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专题01 全等三角形性质和判定
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形的性质（重）
题型2 由三角形全等求时间或线段长（高频）
题型3 判断两个三角形是否全等（高频）
题型4 全等三角形的性质和判定综合（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形的性质
1．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，已知
ABC
EBD
△
≌△
，若
5
AB = ，
8
BD =
，则CE 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全
等三角形的性质得出
5,
8
AB
EB
BC
BD
=
=
=
=
，根据CE
BC
EB
=
−
，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
EBD
△
≌△
，
5
AB = ，
8
BD =
，
∴
5,
8
AB
EB
BC
BD
=
=
=
=
，
∴
8
5
3
CE
BC
EB
=
−
=
−
=
．
故答案为：3．
2．（25-26 八年级上·宁夏固原·期中）如图，
≌
ABC
DCE ，
40
B
=
，
65
E
=
，点B
C
E
、、在同一条
直线上，则
ACD
的度数为 ．
【答案】75
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得
65
ACB
E
=
=
°，
40
DCE
B
= =
，
再根据平角的定义，即可求解．
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【详解】解：∵
≌
ABC
DCE ，
40
B
=
，
65
E
=
，
∴
65
ACB
E
=
=
°，
40
DCE
B
= =
，
∵点B
C
E
、、在同一条直线上
∴
ACD
的度数为180
180
65
40
75
ACB
DCE
−
−
=
−
−
=
故答案为：75．
3．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，ABD
CFD
≌
，且点B ，D ，C 在一条直线上，点F 在AD上，
延长CF 交AB 于点E ．
(1)试说明：CE
AB
⊥
．
(2)若
7
BC =
，
1
AF = ，求BD的长．
【答案】(1)
证明：
ABD
CFD
△
≌△
，
A
C
=
，
ADB
CDF
=
，
180
ADB
CDF
+
=
，
90
ADB
CDF
=
=
，
90
A
B
+
=
，
90
C
B
+=
，
90
CEB
=
，
CE
AB
⊥
；
(2)
3
BD =
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得
ADB
CDF
=
，
A
C
=
，再由等量代换即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得BD
DF
=
，AD
CD
=
，得出
1
CD
BD
−
= 结合
7
CD
BD
BC
+
=
=
即
可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
ABD
CFD
△
≌△
，
BD
FD
=
，AD
CD
=
，
1
=
AF
，即：
1
AD FD
−
= ，
1
CD
BD
−
= ，
又
7
CD
BD
BC
+
=
=
，
3
BD
= ．
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◆题型2 由三角形全等求时间或线段长
4．
（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，CA
AB
⊥
，垂足为A，
12
AB =
厘米，
6
AC =
厘米，射线BM
AB
⊥
，
垂足为B，一动点P 从点A 出发以3 厘米/秒的速度沿射线AN 运动，同时动点D 从点B 出发沿射线BM 运
动．设点D 运动的速度为v 厘米/秒，当=
v
厘米/秒时，能够在某一时刻使
BPD
△
与
ABC
全等．
【答案】3
4 或2 或6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P 运动的时间为(
)
0
t t
秒，则
3
AP
t
=
厘米，
12
3
PB
t
=
−
厘米，BD
vt
=
厘米，当点P 在线段AB 上时，只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，当点P 在AB 的延长线上时，
只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可．
【详解】解：设点P 运动的时间为(
)
0
t t
秒，则
3
AP
t
=
厘米，
12
3
PB
t
=
−
厘米，BD
vt
=
厘米，
∵AC
AB
⊥
，BM
AB
⊥
，
∴
90
A
ABD
=
=
，
当点P 在线段AB 上时，
∵AB
PB
，
∴此时只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，
∴
12
BD
AB
=
=
厘米，
6
BP
AC
=
=
厘米，
∴
12
3
6
12
t
vt
−
=
=
，
解得
2
6
t
v
=
=
；
当点P 在AB 的延长线上时，
90
PBD
A
= =
，
∴只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，
当
ABC
BDP
△
≌△
时，则
12
BD
AB
厘米，
6
AC
PB
=
=
厘米，
∴
3
12
6
12
t
vt
−
=
=
，
解得
6
2
t
v
=
=
；
当
ABC
BPD
≌
△
△
时，则
6
BD
AC
=
=
厘米，
12
AB
BP
=
=
厘米，
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∴
