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专题 16 直线和圆的位置关系的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、直线和圆的位置关系
类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
类型四、切线的性质和判定的综合应用
类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
压轴专练
类型一、直线和圆的位置关系
知识点总结
1.三种位置关系：直线与圆有相离（无公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三种情
况，核心判定依据是圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d>r相离，d=r相切，d<r相交。
2.关键性质：相切时，切线垂直于过切点的半径；相交时，弦心距、半弦长与半径满足勾股定理，可关
联线段长度。
解题技巧
1.算距离判位置：求圆心到直线的距离d，与半径r比较，快速确定直线和圆的位置关系，避免凭图形
主观判断。
2.用性质解问题：相切时优先连“圆心-切点”得直角；相交时作弦心距构直角三角形，结合勾股定理
求弦长或距离，紧扣d与r的关系展开计算。
例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在 中， ，D是BC的中点．以点D为圆
心，2.5为半径作圆，则 与直线AC的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】连接 ，过 点作 于 ．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求 的长，再根据三
角形的面积计算可求点 到直线 的距离，从而求解．
【详解】解：连接 ，过 点作 于 ．
∵在 中， ， ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 与直线 的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点 到直线 的距离．
【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）在 中， ，以 为圆心，
为半径画圆，若 与边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是
解题的关键．
作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，由 ，可得以 为圆心，
为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；若 与斜边 有两个公共点，即可得出 的取值范围．
【详解】解：作 于 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，
即圆心 到 的距离 ，
∵ ，
∴以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
∴若 与斜边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
故答案为： ．【变式1-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， ，点O在 上，且 ，以点O
为圆心，r为半径画圆，若 的边 与 有两个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当 和射线 相切时，边 与 有一个公共点，此
为临界点，r取最小值；当 经过点A时，r取最大值．由此可得结论．
【详解】解：当 与 相切时，如图，
，
又∵ ，且 ，
是等腰直角三角形， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 经过点A时，如图，
此时r取最大值，最大值为4，综上可知，若 的边 与 有两个公共点，则r的取值范围 ．
故答案为： ．
【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 ，垂足为H，点P在直线b上， ，
点O在线段 上，若以点O为圆心， 长为半径的圆与直线a相交，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯
一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位
置关系是解题关键．设 ，则 ，根据圆与直线相交可得 ，再根据 求解即
可得．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵直线 ，以点 为圆心， 长为半径的圆与直线 相交，
∴ ，即 ，
解得 ，
又∵点 在线段 上，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
知识点总结
1.核心依据：切线的判定定理——经过半径外端（即切点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已
知切点时，“连半径”可直接锁定待证的垂直关系（半径与直线垂直），将切线证明转化为垂直证明。
2.关联知识：常结合直角三角形判定（如勾股定理逆定理、平行线性质、等腰三角形三线合一），通过
计算角度或线段关系，证明半径与直线的夹角为90°。
解题技巧
1.第一步必连半径：明确切点后，立即连接圆心与切点，构造出待证垂直的半径，建立“半径-直线”
的垂直关系模型，避免无方向证垂直。
2.针对性证垂直：根据已知条件选方法，若有角度关系，通过角的和差或等量代换证夹角为 90°；若有
线段长度，用勾股定理逆定理（如OA2 + AB2= OB2）证垂直，确保逻辑紧扣“半径垂直直线”。
例2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，
作 交 于点 ，延长 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 为等边三角形， ，求圆 半径的长．
【答案】(1)见详解
(2)2
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得到 ， ，等量代换得
，由平行线的判定得到 ，进而得到 ，即可证得 是 的切线；
（2）由等边三角形的性质得 ，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得
，根据勾股定理列式计算，即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助
线，证得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 为等边三角形，
，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
．
半径的长为2．
【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，点D在边上， 经过点A和点B且与 边相交于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．
（1）由 可得 为等腰三角形，再由圆的半径相等可得 为等腰三角形，即
，由 可求解 的度数，由切线定理即可证明．
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解 ，即得 为等边三角形，
再由边相等即可求解圆的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，
因为在 中， ，
所以 为等腰三角形，
又 ，
所以 ，
又因为在 中， ，
所以 为等腰三角形，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 是 的切线．（2）解：连接 ，
