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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形的概念、内角和与三边之间的关系 （题型突破·举一反三） ▌题型01 三角形的有关概念 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】 【分析】不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a 上取一个点，线段b 上取两个点，这三 个点可组成一个三角形或线段a 上取两个点，线段b 上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可 得答案． 【解答】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△ 𝐴𝐵𝐸，共9 个三角形． ▌题型02 三角形的个数问题 【典例1】 【分析】根据三角形的边、角的概念进行填空． 【解答】解：如图，图中的三角形由△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC 共6 个． 在△ABE 中，AE 所对的角是∠B，∠ABC 所对的边是 AE，AD 在△ADE 中，是∠AED 的对边，在△ADC 中，AC 是∠ADC 的对边． 故填：6；∠B；AE；∠AED；∠ADC． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】D． ▌题型03 三角形的内角和与平行线 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】70． ▌题型04 三角形的内角和与折叠 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】96°． ▌题型05 直角三角形两个锐角互余 【典例1】A 【变式1-1】B 【变式1-2】C 【变式1-3】B ▌题型06 三角形的分类 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】C 【变式1-1】C 【变式1-2】D 【变式1-3】D ▌题型07 判断能否构成三角形 【典例1】B 【变式1-1】C 【变式1-2】B 【变式1-3】C ▌题型08 求第三边的取值范围 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型09 三角形三边之间的关系进行化简 【典例1】 【分析】（1）由三角形三边关系定理得到4＜AC＜8，因此AC＝6，即可求出△ABC 的周长； （2）由三角形三角形三边关系定理得到4＜m＜10，得到m+2＞0，m﹣10＜0，m﹣4＞0，由绝对值的性 质即可化简|m+2|﹣|m﹣10|+2|m﹣4|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：6﹣2＜AC＜6+2， 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴4＜AC＜8， ∵AC 的长为偶数， ∴AC＝6， ∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC＝6+2+6＝14； （2）由三角形三角形三边关系定理得到：7﹣3＜m＜7+3， ∴4＜m＜10， ∴m+2＞0，m﹣10＜0，m﹣4＞0， ∴|m+2|﹣|m﹣10|+2|m﹣4| ＝m+2﹣[﹣（m﹣10）]+2（m﹣4） ＝m+2+m﹣10+2m﹣8 ＝4m﹣16 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a 的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：∵△ABC 的三边长分别为3、5、a， ∴5﹣3＜a＜3+5， 解得：2＜a＜8， 故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2| ＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2） ＝a+1﹣8+a﹣2a+4 ＝﹣3． 【变式1-3】 【分析】（1）根据三角形的三边关系结合第三边c 为奇数，求出c 的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c 是△ABC 的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c 为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC 是等腰三角形； （2）∵a，b，c 是△ABC 的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． ▌题型10 利用三边关系证明线段的不等关系 【典例1】A． 【变式1-1】 【分析】由三角形的三边关系可得𝐵𝐷−𝐵𝐶＜𝐴𝐷−𝐴𝐶，即可得结论． 【解答】证明：∵△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷−𝐵𝐶＜𝐶𝐷， ∴𝐵𝐷−𝐵𝐶＜𝐴𝐷−𝐴𝐶，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶， ∴𝐵𝐷−𝐵𝐶＜𝐴𝐷−𝐴𝐵. 【变式1-2】 【分析】【直接应用】根据三角形三边关系得到AC+CD＞AD，在不等式两边都加上DB 即可得到结论； 【深化应用】延长BP 交AC 于点D，根据三角形三边关系得到BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②，利 用①+②即可推出AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】根据三角形三边关系得到PA+PB＞AB①，PA+PC＞AC②，PB+PC＞BC③，将三个关系式相 加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【解答】【直接应用】证明：由三角形三边关系得，AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD，即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】证明：延长BP 交AC 于点D，如图， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】解：在△ABP 中，PA+PB＞AB①， 同理，PB+PC＞BC③，PA+PC＞AC②， ①+②+③得，2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC， ∴2（PA+PB+PC）＞10， 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴PA+PB+PC＞5， ∵△ABC 的周长为10， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC， ∴5＜PA+PB+PC＜10， 则5＜PA+PB+PC＜10． 