3
12
12
6
t
vt
−
=
=
，
解得
8
3
4
t
v
=
=
；
综上所述，v 的值为3
4 或2 或6．
故答案为：3
4 或2 或6．
5．（25-26 八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，
6cm
BC =
，
60
PBC
QCB
=
=
，点M 在线段CB 上以3cm / s
的速度由点C 向点B 运动．同时，点N 从点C 出发在射线CQ 上以1cm / s 的速度运动，它们运动的时间为( )s
t
（当点M 运动结束时，点N 运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M 、N 运动到某处时，有ABM
与
MCN
△
全等，则此时AB 的长度为 ．
【答案】1cm或9 cm
2
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到
3
CM
t
=
，CN
t
= ，则
6 3
BM
BC
CM
t
=
−
= −
，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解
即可．
【详解】解：点M 在线段CB 上以3cm/s 的速度由点C 向点B 运动，
∴点M 从C
B
→
的时间为
( )
6
3
2 s
=
，
∵它们运动的时间为( )s
t
，
∴
3
CM
t
=
，CN
t
= ，则
6 3
BM
BC
CM
t
=
−
= −
，
当
N
ABM
MC
△
≌
时，
∴
,
BM
CN AB
CM
=
=
，
∴6
3t
t
−
= ，
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解得：
3
2
t =
，
∴
3
9
3
3
cm
2
2
AB
CM
t
=
=
=
=
；
当ABM
NCM
≌
时，
∴
,
AB
NC BM
CM
=
=
，
∴6 3
3
t
t
−
=
，
解得：
1
t = ，
∴
1cm
AB
NC
t
=
= =
；
综上所述，AB 的长度为9 cm
2
或1cm，
故答案为：9 cm
2
或1cm．
6．（25-26 八年级上·福建莆田·期中）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
5cm
AB =
，
直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A
C
B
→
→
路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发
沿B
C
A
→
→
路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s，两点同时出发并开始计时，
当点P 到达终点B 时计时结束．设运动时间为t 秒．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
⊥于点E，QF
l
⊥于
点F，当t = 为何值时，PEC
与QFC
全等．
【答案】1 或7
3 或6
【分析】分点Q 在BC 上，点P 在AC 上；点P 与点Q 重合；Q 与A重合三种情况，根据全等三角形的性质
列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握
全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵PE
l
⊥，QF
l
⊥，
90
PEC
CFQ
ACB
=
=
=
∴
，
90
CPE
PCE
PCE
FCQ
+
=
+
=
，
CPE
FCQ
=
；
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∵
( )
( )
3
4
3 s
2 s
1
2
=
=
，
，
∴点P 运动3 秒到达点C，点Q 运动2 秒到达点C；
①如图1，当点Q 在BC 上，点P 在AC 上时，
由题意得，
cm
AP
t
=
，
2 cm
BQ
t
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
(
)
3
cm
CP
AC
AP
t
=
−
=
−
，
(
)
4
2
cm
CQ
BC
BQ
t
=
−
=
−
，
∵PEC
与QFC
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即3
4
2
t
t
−=
−
，
解得
1
t = ；
②如图2，当点P 与点Q 重合时，则CP
CQ
=
，此时满足
PEC
QFC
△
≌△
，
∵
(
)
2
4 cm
CQ
t
=
−
，
3
2
4
t
t
−=
−，
解得
7
3
t =
；
③如图3，当点Q 与A重合时，
∵PEC
与QFC
全等，
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∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即
3
3
t −= ，
解得
6
t =
；
综上所述：当
1
t = 或
7
3
t =
或
6
t =
时，PEC
与QFC
全等．
故答案为：1 或7
3 或6．
◆题型3 判断两个三角形是否全等
7．（25-26 八年级上·重庆·月考）根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
的是（ ）
A．
3
AB = ，
4
BC =
，
8
CA =
B．
60
A
=
，
45
B
=
，
4
AB =
C．
4
AB =
，
3
BC = ，
30
A
=
D．
90
C
=
，
45
B
=
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根
据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、3
4
8
+
，不能构成三角形，此项错误，不符合题意；
B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意；
