文档内容
专题 17 圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用弧长公式求弧长
类型二、利用扇形面积公式求面积
类型三、不规则阴影部分周长计算
类型四、不规则阴影部分面积计算
类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算
压轴专练
类型一、利用弧长公式求弧长
弧长公式知识点与解题技巧
一、核心知识点
nπr
1.弧长公式：设扇形半径为r，圆心角为n°（角度制），弧长为l，则l = ；若圆心角为a（弧度
180
制），则l = ra。
2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180° = π弧度）。
二、解题技巧
1.找已知量：优先确定题目中给出的半径r、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。
nπr
2.选对公式：角度制用l = ，弧度制用l = ra，避免单位混淆。
180
3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心
角，再算弧长。
例1．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， ．
若 的半径为5，则弧 的长为 ．
【变式1-1】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点A，B，C依次在 上， ，
，则 的长为 ．【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）如图， 是 两条切线，切点分别为点 ，点 ，若 ，
的半径为2，则 的长度为 ．
【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图1，已知一块圆心角为 的扇形铁皮，用它作
一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是 ，则它的侧面积
是 ．（结果用 表示）
类型二、利用扇形面积公式求面积
扇形面积公式知识点与解题技巧
一、核心知识点
nπr2 1
1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径r）：S = ；弧度制（圆心角a）：S =
ar2
；也可结合
360 2
1
弧长l：S = lr。
2
2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算（180° = π弧
度）。
二、解题技巧
1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。1
2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S = lr，减少计算量。
2
例2．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形 的边长为 ，以顶点A为圆心，
长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【变式2-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）一把折扇打开后，如图，小扇形 的半径为 ，弧长为
，大扇形 的半径为 ，扇面的宽度 为 ，则扇面的面积（阴影部分）是
（结果保留 ）．
【变式2-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知
扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为 ．
【变式2-3】（2025·山东青岛·二模）如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形 ，
用来制作一把纸扇，其中 ，扇形与矩形相切于点 ， 、 在矩形的边上， 长为 ，
则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为 ．类型三、不规则阴影部分周长计算
不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧
一、核心知识点
1. 周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需
结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算）。
2. 关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图
形。
二、解题技巧
1. 分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、
圆半径）。
2. 曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应 πr，四分之一圆对
1
应 π r）。
2
3. 求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。
例3．（2025·吉林·三模）如图，在 中， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧
交 边于点 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 边于点 ，则阴影部分图形的周长为
（结果保留 ）
【变式3-1】（2025·广东江门·三模）如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而
成，中间是一个边长为 的正方形 ，两端是分别以 为直径的半圆．分别取两个半圆的中
点E，F，连接 ，则阴影部分的周长为 ．
【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三
段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原
理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图② 的边长为 ，则这个莱洛三角形
的周长为 cm．【变式3-3】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个
直径端点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留 ）
类型四、不规则阴影部分面积计算
不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧
一、核心知识点
1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方
形、三角形、扇形）的面积和或差来计算。
1 nπr2
2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形S= ah、圆S=πr2、扇形S= （角度制）。
2 360
二、解题技巧
1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。
2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复
加减。
3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。
例4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点
， 的延长线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式4-1】（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，
以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，则图中
阴影部分的面积是 ．【变式4-2】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，在平行四边形 中， ，
，以点C为圆心， 为半径作弧，交 于点E，交 于点F，则阴影部分的面积
为 ．（结果保留π）
【变式4-3】（25-26九年级上·湖北·期末）如图，扇形 中， ， ，点C为 上一
点，将扇形 沿 折叠，使点B的对应点 落在射线 上，则图中阴影部分的面积为 ．
类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算
不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧
一、核心知识点
1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函
数，再求函数最值。
2.常用工具：二次函数顶点（y=ax²+bx+c，a≠0）、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直
径最长）。
二、解题技巧
1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x），列出面积
表达式。
2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。
3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取
值范围内。例5．如图，在扇形 中 ，C为 上一点且 ，点D为半径 上一动点．若
，则阴影部分周长的最小值为 ．
【变式5-1】如图，一张直径为 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中
阴影部分面积的最小值为 ．
【变式5-2】如图，⊙O的半径为2cm，弦 ，C是弦AB所对的优弧 上一个动点，则图中
阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．
【变式5-3】如图，在扇形 中， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．
若OB=1，则阴影部分周长的最小值为 ．一、单选题
1．（2025年西藏自治区中考真题数学试卷）如图，在 中，直径 ， 是 的弦，若 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中， 、 、 、 、 是网格线交点，若
与 所在圆的圆心都为点 ，那么阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
3．（2025年江苏省盐城市中考数学试题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，
瓦片横截面如图（3）所示， 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 的长是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去
身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为 的圆形玉料，要用其刻出
一个圆周角为 的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）四边形 是平行四边形， ， ，
，以C为圆心 为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心 为半径画弧交 于点E，则阴影
部分的面积是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在圆的半径是 ．
7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图， 是半径为2的 的一条弦， ．将 绕点 逆
时针旋转，当点 的对应点 第一次落在 上时，点 运动的路径长是 ．（结果保留 ）
8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，以B为圆心，
长为半径画弧交线段 的延长线于点E，以D为圆心、 长为半径画弧交 于点F，则阴影部分
面积为 ．
9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ，以点 为圆
心， 长为半径画弧交 于点 ，交 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，
交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形 中， ，动点E、F
分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，
过点B作直线 的垂线 ，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ．
三、解答题
11．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形 内接于 ， ．连接 ，
若 且 的半径为6，求 的长．
12．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 过 的顶点 ， ，与 交于点 ，连接 ，
．
(1)求证： 是 的切线
(2)若 ， ，则 ________．（结果保留 和根号）
13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，以 的边 为直径作 ，点A在 上，点D在线
段 的延长线上， ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若直径 ，求图中阴影部分的面积．
14．（24-25九年级下·全国·期中）如图，将含 角的直角三角板 放入半圆 中， ， ， 三点恰
好在半圆 上， 是 的中点，连接 并延长交半圆 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
15．（2026·江西·模拟预测）如图， 是 的切线，点C为切点，以 为边作平行四边形 ，点
A，D均在 上，连接 ，圆心O在 上．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