由（1）知 ，
所以 ，
又因为在 中， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 的半径为 ．
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径， 是弦，D是 的中点， 与
交于点E．F是 延长线上的一点，且 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)连接 ．若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，
（1）连接 ，证明 ， ，得出 ，根据 是直径，D是
的中点，得出 ，证明 即可得出结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理求出 ，根据勾股定理求出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，D是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线．
（2）设 ，则 ，在 中，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）如图，以 的边 为直径的 与边 相交于点D，
，过点D作 于点H．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， 的直径为8，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由三角形中位线定理可得 ，结合题意可得 ，即可得证；
（2）过点O作 于点E，证明 为等腰直角三角形．结合勾股定理求出 ，证明四边
形 为矩形，即可得解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图：为 的中位线，
∴ ，
，
∴ ，
为 的半径，
为 的切线；
（2）解：过点O作 于点E，如图．
，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ．【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与
性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
知识点总结
1. 核心依据：切线判定定理的逆向应用——若直线与圆有唯一公共点（隐含相切），过圆心作直线的垂
线，若垂线段长度等于半径，则直线是圆的切线。无切点时，“作垂直”可构造圆心到直线的距离，将切
线证明转化为“垂线段=半径”的证明。
2. 关联知识：需结合点到直线距离的定义，通过计算垂线段长度（如用勾股定理、面积法），与已知圆
半径比较，或证明垂线段与半径相等，完成判定。
解题技巧
1. 先作垂直再证等：无明确切点时，第一步过圆心作直线的垂线，设垂足为点（如O为圆心，垂线垂足
为P），得到垂线段OP。
2. 多法证垂线段=半径：若已知半径长度，通过计算（如直角三角形求边长）证OP等于半径；若未知半
径，通过全等三角形、等量代换等，证明OP与半径线段相等，避免直接证相切却无方向。
例3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为半径
作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．求证： 为
的切线；
【答案】见解析
【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线
的判定是解题的关键．
过点O作 于点E，根据题意证明 ，再证明 ，根据切线的判定
定理即可得到结论．
【详解】证明：过点O作 于点E，于点D，
，
，
，
，
又 为 的切线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， 是半径，
是 的切线．
【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心，
长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证： 与 相切；；(2)若正方形 的边长为 ，则 的半径 _______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的
性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．
（1）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，可证 ，得
，结合切线的判定方法即可求证；
（2）根据题意可证四边形 是正方形，设 ，则 ，在 中，
运用勾股定理可得 ，则 ，根据正方形的性质可得 ，则有
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
∵ 与 切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
又∵ 是圆的半径，
∴ 是圆的半径，且点 是半径的外端点， ，
∴ 与 相切；
（2）解：∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∵正方形 的边长为 ，即
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的半径为 ，
故答案为： ．
【变式3-2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图， 是 的切线，切点为A、B， ，
点D，C分别是 上的点， 平分 的半径是6，设 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)求y关于x的函数解析式；
(3)梯形 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）过点O作 于点E，则 ．依据切线的性质可知 ，接下来证
明 ，依据全等三角形的性质可知 ，可证得结论；
（2）过点D作 于点F，则 ．由切线长定理可得： ，则
，在 中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式；
（3）设 ，由（2）可知 ，由梯形面积公式可得 ，再求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点O作 于点E，则 ．
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ 是 的半径，
∴ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，过点D作 于点F，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由切线长定理得： ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
化简得 ；
（3）解：∵梯形 是直角梯形，则 ，
设 ，由（2）可知 ，
∴ ，
化简得 ，
解得 或 ，
∴ 长为 或 ．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性
质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是 外一个点，
是 的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段 的长称为点到 的切线长，（1）求证： ；
定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ；
【知识运用】
（2）如图②，已知 ，直线 是 的切线，切点是E，且分别交 于点 C，D，求
的周长；
【拓展运用】
（3）如图③，半径为3的 分别与 的边 相切于点D，E．已知 ，
求证： 是 的切线．
