文档文本内容
13.3 三角形的内角与外角
课标要点
1. 通过度量、剪拼感知内角和为180°，说出“为何要证明”；
2. 添加辅助线，用平行线性质+平角定义证明内角和定理；
3. 用定理求未知角、判断三角形形状。
4. 由内角和定理推出“直角三角形两锐角互余”；
5. 逆用得到“有两角互余的三角形是直角三角形”；
6. 用Rt△性质与判定做简单计算/证明。
7. 说出外角定义（一边与另一边延长线组成），在图形中准确识别外角及“不相邻两
内角”；
8. 探索并证明“外角=不相邻两内角和”，推得“外角＞任一不相邻内角”；
9. 用外角性质做计算、推理，知道外角和=360°。
学习重难点
重点：
1. 三角形内角和定理及其证明，不仅能说出“180°”，更能独立添加辅助线（作平行
线），用几何语言完整书写证明过程。
2. 熟练运用“两锐角互余”进行计算，并能根据角度互余逆向判定直角三角形。
3. 掌握并证明“外角 = 与它不相邻的两个内角之和”，并能在复杂图形中识别、提取
该等量关系。
难点：
1.理解并表述添加辅助线证明内角和定理的思路；
2.在复杂图形中准确识别外角及其对应的不相邻内角，规范书写几何推理过程。
第十三章
三角形
知识点一 三角形的内角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180° .
三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一
个平角．在转化中借助平行线.
即学即练
．．．．
1． 1． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°,∠𝐵= 20°，则∠𝐶的度数为（ ）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
2． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 28°，∠𝐵= 50°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．49°
B．50°
C．51°
D．52°
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 62°，∠𝐵= 74°，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，点𝐸在𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，则
∠𝐸𝐷𝐶的度数为（ ）
A．20°
B．22°
C．27°
D．37°
特别提醒
1）三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
2）为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
知识点二 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可
以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形
即学即练
．．．．
1． 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点E．若∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
则∠𝐴𝐸𝐵的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
2.如图，𝐶𝐴,𝐶𝐵为∠𝐷𝐶𝐸的三等分线，𝐵𝐸⊥𝐶𝐵交𝐶𝐸于点E，已知∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴= 20°，则∠𝐸的
度数为（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
3．如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
知识点三 三角形的外角
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，
其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
三角形外角的性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠ACD =∠A +∠B）
②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠ACD >∠A；∠ACD >∠B.）
③三角形的外角和为360°（∠BAE +∠CBF +∠ACD =360°）
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
即学即练
．．．．
1．下图中∠1 是三角形一个外角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 如图所示，直线𝑎∥𝑏，直线𝐵𝐶与直线𝑎、𝑏分别交于点𝐵、𝐶、点𝐷在直线𝑎上，点𝐴在直线𝐵𝐶上，连接
𝐴𝐷．若∠2 = 25°，∠1 = 55°，则∠𝐴的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
3. 如图，∠1和∠3都是△𝐴𝐵𝐶的外角，已知∠1 = 130°，则∠3−∠2 = （ ）
A．80°
B．55°
C．65°
D．50°
题型01 三角形内角和的证明
典｜例｜精｜析
例1．如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变｜式｜巩｜固
1．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
【回答问题】
(1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________．
A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想
(2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为180°．
2．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学习
解题贴士
转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本
了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
(1)（1）如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A 作𝐵𝐶的平行线𝐸𝐷，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】
(2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中𝐴𝐵∥𝐶𝐷
①若∠𝐸𝐴𝐵= 60°，∠𝐸𝐶𝐷= 40°，则∠𝐴𝐸𝐶的度数为____．
②若𝐴𝐸∥𝐵𝐷，∠𝐴𝐸𝐶= 80°，求∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐸𝐶𝐷 的度数．
题型02 运用三角形内角和定理求角的角度
典｜例｜精｜析
例2. 根据条件，在△ABC 中，求∠A 的度数：
(1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________；
(2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________；
变｜式｜巩｜固
解题贴士
根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决.
3.若一个三角形的三个内角的比为2:3:4，则此三角形的最大内角度数是_______
4.已知：如图，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝐷∥𝐶𝐴．
(1)求证：∠1 + ∠2 = 180°；
(2)若𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝐺平分∠𝐶𝐷𝐵，且∠𝐴= 35°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数．
题型03 直角三角形的性质
典｜例｜精｜析
例3.如图，直线𝑀𝑁∥𝐸𝐹，Rt △𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线𝑀𝑁上，顶点B 在直线𝐸𝐹上，𝐴𝐵交𝑀𝑁于点D，
∠1 = 50°，∠2 = 60°，求∠𝐴的度数．
解题贴士
直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐
角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形.
