文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28.1 图形的旋转（第2 课时 图形旋转的应用） （导学案） （1）掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向和旋转角，作出简单平面图形旋转后的图形，理解旋 转作图的依据是旋转的性质. （2）理解旋转的“变”与“不变” ：通过改变旋转中心或旋转角，观察同一图案旋转后产生的不同效果， 体会旋转中“变”与“不变”的辩证关系. （3）感受旋转的应用价值：能识别生活中的旋转图案，了解旋转在图案设计中的应用，欣赏数学之美，发 展几何直观和空间观念. 重点：旋转作图的基本步骤和方法. 难点：准确确定关键点的对应点位置，理解旋转中心、旋转角变化对旋转效果的影响. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题1：上节课我们学习了旋转的概念和性质，请同学们回顾： （1）旋转的三要素是什么？ （2）旋转有哪些基本性质？ 学生回答：旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转性质包括旋转前后图形全等、对应点到旋转 中心距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角. 教师展示两组图片：（1）方格纸中一个三角形及其绕点O旋转后的图形；（2）由旋转形成的美丽图案（如 风车、花瓣纹样）. 问题2：图（1）中，如果只给你原图形和旋转条件，你能自己画出旋转后的图形吗？图（2）中这些美丽的 图案又是如何设计出来的？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第94-95页的内容 【学法指导】自研课本94-95 页内容 (一)画出旋转后的图形 思考：与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要 画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形. 问题：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后 的图形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 追问1：画出旋转后的图形的关键是什么？ 画出旋转后图形的关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 追问2：旋转中心是什么点？ 点A是旋转中心. 追问3：△ADE三个顶点的对应点的位置怎样确定？ 点A是旋转中心，其对应点是它本身；点D的对应点可由正方形的性质确定；点E的对应点可由旋转的性质确 定. 详解：① 因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. ② 在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. ③ 设点E的对应点为E′.由旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′= DE.因此， 在CB的延长线上取点E′，使BE′ =DE，则△ABE′即为旋转后的图形. 追问4.还有其他方法确定旋转后的图形吗? 学生讨论说出自己的想法. 方法归纳：教师引导学生总结旋转作图的一般步骤： ①找 确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点 ②连 连接各关键点与旋转中心 ③转 将连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度 ④截 在旋转后的射线上截取与对应连线相等的线段，得到对应点 ⑤连 按原图形的顺序连接各对应点 ⑥写 写出结论 （二）旋转的应用——图案设计 活动1.将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，怎样得到的五角星图案. 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五 角星图案. 追问1：需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 学生讨论：再旋转4次，每次的旋转角是72°. 学生动手实际操作. 活动2：观察下图，两个旋转中旋转中心相同但旋转角不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转中心不变，旋转角改变，图案旋转后各对应点的位置不同，整体效果也不同. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 活动3：观察教材下图，两个旋转中旋转角相同但旋转中心不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转角不变，旋转中心改变，图案整体位置不同，但各对应点与旋转中心连线所成的角相同. 师生共同归纳：选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会产生不同的效果。旋转的三要素 共同决定旋转后的图形位置。 图案设计欣赏： 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. 追问：这些图案分别是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转了几次？ 学生对照不同图形进行讨论. 活动4：学生利用三角尺或网格纸，以小组为单位，选择一个基本图形，确定旋转中心和旋转角，通过多次 旋转设计一个图案. 自研课本P163-164 页内容 典型例题 例1.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”．出自唐朝诗 人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学 知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（ ） A． B． C． D． 【分析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出；故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例2.