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专题 16 直线和圆的位置关系的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、直线和圆的位置关系
类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
类型四、切线的性质和判定的综合应用
类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
压轴专练
类型一、直线和圆的位置关系
知识点总结
1.三种位置关系：直线与圆有相离（无公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三种情
况，核心判定依据是圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d>r相离，d=r相切，d<r相交。
2.关键性质：相切时，切线垂直于过切点的半径；相交时，弦心距、半弦长与半径满足勾股定理，可关
联线段长度。
解题技巧
1.算距离判位置：求圆心到直线的距离d，与半径r比较，快速确定直线和圆的位置关系，避免凭图形
主观判断。
2.用性质解问题：相切时优先连“圆心-切点”得直角；相交时作弦心距构直角三角形，结合勾股定理
求弦长或距离，紧扣d与r的关系展开计算。
例1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在 中， ，D是BC的中点．以点D为圆
心，2.5为半径作圆，则 与直线AC的位置关系是 ．
【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）在 中， ，以 为圆心，
为半径画圆，若 与边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， ，点O在 上，且 ，以点O
为圆心，r为半径画圆，若 的边 与 有两个公共点，则r的取值范围为 ．【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 ，垂足为H，点P在直线b上， ，
点O在线段 上，若以点O为圆心， 长为半径的圆与直线a相交，则 的取值范围为 ．
类型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
知识点总结
1.核心依据：切线的判定定理——经过半径外端（即切点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已
知切点时，“连半径”可直接锁定待证的垂直关系（半径与直线垂直），将切线证明转化为垂直证明。
2.关联知识：常结合直角三角形判定（如勾股定理逆定理、平行线性质、等腰三角形三线合一），通过
计算角度或线段关系，证明半径与直线的夹角为90°。
解题技巧
1.第一步必连半径：明确切点后，立即连接圆心与切点，构造出待证垂直的半径，建立“半径-直线”
的垂直关系模型，避免无方向证垂直。
2.针对性证垂直：根据已知条件选方法，若有角度关系，通过角的和差或等量代换证夹角为 90°；若有
线段长度，用勾股定理逆定理（如OA2 + AB2= OB2）证垂直，确保逻辑紧扣“半径垂直直线”。
例2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，
作 交 于点 ，延长 交 的延长线于点 ．(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 为等边三角形， ，求圆 半径的长．
【变式2-1】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，点D在
边上， 经过点A和点B且与 边相交于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径， 是弦，D是 的中点， 与
交于点E．F是 延长线上的一点，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)连接 ．若 ，求 的长．
【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）如图，以 的边 为直径的 与边 相交于点D，
，过点D作 于点H．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， 的直径为8，求 的长．类型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
知识点总结
1. 核心依据：切线判定定理的逆向应用——若直线与圆有唯一公共点（隐含相切），过圆心作直线的垂
线，若垂线段长度等于半径，则直线是圆的切线。无切点时，“作垂直”可构造圆心到直线的距离，将切
线证明转化为“垂线段=半径”的证明。
2. 关联知识：需结合点到直线距离的定义，通过计算垂线段长度（如用勾股定理、面积法），与已知圆
半径比较，或证明垂线段与半径相等，完成判定。
解题技巧
1. 先作垂直再证等：无明确切点时，第一步过圆心作直线的垂线，设垂足为点（如O为圆心，垂线垂足
为P），得到垂线段OP。
2. 多法证垂线段=半径：若已知半径长度，通过计算（如直角三角形求边长）证OP等于半径；若未知半
径，通过全等三角形、等量代换等，证明OP与半径线段相等，避免直接证相切却无方向。
例3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为半径
作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．求证： 为
的切线；
【变式3-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心，
长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证： 与 相切；；
(2)若正方形 的边长为 ，则 的半径 _______．
【变式3-2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图， 是 的切线，切点为A、B， ，
点D，C分别是 上的点， 平分 的半径是6，设 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)梯形 的面积为 ，求 的长．
【变式3-3】（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）【课本再现】：如图①，P是 外一个点，
是 的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段 的长称为点到 的切线长，
（1）求证： ；
定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ；
【知识运用】
（2）如图②，已知 ，直线 是 的切线，切点是E，且分别交 于点 C，D，求
的周长；
【拓展运用】
（3）如图③，半径为3的 分别与 的边 相切于点D，E．已知 ，
求证： 是 的切线．
类型四、切线的性质和判定的综合应用
知识点总结
1.核心定理：判定定理（连半径证垂直/作垂直证半径）用于证明直线是切线；性质定理（切线垂直于
过切点的半径）用于已知切线时得垂直关系，二者常结合使用，实现“证切线→得垂直”或“用垂直→证切线”的逻辑转化。
2.关联模型：常涉及“切线+半径”构成的直角三角形，可结合勾股定理、全等三角形、圆周角定理
等，推导线段长度或角度关系，搭建切线与几何图形性质的桥梁。
解题技巧
1.辨方向定定理：先判断需求——证切线用判定定理（有切点连半径，无切点作垂直）；已知切线用性
质定理（连半径得垂直），避免定理混淆。
2.构直角破难点：无论判定还是性质，优先构造“半径-切线”的直角，将问题转化为直角三角形问
题，再结合已知条件（如边长、角度）用勾股定理或角度关系求解，确保逻辑连贯。
例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是 外一点， 是 的切线，A是切点，B是 上一点，
且 ，延长 分别与 、切线 相交于C、Q两点．
(1)求证： 是 的切线；
(2) 为 边上的中线，若 ，求 的值．
【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图， 是 的直径， 与 相切于点 ，点 是
上一点，连接 并延长交 的延长线于点 ．连接 、 相交于点 ，延长 交 于点 ．
若 平分 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 及 的长．
【变式4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的一条弦， 切 于点 ，直
线 交 于点E，交 于点C．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．
①求证： ；
②若 ，求 的半径．
【变式4-3】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图， 是 的直径， ， 在 上两点，连结
， ．