故答案为：5＜PA+PB+PC＜10． 【变式1-3】 【分析】（1）根据题意得AC+PC＞AP，不等式两边都加上PB 即可得出结论； （2）延长BP交AC于点E，证明AB+AE＞BP+PE，PE+EC＞PC，两式相加得AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC， 从而可得AB+AC＞PB+PC； （3）延长PQ 交AC 于点F，延长QP 交AB 于点E，证明AE+AF＞EP+PQ+QF，EP+EB＞BP，QF+FC ＞QC，三式相加可得结论． 【解答】（1）解：根据三角形的三边关系得：AC+PC＞AP， ∴AC+PC+PB＞AP+PB， ∴AC+BC＞PA+PB， 故答案为：＞； （2）证明：如图，延长BP 交AC 于点E， 在△ABE 中，AB+AE＞BE，BE＝BP+PE， ∴AB+AE＞BP+PE， 根据三角形的三边关系得，PE+EC＞PC， ∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC， ∴AB+AE+EC＞BP+PC 即AB+AC＞PB+PC； （3）证明：如图，延长PQ 交AC 于点F，延长QP 交AB 于点E， 根据三角形的三边关系得，AE+AF＞EP+PQ+QF， 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 EP+EB＞BP， QF+FC＞QC， ∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC， ∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC， 即AB+AC＞BP+PQ+QC． ▌题型11 三角形内角和的证明 【典例1】 【分析】画出图形，写出已知，求证，过点𝐴作直线𝑀𝑁∥𝐵𝐶，根据平行线性质得出∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，代入∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑁𝐴𝐶= 180°即可求出答案． 【解答】已知：△𝐴𝐵𝐶，如图： 求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180° 证明：过点A 作直线𝑀𝑁∥𝐵𝐶， ∵𝑀𝑁∥𝐵𝐶， ∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，（两直线平行，内错角相等）， ∵∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑁𝐴𝐶= 180°（平角的定义）， ∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°（等量代换）， 即：三角形三个内角的和等于180°． 【变式1-1】 【分析】任务一：利用平行线的判定和性质解决问题； 任务二：利用转化的思想解决问题； 任务三：根据题目要求作出图形，利用平行线的判定和性质解决问题． 【解答】解：任务一：依据一：同位角相等，两直线平行， 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 依据二：两直线平行，内错角相等． 故答案为：同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等； 任务二：证明方法一中主要体现的数学思想是转化的思想． 故答案为：C； 任务三：证明：分别过点B，C 作BM∥AG，CN∥AG． ∵BM∥AG， ∴∠BAG＝∠MBA， ∵CN∥AG， ∴∠CAG＝∠ACN， ∵BM∥AG，CN∥AG， ∴BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝∠BAG+∠GAC+∠ABC+∠ACB＝∠MBA+∠ABC+∠ACB+∠ACN＝∠MBC+∠ NCB＝180°． 【变式1-2】 【分析】由BA∥CE，根据“两直线平行，同位角相等”推导出∠B＝∠1，由“两直线平行，内错角相等” 推导出∠A＝∠2，而∠BCA+∠2+∠1＝180°，根据“等量代换”得∠A+∠B+∠ACB＝180°，于是得到 问题的答案． 【解答】证明：如图2，延长BC 到D，过点C 作CE∥BA， ∵BA∥CE（作图所知）， ∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等）， ∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）． 故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠2，两直线平行，内错角相等，等量代换． 【变式1-3】 【分析】（1）由平行线的性质得到∠B＝∠2，∠A＝∠1，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠A＝∠4，∠B＝∠3，等量代换得到∠A＝∠2，然后结 合平角的定义证明即可． 【解答】（1）证明：过点C 作CE∥AB， ∵AB∥CE， 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠B＝∠2，∠A＝∠1， ∴∠A+∠B+∠ACB＝∠1+∠2+∠ACB＝180°； （2）证明：过点E 作DE∥AC 交AB 于点D，作EF∥AB 交AC 于点F， ∵DE∥AC， ∴∠1＝∠C，∠2＝∠4， ∵EF∥AB， ∴∠A＝∠4，∠B＝∠3， ∴∠A＝∠2， ∴∠A+∠B+∠C＝∠2+∠3+∠1＝180°．
