文档文本内容
13.3.2 三角形的外角（教学设计）
年级
八年级
学科
数学
课时数
1 课时
教师
课题
13.3.2 三角形的外角
知识与技
能
1. 理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。
2. 掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。
过程与方
法
经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，通过几何推导证明三角形外角定
理，体会转化思想（将外角转化为内角）和逻辑推理的方法。
教学
目标
情感态度
价值观
在探索几何图形性质的过程中，培养严谨的数学思维和合作交流意识，感受
几何证明的逻辑美。
教材
分析
本节课选自人教版《数学》八年级上册第十三章“三角形的外角”。它是三角形内角和定
理的直接推论和重要延伸。三角形外角定理不仅是本章的核心知识点之一，更是后续学习
多边形内角和公式、多边形外角和及四边形性质的重要基础，具有较强的工具性。新教材
在处理本节内容时，采用了“观察图形—形成概念—度量猜想—推理论证—模型应用”的
探究路径。特别是通过“燕尾模型”和“角平分线模型”的初步渗透，旨在引导学生体会
几何图形中“未知转已知”（将外角转化为内角）的化归思想，培养初步的演绎推理能
力。通过对三角形外角性质的证明与应用，可以帮助学生建立几何直观，发展几何直观和
逻辑推理的核心素养，体会数学内部知识之间的内在联系与和谐统一。
学情
分析
八年级学生在小学阶段已经直观认识了三角形，在本册书的前几章中已经系统学习了三角
形的概念、边、重要线段以及三角形的内角和定理，同时也掌握了邻补角、对顶角、平行线
性质等预备知识。此外，他们对动态几何（如延长边形成新角）有好奇心，大部分学生具备
一定的观察、猜想和简单说理能力。学生虽然能猜出“外角等于两内角和”，但在书写证明
过程时，不知道如何利用平角定义和内角和定理进行等量代换，逻辑链条不完整。面对复杂
的几何综合图形时，难以快速剥离出基本图形并识别对应的外角与不相邻内角。基于以上学
情，教学中应坚持“先直观后抽象、先辨析后应用”的原则，通过高频次的辨析题（判断题）
澄清误区，通过教师示范板书规范推理格式，通过变式图形训练提升识图能力
教学
重点
三角形外角的概念及三角形外角的性质。
教学
难点
1. 准确理解“不相邻”的含义；
2. 运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。
教学
器材
三角板、量角器、多媒体PPT（含燕尾模型、角平分线模型和1 个视频）
教学过程
教师活动
学生活动
情景导入
观看视频《初识外角》
提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我
们一起去探究一下内角与外角之间的奥秘吧
【设计意图】通过动画演示，激发求知欲，自然引出概念。
观看视频
新知探究
一、三角形的外角
1. 定义建构：结合PPT 演示，明确三角形外角的定义——三角形的一边与另一边的延
长线组成的角。
2. 辨析条件：强调构成外角的三个要素：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③角的另一边是三角形中一边的延长线.
3. 数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6 个外角，每个顶点处有2 个对
顶角相等的外角。
思考：问1.延长线段AC至E，以点C为顶点新增的角有哪些？
∠BCE和∠DCE
问2.这两个新增角是∆ABC的外角吗？为什么？
∠BCE是∆ABC的一个外角，
因为∠BCE是边BC与AC延长线所组成的角
∠DCE不是∆ABC的一个外角，
因为∠DCE是边BC的延长线与AC延长线所组成的角
在草稿本
上画出一
个三角形
并画出它
的所有外
角。
同桌互相
检查，判
断所画的
角是否符
合外角定
义。
问3.由上可知，以C为顶点的∆ABC的外角有几个？
有2 个
问4.以C为顶点的∆ABC的外角∠ACD和外角∠BCE之间有什么关系？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
问5.你还能画出∆ABC的其他外角吗？
结论
（1）每一个三角形都有6 个外角．
（2）每一个顶点相对应的外角都有2 个，且这2 个角为对顶角.