变｜式｜巩｜固
5.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 4∠𝐵．求∠𝐴，∠𝐵的度数．
6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐴𝐸平分∠𝐷𝐴𝐶交𝐶𝐷于点E，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点F，求∠𝐴𝐸𝐹
的度数．
题型04 直角三角形的判定
典｜例｜精｜析
例4.在下列条件：①∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 1:2:3；②∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；③∠𝐴+ ∠𝐵= 90°；④∠𝐴= 1
2∠𝐵= 1
3∠𝐶
解题贴士
1.有一个角为90°，判定为直角三角形；
2.两个内角互余，判定为直角三角形；
3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。
中，能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
变｜式｜巩｜固
7.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．
8.如图，𝐴𝐷、𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线和角平分线，相交于点𝐹，且∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
(1)请证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；
(2)若∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐶，求∠𝐴𝐵𝐸的度数．
题型05 三角形外角的定义
典｜例｜精｜析
例5.如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上，点𝐹在𝐵𝐶延长线上，下列是△𝐴𝐵𝐷的外角的是（ ）
解题贴士
1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。
2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。
3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。
A．∠𝐴𝐶𝐵
B．∠𝐴𝐶𝐹
C．∠𝐵𝐷𝐶
D．∠𝐴𝐵𝐶
变｜式｜巩｜固
9.如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACD 是△ABC 的一个内角；
B．∠BAD 是△ABD 的一个内角；
C．∠BEC 是△ACE 的一个外角；
D．∠AOC 是△ABD 的一个外角；
10.关于三角形的外角，下列说法错误的是（ ）
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
题型06 利用三角形外角的性质计算与证明
典｜例｜精｜析
例6.侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1 = 112°，则∠2等于_______度．
变｜式｜巩｜固
11.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐶边上一点，过𝐷作𝐷𝐸∥𝐴𝐵，交𝐵𝐶于𝐸，𝐹为𝐴𝐵边上一点，连接𝐷𝐹并延长，交
𝐶𝐵的延长线于𝐺，且∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴．
解题贴士
找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算
(1)𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐹吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若∠𝐶= 80°，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，求∠𝐺的度数．
12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D，E 分别是边𝐵𝐶
，
𝐴𝐶上的点，连接𝐴𝐷
，
𝐵𝐸．
(1)若𝐵𝐸⊥𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐵= 66°，则∠𝐴𝐵𝐸的度数为______；
(2)若𝐷是𝐵𝐶的中点，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，求证：𝐵𝐸⊥𝐴𝐶；
(3)若𝐴𝐷,𝐵𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的中线和角平分线，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(4)连接𝐷𝐸，若𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
①当𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，且∠𝐵𝐴𝐷= 30°时，则∠𝐸𝐷𝐶的度数为______；
②当𝐴𝐷不是边𝐵𝐶上的高时，请判断∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐷𝐶之间的数量关系，并加以证明．
题型07 三角形与平行线之间的角度问题
典｜例｜精｜析
例7.如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若∠1 = 16°，则∠2的度数为（ ）
A．74°
B．66°
C．64°
D．76°．
变｜式｜巩｜固
13.如图，直线𝑎∥𝑏，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，若∠1 = 130°，则∠2等于（ ）
解题贴士
主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理、直角三角形性质和三角
形外角性质来解决问题.
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
14.如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
题型08 三角形折叠中的角度问题
典｜例｜精｜析
例8.如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，将纸片的一角沿𝐷𝐸折叠，使点C 落在△𝐴𝐵𝐶内，记为点𝐶′．若
∠𝐶= 40°，则∠1 + ∠2等于（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
变｜式｜巩｜固
15.如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷折叠，点𝐴落在𝐴′处，𝐴′𝐷交𝐵𝐶于点𝐸．将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠，点𝐶落在
△𝐵𝐷𝐸内的𝐶′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．𝛼+ 2∠1 = 90° B．𝛼+ ∠2 = 90°
C．2𝛼+ ∠1 = 90°
D．2𝛼+ ∠2 = 90°
16.如图，有一张三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐵= 30°，∠𝐶= 50°，点D 是𝐴𝐵边上的固定点(𝐵𝐷< 1
2𝐴𝐵)，在𝐵𝐶上找
一点E，将纸片沿𝐷𝐸折叠（𝐷𝐸为折痕），点B 落在点F 处，使𝐸𝐹∥𝐴𝐶，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为_________．
解题贴士
三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角
和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题.
题型09 三角板放置中的角度计算
典｜例｜精｜析
例9.两个直角三角板如图摆放，其中∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，若𝐶是𝐷𝐸上一点且𝐴𝐶∥
𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐸的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．75°
D．80°
变｜式｜巩｜固
17.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠𝛼的度数为（ ）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
18.将一副三角板按图中的位置摆放，使得点𝐷落在边𝐵𝐶上，若𝐴𝐶∥𝐸𝐹，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
解题贴士
利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问
题.