【答案】（1）过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；（2）12（3）见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理的逆定理，：
（1）根据切线长定理的内容求解即可；
（2）根据切线长定理得到 ，再根据三角形周长公式求解即可；
（3）过点O作 于F，连接 ，先证明 ，得到 是直
角三角形，且 ，再由切线的性质得到 ，根据
，求出 ，再由 ，即可证明 是 的切线．
【详解】解：（1）根据题意可得，过圆外一个点所画圆的两条切线长相等
故答案为：过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；
（2）∵ 是 的三条切线，
∴由切线长定理可得 ，
∴ 的周长
；（3）如图所示，过点O作 于F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵半径为3的 分别与 的边 相切于点D，E，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的切线．
类型四、切线的性质和判定的综合应用
知识点总结
1.核心定理：判定定理（连半径证垂直/作垂直证半径）用于证明直线是切线；性质定理（切线垂直于
过切点的半径）用于已知切线时得垂直关系，二者常结合使用，实现“证切线→得垂直”或“用垂直→
证切线”的逻辑转化。
2.关联模型：常涉及“切线+半径”构成的直角三角形，可结合勾股定理、全等三角形、圆周角定理
等，推导线段长度或角度关系，搭建切线与几何图形性质的桥梁。
解题技巧
1.辨方向定定理：先判断需求——证切线用判定定理（有切点连半径，无切点作垂直）；已知切线用性
质定理（连半径得垂直），避免定理混淆。
2.构直角破难点：无论判定还是性质，优先构造“半径-切线”的直角，将问题转化为直角三角形问
题，再结合已知条件（如边长、角度）用勾股定理或角度关系求解，确保逻辑连贯。例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是 外一点， 是 的切线，A是切点，B是 上一点，
且 ，延长 分别与 、切线 相交于C、Q两点．
(1)求证： 是 的切线；
(2) 为 边上的中线，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关
键．
（1）连接 ，先证明 ，则 ，继而求出 ，可推导出 是
的切线，即可解答；
（2）设 ，得到 ，求出 ，则 ，设 ，则 ，得到
，解得 ，则 ，即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，A是切点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ，
∴
设 的半径为r，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
，
∵ 为 边上的中线，
，
∴ ，
即 的值是 ．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图， 是 的直径， 与 相切于点 ，点 是上一点，连接 并延长交 的延长线于点 ．连接 、 相交于点 ，延长 交 于点 ．
若 平分 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 及 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的长为 ， 的长为
【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的
切线的判定与性质是解题关键．
（1）连接 ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形
的性质可得 ，从而可得 ，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理可求出
的值，由此即可得 的长；根据全等三角形的性质可得 ，设 ，则 ，
在 中，利用勾股定理可求出 的值，从而可得 的长，再在 中，利用勾股定理可求出
的长，最后根据 求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，即 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴在 中， ，即 ，
解得 ，∴ ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
综上， 的长为 ， 的长为 ．
【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的一条弦， 切 于点 ，直
线 交 于点E，交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．
①求证： ；
②若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②5【分析】（1）连接 ， ．证明 ，推出 即可解决问题．
（2）①连接 ，想办法证明 即可解决问题．
②利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接 ， ．
是 的切线，
，
，
， ， ，
，
，
，
是 的切线；
（2）①证明：连接 ．
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
即 ，
．
②解： ， ，
，
，
， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式4-3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图， 是 的直径， ， 在 上两点，连结
， ．
(1)如图1，点 是 延长线上一点， ，求证： 与 相切；
(2)如图2，点 在 上， 于点 ，连接 并延长交 于点 ，若 为 的直径，
， ，
①求证： ；
②求 半径的长．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）如图1，连接 ，根据圆周角定理得到 ，得到 ，求得
，于是得到结论；
（2）①连接 ，作 于M， 于N．证明 ， ，
，得到 ，证明 ，则 ，
进一步证明 ，即可得到结论；②设 ，利用勾股定理构建方程求出a即可解决
问题．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切；
（2）①如图2，连接 ，作 于M， 于N．∵ 于点 ，
∴
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，
勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
知识点总结
1
1.核心公式：设直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则面积S = (a + b + c)r
2
1 ab a+b−c
（适用于所有三角形），结合直角三角形面积 S = ab，可得r = ；特殊推导式：r =
2 a+b+c 2
（由勾股定理a2+ b2 = c2推导得出，仅适用于直角三角形）。
1
2.关联关系：已知周长（a + b + c）、面积（ ab）可直接求r；已知两边及斜边，用特殊式快速计算
2
r，无需先算面积。
解题技巧
a+b−c 2S
1.选公式：已知直角三角形三边，优先用r = 快速求r；已知周长和面积，用通用公式r =
2 C
计算，避免复杂运算。
2.补条件：若仅知部分边（如一直角边和斜边），先通过勾股定理求第三边，再代入公式求 r，确保所
有必要量都已知后再计算。
例5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， ， 是它的内
切圆，用剪刀沿 切线 剪一个 ，则 的周长为 ．【答案】12
【分析】设 的内切圆切三边于点 ，连接 ，由切线长定理可知 ，根
