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专题26 三角形的内外心结合
1．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ）
A．6π B．3π C．π D．2π
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的
切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝ BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝
1，再根据S ＝S ﹣S 即可得结论．
圆环 外接圆 内切圆
【详解】解：如图，
∵等边三角形ABC的周长为6，
∴BC＝2，
设点D为BC边与内切圆的切点，
连接AD，则AD⊥BC，
∴BD＝DC＝ BC＝1，
在Rt BOD中，根据勾股定理，得
OB2﹣△OD2＝BD2＝1，
∴S ＝S ﹣S
圆环 外接圆 内切圆
＝OB2π﹣OD2π
＝BD2π
＝π．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关
键．
2．如图，扇形AOD中， ， ，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），
于Q，点I为 的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-
（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD
为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在
优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O= ．
【详解】解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°- （∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°- （∠HOP+∠OPH）=180°- （180°-90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，∴∠DP′O=180°-135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′= ，
∴r的值为 ，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答
此题的关键．
3．如图， 、 分别为 的垂心、外心， ，若 外接圆的半径为2，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图（见解析），连接BO，并延长交圆O于点D，连接AD、CD、CH，先根据三角形
垂心的定义可得 ，再根据圆周角定理可得 ，然后根据平
行线的判定可得 ，从而可得四边形 是平行四边形，又根据平行四边形的
性质可得 ，由圆周角定理可得 ，最后根据等腰直角三角形的性质即可得．
【详解】如图，连接BO，并延长交圆O于点D，连接AD、CD、CH
由三角形外心的定义得，点O为 外接圆的圆心
BD为 外接圆的直径，且
，即
由三角形垂心的定义得，
四边形 是平行四边形
是等腰直角三角形
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形垂心、外心的定义、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、等腰直
角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造一个平行四边形是解题关键．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是 ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，
则∠CDE的度数为（ ） △
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C【分析】由点I是 ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣
（∠BAC+∠ACB）△=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】解：∵点I是 ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠A△CB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接
四边形的性质．
5．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为____________．
【答案】
【分析】先说明三角形三边是直角三角形，再根据直角三角形可确定三角形的外心在斜边的中点
和直角三角形内切圆半径公式确定内切圆的半径，然后用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图：∵三角形的三边长为BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm
∴三角形为直角三角形
∴直角三角形的外心是斜边的中点，即AD=BD= AB=5
由直角三角形内切圆半径公式： 即OE=2
∵OF⊥BC，OG⊥AC
∴CF=CG=OF=OG=2，
∴BE=FB=4，BD=5
∴DE=BD-BE=1
在Rt ODE中，DE=1，OE=2
△
∴OD= ．
故答案为 ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形外心与内心有关知识，根据直角三角形的性质确
定直角三角形的内心和外心是解答本题的关键．
6．如图， 是 的内心， 的延长线与 的外接圆相交于点 ，与 交于点 ，连接
、 、 、 ．下列说法：① ，② ，③ ；
④点 是 的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）
【答案】①③④
【分析】利用三角形内心的性质得到 ，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三
角形内心的性质可对②进行判断；利用 ， 和三角形内角和定理得
，可对③判断；通过证明 ，可得 ，在证明 ，
可对④进行判断．
【详解】∵ 是 的内心，
∴AD平分 ，即 ，
∴ 绕点A顺时针旋转一定的角度一定能和 重合，
∴①正确；
∵ 是 的内心，
∴点I到三角形三边距离相等，
∴②错误；∵BI平分 ，CI平分 ，
∴ ， ，
∵
∴③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，即点 是 的外心，
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三
角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键．
7．如图， 中， ， 边上有一点P（不与点 重合），I为
的内心，若 的取值范围为 ，则 _______．
【答案】
【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用三角形内角和定理及角平分线定