(1)如图1，点 是 延长线上一点， ，求证： 与 相切；
(2)如图2，点 在 上， 于点 ，连接 并延长交 于点 ，若 为 的直径，
， ，
①求证： ；
②求 半径的长．
类型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
知识点总结
1
1.核心公式：设直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则面积S = (a + b + c)r
2
1 ab a+b−c
（适用于所有三角形），结合直角三角形面积 S = ab，可得r = ；特殊推导式：r =
2 a+b+c 2
（由勾股定理a2+ b2 = c2推导得出，仅适用于直角三角形）。1
2.关联关系：已知周长（a + b + c）、面积（ ab）可直接求r；已知两边及斜边，用特殊式快速计算
2
r，无需先算面积。
解题技巧
a+b−c 2S
1.选公式：已知直角三角形三边，优先用r = 快速求r；已知周长和面积，用通用公式r =
2 C
计算，避免复杂运算。
2.补条件：若仅知部分边（如一直角边和斜边），先通过勾股定理求第三边，再代入公式求 r，确保所
有必要量都已知后再计算。
例5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， ， 是它的内
切圆，用剪刀沿 切线 剪一个 ，则 的周长为 ．
【变式5-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，在 中， ，则
的内切圆半径 ．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在 中， 是 的内切圆，
切点分别为 、 、 ，若 ，则 的半径为 ．
【变式5-3】（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张 纸片中， ， ，
， 是它的内切圆．（1）内切圆的半径为 ；
（2）小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为 ．
类型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
知识点总结
1. 核心公式：对任意三角形，设周长为C（即三边和a + b + c）、面积为S、内切圆半径为r，则面积
1 2S
S = Cr，变形得r = 。该公式源于“三角形可分割为以内心为顶点、三边为底的三个小三角形，总
2 C
面积等于三个小三角形面积之和”。
2. 关联前提：需先确定三角形的面积（可通过海伦公式、底乘高、正弦定理等计算）和周长，二者缺一
不可，无法像直角三角形那样通过三边直接推导简化式。
解题技巧
1. 先求面积与周长：遇问题先明确三角形三边长度（或通过已知条件求三边），计算周长 C = a + b +
1
c；再根据已知条件选合适方法算面积S（如已知底和高用S = ah，已知三边用海伦公式）。
2
2S
2. 代入公式求半径：将算得的S和C代入r = ，直接计算内切圆半径，避免因尝试寻找简化式而浪
C
费时间。
例6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图， 是 的内切圆．
（1）若 ，则 的度数为 ．
（2）若 ，则 的半径为 ．
【变式6-1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相
切于点D，E，F，且 ， ， ．如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，
(1)求 的长．
(2)已知 ，求 的长．
【变式6-2】（（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在 中， ， 是它的内切圆，
与 ， ， 分别切于点 ， ， ．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【变式6-3】（（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，
点 分别为 上的点，且 为 的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．一、单选题
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图， 的边 经过圆心 ， 与圆相切于点 ，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知平面内有 和点A，B，若 半径为 ，线段 ， ，
则直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．（2024·河北·模拟预测）如图，在 中， ， ，点P是 边上的一点，
设 ，以点B为圆心，x为半径画圆，若线段 与 有2个交点，则x的值可能是（ ）
A．2 B．5 C． D．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点 为 的外心，点 为 的内心，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．5．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图 是发动机的实物剖
面图，图 是其示意图．图 中，点 在直线 上往复运动，推动点 做圆周运动形成 ， 与 表
示曲柄连杆的两直杆，点 、 是直线 与 的交点；当点 运动到 时，点 到达 ；当点 运动到
时，点 到达 ．若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 与 相切时， D．当 时，
二、填空题
6．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，
且 ， 的周长为14，则 的长为 ．
7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图， 是 的内切圆且与 ， ， 相切于点 ， ，
，若 ， ， ，则 的周长为 ．
8．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知矩形 中， ，以点 为圆心， 为半径作
，交 的延长线于点 ，连结 ．再以点 为圆心， 为半径作 ．若 与 相交且至少有
一个交点在 内部或在 边上，设 ，那么k的取值范围是 ．9．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 的延长
线交直线 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则 的长度是 ．
10．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 经过 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点
，交 于点 ，且满足 ， ，则 的半径为 ．
三、解答题
11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 为 的内切圆，
．求 的半径．易得四边形 是正方形，
．
在 中，
，
．
由切线长定理，得 ，
即 ，
解得 ，
的半径为 ．
12．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 为 的直径，C是 上一点， 和过点C的切线互相垂
直，垂足为D．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径长．
13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， 平分 交 于点 ，
以点 为圆心， 为半径作 交 于点 ．(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，试求 的长．
14．（2025·安徽池州·二模）如图，在 中，点A是弧 的中点，以 、 为邻边作平行四边形
，延长 交 于点E，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ 的半径为 ．
15．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段 、 与 相切，切点分别为 、 ，
， ．
(1)过点 作 的切线（在线段 的上方）与 的延长线交于点 ，切点为点 ．（要求：尺规作图、
保留作图痕迹、不写作法）．
(2)求证： 与 相切．
(3)若 ， ，求 的半径．
16．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在 中， 是直径， 为弦， ， 相交于点 ，直线
与 相切于点B，且 ．
(1)求证：点 是 的中点．
(2)如图（2）， 是 的直径，连接 ， ，线段 上存在一点 ，满足 ，求证：
．(3)如图（3），将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当 的面
积最大时，求 的大小 ．
