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学科网（北京）股份有限公司 1 29.1.1 圆的有关概念 （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第二十九章圆，第29.1.1节“圆的有关概念”.主要内容包括： 圆的动 态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.圆的静 态定义：到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形.点与圆的位置关系.圆的相关概念： 圆心、半径、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、半圆、等圆、等弧. 2. 内容解析 本节课是是“圆”这一章的起始课，是学生学习圆的性质、圆与直线、圆与圆位置关系的基础.它是在学生 学习了三角形、四边形等直线型图形和基本的尺规作图后，引入的第一个曲线型图形。教学的核心是从学 生熟悉的“车轮”、“套圈游戏”等生活经验出发，用数学的眼光观察世界，抽象出圆的本质属性.“圆的 有关概念”是构建整个圆的知识体系的基石。对“集合”定义的渗透，为后续学习圆的对称性、圆周角定 理等提供了逻辑起点.准确辨析直径与弦、优弧与劣弧等概念，是后续进行几何推理和计算的前提. 基于以上分析，本节课的教学重点是圆的两种定义及其相关概念（圆心、半径、弦、直径、弧）的理解与 掌握. 1. 教学目标 （1）理解圆的概念：能从动态（旋转）和静态（集合）两个角度描述圆的定义，明确圆心的确定作 用，明确平面内的点与圆的位置关系. （2）掌握相关概念：能准确识别并用自己的语言描述弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等 弧. （3）发展核心素养：在探索概念的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的思想，发展抽 象能力和几何直观.通过“车轮为什么是圆的”等实际问题，增强应用意识. 2.目标解析 目标1 对应内容分析中的“承上启下”地位。要求学生在理解“旋转”过程的动态美和“集合”观点的逻 辑美中，达成对圆本质的深度理解. 目标2 对应后续学习的基础.要求学生在图形中准确地指认、辨析易混概念，为几何证明和计算提供准确的 语言工具. 目标3 对应课程思政与核心素养.通过“一中同长”的几何特征（到定点距离等于定长）的探究，培养学生 的数学抽象和模型观念. 学生已具备丰富的几何图形认知经验，能进行简单的尺规作图，且对“距离”的概念较为熟悉.对圆形物体 有充分的生活体验，但尚上升到数学定义的高度.学习障碍：定义理解片面化：容易只记住“圆是曲线”， 而忽略“到定点的距离等于定长”这一本质属性.概念混淆：“弧”与“曲线”混为一谈；“直径”常被误 认为仅仅是线段而非特殊的弦；“等弧”容易与“长度相等的弧”划等号（忽略弯曲程度/度数）.符号书 写不规范：在表示弧时，容易漏写“⌒”. 学科网（北京）股份有限公司 2 基于以上分析，确定本节课的教学难点是圆的集合定义的理解，以及“等弧”与“等弦”的区别（等弧必 须完全重合，即长度和度数都相等）. 创设情景，引入新课 复习提问： 情境创设：展示图片（摩天轮、奥运五环、水滴涟漪、圆形古建筑）. 问题1：同学们，在这些图片中，你看到了什么共同的图形？ 问题2（核心追问）：为什么这些建筑、物品都设计成圆形？圆形到底有什么独特的数学性质，让它在生活 中无处不在？ 活动：让学生拿出准备好的棉线和图钉.尝试用图钉固定住棉线一端，另一端系上粉笔头，在纸上画一个圆。 追问：在画的过程中，什么变了？什么没变？ （设计意图：激趣导入：从生活实物抽象出数学图形，感受数学源于生活.操作感知：通过动手画圆，直观 感受“定点”和“定长”的存在，为引出圆的动态定义做铺垫.引发冲突：“为什么是圆的？”这个问题驱 动学生带着思考进入新课.) 探究点1 圆的定义 操作观察：如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 归纳圆的动态定义：如图29.1-3，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所 形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”. 辨析：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.强调“圆心定位置，半径定大小”. 问题：抛开运动的过程，圆上的所有点有什么共同特征？ 从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 归纳圆的静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. （设计意图：从“运动”到“静止”的抽象，是思维的飞跃.此处渗透“集合”思想，为高中学习轨迹概念 奠基，同时精准揭示圆的本质属性.） 探究点2 平面内的点与圆的位置关系 观察：图29.1-2画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成几部分，相应地，平面内的点与圆有几种位置关 系？ 可以发现，平面被圆分成三部分，相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在 圆内（如图）. 学科网（北京）股份有限公司 3 追问：点和圆的位置关系如何刻画？请讨论归纳. 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内，设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外 d>r; 点P在圆上 d=r; 点P在圆内 d<r. 教师强调：符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出 左端. （设计意图：从“具体”到“一般”精准揭示点与圆的三种位置关系.） 