题型10 等腰三角形角度探究
典｜例｜精｜析
例10.如果等腰三角形有一个角是30°，则它的顶角是_____________
变｜式｜巩｜固
19.若一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为
_________________________________________________________
20.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是_________
题型11 三角形与角平分线、高线综合运用
典｜例｜精｜析
例11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸于点F，当
∠𝐴𝐷𝐹= 69°，∠𝐶= 65°时，∠𝐵的度数为（ ）
A．21°
B．23°
C．25°
D．30°
变｜式｜巩｜固
21.如图，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线．
(1)若∠𝐵= 70°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐵= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，且𝛼> 𝛽，直接写出∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐷𝐴𝐸的度数（用含𝛼，𝛽的代数式表示）．
解题贴士
利用等腰三角形的两底角相等解决问题
解题贴士
解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义
综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键
22.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐸，交∠𝐴𝐶𝐵的平分线于
点𝑃，𝐶𝑃与𝐷𝐸相交于点𝐺，∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝑄与𝐷𝑃的延长线相交于点𝑄．
(1)若∠𝐴= 50°，∠𝐵= 60°，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄；
(2)若∠𝐴= 𝑥°时，求∠𝐷𝑃𝐶与∠𝑄；
(3)若△𝑃𝐶𝑄中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠𝐴的度数．
题型12 三角形中的新定义问题
典｜例｜精｜析
例12.当三角形中一个内角𝛽是另一个内角𝛼的
1
2时，我们称此三角形为希望三角形，其中𝛼称为希望角．若
一个希望三角形中有一个内角为54°，求这个希望三角形的希望角𝛼的度数．
变｜式｜巩｜固
23.如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足2𝛼+ 𝛽= 90°，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点
𝐵
、
𝐶
、
𝑃是直线𝑙上的点，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，若△𝐴𝐵𝑃是“类直角三角形”，则∠𝐴𝑃𝐵= ___________°．
24.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的
1
2，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三
角形叫作“和谐三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 70°，∠𝐵= 35° ，那么∠𝐴与∠𝐵互为“和谐角”，
△𝐴𝐵𝐶为“和谐三角形”．
(1)如图①，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD．
①△𝐴𝐵𝐶________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，请判断△𝐵𝐶𝐷是否为“和谐三角形”，并说明理由．
(2)如图②，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，∠𝐴= 80°，D 是线段AB 上一点（不与点A，B 重合），连接CD．若
△𝐴𝐶𝐷是“和谐三角形”，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为________．
解题贴士
理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问
题
题型13 双角角平分线模型的角度探究
典｜例｜精｜析
例13.如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷,𝐶𝐷,𝐴𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶，外角∠𝐴𝐶𝐹，外角∠𝐸𝐴𝐶．则下列结
论中不一定成立的是（ ）
A．𝐴𝐷∥𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵
C．𝐴𝐷= 𝐶𝐷
D．∠𝐵𝐷𝐶= 1
2∠𝐵𝐴𝐶
变｜式｜巩｜固
25.探究以下问题：
(1)探究一：如图（a），𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，请确定∠𝐴与∠𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)探究二：如图（b），𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑀，请确定∠𝐴与∠𝐸的数量关系________________；
解题贴士
(3)探究三：如图（c），𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝑃，𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝑄，请确定∠𝐴与∠𝐹的数量关系________________；
解决问题：
(4)如图（d），在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 56°，𝐵𝐷，𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，M，N，Q 分别在𝐷𝐵，𝐷𝐶，𝐵𝐶的
延长线上，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐹= ________．
26.【初步认识】
(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵 = _____；
∠𝐵𝑃𝐶= _____；
【继续探索】
(2)如图2，∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐴𝐶𝐸的平分线𝐵𝐹，𝐶𝐹相交于点𝐹，若∠𝐴= 70°，∠𝐵𝐸𝐶= 130°，求∠𝐵𝐹𝐶的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵，延长
𝐵𝑃，𝑁𝐶交于点𝑀．在△𝐵𝑀𝑁中，有一个内角为30°，直接写出∠𝐴的度数．
题型14 不规则图形内角和
典｜例｜精｜析
例14.如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数为__________．
变｜式｜巩｜固
27.如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°．
28.在五角星形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数= _______．
