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第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标：
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
自主学习
一、知识链接
互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sin A cos B，cos A sin B，tan A · tan B = .
合作探究
一、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正
切值．
【归纳总结】 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
【典例精析】
例1 求下列各式的值：
1）cos260°+（sin60°）2； （2）
（
提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).
练一练 计算：
(1) sin30°+ cos45°； (2) （sin30°）2+ (cos30°)2－tan45°.
探究点2：通过三角函数值求角度
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ，BC = ，求 ∠A 的度数；(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数.
练一练 求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sin α－ = 0； (2) tan α－1 = 0.
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－ |＝0，试判断
△ABC 的形状．
练一练 1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求
∠A，∠B的度数.2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α －
tan (α+15°)的值．
二、课堂小结
当堂检测
1. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
° B.30° C.20° D. 10°
A.40
2. 已知∠A为锐角， sin A = ，则下列正确的是 (
)A = B.cos A = C. tan A =1 D.tan A =
A.cos
3. 在 △ABC 中，若 ，则∠C = .
4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO
长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为_______.
5.求下列各式的值：
(1) 1－2 sin30°cos30°；
(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
(3) ；
(4)
6.如图，在△ABC中，∠A=30°， ，求 AB的长度.参考答案
自主学习
一、知识链接
= = 1
课堂探究
一、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长 =
∴
∴
45°角的三角尺的两条直角边长为 a，则斜边长=
设含
∴
【典例精析】
1 解：（1）cos260°+ （sin60°）2
例
2）
（
解：（1）原式 =
练一练2）原式 =
（
探究点2：通过三角函数值求角度
2 解：（1）在图中，∴ ∴∠A=45°.
例
2）在图中，∵ tan α = ∴ α = 60°.
（
练一练 解：（1）sin α = ，∴ α = 60°.（2）tan α =1，∴ α = 45°.
例3 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0，∴ tan A＝1，sin B＝ ． ∴ ∠A＝
45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形．
1.解：∵| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0， ∴ tan B＝ ，sin A＝
练一练
，
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
2.
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ α为锐角，tan α ＞0，∴ tan α =1.∴ α = 45°.
∴ 2 sin2α + cos2α－ tan(α+15°)=2sin245°+cos245° tan60°
当堂检测1. D 2.B 3.120° 4. 5.解：(1) (2) (3)2 (4)
6. 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵∠A=30°， ，
∴
∴
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