C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
故选：B．
8．（25-26 八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
的是（ ）
A．
5,
4,
10
AB
BC
CA
=
=
=
B．
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
=
=
=
C．
4,
3,
30
AB
BC
A
=
=
=
D．
90 ,
6
C
AB
=
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角
形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可．
【详解】解：A 选项中5 4
9 10
+
=
，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，
故A 不符合题意；
B 选项中
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
=
=
=
，符合全等三角形判定定理ASA ，∴能画出唯一
ABC
，故B 符合题意；
C 选项中
4,
3,
30
AB
BC
A
=
=
=
，属于SSA 的情况，无法确定唯一三角形，故C 不符合题意；
D 选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一
ABC
，故D 不符合题意．
故选：B．
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9．（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一
ABC
的是（ ）
A．
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
=
=
=
B．
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
=
=
=
C．
30 ,
8,
7
A
AB
BC
=
=
=
D．
5,
6,
9
AC
AB
BC
=
=
=
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据ASA、AAS、SSS、SAS等判定唯一三角形，同时考虑SSA
情况可能不唯一即可解答．
【详解】解：选项A：
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
=
=
=
（两角及夹边，ASA ），能唯一画出
ABC
；
选项B：
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
=
=
=
（两角及一边，AAS），能唯一画出
ABC
；
选项C：
30 ,
8,
7
A
AB
BC
=
=
=
（两边及非夹角，SSA ），有两个交点，不能唯一画出
ABC
；
选项D：
5,
6,
9
AC
AB
BC
=
=
=
（三边，SSS），满足三角形三边关系，能唯一画出
ABC
；
故选C．
◆题型4 全等三角形的性质和判定综合
10．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 为对角线BD上一点，
180
A
CED
+
=
，且AD
BE
=
．
(1)求证：ABD
ECB
≌
．
(2)若
15
BC =
，
9
DE = ，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由补角的性质得到
A
BEC
=
，由平行得
ADB
EBC
=
，由ASA即可证明三角形全等；
（2）由全等三角形得
15
DB
BC
=
=
，AD
BE
=
，进而求得
15 9
6
BE
BD
DE
=
−
=
−= ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
180
A
CED
+
=
，
180
BEC
CED
+
=
，
∴
A
BEC
=
，
∵AD
BC
∥
，
∴
ADB
EBC
=
，
在
ABD
△
和ECB
中，
A
BEC
AD
BE
ADB
EBC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
ABD
ECB
≌
．
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（2）解：∵ABD
ECB
≌
，
∴
15
DB
BC
=
=
，AD
BE
=
，
∵
9
DE = ，
∴
15 9
6
BE
BD
DE
=
−
=
−= ．
∴
6
AD
BE
=
= ．
11．（25-26 八年级上·安徽合肥·月考）如图，在
ABC
中，D 是BC 的中点，连接AD，E 是AB 边上一点，
过点C 作CF
AB
∥
交ED的延长线于点F ．
(1)若AB
AC
=
，求证：AD
BC
⊥
．
(2)若
12
EF =
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据中点的性质可得BD
CD
=
，根据SSS证明BAD
CAD
≌
，即可得出
90
ADB
ADC
=
=
；
（2）根据平行线的性质可得
BEF
F
=
，进而根据AAS证明BDE
CDF
≌
，得出DE
DF
=
，根据
12
EF =
，
即可求解．
【详解】（1）解：证明：
D
是BC 的中点，
.
BD
CD
=
在BAD
和CAD
中，
,
AB
AC
BD
CD
AD
AD
=
=
=
，
，
(SSS),
BAD
CAD
≌
90
ADB
ADC
=
=
AD
BC
⊥
．
（2）
CF
AB
∥
，
.
BEF
F
=
D
是BC 的中点，
.
BD
CD
=
在BDE
和CDF
中，
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,
,
,
BEF
F
EDB
FDC
BD
CD
=
=
=
(AAS),
BDE
CDF
≌
DE
DF
=
．
12,
EF
DE
DF
=
+
=
6.