解题贴士
利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题
基础通关
1.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐵= 54°，则∠𝐴的度数是（ ）
A．56°
B．46°
C．36°
D．26°
2.如图，直线𝑎∥𝑏，若∠1 =40°，∠2 =70°，则∠3等于（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D． 70°
3.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 1:1:2
C．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
D．∠𝐴= 1
2∠𝐵= 1
3∠𝐶
4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶
，
𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
5.如图，△𝐴𝐵𝐶的外角平分线𝐴𝐷交射线𝐵𝐶于点𝐷,𝐸在𝐵𝐴延长线上，若∠𝐵= 35°，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，则∠𝐴𝐶𝐷的
度数为______________
6.如图，直线𝑎∥𝑏，直角三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点C 在直线b 上，若∠1 = 55°，则∠2度数为_______
7.如图，△𝐴BC中，∠B =40°，∠C =30°，点𝐷为边𝐵C上一点，将△𝐴DC沿直线𝐴D折叠后，点𝐶落到点𝐸
处，若𝐷E ∥𝐴B，则∠ADC的度数为_______
8.如图是𝐴，𝐵，𝐶三岛的平面图，𝐶岛在𝐴岛的北偏东58°方向，𝐶岛在𝐵岛的北偏东24°方向．那么从𝐶岛看
𝐴，𝐵两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵的度数为______．
9.如图，在△𝐴𝐸𝐶中，D 为边𝐴𝐶上一点，B 为𝐶𝐸延长线上一点，连接𝐵𝐷交𝐴𝐸于点F，若∠𝐵= 45°，
∠𝐶= 38°，∠𝐴= 25°，则∠𝐴𝐹𝐷等于_________
10.如图，∠𝐵= 60°，且∠𝐵𝐴𝐶:∠𝐴𝐶𝐵= 2:1，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高．
(1)求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
(2)求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点D，过点D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐸
交𝐴𝐶于点F．
(1)求证：𝐷𝐹是∠𝐴𝐷𝐸的平分线；
(2)若∠𝐵𝐸𝐷= 20°，∠𝐴𝐶𝐵= 81°，求∠𝐴𝐹𝐷的度数．
素养提升
1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线相
交于点𝐷，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线相交于点𝐸，则下列结论中，错误的是（）
A．∠𝐷= 1
2∠𝐴
B．∠𝐸= 90°−∠𝐴
C．∠𝐵𝑂𝐶= 90° + 1
2∠𝐴
D．∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹−∠𝐴𝐵𝐷= 90°
2.如图，已知∠𝐵𝐴𝐷= 30°，∠𝐵𝐶𝐷= 75°，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐵𝐶= 1
3∠𝐴𝐵𝐶，则∠𝐷𝐸𝐵的度数为
（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
3.如图，𝐺𝐴∥𝐹𝐷，一副三角板如图摆放，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，∠𝐵𝐴𝐶= 45°，若𝐵𝐶∥𝐷𝐸，下列结论：
①𝐸𝐹∥𝐴𝐵；②∠𝐺𝐴𝐵= 30°；③𝐸𝐶平分∠𝐹𝐸𝐷；④∠𝐴𝐸𝐷= 135°．其中正确的是______．
4.图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不同位置所决定，即位置决定数量关
系．如图，直角三角板𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 60°，将三角板𝐴𝐵𝐶沿着射线𝐶𝐴方向平移，得到三角形
𝐴′𝐵′𝐶′，连接𝐶′𝐵，在平移过程中，若∠𝐵𝐶′𝐵′与∠𝐶′𝐵𝐴之间存在两倍关系，则∠𝐶′𝐵𝐴= __________°．
5.如图①，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 60°．
(1)求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)如图②，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“点F 在𝐷𝐴的延长线上，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶”，其他条件不变，求∠𝐷𝐹𝐸的度数；
(3)如图③，若把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐶”，其他条件不变，∠𝐷𝐴𝐸的大小是否变化，并请说明理由．
6.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E 在𝐵𝐴延长线上，连接𝐶𝐸交𝐴𝐷于F，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶．
(1)求证：𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
(2)如图1，若∠𝐸𝐹𝐴= 90°−1
2∠𝐴𝐷𝐶，求证：𝐶𝐹平分∠𝐵𝐶𝐷；
(3)如图2，在（2）的条件下，∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐶= 40°，点M 在𝐵𝐶上，点N 在𝐵𝑀上，∠𝑀𝐹𝑁= ∠𝑀𝑁𝐹，𝐹𝐻
平分∠𝐸𝐹𝑀交𝐴𝐵于点H，连接𝐻𝑁，𝐻𝑁⊥𝐻𝐹，求∠𝐻𝑁𝐹的度数．
迁移创新
1.如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠1 = 50°，∠2 = 30°，则∠3的度数为
（ ）
A．90°
B．80°
C．70°
D．60°
2.如图，一束光线照射到平面镜𝐶𝐷上，然后在平面镜𝐴𝐵和𝐶𝐷之间来回反射，光线的反射角等于入射
角．若∠1 = 50∘
，
∠3 = 76∘，则∠2的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．63°
D．65°
3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形
叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶
为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90°
①则∠𝐴= _________，∠𝐵= __________．
②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是
否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿
𝐶𝐷翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