义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．
【详解】设 ，则 ，
则 ，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，角平分线定义等，熟练掌握内
心的性质是解题的关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分
∠ACB交⊙O于点D，点 I是 ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置△的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为 ；
④AC BC= CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】②④
【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；
②连接IB，根据点I是 ABC的内心，得到 ，可以证得 ，即有
△，可以判断②正确；
③当OI最小时， 经过圆心O，作 ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出
，可判断③错误；
④用反证法证明即可．
【详解】解： 平分 ，AB是⊙O的直径，
，
，
是 的直径，
是半圆的中点，即点 是定点；
故①错误；
如图示，连接IB，
∵点I是 ABC的内心，
∴ △
又∵ ，
∴
即有
∴ ，
故②正确；
如图示，当OI最小时， 经过圆心O，
过I点，作 ，交 于 点∵点I是△ABC的内心， 经过圆心O，
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解之得： ，
即： ，
故③错误；
假设 ，
∵点C是半圆AB上一动点，
则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足 ，
如图示，
当 经过圆心O时， ， ，∴
与假设矛盾，故假设不成立，
∴
故④正确；
综上所述，正确的是②④，
故答案是：②④
【点睛】此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆
有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
9．若 ABC的三边长为3、4、5，则 ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为___．
△ △
【答案】
【分析】先证明 ABC为直角三角形，然后可知外接圆的半径为斜边的一半，然后求出内切圆的
半径，即可得到△答案．
【详解】解：如图所示：连接DF，EF．
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．
∴它的外接圆的半径为： ．
∵AB是圆的切线，DF是圆的半径，
∴DF⊥AB．
同理EF⊥BC．
∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．
∴四边形DBEF是矩形．
∵DF=EF，
∴四边形DBEF是正方形．
∴DB=BE．设圆F的半径为r，则4-r+3-r=5．
解得：r=1．
∴它的内切圆的半径为1．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆，利用切线长定理列出方程是解题的关键．
10．如图，在五边形 中， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数；
（3）如果 的外心与 的内心重合，请直接写出 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）80°；（3）
【分析】（1）根据 ， ，可得 ，进而运用
即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到 的度数．
（3）根据圆 是 的外心，圆 是 的内心，并且 与 重合， 是等边三角形，
得到圆 是四边形 的外接圆，利用圆周角的性质求解即可．
【详解】证明：（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中，，
∴
解：（2）当 时， ，
又∵ ，
∴五边形 中， ．
（3）如图示，圆 是 的外心，圆 是 的内心，并且 与 重合，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴圆 是 的外心，
则圆 是四边形 的外接圆，
∵ 是等边三角形，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的性质和应用，多边形内
角和，圆周角的性质和应用，熟悉相关性质是解题的关键．
11．如图所示， 为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交 于D，点M为△ABC
的内心，DM= ，AB=8，求OM的长.【答案】 .
【分析】作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，连结MC、DC、BD，根据内心的性质
得∠ACM=∠BCM，MF=ME=MH，根据BC为直径可得到∠BAC=90°，∠BDC=90°，而AD平分
∠BAC，则∠BAD=∠CAD= ∠BAC=45°，再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是
可判断 BDC为等腰直角三角形，则BC= DC，然后利用三角形外角性质可证明
△
∠DMC=∠DCM，得到DC=DM，可得BC= DM=10，利用勾股定理可求出AC的长，由内心的
性质可证明四边形AHME是正方形，根据切线长定理可求出AE的长，即MF的长，利用切线长
定理可求出CF的长，进而可得OF的长，利用勾股定理求出OM的长即可.
【详解】作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，连结MC、DC、BD，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∵M为 ABC的内心，
△
∴∠ACM=∠BCM，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=45°，
∵∠DBC=∠DAC，∠BCD=∠BAD，
∴∠DBC=∠BCD=45°
∴ BDC为等腰直角三角形，
∵△∠DMC=∠ACM+∠CAD，∠DCM=∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC=∠DCM，
∴CD=DM= ，
∴BC= CD= × =10，
∴AC= =6，
∵MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，M为内心，
∴MF、ME、MH为内切圆半径，MF=ME=MH，F、E、H为切点，
∴四边形AHME是正方形，
∴AE=ME=MF，∵AB、AC、BC是切线，
∴AH=AE，BH=BF，CE=CF，
∴BC=CF+BF=AC-AE+AB-AH，
∴6-AE+8-AE=10，
解得：AE=2，MF=AE=2，
∴CF=CE=AC-AE=6-2=4，
∴OF=OC-CF= BC-CF=5-4=1，
∴OM= = = .