DF
=
12．（2026·江苏苏州·一模）如图，BE ，CF 分别是
ABC
的边AC ，AB 上的高，且BP
CA
=
，AB
QC
=
．求
证：
(1)
ABP
QCA
△
≌△
；
(2) AP
AQ
⊥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据题意易得
90
BFP
CEP
=
=
，
FPB
EPC
=
，则
FBP
ECP
=
，即可根据SAS判定
ABP
QCA
△
≌△
；
（2）根据全等三角形的性质得出
Q
BAP
=
，再根据
90
Q
QAF
+
=
∠
∠
，得出
90
QAP
BAP
QAF
=
+
=
，
即可求证AP
AQ
⊥
．
【详解】（1）证明：∵BE ，CF 分别是
ABC
的边AC ，AB 上的高，
∴
90
BFP
CEP
=
=
，
∴
FPB
FBP
EPC
ECP
+
=
+
，
∵
FPB
EPC
=
，
∴
FBP
ECP
=
，
在ABP
和QCA
中，
BP
CA
FBP
ECP
AB
QC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABP
QCA
≌
；
（2）解：∵
ABP
QCA
△
≌△
，
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∴
Q
BAP
=
，
∵CF 是
ABC
的边AB 上的高，
∴AB
CQ
⊥
，即
90
AFQ
=
，
∴
90
Q
QAF
+
=
∠
∠
，
∴
90
QAP
BAP
QAF
Q
QAF
=
+
=
+
=
，
∴AP
AQ
⊥
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）下列各组条件中，不能判定ABC
和A B C
全等的是（ ）
A．AC
A C
=
，BC
B C
=
，
C
C
= B．
A
A
= ，BC
B C
=
，AC
A C
=
C．
A
A
= ，
C
C
= ，BC
B C
=
D．AB
AB
= ，BC
B C
=
，AC
A C
=
【答案】B
【详解】解：A、SAS 能判定ABC
和A B C
全等；
B、SSA不能判定ABC
和A B C
全等；
C、AAS 能判定ABC
和A B C
全等；
D、SSS 能判定ABC
和A B C
全等．
2．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知
ABC
ADE
△
△
≌
，若
3,
4,
5
AB
AC
BC
=
=
=
，则DE 的长是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】解：∵
ABC
ADE
△
≌△
，
5
BC =
，
∴
5
DE
BC
=
= ．
3．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，已知AC 、BD交于点O，
ABC
DCB
=
，添加下列哪个条
件后，仍不能使
ABC
DCB
△
≌△
的是（ ）
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A．AB
DC
=
B．AC
DB
=
C．
A
D
=
D．OB
OC
=
【答案】B
【分析】已知
ABC
DCB
=
及公共边BC
CB
=
，根据全等三角形判定定理逐项验证即可．
【详解】解：已知
ABC
DCB
=
，且BC 为公共边，即BC
CB
=
．
A．添加AB
DC
=
．
AB
DC
=
，
ABC
DCB
=
，BC
CB
=
，
(SAS)
ABC
DCB
△
≌△
，不符合题意．
B．添加AC
DB
=
，此时为AC
DB
=
，BC
CB
=
，ABC
DCB
=
，属于SSA ，不能判定
ABC
DCB
△
≌△
，
符合题意．
C．添加
A
D
=
．
A
D
=
，
ABC
DCB
=
，BC
CB
=
，
(AAS)
ABC
DCB
≌
，不符合题意．
D．添加OB
OC
=
．
OB
OC
=
，
OCB
OBC
=
，即
ACB
DBC
=
．
ABC
DCB
=
，BC
CB
=
，
ACB
DBC
=
，
(ASA)
ABC
DCB
△
≌△
，不符合题意．
4．（25-26 七年级下·江西九江·期末）如图，为了测量点B 到河正对面点A之间的距离，小明在与点B 同侧
的河岸上选择点C 和点D，测得
90
ABC
=
，CD
BC
=
（B 、C 、D 三点共线），过点D 作DE
BD
⊥
，使
得点A、C 、E 在同一直线上，得到
ABC
EDC
△
≌△
，测得DE 的长就是A、B 两点之间的距离，这里判
定
ABC
EDC
△
≌△
的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】根据垂线的定义得到
90
EDC
=
，利用对顶角的性质得到
ACB
ECD