据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，得四边形 是正
方形，再求出内切圆的半径为 ，进而可得 的周长．
【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ，
由切线长定理可知 ， ， ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 是正方形，
∵ 是 的内切圆，
∴内切圆的半径 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的周长为： ．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在 中， ，则
的内切圆半径 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理等知识点，掌握三角形的内切圆的圆心到三角形的三
边距离相等是解题的关键．
由勾股定理可得 ，如图：连接 ，再根据三角形面积列方程求解即可．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为：1．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在 中， 是 的内切圆，
切点分别为 、 、 ，若 ，则 的半径为 ．【答案】1
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助
线是解题的关键．连接 ，则四边形 是矩形，故 ，由
即可求解 ，继而求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 内切于 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式5-3】（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张 纸片中， ， ，， 是它的内切圆．
（1）内切圆的半径为 ；
（2）小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为 ．
【答案】 2 20
【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接
、 、 、 、 ，先证四边形 是正方形，再证 ， ， ，
（切线长定理），再由勾股定理计算出 ，通过等量代换可得内切圆半径等于
， 的周长等于 ．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接 、 、 、 、 ，
由切线的性质得 ， ， ， ，
又 ， ，
四边形 是正方形，
．
在 和 中， ，
．
，
同理可证 ， ， ，
， ， ，．
，
即内切圆的半径为2；
， ，
，
，
即 的周长为20．
故答案为：2；20．
类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
知识点总结
1. 核心公式：对任意三角形，设周长为C（即三边和a + b + c）、面积为S、内切圆半径为r，则面积
1 2S
S = Cr，变形得r = 。该公式源于“三角形可分割为以内心为顶点、三边为底的三个小三角形，总
2 C
面积等于三个小三角形面积之和”。
2. 关联前提：需先确定三角形的面积（可通过海伦公式、底乘高、正弦定理等计算）和周长，二者缺一
不可，无法像直角三角形那样通过三边直接推导简化式。
解题技巧
1. 先求面积与周长：遇问题先明确三角形三边长度（或通过已知条件求三边），计算周长 C = a + b +
1
c；再根据已知条件选合适方法算面积S（如已知底和高用S = ah，已知三边用海伦公式）。
2
2S
2. 代入公式求半径：将算得的S和C代入r = ，直接计算内切圆半径，避免因尝试寻找简化式而浪
C
费时间。
例6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图， 是 的内切圆．
（1）若 ，则 的度数为 ．
（2）若 ，则 的半径为 ．【答案】
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长
度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由 得 ，因为 是 的内心，所以 ，
，则 即可求得．
（2）作 于点 ，利用 解得 ，再利用勾股定理解得 ， ，故
，设 的内切圆 的半径为 ， 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接
、 、 、 ，则利用 即可求出 的半径．
【详解】解：（1） ，
，
，
是 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
答案为： ．
（2）作 于点 ，则 ，
，，
即 ，
解得 ，
，
，
在 中，
．
设 的内切圆 的半径为 ， 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接 、 、
、 ，
， ， ，且 ，
，
，
，
解得： ．
故答案为： ．
【变式6-1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相
切于点D，E，F，且 ， ， ．
如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，
(1)求 的长．
(2)已知 ，求 的长．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是
解题的关键．
（1）由切线长定理可知： ， ， ，设 ，则 ，
，根据 ，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用 ，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可
求解出 的长．
【详解】（1）解：∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
， ， ，
设 ，则 ， ，
根据题意得：
解得：
， ， ，
则 的长为 ；
（2） ， ， ，
∴半周长 ，
又 ，
，
，
则 的长为 ．
【变式6-2】（（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在 中， ， 是它的内切圆，
与 ， ， 分别切于点 ， ， ．(1)若 ，则 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运
用这些性质是解题的关键．
（1）由切线的性质可得 ，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解；
（2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答．
【详解】（1）解： ， 是 的切线，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图，连接 ， ， ， ，
， ， 是 的切线，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
．，
的半径为1．
【变式6-3】（（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，
点 分别为 上的点，且 为 的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出 ，再根据内切圆的性质和切线长定理得出 ，
，再求出 ，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设 的切点为 ，根据内切圆的性质得到 ， ，推出 的周长为 ，再结
合切线长定理可得 ，再计算即可
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的内切圆，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的内切圆， 为 的切线，设切点为 ，
