文档文本内容
13.3.2 三角形的外角 （导学案）
【学习目标】
1. 理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。
2. 掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。
【学习重点】
三角形外角的概念及三角形外角的性质。
【学习难点】
1. 准确理解“不相邻”的含义；
2. 运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。
【自主预习】阅读教材，完成以下问题：
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
构成外角的三个条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③角的另一边是三角形中一边的延长线。
性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（和为180°）。←
性质2（核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。←
性质3（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
【课堂探究】
情景导入
观看视频《初识外角》
提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究
一下内角与外角之间的奥秘吧
新知探究
一、三角形的外角
1. 定义建构：结合PPT 演示，明确三角形外角的定义——三角形的一边与另一边的延长线组成的
角。
2. 辨析条件：强调构成外角的三个要素：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③角的另一边是三角形中一边的延长线.
3. 数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6 个外角，每个顶点处有2 个对顶角相等的外
角。
思考：问1.延长线段𝐴𝐶至𝐸，以点𝐶为顶点新增的角有哪些？
∠𝐵𝐶𝐸和∠𝐷𝐶𝐸
问2.这两个新增角是∆𝐴𝐵𝐶的外角吗？为什么？
∠𝐵𝐶𝐸是∆𝐴𝐵𝐶的一个外角，
因为∠𝐵𝐶𝐸是边𝐵𝐶与𝐴𝐶延长线所组成的角
∠𝐷𝐶𝐸不是∆𝐴𝐵𝐶的一个外角，
因为∠𝐷𝐶𝐸是边𝐵𝐶的延长线与𝐴𝐶延长线所组成的角
问3.由上可知，以𝐶为顶点的∆𝐴𝐵𝐶的外角有几个？
有2 个
问4.以𝐶为顶点的∆𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷和外角∠𝐵𝐶𝐸之间有什么关系？
∠𝐴𝐶𝐷 与∠𝐵𝐶𝐸为对顶角，∠𝐴𝐶𝐷 =∠𝐵𝐶𝐸；
问5.你还能画出∆𝐴𝐵𝐶的其他外角吗？
结论
（1）每一个三角形都有6 个外角．
（2）每一个顶点相对应的外角都有2 个，且这2 个角为对顶角.
【针训一】
1.下图中∠1是三角形一个外角的是（ D ）
2．如图，下列说法错误的是(C)
A．∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的一个外角，也是△𝐴𝐷𝐶的一个内角
B．∠𝐴𝐸𝐵是△𝐴𝐸𝐵的一个内角，也是△𝐴𝐸𝐹的一个内角
C．∠𝐴𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐹的一个内角，也是△𝐴𝐸𝐹的一个内角
D．∠𝐶是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，也是△𝐴𝐷𝐶的一个内角
二、 三角形的外角的性质
问6. △𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷与其相邻的
内角∠𝐴𝐶𝐵有什么关系？
互补, ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°
问7. △𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷与其不相邻的两内角(∠𝐴，∠𝐵)有什么关系？
猜想：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵
你能证明这个的结论吗？
如图，在∆𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐷为∆𝐴𝐵𝐶的外角
求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵
法一、证明：∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°
∴∠𝐴𝐶𝐷 = 180 °－∠𝐴𝐶𝐵
又∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°
∴∠𝐴+ ∠𝐵 = 180 °－∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐷
法二、证明：过𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵
∵𝐶𝐸//𝐴𝐵
∴∠1 = ∠𝐵 ，∠2 = ∠𝐴
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐵
即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵
三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
几何语言
∵ ∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角.
∴ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵.
问8. ∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐴或∠𝐵有怎样的数量(大小)关系？
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+∠𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐴, ∴∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐵,
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
针训二、
1.判断题：
(1)一个三角形有三个外角。（ × ）
(2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（ √ ）
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（ × ）
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ √ ）
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（ × ）
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ √ ）
2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐴𝐶上（不与端点重合），连接𝐵𝐷．则∠1，∠2，∠3的大小关系是
（ A ）
A．∠1 < ∠2 < ∠3
B．∠3 < ∠1 < ∠2
C．∠3 < ∠2 < ∠1
D．∠2 < ∠1 < ∠3
3.如图，根据图形回答问题
(1)∠1=__∠𝐷𝐴𝐶_____+___∠𝐴𝐶𝐷 ______
(2)∠2=___ ∠3____+____ ∠4_____
(3)∠2___>____ ∠3
4.求下列各图中∠𝛼的度数
典例分析
例1.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的角平分线为𝐴𝐷，若∠𝐵= 50°，∠𝐶= 30°，求∠𝐴𝐷𝐵的度数．
解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−50°−30° = 100°.
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2 × 100° = 50°.
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 30° +50° = 80°
例2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝60°，𝐵𝐷，𝐶𝐸分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵上的高，𝐻是𝐵𝐷与𝐶𝐸的交点，求∠𝐵𝐻𝐶
的度数．
解：∵𝐵𝐷是高，
∴∠𝐴𝐵𝐷＝90°－∠𝐴＝90°－60°＝30°.
∵𝐶𝐸是高，
∴∠𝐶𝐸𝐵＝90°.
∴∠𝐵𝐻𝐶＝∠𝐴𝐵𝐷＋∠𝐶𝐸𝐵＝30°＋90°＝120°
例3.如图，∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐶𝐵𝐹，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的三个外角，它们的和是多少？
解：∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠2 + ∠3，∠𝐶𝐵𝐹= ∠1 + ∠3，∠𝐴𝐶𝐷= ∠1 + ∠2.
∴ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐷 =2(∠1 + ∠2 + ∠3).
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐷= 360°.