=
，根据“ASA ”的判定方
法证明
ABC
EDC
△
≌△
．
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【详解】解：
DE
BD
⊥
，
90
EDC
=
，
90
ABC
EDC
=
=
，
由题可得BC
DC
=
，
ACB
ECD
=
，
(
)
ASA
ABC
EDC
≌
．
5．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC
中，AB
AC
，D，E 分别是BC ，AB 上的点，AD平
分
BAC
，CE
AD
⊥
于点F，G 为AD的中点，延长BG 交AC 于点H．下列结论正确的有（ ）
①线段AD是
ACE
△
的高；②ABG
与BDG
的面积相等；③AB
AC
BE
−
=
；④
90
CBE
BCE
EAD
+
+
=
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，AF 是CE 的高；②点G 为AD的中点，底边在同一直线
上，等高且等底，故面积相等；③AD平分角且CE
AD
⊥
，可证三角形全等，得到AC
AE
=
，代入线段差
即可推出AB
AC
BE
−
=
；④利用外角性质将得
FDC
EAD
CBE
=
+
，结合直角三角形两锐角互余，等量
代换可证三个角相加等于90。
【详解】解：①
CE
AD
⊥
于点F ，
线段AF 为△ACE 的高，
故结论①不正确，不符合题意；
②点G 为AD的中点，
AG
DG
=
，
△ABG的边AG 上的高与△BDG的边DG 上的高相同，
ABG
与△BDG面积相等，
故结论②正确，符合题意；
③
AD
平分
BAC
，
CAF
EAF
=
，
CE
AD
⊥
于点F ，
90
AFC
AFE
=
=
，
在△ACF 和△AEF 中，
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90
CAF
EAF
AF
AF
AFC
AFE
=
=
=
=
，
(
)
ASA
ACF
AEF
≌
，
AC
AE
=
，
AB
AC
AB
AE
BE
−
=
−
=
，
故结论③正确，符合题意；
④
FDC
EAD
CBE
=
+
，
CE
AD
⊥
于点F ，
90
FDC
BCE
+
=
，
90
CBE
BCE
EAD
+
+
=
，
故结论④正确，符合题意；
结论正确的有3 个．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
B
D
=
=
，BC
DC
=
，连接AC ，
50
BCA
=
，则
CAD
的度数为__________．
【答案】40
【分析】根据“ HL ”判定Rt
Rt
ABC
ADC
≌
△
△
，利用全等三角形对应角相等得出
DCA
BCA
=
，再根据直
角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：
90
B
D
=
=
，
ABC
和ADC
都是直角三角形，
在Rt
ABC
△
和Rt
ADC
△
中，
AC
AC
BC
DC
=
=
，
(
)
Rt ABC
Rt ADC HL
≌
，
50
DCA
BCA
=
=
，
在Rt
ADC
△
中，
90
90
50
40
CAD
DCA
=
−
=
−
=
．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
中，AD为ABC
的中线，过点B 作BE
AD
⊥
，交
AD的延长线于点E ，过点C 作CF
AD
⊥
交AD于点F ，若
6
BE =
，则CF 的长为________．
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【答案】6
【分析】利用AAS判定
BDE
CDF
△
≌△
，从而得出对应边相等．
【详解】解：
AD
是ABC
的中线，
BD
CD
=
，
BE
AD
⊥
，CF
AD
⊥
，
90
BED
CFD
=
=
，
在BDE
和
CDF
△
中，
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
=
=
=
，
(
)
AAS
BDE
CDF
△
≌△
，
6
CF
BE
=
=
．
8．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼
的高OM，AF
OM
⊥
于F，BE
OM
⊥
于E．小丁在自家阳台A 处测得办公楼顶部O 的视线与水平线的夹角
OAF
=
，小华在自家阳台B 处测得办公楼顶部O 的视线与水平线的夹角
OBE
=
，已知C，M，D 三
点共线，与互余，且OA
OB
=
，
8m
AF =
，
3m
ME =
．则办公楼的高度OM =________．
【答案】11m/11 米
【分析】先证明
(
)
AAS
AFO
OEB
≌
