1 / 23
学科网（北京）股份有限公司
5.3 一次函数的图象与性质
课标要点
1.掌握一次函数、正比例函数的图象特征，知晓其图象为直线，熟练掌握两点法画函数
图象。
2.理解系数k、b 的几何意义，能根据k、b 正负判断函数增减性、图象经过的象限。
3.掌握正比例函数的图象性质与增减规律，明确其过原点的图象特征。
4.能利用一次函数图象与性质比较函数值大小、求解简单取值范围，初步运用数形结合
思想解题。
学习重难点
重点：
1.掌握一次函数图象的画法与基本特征；
2.理解k、b 对函数图象和增减性的影响；
3.熟练根据解析式判断图象象限与函数变化趋势。
难点：
1.结合k、b 综合判断函数图象位置，易混淆参数对应的图象特征；
2.利用函数增减性比较大小、分析取值范围；
3.数形结合转化图象信息，解决基础图象分析题型。
第五章
一次函数
2 / 23
学科网（北京）股份有限公司
知识点
正比例函数的图象与性质
1. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜
率是k（k 表示正比例函数与x 轴的夹角大小），正比例函数的图象是一条过原点的直线。
2. 正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k 是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx
当k＞0 时，直线y＝kx 依次经过第一、三象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；
当k＜0 时，直线y＝kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小；
|𝑘|越大，y 随x 的增大而增大（或减小）的速度越快。
随学随练
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）关于函数𝑦= −2𝑥，下列结论错误
．．的是（ ）
A．它是正比例函数
B．函数图象经过点(1,2)
C．函数图象经过第二、四象限
D．𝑦随𝑥的增大而减小
2．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）若函数𝑦= 𝑘𝑥的图象如图所示，则k 的值可能
．．为（ ）
A．2
B．0
C．−
1
2
D．−2
知识点
一次函数的图象与性质（重点）
1. 一次函数图象的形状与特征：
①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可；
②一般一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象必经过点(0, 𝑏)（y轴交点）和点(−
𝑏
𝑘, 0)（x轴交点）。
易错提醒
1）混淆𝑘> 0、𝑘< 0的图象经过象限；
2）误认为正比例函数图象不过原点；
3）增减性判断错误。
3 / 23
学科网（北京）股份有限公司
2. 截距：直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦轴相交于点(0, 𝑏)，𝑏叫作直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏在𝑦轴上的截距，简称截距。
3. 一次函数的性质：
y＝kx+b
k＞0，b＞0
k＞0，b＜0
k＜0，b＞0
k＜0，b＜0
经过象限
第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
增减性
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
直线趋势
函数从左到右上升
函数从左到右下降
与y 轴交点的位置 在y 轴的正半轴上
在y 轴的负半轴
在y 轴的正半轴上
在y 轴的负半轴
倾斜程度
|𝑘|越大，y 随x 的增大而增大（或减小）的速度越快
随学随练
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）对于一次函数𝑦= 2𝑥−1，下列结论正确的是（ ）
A．当𝑥>
1
2时，𝑦< 0 B．𝑦随𝑥的增大而减小
C．它的图象与𝑦轴交于点(0,−1) D．它的图象经过第一、二、三象限
2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘（𝑘是常数，𝑘≠0）的图象经过第一、三、四
象限，则𝑘满足的条件是（ ）
A．𝑘< 0
B．𝑘> 0
C．𝑘≤0
D．𝑘≥0
知识点
一次函数的平移（重点）
1. 图象的平移规律：对于一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，平移时𝑘值不变，仅𝑏发生变化
①上下平移：向上平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏+ 𝑚；
向下平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏−𝑚（上加下减）。
特别提醒