归纳总结
三角形的外角和为360°
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
变式训练
1.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶的延长线于
点E，点F 为𝐴𝐶延长线上的一点，连接𝐷𝐹．
(1)求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)若∠𝐹= 20°，求证：𝐵𝐸//𝐷𝐹．
解（1） ：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 50°，∠𝐶𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴= 140°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 1
2∠𝐶𝐵𝐷= 70°．
证明（2） ：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 180°−90° = 90°，
∵∠𝐶𝐵𝐸= 70°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= 90°−∠𝐶𝐵𝐸= 20°，
∵∠𝐹= 20°，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐹，
∴𝐵𝐸//𝐷𝐹．
2.𝐴𝐵和𝐴𝐶相交于点𝐴， 𝐵𝑂和𝐶𝑂相交于点𝑂，
(1)已知∠𝐵= 10°，∠𝐶= 20°,∠𝐵0𝐶= 110°，求∠𝐴的度数.
(2)探究∠𝐵𝑂𝐶与∠𝐵、∠𝐶、∠𝐴的关系．
解：【方法一】延长𝐵𝑂交𝐴𝐶于点𝐷.
∵∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶+ ∠𝐶,
∴∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐶= 90°。
又∵∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝑂𝐷𝐶−∠𝐵= 80°
【方法二】如图，连接𝐵𝐶.
在△𝐵𝑂𝐶中，根据三角形内角和求出∠1 + ∠2 = 70°.
再由∠𝐴𝐵𝑂= 10°，∠𝐴𝐶𝑂= 20°
求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 100°，
从而得到∠𝐴= 180°−100° = 80°.
【方法三】如图，连接𝐴0并延长至点𝐷.
易得∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵，∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝐶，
故∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶.
再由∠𝐵0𝐶= 110°，∠𝐵= 10°，∠𝐶= 20°
得出∠𝐴= 80°
解(2)如图，连接𝐴0并延长至点𝐷.
易得∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵，∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝐶，
∵∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷.
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶.
归纳总结
(1)燕尾模型结论∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵+∠𝐶.
(2)通过添加辅助线将问题转化为三角形内角和三角形外角的问题是解决此类问题的常用方法，体现
了数学的转化思想
3.(1)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．若∠𝐴= 80°，则∠𝑃=
____130________°；
(2)如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵．请探索∠𝐴与∠𝑃之间的数量关系
(3)如图②，𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑀平分外角∠𝐴𝐶𝐷，请探索∠𝐴与∠𝑀之间的数量关系
(4)如图③，𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵．请探索∠𝐴与∠𝑁之间的数量关系；
解(2)如图①，∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，
∴∠𝑃= 180°−(∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝐵𝐶𝑃) = 180°−1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 90° + 1
2∠𝐴；
解(3)如图②，∵𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑀平分外角∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴𝐵𝑀= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝐴𝐶𝑀= 1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑀，
∴2∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ 2∠𝐶𝐵𝑀= 2(∠𝑀+ ∠𝐶𝐵𝑀)，
整理得，∠𝐴= 2∠𝑀；
解(4) ：∵𝐵𝑁平分外角∠𝐸𝐵𝐶，𝐶𝑁平分外角∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝑁= ∠𝐸𝐵𝑁= 1
2∠𝐶𝐵𝐸,∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐹𝐶𝑁= 1
2∠𝐵𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180°−∠𝐴𝐵𝐶+ 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 360°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° +∠𝐴，
∴∠𝑁= 180°−(∠𝐶𝐵𝑁+ ∠𝐵𝐶𝑁) = 180°−1
2(∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 90°−1
2∠𝐴，
∴∠𝑁= 90°−1
2∠𝐴；
归纳总结：三角形角平分线模型
【课堂总结】
【课堂练习】
1.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷在𝐶𝐵的延长线上,∠𝐴＝70°,∠𝐴𝐵𝐷＝120°，则∠𝐶等于(B)
A．40° B．50° C．60° D．70°
2.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐹为𝐵𝐶延长线上的一点,若∠𝐴= 70°,∠𝐴𝐶𝐹= 140°，
𝐷𝐸//𝐵𝐹，则∠𝐴𝐸𝐷= 40° ．
3．如图，点𝐷，𝐸分别在线段𝐵𝐶，𝐴𝐶上，连接𝐴𝐷，𝐵𝐸.若∠𝐴＝35°，∠𝐵＝25°，∠𝐶＝50°，则∠1的大
小为_70°___．
4.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB 的度数是__ 105°______
5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝30°，∠𝐴𝐶𝐵＝80°，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷的平分线𝐵𝐸交𝐴𝐶的延长线于点𝐸.
求∠𝐶𝐵𝐸和∠𝐸的度数．
解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴＝30°，∠𝐴𝐶𝐵＝80°，
∴∠𝐶𝐵𝐷＝∠𝐴＋∠𝐴𝐶𝐵＝ 110°.
∵𝐵𝐸是∠𝐶𝐵𝐷的平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐸＝1
2∠𝐶𝐵𝐷＝55°.
∵∠𝐴𝐶𝐵＝80°，
∴∠𝐸＝∠𝐴𝐶𝐵－∠𝐶𝐵𝐸＝80°－55°＝ 25°.
6.如图，已知𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上一点，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，∠𝐴＝35°，∠𝐴𝐶𝐷＝83°.
(1)求∠𝐵的度数；
(2)若∠𝐷＝42°，求∠𝐴𝐹𝐸的度数．
解：(1)∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，∠𝐴＝35°，∠𝐴𝐶𝐷＝83°，∴∠𝐵＝∠𝐴𝐶𝐷－∠𝐴＝48°.
(2)∵∠𝐴𝐹𝐸是△𝐵𝐷F 的一个外角，∠𝐵＝48°，∠𝐷＝42°，
∴∠𝐴𝐹𝐷＝∠𝐵＋∠𝐷＝48°＋42°＝90°.
【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