，根据全等三角形的性质得到
8m
OE
AF
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵与互余，
∴
90
OAF
OBE
+
=
．
又∵AF
OM
⊥
，BE
OM
⊥
，
∴
90
AFO
OEB
=
=
，
∴
90
OAF
AOF
+
=
，
∴
AOF
OBE
=
．
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在AFO
和OEB
中，
∴
AOF
OBE
AFO
OEB
AO
OB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AFO
OEB
≌
，
∴
8m
OE
AF
=
=
．
∴
(
)
8
3
11 m
OM
OE
EM
AF
EM
=
+
=
+
=
+
=
．
则办公楼的高度OM 为11m．
9．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
中，
90
ACB
=
，ABC
的角平分线AE ，BD交于点F ，
过点F 作GF
BD
⊥
交BC 于点H ，交AC 的延长线于点G ．则
AFB
的度数为________；若
8
BD =
，且
3
BF
DF
=
，则
ADF
S
=
________．
【答案】 135 3
【分析】①根据角平分线的定义以及三角形的内角和即可求解；②延长BD，过点A作AM
BM
⊥
交延长线
与点M ,证明AFG
AFB
≌
，根据线段的比例关系可知
2,
6
DF
BF
FG
=
=
=
，根据面积构造方程即可知AM
的长度，进而即可求解．
【详解】解：①∵
,
AE DB 是ABC
的平分线，
∴
1
1
,
2
2
BAF
CAF
CAB
FBA
CBA
=
=
=
∵
90
ACB
=
∴
90
CAB
CBA
+
=
∴
45
FBA
BAF
+
=
，
∴
180
45
135
AFB
=
−
=
，
②延长BD，过点A作AM
BM
⊥
交延长线与点M ,
∵
135
AFB
=
,
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∴
45
AFD
=
,
∵GF
BD
⊥
，
∴
90
DFG
=
∴
135
AFG
=
在AFG
和AFB
中，
CAF
BAF
AF
AF
AFB
AFG
=
=
=
∴
(
)
AFG
AFB ASA
≌
，
∴BF
FG
=
∵
8
BD =
，
3
BF
DF
=
，
∴
2,
6
DF
BF
FG
=
=
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
AFB
S
BF
AM
AM
AM
=
=
=
,
1
1
6
2
2
AFG
ADF
DFG
S
S
S
DF
AM
DF
FG
AM
=
+
=
+
=
+
∴3
6
AM
AM
=
+ ,
解得：
3
AM = ,
∴
1
3
2
ADF
S
DF
AM
=
=
．
10．
（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图，CA
AB
⊥
，垂足为点A，
8cm
AB =
，
4cm
AC =
，射线BM
AB
⊥
，
垂足为点B，一动点E 从B 点出发以2 cm/s 的速度沿射线BN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运
动而运动，且始终保持ED
CB
=
，当点E 离开点B 后，运动_____s 时，DEB
与BCA
全等．
【答案】2 或4
【分析】根据题意ABC
BDE
≌
和
ABC
BED
△
≌△
这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】解：∵CA
AB
⊥
，BM
AB
⊥
，
∴
90
CAB
DBE
=
=
；
∴当DEB
与BCA
全等时，只存在ABC
BDE
≌
和
ABC
BED
△
≌△
这两种情况，
当ABC
BDE
≌
时，则
4cm
BE
AC
=
=
，
∴运动时间为
( )
4
2 s
2 =
；
当
ABC
BED
△
≌△
时，则
8cm
BE
AB
=
=
，
∴运动时间为
( )
8
4 s
2 =
；
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综上所述，当运动2s或4s时，DEB
与BCA
全等．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，点E 在BC 边上（不与点B ，C 重
合）DE 与AB 交于点F ．
(1)若
110
CAD
=
，
30
BAE
=
，求
BAD
的度数；
(2)若
10
AD =
，
4.5
BE
CE
=
=
，求ADF
与BEF
的周长和．
【答案】(1)40
(2)33.5