∴ ， ，
∴ 的周长为：∵ ， ， ，
∴
．
一、单选题
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图， 的边 经过圆心 ， 与圆相切于点 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理.连接 ，根据圆周角定理求出 ，根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质计算，
得到答案．
【详解】解：连接 ，
，
，
与圆相切于点 ，
，
，
故选：C．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知平面内有 和点A，B，若 半径为 ，线段 ， ，
则直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交， ；直线和圆相切， ；直线和圆相离， （圆的半
径为r，圆心到直线的距离为d）求解．
【详解】解：由题意知，
∵ 的半径为 ，线段 ， ，
∵点A到圆心O的距离 ，大于圆的半径 ，
∴点A在圆 的外部，
∵点B到圆心O的距离 ，等于圆的半径，
∴点B在圆 上，
∵点A在圆外，点B在圆上，
∴直线 会与圆O相交或相切．
故选：D．
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在 中， ， ，点P是 边上的一点，
设 ，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段 与 有2个交点，则x的值可能是（ ）A．2 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆的位置关系，正确作
出辅助线是解题的关键．
过点 作 ，交于点 ，连接 ，求得 的长度即可求得 的取值范围，即可解答．
【详解】解：如图，过点 作 ，交于点 ，连接 ，
，
在 中， ，
， ， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理可得 ，
，
若线段 与 有2个交点，则 ，
即 ，
，x的值可能是 ，
故选：C．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点 为 的外心，点 为 的内心，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点 为 的外心，
，则 ，故有 ，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可
求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点 为 的外心， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的内心，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图 是发动机的实物剖
面图，图 是其示意图．图 中，点 在直线 上往复运动，推动点 做圆周运动形成 ， 与 表
示曲柄连杆的两直杆，点 、 是直线 与 的交点；当点 运动到 时，点 到达 ；当点 运动到
时，点 到达 ．若 ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C．当 与 相切时， D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知 ，线段之间的关
系可以得到： ；根据线段之间的关系可求 ， ，从而可以求出 ；
根据切线的定义可知 ，利用勾股定理可以求出 ；利用勾股定理可以求出 ，
所以可得 ，根据 可得： ，所以 ．
【详解】解：A选项： 点 运动到 时，点 到达 ， ，
，
又 ，
，
，
故A选项错误；
B选项： 点 运动到 时，点 到达 ， ，
，
，
，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
， ，
，
设 ，则 ，
与 相切，
，
在 中， ，
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，故C选项正确；
D选项：如下图所示，当 时， ，
在 中， ，
，
， ，
,
故D选项错误．
故选：C．
二、填空题
6．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，
且 ， 的周长为14，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线
长定理得到 ， ， ，由 的周长为14，可求 的长．
【详解】解： 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
， ， ，的周长为14，
，
，
．
故答案为：5．
7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图， 是 的内切圆且与 ， ， 相切于点 ， ，
，若 ， ， ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形
三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解： 是 的内切圆，且与 ， ， 相切于点 ， ， ，
， ， ，
，
，
，
的周长为 ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知矩形 中， ，以点 为圆心， 为半径作
，交 的延长线于点 ，连结 ．再以点 为圆心， 为半径作 ．若 与 相交且至少有
一个交点在 内部或在 边上，设 ，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查圆与圆的位置关系以及矩形的性质，要确定两圆相交且至少有一个交点在指定三角形内或边上时 AD 的取值范围，需要考虑两圆的圆心距、半径之间的关系，通过分析不同位置情况来求解，进
而确定 (即 ) 的取值范围．
【详解】解：当交点在 点时，此时 与 相切， ，
∵ 与 相切， ， ，
∴ ，
又∵ 以 为半径，
∴ ．
此时 取得了大值为2，
即 的最大值为2；
如图 ，当交点在 边上时， ，
此时 取得了小值为 ，
即 的最小值为 ；
综上所述： ，即
故答案为： ．9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 的延长
线交直线 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、
勾股定理，连接 ，根据切线的性质可知 ，根据 ，可以求出
，根据三角形外角的性质可以求出 ，根据三角形内角和定理可证
，根据三角形外角的性质可以求出 ，从而可证 ，利用勾股定理可得：
，从而可求 的长度为 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
则 ，
与 相切于点 ，
，
，
，
是 的外角，
，
，
，
， ，
是等边三角形，， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 经过 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点
，交 于点 ，且满足 ， ，则 的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等
知识，解题的关键是熟练掌握以上性质．
过点O作 于点M， 于点N， 于点P，连接 ，由弦心距和垂径定理得出
， ，推出小 是 的内切圆，四边形 是正
方形，得 ， ， ， 是等腰直角三角形，则 ， ，设
，求出 ， ，然后在 ，由勾股定理列出一元二
次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点O作 于点M， 于点N， 于点P，连接 ，∵弦 ，
