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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 分层作业 30.2 三角形的内切圆 目 录 A 组 巩固过关 题型01 三角形内心的性质 题型02 三角形周长、面积与周长的关系 题型03 三角形内切圆与外接圆的综合 B 组 能力进阶 C 组 思维拔高 拓展 链接中考 三角形内心的性质 1．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交 点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26 九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（ ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．（25-26 八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，ABC 是一个正在修建 的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭到公路AB AC BC 、 、 的距离都相等，则凉亭H 是 ABC 的（ ） 题型01 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 4．（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点O是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接 OB IA 、 ．若 40 CAI = ，则 OBC 的度数为___________． 5．（25-26 九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点O为ABC 的内心， 60 A = ，则 BOC 的度数是 ______． 三角形周长、面积与周长的关系 6．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A．1 2 B．1 C． 3 3 D．3 7．（24-25 九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，把ABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l 上，点O都落在直线MN 上，直线MN l ∥．在ABC 中，若 124 BOC = ，则 BAC 的度数为（ ） A．72 B．70 C．68 D．54 题型02 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知ABC ． (1)利用直尺和圆规作出ABC 的内切圆； (2)若ABC 的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径． 9．（25-26 九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在ABC 中， 12 AB = ， 6 AC = ， O 为ABC 的内切 圆，且半径为7 ，若ABC 的面积为14 7 ，则BC 的长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，已知O 是ABC 的内心，连接OA，OB ，OC ．若ABC 内切圆的半径为2，ABC 的周长为 12，求ABC 的面积． 三角形内切圆与外接圆的综合 11．已知ABC 的三边长为3cm，4cm，5cm，则ABC 的内切圆半径和外接圆半径分别为（ ）cm A．1，2 B．1，2.5 C．2，2.5 D．2，2 题型03 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 12．（24-25 九年级上·江苏盐城·期中）如图，点O 是ABC 内心，也是DBC 的外心．若 70 A = ，则 D 的度数_____________． 13．（23-24 九年级上·福建福州·期中）如图，ABC ， 5 AB AC = = ， 6 BC = ，若P 、Q 分别是ABC 的内 心和外心，则PQ 的长为________． 14．在ABC 中， 90 , 4, 3 C AC BC = = = ，则ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差R r −= ___________． 15． O 既是半径为1m的正△ABC 的外接圆，也是等边 1 1 1 A B C △ 的内切圆，则等边 1 1 1 A B C △ 的外接圆的面积 是________ 2 m 16．如图，四边形ABCD为矩形，点E 在边CD上， 2 DE CE = ， O 与四边形ABED的各边都相切， O 的半径为x ，BCE 的内切圆半径为y ，则: x y 的值为（ ） A．2 B．8 3 C．3 D．10 3 17．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I 是ABC 的内心，点O 是ABC 的外心，若 160 BOA = ，则 BIA 的度数是（ ） 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．120 B．125 C．130 D．135 18．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形ABCD中 120 ABC = ，对角线AC 、BD相交于点O，AOB 的内 心I 与点O的距离为 2 ，则菱形ABCD的面积为（ ） A．12 B．8 3 12 + C．6 3 D．2 3 3 + 19．（24-25 九年级下·广东广州·期中）如图，点I 为ABC 的内心， 12cm AB = ， 9cm AC = ， 6cm BC = ， 将 ACB 平移，使其顶点C 与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A．10cm B．12cm C．13.5cm D．15cm 20．如图为ABC 的内切圆，点D，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE 为 I 的切线，若ABC 的周长为 21，BC 边的长为6，则ADE 的周长为（ ） A．15 B．9 C．7.5 D．7 21．（25-26 九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边 1 1 1 A B C △ 内接于等边ABC 的内切圆，则 1 1 A B AB 的值为 （ ） 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．1 2 B． 2 2 C．1 3 D． 3 3 22．（25-26 九年级上·陕西西安·自主招生）如图，等边三角形ABC 的边长为9，点D、E、F 在ABC 边 上，等边三角形DEF 的边长为7，则三角形DBE的内切圆半径为______． 23．（25-26 八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在Rt ABC △ 中， 90 = C ， O 是ABC 的内切圆，切 点分别是D 、E 、F ． (1)连接OA、OB ，则 AOB =______． (2)若 6 BD = ， 4 AD = ，求 O 的半径． (3)在（2）的条件下，Rt ABC △ 的外心和内心的距离等于______． 24．（25-26 九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠，点C 恰好与ABC 的内心I 重 合，若 40 ACB = ，则 EIA FIB + =（ ） 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．210 B．220 C．230 D．240 25．（25-26 九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片ABC 的三边之比 : : 6:7:8 BC AB AC = ， O 是它 的内切圆， O 的三条切线DE 、FG 、MN 分别交ABC 的边于点D、E、F、G、M、N，则BDE 、 CFG △ 、AMN 的周长之比为（ ） A．6:7:8 B．5:6:7 C．3:5:7 D．5:7:9 26．