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25.3 实际问题与一元二次方程
（第1 课时 代数数字、图形面积问题）（导学案）
（1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；
完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.
（2）经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提
升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.
（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题
的严谨性与自信心.
重点：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元
二次方程，规范解题步骤.
难点：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留白、裁剪问题）中提炼“整体面积、
局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取舍方程的两个根.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程(组)解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程(组)等
一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元
二次方程解决实际问题.
【学法指导】
新知自研：自研课本第20-21 页的内容
【学法指导】自研课本P20-21 页内容
（一）代数数字关系问题
活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数.
活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?
（二）几何图形面积问题
活动3：一个正方形的边长增加2cm，面积增加24cm ²，求原正方形的边长.
活动4：用一根长为40m 的细绳，能否围成一个面积为96m ²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯
一?
追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域?
思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m;
(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这
些设法，说说它们各自的特点.
学生讨论，交流.
（三）归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤
活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤：
典型例题
【自研自探】
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自研课本P20-21 页内容
例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数.
例2.在一块长
宽
的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图
（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为
或
．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同．
(1)你认为小明的结果对吗？为什么？
(2)你能帮小颖求出图（2）中的
吗？（
取
，结果精确到0.1）
(3)你还有其他设计方案吗？
第二环节 合作探究
1.讨论怎样表示两个连续正整数、三个连续正整数？两个连续偶（奇）数、三个连续偶（奇）数？
2.讨论怎样计算几何图形面积？
3.讨论列一元二次方程解决实际的通用步骤.
拓展提升：1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅
．已知旧
墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的
边长为x．
(1)若围成的花圃面积为
时，求
的长；
(2)如图，若计划将花圃面积围成
，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求
的长；如果不能，
请说明理由．
课堂练习：课本P21 随堂练习
1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出
个数(如17，18，
24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40
B．48
C．52
D．56
2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m 长的围栏围成一个
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面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（ ）
A．x（24﹣2x）＝40
B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40
D．2x（24﹣x）＝40
3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 米的篱笆，在两边都足够长的
直角围墙的一角，围出一块6 平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x 米，根
据题意可列方程（ ）
A．5x2＝6
B．5（1+x2）＝6
C．x（5﹣x）＝6
D．5（1+x）2＝6
4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m 的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周
和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9 个矩形地块，请
你求出小路的宽度．
5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20 米长的篱笆围成一个矩形场地
，
并在边
上留出一个1 米宽的门
（不用篱笆），怎样围成一个面积为45 平方米的场地？
1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续 、连续 、 的代数式表示方法，能根
据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握 变化、留白裁剪问题的等量关
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系，依托 建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题 ，
解题 .
2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为 模型.（2）
数形结合思想：面积问题通过 ，直观
、
关系，化 计算.（3）转化
思想： 的互通转化.（4）严谨验证思想： 必
须结合实际情境的 有效解.
3.易错提醒：（1）数字问题：设 ，混淆连续整数、连续偶数的 ；忽略“ ”要求，不舍
去
根
；两位数 代替，计算错误.（2）面积问题：图形 错误，混淆 增减；误用
面积公式，等量关系列写 ；默认所有 ，忽略 的硬性条件.（3）通用问题：
解题 ， 、 、 ， 不足.