【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可；
（2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可．
【详解】（1）解：
ABC
ADE
≌
，
BAC
DAE
=
，即
DAF
BAE
BAE
EAC
+
=
+
，
DAF
EAC
=
，
110
CAD
=
，
30
BAE
=
，
80
DAF
EAC
CAD
BAE
+
=
−
=
，
40
BAD
=
，
（2）解：
ABC
ADE
≌
，
10
AB
AD
=
=
，
9
DE
BC
BE
EC
=
=
+
=
，
ADF
与BEF
的周长和为
10
4.5 9 10
33.5
AD
BE
DE
AB
+
+
+
=
+
+ +
=
．
12．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，其中
90
C
DEB
=
=
，DE 的延
长线与AC 相交于点F ，连接BF ．
(1)求证：BCF
BEF
≌
；
(2)若
1
EF = ，
4
DE =
，求AF 的长．
【答案】(1)证明：
90
DEB
=
，
90
BEF
=
，
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Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，
BC
BE
=
，
在Rt
BCF
△
和Rt BEF
中，
BF
BF
BC
BE
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
BCF
BEF
≌
；
(2)3
【分析】（1）根据Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，得BC
BE
=
，即可证明BCF
BEF
≌
；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得AF 的长．
【详解】（1）略
（2）解：Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，
DE
AC
=
，
4
DE =
，
4
AC
=
，
Rt
Rt
BCF
BEF
≌
，
CF
EF
=
，
1
EF =
，
1
CF
= ，
4 1
3
AF
AC
CF
=
−
=
−=
．
13．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）已知ABC
，
90
B
=
，CD平分
ACB
交AB 于点D
(1)如图1，过点D 作DE
AC
⊥
于点E，说明：BCD
ECD
≌
；
(2)如图2，在（1）的条件下，延长ED交CB 的延长线于点F，说明：𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)如图3，点H 为AC 上一点，连接DH ，
10
AC
CH
+
=
，AD
DH
=
，求BC 的长
【答案】(1)解：∵DE
AC
⊥
，
∴
90
AED
CED
B
=
=
= ，
∵CD平分
ACB
，
∴
ACD
BCD
=
，
又∵CD
CD
=
，
∴
(
)
BCD
ECD AAS
≌
；
(2)解：∵
90
ABC
=
，
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∴
90
ABF
AED
=
=
，
∵
BDF
ADE
=
，
∴
A
F
=，
∵
ACD
BCD
=
，CD
CD
=
，
∴
(
)
ACD
FCD AAS
≌
，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)5
【分析】（1）利用AAS 证明BCD
ECD
≌
即可；
（2）证明ACD
FCD
≌
，即可得出结果；
（3）作DE
AC
⊥
于点E ，由全等得到
2
AH
AE
=
，由（1）可知BCD
ECD
≌
，进而得到CE
BC
=
，根据
线段的和差关系得到
2
10
AC
CH
BC
+
=
=
，即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：作DE
AC
⊥
于点E ，
∴
90
AEH
DEH
=
=
，
∵AD
DH
=
，DE
DE
=
，
∴
(
)
Rt ADE
Rt HDE HL
≌
，
∴AE
EH
=
，
∴
2
AH
AE
=
，
由（1）可知，BCD
ECD
≌
，
∴CE
BC
=
，
∴AC
CE
AE
BC
AE
=
+
=
+
，
∴
2
2
2
2
10
AC
CH
AC
AC
AH
BC
AE
AH
BC
AH
AH
BC
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
，
∴
5
BC =
.