（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 , BAC AD = 为斜边BC 上的中线，若 6, 8 AB AC = = ，设ABD 与ACD 的内切圆半径分别为1 2 , r r ，则1 2 : r r 的值为（ ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 27．（2026·湖北武汉·一模）如图， 45 ACD BCD = = ， 8 AC = ， 6 BC = ，ACD 内切圆半径为（ ） 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A．15 5 2 4 − B．15 5 2 4 + C．3 2 2 − D．3 2 2 + 28．如图， O 是ABC 的内切圆，与AB ，BC ，AC 分别相切于点D，E，F．若 O 的半径为2， 6 AB = ， 8 AC = ， 12 BC = ，则ABC 的面积为（ ） A．12 3 B．24 C．26 D．52 29．（2024·广东广州·一模）如图，ABC 的内切圆 I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若 I 的半径为r ， FDE = ，则( ) AF CD AC + − 的值和 A 的大小分别为（ ） A．0，180 2 − B．r ，180 α − C．2r ，90 − D．3r ，90 2 − 30． 2023 九年级·山东济南·专题练习）如图，已知ABC 中， 70 10 C AB = = ， ，内切圆 O 半径为3， 则图中阴影部分面积和是（ ） A． 25 15 π 8 − B． 15 15 π 8 − C． 15 20 π 4 − D． 25 20 π 4 − 31．（2025·湖南株洲·三模）如图，在ABC 中，AB BC = ，ABC 的角平分线AD、BE交于点O，则以点 O为圆心，以_____为半径，可作ABC 的内切圆． 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 32．（2025·广东江门·三模）如图，点O 是ABC 的内心，连接 , OA OC ，若OCA 的高 3 OD = ，则点O 到边 AB 的距离为：__________． 33．（24-25 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知ABC 中， 3 AC BC = = ， 4 AB = ．请按照题意用无 刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图1中作一个能覆盖ABC 且面积最小的 O ，则 O 的半径为 ； (2)请在图2 的ABC 纸片中剪出一个面积最大的 I ，则 I 的半径为 ． 34．（25-26 九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在 O 中，AB ，CD是弦，且AB CD = ．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB ，CD的 距离相等．小红发现延长AB ，CD交于点P ，则PA PC = ．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择 一个完成证明． (2)如图②，已知ABC ， O 与ABC 各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若 3 AC = ， 4 BC = ， 5 AB = ， O 的半径为r ，则r 的取值范围是_____． 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 35．如图，ABC 的内切圆 O 与AB BC CA 、 、 分别相交于点D E F 、、 ，若 10cm, 16cm, 14cm AB BC CA = = = ． (1)求BD的长； (2)求 O 的半径． (3)连接 , AO CO ，求AO CO 、 与 O 围成的劣弧的弧长． 36．已知 O 内接四边形ABCD中，BD平分 ABC ． (1)如图1，若AC BD ， 相交于E，求证： AEB BCD = ． (2)如图2，连接OD 交AC 于F．若 16 10 AC AD = = ， ，求 O 的半径． (3)如图3，若AC 为 O 直径， 7 2 3 2 AB BD = = ， ，求ABC 的内心与点O 的距离． 37．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题： 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 (1)问题提出 如图1，在直角ABC 中， 30 A = ， O 是ABC 的内切圆，若 O 的半径是1，则ABC 的斜边长 为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2 所示的四边形原石BDFE进行切割设计．顾客首 先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在 B 附近区域，所以玉 镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF 和DF 的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过DF 边和EF 边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打 磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的ABC （点A 在BD上，点C 在BE上），应使得AC 尽可能 短，同时ABC 的周长和面积尽可能的小．经过测量， 60 B = ， 156mm BE = ， 175mm BD = ．根据顾客 的需求，手镯的内圈直径为56mm，外圈直径为70mm，即小圆 O 的直径为56mm，大圆 O 的直径为 70mm． 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A 和点C 使得覆盖大圆 O 的ABC 周长取得 最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出ABC 的周长及面积；若不存在，请说明理由． 38． 24-25 九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊 点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知ABC 是锐角三角形， O 是其外接圆，点H 是ABC 的垂心，分别连接 , , AH BH CH 并延长， 交 O 于点 , , M N K ． 求证：点 , , M N K 分别是点H 关于边 , , BC AC AB 的对称点． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 证明：如图，连接BM ． ∵点H 是ABC 的垂心， ∴BN AC ⊥ ，AM BC ⊥ ， ∴1 90 ACB + = ， 2 90 ACB + = ， ∴ 1 2 = ， 又 2 3 = （依据）， ∴1 3 = ， ∴直线BM 和BN 关于BC 对称． ∴点M 和点H 关于BC 对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点K 和点H 关于AB 对称． 39．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， 6m AB AD = = ， 8cm CB CD = = ， B 为 直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm． 40．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在ABC 中， 90 BAC = ，AD BC ⊥ ，垂足为D ．若 15 AB = ， 8 AC = ，则AD的长为 ______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块ABC 型板材，其中 100cm AB = ， 160 BC cm = ， 140 AC cm = ．为了 充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出 O 的半径；若不可以，请说明理由．