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角
形的内切圆的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心就是三角形三个内角的角平分线的交点，也
考查了圆周角定理和勾股定理．熟练掌握内心的性质并正确作出辅助线是解题关键.
12．如图所示，AB为 直径，点D在 上，且AD=2BD，I为 ABD的内心，连结DI并延长，
交 于N，猜想NI和BD的数量关系，并证明. △
【答案】 ，见解析.
【分析】连接AN、BN、AI，设BD=x，可得AD=2x，利用勾股定理可得AB= x，由AB是直
径可得∠ADB=90°，∠ANB=90°，由内心的性质可得∠ADN=∠BDN=45°，∠DAI=∠BAI，利用
圆周角定理可得∠BAN=∠BDN=45°，即可证明 ANB是等腰直角三角形，根据外角性质及圆周
△
角定理可得∠NAI=∠AIN，即可证明AN=NI，在Rt ANB中可得AB= AN，即可得答案.
△【详解】 ，证明如下：
连接AN、BN、AI，设BD=x，
∵AD=2BD，
∴AD=2x，
∵AB是直径，∠ANB和∠ADB是AB所对的圆周角，
∴∠ADB=90°，∠ANB=90°，
∴AB= = x，
∵I为 ABD的内心，
∴∠A△DN=∠BDN=45°，∠DAI=∠BAI，
∵∠BAN=∠BDN，
∴∠BAN=∠ADN，
∵∠AIN=∠ADN+∠DAI，∠NAI=∠BAN+∠BAI，
∴∠NAI=∠AIN，
∴AN=NI，
∵∠NAB=∠BDN=45°，∠ANB=90°，
∴△ANB是等腰直角三角形，
∴AB= AN，
∴AN= x× = x，
∴NI=AN= BD.
【点睛】本题考查三角形内心的性质，圆周角定理及勾股定理，三角形的内心就是三角形三个内
角角平分线的交点；直径所对的圆周角等于90°；熟练掌握内心的性质是解题关键.
13．在△ABC中，∠A=120°，BC=6，，若△ABC的内切圆的半径为R，求R的最大值.【答案】 的最大值为
【分析】作 外接圆 ，设 的内切圆的圆心为 ，连结 并延长交 于 ，连结
BE、BD、CD，过E作EF⊥AB，垂足为F，作直径BG，连结CG，根据内心的定义可得
∠DAB=∠DAC=60°，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DCB=∠DAB=60°，即可证明 BDC是等边
△
三角形，在Rt AEF中，根据∠FAE的正弦值可得AE= R，根据圆周角定理可得
△
∠BCG=90°，可得BG的长，根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠DBE =∠DEB，即可得
BD=ED，由圆中直径是最长的弦可得AD=BG时，内切圆半径R最大，列方程求出R值即可得答
案.
【详解】作 外接圆 ，设 的内切圆的圆心为 ，连接 并延长交 于 ，连接
BE、BD、CD，过 作 ，垂足为 ，作直径 ，连接CG，
∵ ，
∴ ，
∵在 中，
∴∠DBC=∠DCB=∠DAB=60°，
∴ BDC是等边三角形，
∴△
在 中， ， ，
∴EF= AE，
∴AE= R，
∵BG是直径，
∴∠BCG=90°，
在 中， ，
∴BC= BG，
∴BG= ，∵E为 ABC的内心，
∴∠AB△E=∠CBE，
∵∠DBE=∠BDC+∠CBE，∠DEB=∠ABE+∠BAD，∠DBC=∠BAD=60°，
∴∠DBE =∠DEB，
∴ED=BD=6，
∴AD=AE+ED= R+6，
要使 最大，即弦 最大
∵在圆中直径是最长的弦， 最大等于 .
∴ R+6= ，
∴ ，即 的最大值为
【点睛】本题考查三角形内心、外心、圆周角定理，直径最长等知识，把求R的最大值转化为弦
的最大值问题，而弦的最大值为直径，综合性较强，对能力要求较高.