【针训一】
1.下图中∠1是三角形一个外角的是（ D ）
2．如图，下列说法错误的是(C)
A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角
B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角
C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个内角
D．∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角
二、 三角形的外角的性质
问6. △ABC的外角∠ACD与其相邻的
内角∠ACB有什么关系？
互补, ∠ACD+∠ACB=180°
问7. △ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
猜想：∠ACD= ∠A+∠B
你能证明这个的结论吗？
学生口答
动手测量，
记录数据，
提出猜想。
尝试写出
推导过程：
如图，在∆ABC中，∠ACD为∆ABC的外角
求证：∠ACD=∠A+∠B
法一、证明：∵∠ACD+ ∠ACB=180°
∴∠ACD =180 °－∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
∴∠A+ ∠B =180 °－∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
法二、证明：过C作CE//AB
∵CE//AB
∴∠1=∠B ，∠2=∠A
∴∠1+∠2=∠A+∠B
即∠ACD=∠A+∠B
三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
几何语言
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角.
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
问8. ∠ACD与∠A或∠B有怎样的数量(大小)
关系？
∵∠ACD=∠A+∠B
∴∠ACD>∠A, ∴∠ACD>∠B,
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
独立思考，
举手抢答。
重点说明
错误原因
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
针训二、
1.判断题：
(1)一个三角形有三个外角。（ × ）
(2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（ √ ）
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（ × ）
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ √ ）
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（ × ）
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ √ ）
2.如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大
小关系是（ A ）
A．∠1<∠2<∠3
B．∠3<∠1<∠2
C．∠3<∠2<∠1
D．∠2<∠1<∠3
3.如图，根据图形回答问题
(1)∠1=__∠DAC_____+___∠ACD ______
(2)∠2=___ ∠3____+____ ∠4_____
(3)∠2___>____ ∠3
4.求下列各图中∠α的度数
典例分析
例1.如图，已知△ABC的角平分线为AD，若∠B=50°，∠C=30°，求∠ADB的度数．
解：在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−50°−30°=100°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=1
2∠BAC=1
2×100°=50°.
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+50°=80°
例2.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD与CE的交
点，求∠BHC的度数．
解：∵BD是高，
∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵CE是高，
∴∠CEB＝90°.
∴∠BHC＝∠ABD＋∠CEB＝30°＋90°＝120°
例3.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3).
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
归纳总结
三角形的外角和为360°
学生先行
思考，再
由老师讲
解，规范
学生答题
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
【设计意图】观察图形特点，初步感知几何模型对快速解题的帮助。
变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延
长线于点E，点F 为AC延长线上的一点，连接DF．
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F=20°，求证：BE//DF．
解（1） ：∵∠ACB=90°，∠A=50°，∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠ACB+∠A=140°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=1
2∠CBD=70°．
证明（2） ：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°−90°=90°，
∵∠CBE=70°，
∴∠CEB=90°−∠CBE=20°，
∵∠F=20°，
∴∠CEB=∠F，
∴BE//DF．
2.AB和AC相交于点A， BO和CO相交于点O，
(1)已知∠B=10°，∠C=20°,∠B0C=110°，求∠A的度数.
(2)探究∠BOC与∠B、∠C、∠A的关系．
模仿例题
进行解
题，注意
几何语言
的规范
性。
解：【方法一】延长BO交AC于点D.
∵∠BOC=∠ODC+∠C,
∴∠ODC=∠BOC−∠C=90°。
又∵∠ODC=∠A+∠B，
∴∠A=∠ODC−∠B=80°
【方法二】如图，连接BC.
在△BOC中，根据三角形内角和求出∠1+∠2=70°.
再由∠ABO=10°，∠ACO=20°
求出∠ABC+∠ACB=100°，
从而得到∠A=180°−100°=80°.
【方法三】如图，连接A0并延长至点D.
易得∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C，
故∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
再由∠B0C=110°，∠B=10°，∠C=20°
得出∠A=80°
解(2)如图，连接A0并延长至点D.
