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25.3 实际问题与一元二次方程
（第2 课时病毒传播、平均下降率问题）（导学案）
（1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下
降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合
理方程根.
（2）经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌
握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.
（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严
谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.
重点：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通
用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤.
难点：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、总患病人数；区分增长率与下降率公
式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？
【学法指导】
新知自研：自研课本第21-22 页的内容
【学法指导】自研课本P21-22 页内容
（一）病毒传播问题
活动1：平均1 个人传染了多少个人？
问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1 人被传染，经过两轮传染后共有121 人被传染，那么每轮
传染中平均1 个人传染了多少个人？
师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1 人传播，两轮后总人数为(1+x) （x 为单
人每轮传染人数）.
追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？
（二）平均下降率问题
活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？
问题：两年前
产
⽣
1t 甲种
品的成本是
⻝
10000 元 ,
产
⽣
1t
种
品的成本是
⼄
⻝
12000 元.随着
产技术的进
⽣
步,现在
产
⽣
1t 甲种
品的成本是
⻝
6000 元,
产
⽣
1t
种
品的成本是
⼄
⻝
7200 元.哪种
品成本的年平均下降
⻝
率较⼤?
追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少
追问2：平均下降额与下降率有什么不同？
追问3：怎样比较哪种
品成本的年平均下降率较
⻝
⼤?
师生探究建模
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追问4：经过计算，你得出什么结论？
追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？
师生共同总结模型归纳：
（三） 传播问题、下降率变式提升
活动3：讨论交流有2 人感染流感，经过两轮传染后共有288 人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.
活动4：讨论交流某某工厂2023 年年生产总值为50 万元，经过增产到2025 年年生产总值为98 万元，求平
均每年增长的百分率.
典型例题
【自研自探】
自研课本P21-22 页内容
典型例题
例１.春季是传染病多发季节．2023 年3 月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1 人被感染，
经过两轮传播后，就有256 人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020 年利润为2 亿元，2022 年利润为3.92 亿元．
求该企业从2020 年到2022 年利润的年平均增长率．
例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店
采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2 元，平均每天可多售出4 件．
(1)若降价6 元，则平均每天销售数量为___________件；
(2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200 元？
第二环节 合作探究
1.讨论病毒传播问题模型问题模型.
2.讨论平均下降率问题、上升率问题模型.
拓展提升：1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50 元，连续两次降价后每千克32 元，若每每次
下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
课堂练习：课本P22 随堂练习
1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560 吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860 吨，
若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+2x）2＝1860
2．（2025•重庆）某景区2022 年接待游客25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024 年接待游客
达到36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．44%
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3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为125 元，随着生产成
本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25 元，乙种商品2024 年每件的进价为80 元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024 年该超市用不超过7800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲
种商品．
（2）设购进y 件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合
进货总价不超过7800 元，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
1. 知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1 人传播总人数 ，
初始多人可灵活套用 ；明确总人数为 ，需 .（2）平均下降（增长）率模型：
熟记连续 通用公式 ，可应用于 等所有等量衰减（增加）问题.（3）通
用技能：熟练掌握一元二次方程应用题 六步规范，能根据人数、百分率、数
量的实际取值范围 .
2. 思想方法：（1）动态建模思想：将生活中 问题，抽象为固定的一元二次方
程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静
态.（3）对比归纳思想：对比
模型，归纳通用规律，构建系统化知识体系.（4）严
谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证 逻辑.
3. 易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆 ；死记公式，不会 题型；
忽略人数为 ，不舍去 .（2）下降率问题误区： 混用，下降率误用 列式；忘
记百分率取值范围 ，保留 .（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；
解题 ，无检验、无 作答；计算 时出现运算错误.
