文档内容
专题 16 点和圆、直线和圆的位置关系（9 个知识点 5 种题型 4
种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.点和圆的位置关系（重点）
知识点2.圆的确定条件
知识点3.三角形的外接圆
知识点4.反证法（难点）
知识点5.直线和圆的位置关系（重点）
知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点）
知识点7.切线长及切线长定理（重点）
知识点8.三角形的内切圆
知识点9.圆和圆的位置关系（拓展）
【方法二】 实例探索法
题型1.直线与圆的位置关系的应用
题型2.切线性质的应用
题型3.切线长定理的应用
题型4.切线的判定和性质的综合应用
题型5.三角形外心、内心的应用
【方法三】 仿真实战法
考法1直线与圆的位置关系
考法2.切线的性质
考法3.切线的判定
考法4.直角三角形中的内切圆
【方法四】 成果评定法【学习目标】
1. 了解点和圆的三种位置关系的图形特征；掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系；掌握“不在同
一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆。
2. 了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明。
3. 掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法；了解割线、切线的概念；掌握切线的判定和性质，
并能灵活运用。
4. 了解并会应用切线长定理，了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
5. 体验数形结合思想和建模思想，提高解决实际问题的能力。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.点和圆的位置关系（重点）
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r ⊙
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置⇔可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例1】（20⇔23春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已⇔知 的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与 的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
知识点2.圆的确定条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【例2】（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，
过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
知识点3.三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
【例3】（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
知识点4.反证法（难点）
【例4】（2023春·九年级课时练习）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的
过程补全．
已知：在 中， ．求证： ．
证明：假设_____________________．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴知识点5.直线和圆的位置关系（重点）
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做
切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点
(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图
(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
【例5】（2022秋•宜兴市期末）已知 O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与 O的位
置关系是（ ） ⊙ ⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
知识点6.切线的判定定理和性质定理（重点）（难点）
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
（3）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（4）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（5）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
【例6】．（2023•沛县模拟）如图，AD是 O的弦，AB经过圆心O交 O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接
BD．求证：BD是 O的切线． ⊙ ⊙
⊙
【变式1】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，
且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．【变式2】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线
于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．65°
知识点7.切线长及切线长定理（重点）
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
【例7】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
知识点8.三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离
都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1) 到三角形三个顶点的距
接圆的圆心) 交点 离相等，即OA=OB=OC；(2)
外心不一定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)
内心在三角形内部.
【例8】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今
有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股
（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆
的直径长是（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
知识点9.圆和圆的位置关系（拓展）
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这
两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这
两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O 的半径为r，⊙O 半径为r， 两圆心OO 的距离为d，则：
1 1 2 2 1 2
两圆外离 d＞r+r
1 2
两圆外切 d=r+r
1 2
两圆相交 r-r＜d＜r+r (r≥r)
1 2 1 2 1 2
两圆内切 d=r-r (r＞r)
1 2 1 2
两圆内含 d＜r-r (r＞r)
1 2 1 2
要点诠释：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分
类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
【例9】设 R、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R2 r2 2Rd d 2 0 ，那么
这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【方法二】实例探索法
题型1.直线与圆的位置关系的应用
1．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？
（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，且直线 与 相切，
若 ， 分别是方程 的两个根，求 的值．
题型2.切线性质的应用
3．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 P的坐标是（4，5）， P与x轴相切，点A，B
在 P上，它们的横坐标分别是0，9．若 P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点⊙B第一次落在x轴上时，
此时⊙点A的坐标是（ ） ⊙
A．（7+2 ，9） B．（7+2.5 ，9） C．（7+2 ，8） D．（7+2.5 ，8）
4．（202π3•工业园区校级模拟）如图π ，半径为10的 Mπ经过x轴上一点C，与πy轴交于A、B点，连接
AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12． ⊙
（1）判断 M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB⊙的长．5．（2023•崇川区校级三模）如图，P为 O外一点，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，点C在 O上，
连接OA，OC，AC． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB， O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
⊙
题型3.切线长定理的应用
6.（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是 O的切线，CD切 O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．
求： ⊙ ⊙
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．7．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与 O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC
＝8cm．求： ⊙
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3） O的半径．
⊙
题型4.切线的判定和性质的综合应用
8．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC， O过B、C两点，且AB是 O的切线，连接AO交劣
弧BC于点P． ⊙ ⊙
（1）证明：AC是 O的切线；
（2）若AB＝8，A⊙P＝4，求 O的半径．
⊙9．已知AB是 O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是 O上半部分的一个动点，连接
OP，CP． ⊙ ⊙
（1）如图①，△OPC的最大面积是 ；
（2）如图②，延长PO交 O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是 O的切线．
⊙ ⊙
题型5.三角形外心、内心的应用
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形 ABCD、等边三角形 AEF内接于同一个圆，则 的度数为
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直
线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝
°．12．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为 O的直径，
则AD的值为（ ） ⊙ ⊙
A．6 B． C．3 D．
13.（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是 O的内接三角形， ，把△ABC绕点O按逆
⊙
时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为 ．
14．如图，△ABC内接于 O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若 O的半径为6，求OD的长．
⊙ ⊙15．如图， O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求 O的半径．
⊙ ⊙
16．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，
试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为
2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替
