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分层作业
13.3.1.1 三角形的内角
目 录
A 组 巩固过关
题型01 已知两角求第三个角
题型02 利用方程思想求解三角形的内角
题型03 利用平行线求三角形内角度数
题型04 利用三角板求三角形内角度数
题型05 翻折问题中求三角形内角度数
题型06 利用整体思想求三角形内角度数
题型07 三角形内角和实际应用
题型08 三角形内角和综合应用
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
已知两角求第三个角
1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
2.根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数：
(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；
(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；
利用方程思想求解三角形内角
3.若一个三角形的三个内角的比为1:3:4，则此三角形的最大内角度数是（ ）
A．97.5°
B．90°
C．80°
D．67.5°
题型01
题型02
4.(1)在△ABC 中，∠A＝1
2∠B＝1
3∠C， 求∠A 的度数：
(2)在△ABC 中，∠𝐴= 50°,∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，求三角形内角度数
利用平行线求三角形内角度数
5.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在直线𝑏上，已知∠𝐵= 90°，∠𝐶= 30°，边𝐴𝐶，𝐵𝐶与直线𝑎分别相交
于点𝐷，𝐸，若∠𝐶𝐸𝐷= 50°，则∠1的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 70°，直线𝐷𝐸经过点A 且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐷𝐴𝐵= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
题型03
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
利用三角板求三角形内角度数
8.如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，
则∠1的度数为（ ）
A．100°
B．120°
C．135°
D．105°
9.将一副三角板（∠𝐸= 30°）按如图方式摆放，使𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐹𝑃𝐶= （ ）
A．105°
B．115°
C．75°
D．90°
翻折问题中求三角形内角度数
10.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 30°，点𝐷为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐷𝐶沿直线𝐴𝐷折叠后，点𝐶落到点𝐸
处，若𝐷𝐸∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ）
A．70°
B．110°
C．80°
D．100°
11.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，将三角形纸片沿𝐷𝐸折叠，使点𝐴落在𝐵𝐶边
上的点𝐹处，若𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐹= 68°，则∠𝐴的度数为（ ）
题型04
题型05
A．68°
B．72°
C．79°
D．82°
12.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对折，使
点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，则∠𝐵𝐴𝐷= （ ）
A．22°
B．25°
C．28°
D．30°
利用整体思想求三角形内角度数
13.如图，∠𝐴𝐶𝑂= 30°，∠𝐴𝐵𝑂= 20°，∠𝐴= 50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________．
14．如图，点𝐸，𝐷分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上．若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 55°，则∠1 + ∠2的度数为_____________．
15.在△𝐴𝐵𝐶中，点O 为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵角平分线的交点，∠𝐵𝑂𝐶= 128°，则∠𝐴= _______．
三角形内角和实际应用
16.如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B
题型06
题型07
时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线𝐵𝑂― 𝑂𝐶，点O
在点B 的南偏东30°方向上，且∠𝐵𝑂𝐶= 51°．若要在点C 恢复原设计的东西走向，必须保证∠𝑂𝐶𝐷的度数为
（ ）
A．110°
B．111°
C．119°
D．120°
17.如图是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在
B 岛的北偏东20°方向．
(1)从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？
(2)从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是多少度？
三角形内角和综合应用
18.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷，∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸交𝐵𝐷于点𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，则∠𝐶
的度数是________．
19.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，分别交𝐶𝐷、𝐴𝐶于点𝐹、𝐸．若∠𝐴= 30°，
∠𝐴𝐶𝐵= 80°，求∠𝐶𝐹𝐵的度数．
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．49°
B．50°
C．51°
D．52°
题型08
2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 46°，∠𝐶= 54°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐶于𝐷，𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐴𝐶于点𝐸，则∠𝐴𝐷𝐸
的大小是（ ）
A．40°
B．43°
C．46°
D．54°
3.如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是_____________
4.如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°，则∠𝐴= ______
5.若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为
_________________________________________________________
6.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线．
(1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）．
7.如图1、2、3 所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃．
(1)如图1 所示，若∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数为 ．
(2)如图1 所示，如果∠𝐴= 80°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数；
(3)如图2 所示，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵 的平分线交于点 𝑄，试探索∠𝑄，∠𝐴 之间的数量关系；
(4)如图3 所示，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点𝐸，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出∠𝐴
的度数．
1．【综合问题】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐶𝐴的平分线相交于点G，𝐺𝐸⊥𝐴𝐶于点E，F 为AC 上的一点，
且𝐴𝐹= 𝐹𝐶，𝐺𝐻⊥𝐶𝐷于点H．下列说法：①𝐴𝐺⊥𝐶𝐺；②∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸；③𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺；④若
∠𝐸𝐺𝐻:∠𝐸𝐶𝐻= 2:7，则∠𝐸𝐺𝐻= 40°．其中正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．①③④
D．①②④
2．【分类讨论】如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°，点𝐹为边𝐴𝐵
上一点，当△𝐴𝐷𝐹为直角三角形时，∠𝐵𝐷𝐹的度数为__________________．
3．【整体思想】如图，∠𝐴𝐵𝐸、∠𝐴𝐶𝐸 的角平分线𝐵𝐹、𝐶𝐹交于点𝐹，已知∠𝐵𝐸𝐶= 130°,∠𝐵𝐴𝐶= 30°，则
∠𝐵𝐹𝐶= ___________
4．【新定义问题】新定义：在△𝐴𝐵𝐶中，若存在最大内角是最小内角度数的𝑛倍（𝑛为大于1 的正整数），则
△𝐴𝐵𝐶称为“𝑛倍角三角形”．例如，在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴= 90°，∠𝐵= 60°，则∠𝐶= 30°，因为∠𝐴最大，∠𝐶
最小，且∠𝐴= 3∠𝐶，所以△𝐴𝐵𝐶为“3 倍角三角形”．
(1)在△𝐷𝐸𝐹中，若∠𝐷= 20°，∠𝐸= 60°，则∠𝐹= ______，△𝐷𝐸𝐹为“______倍角三角形”．
(2)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 44°，∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线相交于点𝐷．
①求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
②若△𝐴𝐵𝐷为“4 倍角三角形”，请求出∠𝐴𝐵𝐷的度数．
1．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°
B．45°
C．35°
D．50°
2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，分别过△𝐴𝐵𝐶的顶点A，B 作𝐴𝐷∥𝐵𝐸．若∠𝐶𝐴𝐷= 25°，
∠𝐸𝐵𝐶= 80°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
3．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形
