距离相等
4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交
于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图， 截 的三条边所得的弦长相等，若 ，则
的度数为( )A． B． C． D．
6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点 为 的内心，点 在 边上，且
⊥ ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖北九年级期中）点I是 的内心，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D． 或
8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（
）
A． cm B． cm C．2cm D．3cm
9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，
F，若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）A．2r， B．0， C．2r， D．0，
10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的 内心，连接 并延长交 的外接圆于点D，
若 ，点E为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，点 为 的内心，连接 并延长交 的外接圆
于点 ，交 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中， ，BC＝6，AC ．I是
△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1 B． C． D．13．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，
则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
14．（2023·江苏九年级课时练习）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（ ）
A．5 +5 B．12 ﹣5 C．5 ﹣5 D．10 ﹣10
15．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·山东九年级月考）如图， 是 的内切圆，切点分别为点 、 、 ，设 的面积、
周长分别为 、 ， 的半径为 ，则下列等式：① ；② ；③
；④ ，其中成立的是 （填序号）17．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，
其半径为 ，则△BIC的外接圆直径为 .
18．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点 为 的外心，点 为 的内心．
（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ．
19．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形 的边长是 ， 是 边的中点．将该正方形沿
折叠，点 落在点 处． 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，则 的半径为
．
20．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点
D．
(1)求证： ；(2)求证： ；(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．21．（2023浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称
为圆的外切三角形．如图1， 与 的三边 分别相切于点 则 叫做 的外
切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2， 与四边形ABCD的边
AB,BC,CD,DA分别相切于点 则四边形 叫做 的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形 的两组对边 与 之间的数量关系，猜想：
(横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为 相邻的三条边的比为 ，求此四边形各边的长．
22．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在 中，点I是 的内心．
(1)求作过点I且平行于 的直线，与 分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹）；(2)若 ， ， ，求 的长．23．（2023·山东·九年级专题练习）如图所示，在 中，
（1）求 .（2）求 内切圆半径.
24．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，以 为直径的半圆O交
于点D．(1)尺规作图：过点D作半圆O的切线，交 于点E；
(2)求证： ；(3)若 ， ，求半圆O的半径长．
25．（2023.山东九年级期中）探究问题：(1)阅读理解：①如图A，在 所在平面上存在一点P，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称点
P为 的费马点，此时 的值为 的费马距离．②如图B，若四边形 的四个顶点
在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边 外接圆的 上任意一点．
求证： ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 均小于
）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在 的外部以 为一边作等边 及其外接圆；
第二步：在 上任取一点 ，连接 ．易知
________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出 的费马点P，则线段______的长度即为 的费
马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的
饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的 （其中
，均小于 ），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总
长度最小，求输水管总长度的最小值．
26．（2023江苏盐城九年级月考）探究题(1)知识储备：①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费
马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移：我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图
2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为
△ABC的费马距离．(3)知识应用：①如图3所示的△ABC（其中 均小于 ），
，现取一点P，使点P到 三点的距离之和最小，求最小值；②如图4，若
三个村庄 构成Rt△ABC，其中 ．现选取一点P打水井，使P点到三
个村庄 铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．
（直接写结果）