1）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)图象是直线；
2）𝑘定增减、定倾斜方向，𝑏定与y 轴交点；
3）𝑘绝对值越大，直线越陡。
4 / 23
学科网（北京）股份有限公司
②左右平移：向左平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘(𝑥+ 𝑚) + 𝑏；
向右平移𝑚个单位 → 𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) + 𝑏（左加右减）。
随学随练
1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）将直线𝑦= 2𝑥+ 1向上平移2 个单位后所得图象对应的函数表达式为
（ ）
A．𝑦= 2𝑥+ 5
B．𝑦= 2𝑥+ 3
C．𝑦= 2𝑥−2
D．𝑦= 2𝑥−3
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期末）将直线𝑦= 2𝑥向上平移1 个单位，平移后的新直线一定不经过的象限
是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（25-26 八年级下·山东德州·期末）将函数𝑦1 = 2𝑥的图象向上平移3 个单位长度后，得到另一个函数𝑦2
的图象，则函数𝑦2的解析式为_________．
知识点
一次函数的对称
1. 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）：
①关于x 轴对称：𝑦＝−𝑘𝑥−𝑏（关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；
②关于y 轴对称：𝑦＝−𝑘𝑥+ 𝑏（关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；
③关于原点对称：𝑦＝𝑘𝑥−𝑏（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。
特别提醒
1）平移口诀：上加下减、左加右减；
2）上下平移改变𝑏，𝑘不变，直线平行；
3）左右平移改变x 本身，𝑘依然不变。
特别提醒
1）直线对称核心：找两点对称再求新解析式；
2）关于x 轴对称：x 不变、y 变号；
3）关于y 轴对称：y 不变、x 变号；
4）关于原点对称：x、y 同时变号；
5）对称后直线倾斜方向改变，𝑘通常变号。
5 / 23
学科网（北京）股份有限公司
随学随练
1．（25-26 八年级上·广西贺州·期末）将函数𝑦= 2𝑥−3的图象沿𝑥轴对折，对折后的函数表达式为（ ）
A．𝑦= 2𝑥−3
B．𝑦= −2𝑥−3
C．𝑦= 2𝑥+ 3
D．𝑦= −2𝑥+ 3
拓展
正比例函数与一次函数图象、性质对比
1. 正比例函数是特殊的一次函数，二者图象均为直线，但定点、象限分布、截距存在明显差异，核心对
比归纳如下：
函数
正比例函数 𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)
一次函数 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)
图象定点
必过原点(0,0)、定点(1,𝑘)
必过(0,𝑏)、(−
𝑏
𝑘, 0)
截距特征
无截距，直线过坐标原点
𝑏为y 轴截距，决定与y 轴交点位置
象限规律
𝑘> 0过一、三象限；𝑘< 0过二、四象限
由𝑘、𝑏正负共同决定，四种象限分布情况
增减性
仅由𝑘决定，与其他参数无关
活学活用
1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）关于函数𝑦= −3𝑥，下列说法错误的是（ ）
A．当𝑥= −1时，𝑦= 3
B．它的图象是一条过原点的直线
C．𝑦随𝑥的增大而减小
D．它的图象经过第一、第三象限
2．下列有关一次函数𝑦= −3𝑥+ 4的说法中，错误的是（ ）
A．y 的值随着x 增大而减小
B．函数图象经过第一、二、四象限
C．函数图象与y 轴的交点坐标为(0,4)
D．当𝑥> 0时，y 大于4
拓展
一次函数k、b 参数图象规律拓展
1. 斜率k 的核心作用：唯一决定函数增减性与倾斜程度。𝑘> 0图象上升，y 随x 增大而增大；𝑘< 0图象
下降，y 随x 增大而减小。|𝑘|越大，直线倾斜程度越陡，函数变化速度越快。
2. 截距b 的核心作用：唯一决定直线与y 轴交点位置，不改变增减性。𝑏> 0交于y 轴正半轴，𝑏< 0交于
6 / 23
学科网（北京）股份有限公司
y 轴负半轴，𝑏= 0即为正比例函数。
3. 象限组合规律：k 定升降、b 定上下，二者组合可唯一判定直线经过的象限，是识图必考规律。
4. 两直线位置与斜率、截距的关系：
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2平行 𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2重合 𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2