探究点3：圆的元素 弦与直径 图形展示：在⊙O上画一条线段AB，连接圆上任意两点的线段叫做弦. 特殊化：移动点B，使线段AB经过圆心O.此时线段AB叫做直径. 辨析：直径是弦，但弦不一定是直径. 直径是圆内最长的弦（可通过测量或勾股定理说明）. 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.记作“⌒”. 分类：1. 半圆：直径AB把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 2. 劣弧：小于半圆的弧（通常用两个字母表示，如AC ）. 3. 优弧：大于半圆的弧（通常用三个字母表示，如 ABC ）. 辨析：半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 半圆是特殊的弧，弧不一定是半圆. （设计意图：运用“从一般到特殊”的数学方法，帮助学生理清从属关系，突破易错点.） 探究点4：等圆与等弧 等圆定义：能够完全重合的两个圆（半径相等） 强调：“位置无所谓，大小必须一样”. 等弧定义：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 强调：仅仅长度相等的弧不一定是等弧（举例：半径1cm的90°弧与半径2cm的45°弧长度可能相等，但弯 曲程度不同，不能重合）. （设计意图：通过对比和反例，击破“等弧就是长度相等”的思维定势，培养严谨的数学态度.） 典型例题 例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点0为圆心的同一个圆上. 【分析】根据点和圆的位置关系，只要证明A，B，C，D四个点到点0的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 4 【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC= 1 2AC，OB=OD== 1 2BD，AC=BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 例2.已知：如图，在 O 中，AB 是直径，CD为不是直径的弦，求证：AB 是 O 中最长的弦． 【分析】连接OC ，OD ，利用三角形三边关系可得OC OD CD + ，而AB OA OB OC OD = + = + ，则可证 明AB CD ，即AB 是 O 中最长的弦． 【详解】证明：如图，连接OC ，OD ， OA、OC 、OB 、OD 是圆的半径， OA OB OC OD = = = ． AB 是圆的直径， AB OA OB OC OD = + = + ． OC 、OD 、CD是三角形的三边， OC OD CD + ． 即AB CD ． AB 是 O 中最长的弦． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P116课堂练习. 学科网（北京）股份有限公司 5 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.设 3cm AB = ，画图说明：到点A的距离小于2cm ，且到点B的距离大于2cm 的所有点组成的图形． 【详解】解：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边 界）． （设计意图：强化对圆的基本认识） 1.（2026·全国·九年级专题练习）如图，线段AB 过圆心O，点A，B，C，D均在 O 上，请指出哪些是直 径、半径、弦，并把它们表示出来． 【详解】解：直径有：直径AB ； 半径有：OA OB OC 、 、 ； 弦有：弦CD、弦AB ． 2．（2026下·全国·九年级专题练习）如图，线段AB 过圆心O，点A，B，C，D均在 O 上，请指出哪些是 直径、半径、弦，并把它们表示出来． 【详解】解：直径有：直径AB ； 半径有：OA OB OC 、 、 ； 弦有：弦CD、弦AB ． 3．（2026.淮南检测）体育老师想利用一根3m 长的绳子在操场上画一个半径为3m 的圆，你能帮他想想办 学科网（北京）股份有限公司 6 法吗？ 【详解】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的 路径就是所要画的圆． 4． （2026.吉安单元测试）在直角坐标平面内，O 的半径是5，圆心 O 的坐标为( ) 1 4 − − ， ，试判断点( ) 3 1 P − ， 与 O 的位置关系． 【详解】解： ( ) ( ) 2 2 1 3 4 1 16 9 5 OP = −− + −+ = + = ， 因为半径为5， 所以点P 在 O 上． （ 设计意图：在学习完知识后加入等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学 习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：一个图形：圆（动态、静态定义，点与圆的位置关系）. 两个元素：弦（直径是特殊的弦）、 弧（优弧、劣弧、半圆）. 两个关系：等圆（半径相等）、等弧（必须能重合）. 思想方法：数形结合、从特殊到一般、集合观点. 易错提醒：直径是弦，但弦不一定是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆.等弧强调在同圆或等圆中，长度 相等只是前提，必须弯曲程度（度数）也相同. （设计意图：结构化板书知识，帮助学生构建知识体系；明确数学思想，提升学科素养；针对学情弱点， 精准敲响警钟.） 必做题：习题29.1第1、2、4题. 探究性作业：习题29.1第3题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 29.1.1 圆的有关概念 一、圆的定义 二、点和圆的位置关系 三、圆的元素 四、等圆 等弧 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 7