∴ ， ，
∴小 是 的内切圆，四边形 是正方形，
∴ ， ， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故答案为： ．
三、解答题11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 为 的内切圆，
．求 的半径．
【答案】3．
【分析】设 的半径为 ， 与 的三边分别相切于点 ，连接 ，易证四边形
为正方形，在 中，由勾股定理求出 ，再根据切线长定理即可求出 ．
【详解】解：设 的半径为 ， 与 的三边分别相切于点 ，连接 ，如图所示．
易得四边形 是正方形，
．
在 中，
，
．
由切线长定理，得 ，
即 ，
解得 ，
的半径为 ．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键．
12．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 为 的直径，C是 上一点， 和过点C的切线互相垂
直，垂足为D．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3.4
【分析】（1）根据切线的性质得到 ，推出 ，根据平行线的性质得到 ，根据等
腰三角形性质得到 ，最后利用等量代换，即可解题．
（2）作 于点E，证明四边形 是矩形，设 的半径为x，则 ， ，利
用勾股定理求出 ，即可解题．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
∵ 是 的切线，
，
，
，
．
，
，
，
平分 ．
（2）解：如图2，过O作 于点E，设 的半径为x，
， ，
，
由（1），可得 ，
四边形 是矩形，
， ，则 ，
，
解得 ，
的半径是 ．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质
等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题．
13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， 平分 交 于点 ，
以点 为圆心， 为半径作 交 于点 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，试求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆的切线的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
（1）过点 作 于点 ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，则可得
是 的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）过点 作 于点 ，先求出 ，再设 的半径为 ，则
， ，然后在 中，利用勾股定理可得 的值，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的半径，
又∵ ，
∴ 与 相切．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，由（1）已证： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
14．（2025·安徽池州·二模）如图，在 中，点A是弧 的中点，以 、 为邻边作平行四边形
，延长 交 于点E，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见详解(2)
【分析】本题主要考查了圆的有关知识、平行四边形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识点，熟
练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）如图：连接 交 于点 ，根据题意可得 ，进而得到 ，再根据平行四边形的
性质可得 即可证明结论；
（2）如图：连接 ，由平行四边形的性质可得 、 ，进而得到 ，根据
等腰三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ，设 的半径为 ，则
，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接 交 于点 ，
∵A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图：连接 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ 的半径为 ．
15．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段 、 与 相切，切点分别为 、 ，
， ．
(1)过点 作 的切线（在线段 的上方）与 的延长线交于点 ，切点为点 ．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）．
(2)求证： 与 相切．
(3)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接 并延长 交 于点 ，以 为圆心 为半径作弧交 于点 ，连接 ，延
长 交 的延长线于点 ；
（2）由（1）可得结论；
（3）设 的半径为 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，利用勾股定理构建方程求
解．
【详解】（1）解：如图，连接 并延长 交 于点 ，以 为圆心 为半径作弧交 于点 ，连
接 ，延长 交 的延长线于点 ，连接 、 、 ，
∴ ，
∵线段 、 与 相切，切点分别为 、 ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的直径，即点 在 上，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切于点 ，
则 即为所作；
（2）证明：由（1）知： 即 ，且点 在 上，
∴ 与 相切；
（3）解：设 的半径为 ，
过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 、 都是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思
想解决问题．
16．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在 中， 是直径， 为弦， ， 相交于点 ，直线
与 相切于点B，且 ．(1)求证：点 是 的中点．
(2)如图（2）， 是 的直径，连接 ， ，线段 上存在一点 ，满足 ，求证：
．
(3)如图（3），将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当 的面
积最大时，求 的大小 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得 ，根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接 ，可以推导得到 ，即可得到 ，进而得到 ，然后证明
，得到 ，根据等量代换得到结论即可；
（3）根据旋转可得 ，当点F到 的距离最大时， 的面积取得最大值，即 ，
即可得到旋转角的度数．
【详解】（1）证明： 直线 与 相切于点B， 为直径，
，
∵ ，
即 ，
点F是 的中点．
（2）证明：如图，连接 ，由（1）可知 ，
为直径，
，
，
．
又 ，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
面积 点F到 的距离 点 到 的距离，
当点F到 的距离最大时， 的面积取得最大值．
如图（3），分析可知，当 时，点 到 的距离最大，此时 的面积最大．，
．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切
线的性质是解题的关键．