（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）
（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点， O是
△ABC的外接圆． ⊙
（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．
18．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为 12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为
．
19．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高， E， F
分别是△ACD，△BCD的内切圆，则 E与 F的面积比为 ． ⊙ ⊙
⊙ ⊙
20．（2022秋•江阴市期末）如图， O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，
则∠DGF的度数是 °． ⊙21．（2023•沭阳县一模）如图 O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝
11，若MN与 O相切与G点，与⊙AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于 ．
⊙
22．（2022春•定远县校级月考）已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝
9cm，求 O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝⊙c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
【方法三】 仿真实战法
考法1直线与圆的位置关系
1．（2023•宿迁）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动
点，则点P到直线l的最大距离是（ ⊙ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．（2023•镇江）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径
作 O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与 O总有两个公共点，则r的最小值
为 ⊙ ． ⊙
考法2.切线的性质
3．（2023•哈尔滨）如图，AB是 O的切线，A为切点，连接OA，点C在 O上，OC⊥OA，连接BC并
⊙ ⊙延长，交 O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
⊙
A．45° B．50° C．65° D．75°
4．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且
紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
考法3.切线的判定
5．（2023•攀枝花）如图，AB为 O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与 O
相切． ⊙ ⊙6．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点D，过点
D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于⊙点F．连接BD并延长交AC于点M． ⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
7．（2022•北京）如图，AB是 O的直径，CD是 O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；⊙ ⊙
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中
点，求证：直线CE为 O的切线．
⊙考法4.直角三角形中的内切圆
8．（2023•广州）如图，△ABC的内切圆 I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若 I的半径为r，
∠A＝ ，则（BF+CE﹣BC）的值和∠F⊙DE的大小分别为（ ） ⊙
α
A．2r，90°﹣ B．0，90°﹣ C．2r， D．0，
9．（2023•镇江）α《九章算术》中记载α：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有
一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直
径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用
勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：
“步”为长度单位）．
10．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆 O与AB，BC分别相切于点D，
E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ． ⊙【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•扬州校级月考）下列说法，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．等弧所对的圆心角相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．过三点可以确定一个圆
2．（2023秋•渝中区校级月考）如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于
点D，E为 O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的⊙度数是（ ） ⊙ ⊙
⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
3．（2023秋•五华区校级月考）如图， O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别
为BC，AC上的点，且DE为 O的切⊙线，则△CDE的周长为（ ）
⊙
A．9 B．7 C．11 D．8
4．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，△ABC内接于 O，直径AD＝8cm，∠B＝60°，则AC的长度为（
） ⊙
A．5cm B．4 cm C．4 cm D．6cm5．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，
AC＝3，则BD的长是（ ） ⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
6．（2023春•青山区校级月考）如图，不等边△ABC内接于 O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝
13，△ABC内切圆半径为（ ） ⊙
A．4 B． C． D．
7．（2023秋•广陵区月考）在同一平面内，点 P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半
径为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
8．（2023秋•台江区校级月考）在直角坐标系中，点P的坐标是 ， P的半径为2，下列说法
⊙
正确的是（ ）
A． P与x轴、y轴都有两个公共点
B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
9．（2⊙023秋•栖霞区校级月考）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是
△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号
是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2023秋•栖霞区校级月考）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D
的度数为（ ）
A．42° B．66° C．76° D．82°
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0）， P过
原点O，且与x轴交于另一点D，AB为 P的切线，B为切点，BC是 P的直径，则∠BCD的度⊙数为
°． ⊙ ⊙
12．（2023秋•滨海县月考）平面直角坐标系内的三个点 A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
13．（2023秋•江都区月考）已知直角△ABC的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于 ．
14．（2023秋•台江区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如果以点A为圆心，AC为
半径作 A，那么斜边AB的中点D在 A ．（填“内”、“上”或者“外”）
15．（202⊙3春•曾都区月考）如图， O⊙是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，若∠CAD＝75°，则∠B的
度数是 ． ⊙ ⊙16．（2023秋•建邺区校级月考）如图，点 P在矩形AOBC的内部， P与AO，OB都相切，且经过点
C，与BC相交于点D．若 P的半径为5，AO＝8．则OB的长是 ⊙ ．
⊙
17．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB为 O的直径，AC是 O的切线，点A是切点，连接BC交
O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AO⊙D＝ 度．⊙
⊙
18．（2023秋•江宁区校级月考）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，I为△ABC的内心，连接
OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 ⊙ ⊙ ．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•广陵区月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，点O，A，B，C在
格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 ．
（2）求 M的面积（结果保留 ）．
⊙ π20．（2023秋•邗江区月考）如图，△ABC是 O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交 O于点
D，交AB于点E，连接AD、BD． ⊙ ⊙
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．21．（2023秋•鼓楼区校级月考）已知BC是 O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是 O
的弦，∠AEC＝30°． ⊙ ⊙
（1）求证：直线AD是 O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为⊙M， O的半径为10，求AE的长．
⊙
22．（2023秋•东台市月考）如图，P为 O外一点，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，点C在 O上，
连接OA，OC，AC． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB， O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
⊙
23．（2023秋•台江区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，
E三点作 O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证⊙AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求 O的半径长．
⊙
24．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是 O的直径，PA为 O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连
接PC． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）若PA＝AB，连接BM，求证： ．
25．（2023秋•建邺区校级月考）如图，等腰△ABC内接于 O，AC的垂直平分线交边BC于点E，交 O
于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．⊙ ⊙
（1）求证：∠CAP＝ ∠B；
（2）若EB＝CP，求∠BAC的度数．26．（2023秋•五华区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D
作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）当AB＝5，B⊙C＝6时，求DE的长．