如图，在ABC 中，AC BC = ，CD是中线； ( ) 0 90 ABM = ，BCD △ 绕点B 顺时针旋与 BEF △ 重合，点C ，D的对应点分别为点E ，F ． (1)尺规作图：作 BEE △ （不写作法，保留作图痕迹）； (2)若 90 ACB = ， 60 = ，求证：A E F ，，三点在同一直线上． 【分析】（1）根据作角等于已知角的方法即可求解； （2 ）根据组图可得 ( ) SAS BCD BEF ≌ ， 90 BDC BFE = = ， 90 BFA = ，根据 105 45 30 180 ABE BEA BAE + + = + + = 即可求解． 【详解】（1）解： ( ) 0 90 ABM = ， BCD △ 绕点B 顺时针旋与 BEF △ 重合，点C ，D 的对应点 分别为点E ，F ， ∴线段BD在线段BM 上，即点E 在线段BM 上，且BE BD = ，如图所示， ①以点B 为圆心，以BD为半径画弧GH ，交BC 于点G ，交BM 于点F ，连接DG ； ②以点F 为圆心，以DG 为半径画弧，交弧GH 于点K ，连接BK 并延长至点P ； ③以点B 为圆心，以BC 为半径画弧 CQ ，交BP于点E ，连接EF ，得 BEF △ ； ∴根据作图可得，BD BG BF BK = = = ，DG EK = ， ∴ ( ) SSS BDG BFK ≌ ， ∴ DBG FBK = ， ∵BC BE = ， ∴在 , BCD BEF 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BD BF DBC FBE BC BE = = = ， ∴ ( ) SAS BCD BEF ≌ ，即 BCD △ 绕点B 顺时针旋转得 BEF △ ， ∴ BEF △ 即为所求图形． （2）解： 90 ACB = ， 60 ABM = = ，如图所示，连接AF ，交BC 于点R ， ∵AC BC = ， ∴ 45 CAB CBA = = ， ∵CD AB ⊥ ，且由（1）可知， ( ) SAS BCD BEF ≌ ， ∴ 90 BDC BFE = = ， 45 BEF BCD = = ， ∵ 60 CBD CBF DBM + = = ， ∴ 60 EBF CBF + = ， 15 CBM = ， 在 BER △ 中， 180 180 60 45 75 BRE EBR BEF = − − = − − = ， 在 BFR △ 中， 75 15 90 BRF CBF + = + = ， ∴ 90 BFR = ， 在 ABF △ 中， 60 ABF = ， 90 BFA = ， ∴ 30 BAF = ，且 60 45 105 ABE ABF FBE = + = + = ， ∴ 105 45 30 180 ABE BEA BAE + + = + + = ， ∴点, , A F E 三点共线． 第二环节 合作探究 1.讨论旋转作图的一般步骤. 2.讨论如何通过旋转设计精美的图案. 拓展提升：1.如图，在等腰直角三角形ACF 中，AC AF = ，ABE 是由 ACF △ 绕点A按顺时针方向旋转 ( ) 0 90 得到的，连接EF BC ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 130 CAE = ，求旋转角的度数和 ACB 的度数； (2)判断EF 与BC 之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解： ACF △ 是等腰直角三角形， ∴ 90 CAF = ∠ ， 130 CAE = ， ∴ 130 90 40 = − = ， ∵ABE 是由 ACF △ 旋转得到的， ∴AC AB = ， ∴ACB ABC ， ∵ 40 BAC = = ， ∴ 70 ACB = ； （2）解：EF BC = ， 理由：∵ABE 是由 ACF △ 旋转得到的， ∴AE AB = ， EAF BAC = ，AF AC = ， ∴ AEF ABC ≌ △ △ ， ∴EF BC = ． 课本课堂P95练习. 1．（2026·武汉统考）亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转n后，能与原来的图案重合， 那么n的值可能是（ ） A．45 B．30 C．60 D．120 【详解】解：该图形被平分成八部分，旋转45的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为45． 故选：A． 2．（2026.保定统考）如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点O旋转72后可以和自身重合，若五个叶 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 片的总面积为20， 72 AOB = ，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解：∵五个叶片的总面积为20， ∴一个叶片的面积为4， 72 AOB = ， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积，是4， 故选：B． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的 顶点均在格点上，画出将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90后所得到的 1 1 A B C ． 【详解】解：如图， 1 1 A B C 是所求的三角形． ． 知识技能：旋转作图：找关键点 → 作对应点（利用性质）→ 顺次连线.旋转作图依据：对应点到旋转中 心距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角.旋转的应用：改变旋转中心或旋转角，可产生不 同旋转效果；旋转可设计美丽图案. 思想方法：转化思想：图形的旋转转化为点的旋转，化复杂为简单.数形结合：用数量关系（距离相等、角 相等）指导几何作图.变中寻不变：旋转中心、旋转角在变，但旋转的性质不变. 易错提醒：关键点选取不全：作图时需找出图形的所有“转折点”（如多边形的顶点、线段的端点），遗 漏任何一个都会导致图形错误.对应点位置不准确：作对应点时既要保证“距离相等”，又要保证“角度相 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 等”，二者缺一不可.混淆旋转中心与图形上的点：旋转中心是固定不动的点，可能是图形内部的点、外部 的点或图形上的点，需准确识别.旋转方向忽略：顺时针和逆时针旋转得到的图形位置不同，作图时必须明 确方向 .