14．（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC
中，D ，E 分别是BC ，AC 边上的中点，AD与BE
交于点O．
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(1)若
20
ABC
S
=
，求
ABD
S
；
(2)求证：
2
AOB
BOD
S
S
=
△
△
；
(3)点F 在线段CD上（点F 不与点C ，点D 重合），连接FE并延长FE到点G ，连接AG ，若AD平分四边
形ABFG 的面积．求证：AG
BC
．
【答案】(1)10；
(2)
,
D E
分别是
,
BC AC 边上的中点，
,
AD BE
分别是ABC
的中线，
,
AE
EC BD
CD
=
=
．
如下图，连接CO，
AEO
CEO
S
S
=
△
△
，
ABE
CBE
S
S
=
，
AOB
BOC
S
S
=
△
△
．
BD
CD
=
，
1
2
BOD
COD
BOC
S
S
S
=
=
△
△
△
，
1
2
BOD
AOB
S
S
=
；
∴
2
AOB
BOD
S
S
=
.
(3)证明：连接AF ，
D
是BC 边上的中点，
BD
CD
=
，
ABD
ACD
S
S
=
，
AD
平分四边形ABFG 的面积，
ABD
ADFG
S
S
=
四边形
△
，
ACD
ADFG
S
S
=
四边形
△
，
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AEG
CEF
S
S
=
△
△
．
E
是AC 边上的中点，
AE
CE
=
，
AEF
CEF
S
S
=
，
AEG
AEF
S
S
=
△
△
，
GE
FE
=
．
在AEG
和CEF
中，
,
,
,
AE
CE
AEG
CEF
GE
FE
=
=
=
(
)
SAS
AEG
CEF
≌
，
GAE
ECF
=
，
AG
BC
∥
．
【分析】（1）先求出BD
CD
=
，根据三角形的面积公式可得答案；
（2）由三角形面积和中线的性质，先证
AOB
BOC
S
S
=
△
△
，再根据中线的性质，证
BOD
COD
S
S
=
△
△
，即可得答案；
（3）由三角形面积、三角形的中线、AD平分四边形ABFG 的面积，证明
AEG
CEF
S
S
=
△
△
，再证
AEG
AEF
S
S
=
，
得GE
EF
=
，再证AGE
CFE
≌
，得
GAE
FCE
=
，即可得答案．
【详解】（1）解：
D
是BC 边上的中点，
BD
CD
=
1
1
20
10
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
；
（2）略；
（3）略．
15．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
中，
60
ABC
=
，点D 在BC 边上，连接AD，点E 是边
AB 上一点，且BE
BD
=
，连接EC 交AD于点G ．延长AD到M ，使得DM
EC
=
，连接BM ，BF 是ABC
的中线．
(1)依题意补全图形；
(2)若
60
AGE
=
，
80
AEG
=
．
①证明：BM
BC
=
；
②用等式表示BF 与AM 的数量关系，并证明．
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【答案】(1)补全图形如下：
(2)①证明：
80
AEG
=
，
180
100
BEC
AEG
=
−
=
．
60
AGE
=
，
180
40
EAG
AEG
AGE
=
−
−
=
，
60
ABC
=
，
100
BDM
ABC
EAG
=
+
=
，
BEC
BDM
=
．
在BEC
和BDM
中，
BE
BD
BEC
BDM
EC
DM
=
=
=
，
(
)
SAS
BEC
BDM
≌
，
BM
BC
=
；
②关系：
2
AM
BF
=
；
证明：延长BF 到H ，使得FH
BF
=
，连接CH ，
BF
是ABC
的中线，
AF
CF
=
．
在
ABF
△
和CHF
中，
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BF
HF
AFB
CFH
AF
CF
=
=
=
，
(
)
SAS
ABF
CHF
≌
，
AB
CH
=
，
ABF
H
=
，
AB
CH
，
180
120
BCH
ABC
=
−
=
．
BEC
BDM
≌
，
60
DBM
EBC
=
=
，
120
ABM
EBC
DBM
=
+
=
，
ABM
BCH
=
．
在ABM
和HCB
中，
AB
CH
ABM
BCH
BM
BC
=
=
=
，
(
)
SAS
ABM
HCB
≌
，
2
AM
BH
BF
=
=
．
【分析】（1）按照题意进行画图即可；
（2）①证明BEC
BDM
≌
，根据全等三角形的性质即可求解；
②延长BF 到H ，使得FH
BF
=
，连接CH ，证明ABF
CHF
≌
，通过平行线的性质以及角度的和差关系
可知
ABM
BCH
=
，进而证明ABM
HCB
≌
即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