易得∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C，
∵∠BOC=∠BOD+∠COD.
∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
归纳总结
(1)燕尾模型结论∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)通过添加辅助线将问题转化为三角形内角和三角形外角的问题是解决此类问题的常用
方法，体现了数学的转化思想
3.(1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A=80°，则∠P=
____130________°；
(2)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．请探索∠A与∠P之间的数量关
系
(3)如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，请探索∠A与∠M之间的数量关系
(4)如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
解(2)如图①，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABP=∠CBP=1
2∠ABC，
∠ACP=∠BCP=1
2∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°−1
2(∠ABC+∠ACB)=90°+1
2∠A；
解(3)如图②，∵BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，
∴∠CBM=∠ABM=1
2∠ABC，
∠DCM=∠ACM=1
2∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCM=∠M+∠CBM，
课
堂
1.如图,在△ABC中,点D在CB的延长线上,∠A＝70°,∠ABD＝120°，则∠C等于(B)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐹为𝐵𝐶延长线上的一点,若∠𝐴= 70°,∠
𝐴𝐶𝐹= 140°， 𝐷𝐸//𝐵𝐹，则∠𝐴𝐸𝐷= 40° ．
∴2∠DCM=∠ACD=∠A+2∠CBM=2(∠M+∠CBM)，
整理得，∠A=2∠M；
解(4) ：∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∴∠CBN=∠EBN=1
2∠CBE,∠BCN=∠FCN=1
2∠BCF，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠CBE+∠BCF=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−(∠ABC+∠ACB)=180°+∠A，
∴∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)=180°−1
2(∠CBE+∠BCF)=90°−1
2∠A，
∴∠N=90°−1
2∠A；
归纳总结：三角形角平分线模型
【设计意图】由单一知识点应用过渡到综合图形识别，提升识图能力和解题技巧。
练
习
3．如图，点𝐷，𝐸分别在线段𝐵𝐶，𝐴𝐶上，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸.若∠𝐴＝35°，∠𝐵＝25°，∠𝐶＝50°，
则∠1的大小为_70°___．
4.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB 的度数是__ 105°______
5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝30°，∠𝐴𝐶𝐵＝80°，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶的延
长线于点𝐸.求∠𝐶𝐵𝐸和∠𝐸的度数．
解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝30°，∠𝐴𝐶𝐵＝80°，
∴∠𝐶𝐵𝐷＝∠𝐴＋∠𝐴𝐶𝐵＝ 110°.
∵𝐵𝐸是∠𝐶𝐵𝐷的平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐸＝1
2∠𝐶𝐵𝐷＝55°.
∵∠𝐴𝐶𝐵＝80°，
∴∠𝐸＝∠𝐴𝐶𝐵－∠𝐶𝐵𝐸＝80°－55°＝ 25°.
6.如图，已知𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上一点，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，∠𝐴＝35°，∠𝐴𝐶𝐷＝83°.
(1)求∠𝐵的度数；
(2)若∠𝐷＝42°，求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
解：(1)∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，∠𝐴＝35°，∠𝐴𝐶𝐷＝83°，∴∠𝐵＝∠𝐴𝐶𝐷－∠𝐴＝48°.
(2)∵∠𝐴𝐹𝐸是△𝐵𝐷F 的一个外角，∠𝐵＝48°，∠𝐷＝42°，
∴∠𝐴𝐹𝐷＝∠𝐵＋∠𝐷＝48°＋42°＝90°.
板
书
设
计
13.3.2 三角形的外角
一、定义：
二、性质：
三、例1：
一边与另一边延长线组成
1. ∠ACD + ∠ACB = 180°
例2：
2. ∠ACD = ∠A + ∠B
（等于不相邻两内角和）
3.∠ACD > ∠A, ∠ACD > ∠B
（大于任一不相邻内角）
课
堂
小
结
13.3.2 三角形的外角
作
业
必做：教材P3 练习1、2；P4 练习3、4。
选做：思考PPT 中提到的“三角形外角定理”在五角星角度求和中的应用
