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1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 勾股定理 常考题型·精准突破 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3 等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5 利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6 勾股定理的验证方法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）如图，在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，以ABC 的三边为边向外作正方 形， 1 2 3 , , S S S 分别表示这三个正方形的面积．若 1 3 6, 10 S S = = ，则 2 S 的值为_____． 2．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D 的面积分别是6 ，9，4 ，6 ，则正方形G 的面积是________． 3．（25-26 八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形ABC 两直角边长分别为5 和12，以直角三角形的三 边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长 4．（25-26 八年级下·河南开封·期中）已知ABC 中， 90 ABC = ， 3 AB = ， 4 BC = ，则AC =______． 5．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是8和15，则这个三角形的周 长为_______． 6． （25-26 八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为6cm，8cm ，那么该直角三角形的斜边长为______ cm． ◆题型3 等面积法求直接斜边上的高问题 7． （25-26 八年级上·全国·期末）在Rt ABC △ 中，两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，则第三边的长为______； 斜边上的高为______． 8．（25-26 八年级下·安徽淮南·期末）ABC 中． 20 AB = ， 15 AC = ，BC 边上的高为12，则BC 边的长为 ________． 9． （2026·江苏无锡·模拟预测）如图在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D，若 6 AC = ， 8 BC = ，则CD = ______． ◆题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC 中， 13 AB = ， 20 AC = ，AD BC ⊥ 于点D，E 为AD上任意一点，则 2 2 CE BE − =______． 11． （25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC BD ⊥ ，相交于点O．若 3 6 AB CD = = ， 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 2 2 AD BC + = ______． 12．（25-26 八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角AOB ，等腰直角 COD △ ， 90 , 3, 4 AOB COD AO CO = = = = ，连接 , AD BC 相交于点M，则 2 2 AC BD + = ______． ◆题型5 利用勾股定理证明线段平方关系 13．（25-26 八年级上·江苏盐城·期中）如图，CD为Rt ABC △ 的斜边AB 上的高，设CD h = ，AD m = ， BD n = ．求证： 2h mn = ． 14．（25-26 八年级上·全国·单元复习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形ABCD是垂美四边形，请探究两组对边 2 2 AB CD + 与 2 2 AD BC + 之间的数量关系，并 说明理由； (2)如图②，分别以Rt ACB △ 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接 BE CG EG ， ， ，已知 4 5 AC AB = = ， ，求 2 GE ． 15．（25-26 八年级上·全国·期中）如图，ABC 和ADE 都是等腰三角形，其中 , AB AC AD AE = = ，且 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BAC DAE = ． (1)如图1，连接BE CD 、 ，求证：BE CD = ． (2)如图2，若 90 BAC DAE = = ，且C 点恰好落在DE 上，试探究 2 2 CD CE 、 和 2 CA 之间的数量关系，并加 以说明． ◆题型6 勾股定理的验证方法 16．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也 是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方 式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 2 2 2 a b c + = ． (1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 4 a = ， 6 b = ，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已 知外围轮廓（实线）的周长为24， 3 OC = ，求该风车状图案的面积． 17．（26-27 八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究 策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三 角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明： 2 2 2 a b c + = ； (2)【结论运用】如图2，已知ABC 是直角三角形， 90 C = ．若 5 BC = ，AB 的长比AC 的长大1，求AB 的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃ABC ，其中 13 AB = 米， 14 BC = 米， 15 AC = 米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC 互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 18． （25-26 八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止， 全世界发现勾股定理的证明方法约有400 种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用 三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 2 1 ( ) 2 a b + 或者是 2 1 1 2 2 2 ab c + ，因此得 到 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b ab c + = + ，运用乘法公式展开整理得到 2 2 2 a b c + = ． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2 ，用4 个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是 一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图3，用4 个全等直角三角形拼成如图的正方形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形ABCD 的面积为13，中间空白处的正方形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，求 2 ( ) a b + 的 值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）在ABC 中， 90 C = ，a，b，c 分别是 A ， B ， C 的对边， 若 4 c = ，则 2 2 a b + 的值为（ ） 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．8 C．16 D．32 2．（25-26 八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A B ， 的面积分别是4 3 ，，则最大正方形C 的面积是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）如图，ABC 中， 90 C = ， 5 AB = ， 4 BC = ，点P 是边BC 上的动 点，则AP 长不可能是（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 4．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能 ．．用来证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（Rt ADE △ ，Rt DCH △ ， Rt CBG △ ，Rt BAF △ ）与一个小正方形EFGH 组成的一个大正方形ABCD，连接DF 交CH 于点M ，已知正 方形ABCD的面积为25 ， 2 DE AE = ，下列结论正确的是（ ） A．正方形EFGH 的面积为4 B． 2 20 DF = C．M 是DF 的中点 D． 15 BG CG = 二、填空题 6．（25-26 八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 7．（25-26 八年级下·山东日照·期末）如图，在Rt ABC △ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方 形，面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，若 3 2 1 40 S S S + − = ，则图中阴影部分的面积为_____________． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，AD为ABC 的中线，AB AD ⊥ ， 5 AB = ， 6 AD = ，则AC =______． 9．（24-25 八年级下·广东汕头·期末）如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB = ，CE CD = ，点 A在DE 上（点A不与点D ，E 重合）．写出线段AE ，AD，BC 之间的数量关系式：__________． 10．（25-26 七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点E 为边BC 上一点，将长方形纸片 ABCD沿过点E 的直线折叠，使点B 落在边CD上的点B处，点A落在点A处，折痕EF 交AD于点F ．若 9 AD = ， 7 CD = ， 5 BE = ，则线段AF 的长为__________． 三、解答题 11．（25-26 八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在ABC 中， 90 ACB = ，CD AB ⊥ 于D ．若 5cm AB = ， 3cm BC = ， (1)求AC 的长度； (2)求CD的长度． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12．（24-25 八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在ABC 中， 50cm AB = ， 30cm BC = ， 90 C = ，点P 从点A开始沿 AC 边向点C 以2cm/s的速度移动，设运动时间为t 秒． (1)用含t 的代数式表示AP =____，PC = ____ (2)t 为何值时，PCB 的面积等于ABC 面积的一半？ 13．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂 美”四边形ABCD，对角线AC ，BD交于点O． (1)若 2 AO = ， 3 BO = ， 4 CO = ， 5 DO = ，请求出 2 AB ， 2 BC ， 2 CD ， 2 DA 的值； (2)若 6 AB = ， 10 CD = ，求 2 2 BC AD + 的值． 14．（25-26 八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较 大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表 示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：______，也可以表 示为：______，由此可以推出 2 2 2 a b c + = ； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A B 、，AB AC = ， 由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H 、 、 B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥ ．测得 0.8 CH = 千米， 0.6 HB = 千米，求新路CH 比 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 原路CA 少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第 （2）问中若AB AC 时，CH AB ⊥ ， 10 AC = ， 17 BC = ， 21 AB = ，设AH x = ，可以求CH 的值，请帮小 明写出求CH 详细完整的过程． 15．（24-25 八年级下·广东汕头·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作 品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一 起完成． (1)如图①是以Rt ABC △ 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 1S ， 2 S ， 3 S ，请写出 1S ， 2 S ， 3 S 之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80， 5 OC = ，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ， 2 S ， 3 S ．若 1 2 3 16 S S S + + = ，则 2 S = ___________．
