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分层作业
13.3.1.1 三角形的内角
参考答案
已知两角求第三个角
1．C
2. (1)60°；(2)80°；
利用方程思想求解三角形内角
3.B
4.解（1）∵∠A＝1
2∠B＝1
3∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.
由三角形内角和定理，得∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
解得∠A＝30°.
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴50° + ∠𝐵+ 50° + ∠𝐵= 180°，
解得，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐶= 50° + 40° = 90°，
∴∠𝐴= 50°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 90°．
利用平行线求三角形内角度数
5.B
6.B
7.B
题型01
题型02
题型03
利用三角板求三角形内角度数
8.D
9.C
翻折问题中求三角形内角度数
10.B
11.C
12.B
利用整体思想求三角形内角度数
13. 100°
14．∠1 + ∠2 = 85°
15. 76°/76 度
三角形内角和实际应用
16.B
17.（1）解：根据题意，得∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，∠𝐸𝐵𝐶= 20°，𝐷𝐴∥𝐵𝐸．
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°．
∴∠𝐸𝐵𝐴= 180° ― ∠𝐷𝐴𝐵= 180° ― 80° = 100°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐵𝐴+ ∠𝐸𝐵𝐶= 100° + 20° = 120°．
（2）解：∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐷𝐴𝐵= 80°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵― ∠𝐷𝐴𝐶= 80° ― 60° = 20°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― 20° ― 120° = 40°．
三角形内角和综合应用
18. 80°/80 度
19.解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― ∠𝐴― ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐶𝐵𝐹= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 35°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° ― ∠𝐴= 60°，
题型04
题型05
题型06
题型07
题型08
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵― ∠𝐴𝐶𝐷= 20°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐶𝐷― ∠𝐶𝐵𝐹= 125°.
1．C
2． A
3. 40°或100°
4.30°
5.三角形三个内角为50 度、50 度、80 度或44 度、68 度、68 度或20 度、20 度、140 度．
6.（1）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐶= 180° ― 70° ― 30° = 80°，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 80° = 40°，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° ― ∠𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 180° ― 30° ― 40° = 110°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° ― ∠𝐶= 90° ― 30° = 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 60° ― 40° = 20°；
（2）解：在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐵𝐴𝐶= 180° ― ∠𝐵― ∠𝐶= 180° ― 𝛼― 𝛽，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180° ― 𝛼― 𝛽) = 90° ―
𝛼+𝛽
2 ，
在△𝐴𝐸𝐶中，由三角形内角和定理得：∠𝐴𝐸𝐶= 180° ― ∠𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= 180° ― 𝛽― 90° ― 𝛼+𝛽
2
= 90° +
𝛼―𝛽
2 ，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶= 90° ― ∠𝐶= 90° ― 𝛽，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶― ∠𝐶𝐴𝐸= (90° ― 𝛽) ― 90° ― 𝛼+𝛽
2
=
𝛼―𝛽
2 ．
7.（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 24°，
∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° ― ∠𝑃𝐵𝐶― ∠𝐵𝐶𝑃= 135°；
（2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° ― ∠𝑃𝐵𝐶― ∠𝐵𝐶𝑃
= 180° ― 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶― 1
2 ∠𝐴𝐶𝐵
= 180° ― 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 180° ― 1
2 (180° ― ∠𝐴)
= 90° + 1
2 ∠𝐴
= 90° + 1
2 × 80°
= 130°；
（3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄= 1
2∠𝐵𝐶𝑁，
∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄= 1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°，
∴1
2∠𝐴+ 1
2∠𝐴+ 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) +∠𝑄= 180°，
∴∠𝐴+ 1
2(180° ― ∠𝐴) +∠𝑄= 180°，
∴∠𝑄= 90° ― 1
2∠𝐴；
（4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄= 1
2∠𝐶𝐵𝑀，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°，
∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°，
由（3）知∠𝑄= 90° ― 1
2∠𝐴，
∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°，
∴∠𝐸= 1
2∠𝐴，
∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①∠𝑄= 3∠𝐸，
∴90° ― 1
2∠𝐴= 3 × 1
2∠𝐴，
∴2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 45°；
②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸，
∴3 × 1
2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 60°；
③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄，
∴3 90° ― 1
2 ∠𝐴= 90°，
∴270° ― 1.5∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 120°，
④∠𝐸= 3∠𝑄，
∴3 90° ― 1
2 ∠𝐴= 1
2∠𝐴，
解之得：∠𝐴= 135°，
综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°．
1．A
2． 15°或65°
3． 80°
4．（1）解：（1）在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 60°，∠𝐷= 20°，
则∠𝐹= 180° ― ∠𝐸― ∠𝐷= 100°，
∴∠𝐹最大，∠𝐷最小，且∠𝐹= 5∠𝐷，
∴△𝐷𝐸𝐹为“5 倍角三角形”，
故答案为：100°，5；
（2）①解：∵∠𝐶= 44°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180° ― 44° = 136°，
∵∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐵= 1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐵𝐴= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴= 1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 1
2 × 136° = 68°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° ― (∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐵𝐴) = 180° ― 68° = 112°，
②∵△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷或∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷，
当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐴𝐵𝐷时，∠𝐴𝐵𝐷= 28°，
当∠𝐴𝐷𝐵= 4∠𝐵𝐴𝐷时，∠𝐵𝐴𝐷= 28°，则∠𝐴𝐵𝐷= 180° ― 112° ― 28° = 40°，
综上所述，∠𝐴𝐵𝐷的度数为28°或40°．
1．C
2．B
3．直角