14．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连
接BD，CD．
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）是
【详解】试题分析： 利用等弧对等弦即可证明．利用等弧所对的圆周角相等， 再等量代换得出 从而证明
所以 三点在以 为圆心，以 为半径的圆.
试题解析:
(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由(1)知：
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.
由(1)知：BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
15．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长
为
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点
P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，
果园主人现要从入口D到 上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，
BD＝120 米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交 于点F，又测得EF＝40米．修
建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主
人计算修建这条小路最多要花费多少元？
【答案】（1） ；（2）E、P之间的最大距离为7；（3）修建这条小路最多要花费
元．
【分析】（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）
2，解方程可得OB的长； △
（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；
（3）先求出 所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交 于点P，则
DP为入口D到 上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．
【详解】（1）
如图，若AO交BC于K，∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，
∴AK⊥BC，BK＝ ，
∴AK＝ ，
在Rt BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，
∴x2＝△62+(8−x)2，
解得x＝ ，
∴OB＝ ；
故答案为： ．
（2）
如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在 是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，
∵AB＝4，AD＝6，
∴EO＝4，OP＝OC＝ ，
∴EP＝OE+OP＝7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）
作射线FE交BD于点M，
∵BE＝CE，EF⊥BC， 是劣弧，∴ 所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r−40，BE＝CE＝ ，
在Rt OEC中，r2＝802+(r−40)2，
解得：△r＝100，
∴OE＝OF−EF＝60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
在Rt BDG中，DG＝BG＝ ，
△
在Rt BEM中，ME＝BE＝80，
∴ME△＞OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交 于点P，则DP为入口D到 上一点P的最大距离，
∵在 上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG−HG＝DG−OE＝60，
∴ ,
∴DP＝OD+r＝ ，
∴修建这条小路最多要花费40× 元．
【点睛】本题主要考查了圆的性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
16．[发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB
的度数 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ °．爱动脑筋的小明猜
想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运
动呢？[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2 ，直线AB上方
一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt AOB，
再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作△图（要
求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆
向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则
点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”
模型．
[应用]
（1）如图（3），AB＝2 ，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过
点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ °，∠BPA＝ °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
【答案】[发现]不变，75；[研究]补全图形如图1所示，见解析；[应用]（1）3 ；（2）①135，
135；② ．【分析】[发现]根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB；
[研究]先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结
论；
[应用]（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结
论；
（2）①先确定出∠BFE=90°，再判断出∠BEP= ∠BEF，∠EBP= ∠ABE，最后用三角形的内
角和定理，即可得出结论；
②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构
造直角三角形，即可得出结论．
【详解】解：[发现]根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，
∵∠AOB＝150°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝75°，
故答案为：不变，75°；
[研究]补全图形如图1所示，
[应用]（1）如图2，
记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OH⊥AB于H，
∴AH＝ AB＝ ，
在Rt AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，
根据勾△股定理得，（2r）2﹣r2＝3，
∴r＝1（舍去负数），
∴OA＝2，OH＝1，
∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，
∴S ABC ＝ AB•h＝ ×2 ×3＝3 ，
最大
△
故答案为：3 ；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∵点P是△BEF的内心，
∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，
∴∠BEP＝ ∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝ ∠ABE，
∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣ （∠BEF+∠EBF）＝180°﹣ ×90°＝135°；
在△BPE和△BPA中，
，
∴△BPE≌△BPA（SAS）．
∴∠BPA＝∠BPE＝135°，
故答案为：135°，135°；
②如图3，
作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，
∴∠AQB＝180°-∠BPA＝45°，
∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，
∴OA＝OB＝ AB＝ ，
连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，
则四边形OMBN是正方形，
∴ON＝BN＝BM＝ AB＝1，
∴CN＝BC+BN＝3，
在Rt ONC中，OC＝ ＝ ，
△
∴CP ＝CP'＝OC﹣OP'＝ ﹣ ，
的最小值
故答案为： ﹣ ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆
是解本题的关键．
