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25.3 实际问题与一元二次方程
（第2 课时病毒传播、平均下降率问题）（导学案）
（1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下
降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合
理方程根.
（2）经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌
握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.
（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严
谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.
重点：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通
用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤.
难点：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、总患病人数；区分增长率与下降率公
式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？
审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案.
【学法指导】
新知自研：自研课本第21-22 页的内容
【学法指导】自研课本P21-22 页内容
（一）病毒传播问题
活动1：平均1 个人传染了多少个人？
问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1 人被传染，经过两轮传染后共有121 人被传染，那么每轮
传染中平均1 个人传染了多少个人？
学生讨论交流，按通用步骤进行思考：
（1）审题梳理：初始患病人数1 人，经过两轮完整传染，总人数121 人，求单人每轮传染人数；
（2）规范设元：设每轮传染中平均一个人传染x 个人；
（3）分步分析数量变化第一轮传染：1 个患者传染x 人，第一轮后总患病人数：1+x；第二轮传染：(1+x)
个患者，每人再传染x 人，第二轮新增传染人数：x(1+x)；两轮结束后总患病人数：原有患者+两轮新增患
者=(1+x)+x(1+x)=(1+x) ；
（4）建立方程：(1+x) =121；
（5）求解验根：解得
传染人数不能为负数，舍去负根；
（6）规范作答，梳理完整解题步骤.
师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1 人传播，两轮后总人数为(1+x) （x 为单
人每轮传染人数）.
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追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？
(1+x) =(1+10) =1331
（二）平均下降率问题
活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？
问题：两年前
产
⽣
1t 甲种
品的成本是
⻝
10000 元 ,
产
⽣
1t
种
品的成本是
⼄
⻝
12000 元.随着
产技术的进
⽣
步,现在
产
⽣
1t 甲种
品的成本是
⻝
6000 元,
产
⽣
1t
种
品的成本是
⼄
⻝
7200 元.哪种
品成本的年平均下降
⻝
率较⼤?
追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？
甲乙两种食品成本年平均下降额分别是（10000-6000）÷2=2000（元），（12000-7200）÷2=2400（元）.
追问2：平均下降额与下降率有什么不同？
平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值
追问3：怎样比较哪种
品成本的年平均下降率较
⻝
⼤?
可以分别求出两种
品成本的年平均下降率
⻝
，再进行比较.
师生探究建模 先求出甲种
品
⻝
年平均下降率
（1）设元：设平均每年降价的百分率为x；
（2）分步表示价格：
甲种
品
⻝
一年后成本：10000(1-x)；
甲种
品
⻝
二年后成本：10000(1-x)(1-x)=10000(1-x) ；
（3）等量关系：原成本×(1 下降率
−
)²=二年成本；
（4）列方程求解：10000(1-x) =6000；
（5）解方程，得
（6）验根取舍：下降率小于1、大于0，舍去不符合范围的根，规范作答.
学生自主求解甲种
品
⻝
年平均下降率：得
追问4：经过计算，你得出什么结论？
品
⻝
年平均下降率相同
追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？
年平均下降额大，平均下降率不一定大
师生共同总结模型归纳：
平均变化率通用模型：
连续两次增长：a(1+x) =b；连续两次下降：a(1-x) =b（a 初始量，x 变化率，b 最终量）.
（三） 传播问题、下降率变式提升
活动3：讨论交流有2 人感染流感，经过两轮传染后共有288 人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.
突破初始人数不为1，总人数公式调整为2(1+x) =288，引导学生灵活变通模型，突破固定思维.
活动4：讨论交流某某工厂2023 年年生产总值为50 万元，经过增产到2025 年年生产总值为98 万元，求平
均每年增长的百分率.
学生讨论交流增长率设元后，列式建立方程50(1+x) =98.
学生小组纠错、对比辨析，强化两类模型的区别与应用场景.
典型例题
【自研自探】
自研课本P21-22 页内容
典型例题
例１.春季是传染病多发季节．2023 年3 月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1 人被感染，
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经过两轮传播后，就有256 人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键．设每人每轮传
染的人数为x 人，则第一轮传染后有
人患病，第二轮传染后有
人患病，
据此列出方程求解即可.
【详解】解：设每人每轮传染的人数为x 人，
由题意得，
，
解得
或
（舍去），
∴每轮每人传染的人数为15 人．
例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020 年利润为2 亿元，2022 年利润为3.92 亿元．
求该企业从2020 年到2022 年利润的年平均增长率．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该企业从2020 年到2022 年利润的年平均增长率为
，理解
题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该企业从2020 年到2022 年利润的年平均增长率为
，
由题意得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去），
该企业从2020 年到2022 年利润的年平均增长率为
．
例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店
采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2 元，平均每天可多售出4 件．
(1)若降价6 元，则平均每天销售数量为___________件；
(2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200 元？
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）根据销售单价每降低2 元，平均每天可多售出4 件，列式计算即可；
（2）设每件商品降价
元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可．
找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：
（件）；
故答案为：
；
（2）设每件商品降价
元，由题意，得：
，
整理，得：
，
解得：
，
∵让顾客更实惠，
∴应降价20 元；
答：每件商品降价20 元时，该商店每天销售利润为1200 元．
第二环节 合作探究
1.讨论病毒传播问题模型问题模型.
2.讨论平均下降率问题、上升率问题模型.
拓展提升：1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50 元，连续两次降价后每千克32 元，若每每次
下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；
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(2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：
，
解得：
（不符合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）设每千克应涨价y 元，则每千克盈利
元，每天可售出
元，
依题意得：
，
整理得：
，
解得：
．
又∵要尽快减少库存，
∴
．
答：每千克应涨价5 元．
课堂练习：课本P22 随堂练习
1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560 吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860 吨，
若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860 吨，
∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
故选：C．
2．（2025•重庆）某景区2022 年接待游客25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024 年接待游客
达到36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．44%
【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25（1+x）2＝36，
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解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
故选：B．
3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为125 元，随着生产成
本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25 元，乙种商品2024 年每件的进价为80 元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024 年该超市用不超过7800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲
种商品．
（2）设购进y 件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合
进货总价不超过7800 元，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意得：125(1－x)2＝80，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y 件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，
根据题意得：(125－25×2)y＋80(100－y)≤7800，
解得：y≥40，
∴y 的最小值为40．
答：最少购进40 件甲种商品．
1. 知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1 人传播总人数(1+x) ，初
始多人可灵活套用a(1+x) =b；明确总人数为正整数，需合理验根.（2）平均下降（增长）率模型：熟记
连续两次下降
（增长
）通用公式a(1x) =b，可应用于降价、减产、减排
（涨价、增产、增排）
等所有等
量衰减（增加）问题.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程应用题审、设、列、解、验、答六步规范，
能根据人数、百分率、数量的实际取值范围取舍方程根.
2. 思想方法：（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二
次方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态
为静态.（3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始
1 人与初始多人传播
模型，归纳通用规律，构建
系统化知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑.
3. 易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数；死记公式，不会变通初始人数
不为
1 的
题型；忽略人数为正整数，不舍去负根.（2）下降率问题误区：增长、下降公式混用，下降率误
用(1+x)列式；忘记百分率取值范围（
0 ＜
x ＜
1 ）
，保留不合理根.（3）通用误区：设元不规范，漏写“百
分率”含义；解题步骤残缺，无检验、无完整作答；计算平方项时出现运算错误.