直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2垂直 𝑘1 ∙𝑘2 = −1
活学活用
1．直线𝑦= 3𝑥+ 2与𝑦轴的交点坐标为（ ）
A．(0,2)
B．(0,−2)
C．(2,0)
D．(−2,0)
2．一次函数的图象与直线𝑦= −3𝑥+ 1平行，且过点(1,3)，求这个一次函数的关系式．
3．已知直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦2 = 2𝑥−6相交于𝑥轴上的点A 处，且直线𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦3 =
1
3 𝑥+ 4互相垂
直．
(1)求点A 的坐标；
(2)求𝑘，𝑏的值．
拓展
一次函数平移与对称核心规律
变换类型
变换规则（𝑚> 0）
核心特征
上下平移
上移𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏+ 𝑚
下移𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏−𝑚（上加下减）
k 值不变，仅截距b 改变，直线倾斜程度不
变
左右平移
左移𝑦= 𝑘(𝑥+ 𝑚) + 𝑏
右移𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚) + 𝑏（左加右减）
k 值不变，整体水平移动，形状趋势不变
关于x 轴对称
𝑦= −𝑘𝑥−𝑏
k、b 全部变号
关于y 轴对称
𝑦= −𝑘𝑥+ 𝑏
k 变号、b 不变
关于原点对称
𝑦= 𝑘𝑥−𝑏
k 不变、b 变号
活学活用
1．（25-26 八年级下·上海·期末）把一次函数𝑦=
2
3 𝑥+ 1的图像向左平移3 个单位长度，那么所得图像的函
7 / 23
学科网（北京）股份有限公司
数表达式是____________．
2．已知一次函数的图像与直线𝑦= 𝑥+ 2关于x 轴对称，则一次函数的表达式为________．
3．已知2𝑦+ 1与3𝑥−3成正比例，且𝑥= 6时，𝑦= 17．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)将（1）中函数图象向上平移5 个单位后得到直线𝑙1，求直线𝑙1对应的函数表达式，并回答：点𝑃(4,3)是
否在直线𝑙1上？
题型
正比例函数的图象与性质
▌例1．（25-26 八年级下·山东聊城·期中）正比例函数𝑦＝𝑘𝑥经过第二、四象限，则下列函数𝑦= (𝑘−3)𝑥+
𝑘图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌例2．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数𝑦= (𝑚−1)𝑥，𝑦随𝑥的增大而增大，则𝑚的值可
以是__________．（写一个即可）
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数𝑦= 2𝑥的说法中，正确的是（ ）
A．自变量的取值范围是𝑥≥0
B．它的图象是一条经过原点的射线
C．它的图象不经过第三象限
D．𝑦随𝑥的增大而增大
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数𝑦= 𝑘1𝑥, 𝑦= 𝑘2𝑥, 𝑦= 𝑘3𝑥, 𝑦= 𝑘4𝑥的图象
如图所示，则下列结论正确的是（ ）
解题贴士
易错：①忘记正比例函数必过原点；②k 的正负与增减性、象限对应记反；③混淆k 的正负和绝对值的
作用，误判倾斜程度；④认为正比例函数可以不过原点。
8 / 23
学科网（北京）股份有限公司
A．𝑘1 > 𝑘2 > 𝑘3 > 𝑘4
B．𝑘1 > 𝑘2 > 𝑘4 > 𝑘3
C．𝑘2 > 𝑘1 > 𝑘3 > 𝑘4
D．𝑘2 > 𝑘1 > 𝑘4 > 𝑘3
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）已知𝑦= (𝑚−1)𝑥是关于𝑥的正比例函数，且图象过第一、
三象限，则𝑚的取值为________________．
▌对点练1-4．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）已知正比例函数𝑦= 𝑘𝑥，𝑦随𝑥的增大而增大，请写出一个
符合条件的𝑘值：_________．
题型
一次函数的图象与性质
▌例1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）对于一次函数𝑦= −2𝑥+ 1，下列说法错误的是（ ）
A．图象是经过两点(0,1)，(1,−1)的一条直线 B．图象不经过第一象限
C．y 随x 的增大而减小 D．图象与x 轴的交点坐标为(
1
2 , 0)
▌例2．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数𝑦= 4𝑥+ 7，当𝑥> 2时，则函数值y 的取值范围是
_______
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0）的图象不经过第二象
限，则下列说法正确的是（ ）．
A．𝑘> 0
B．𝑘< 0
C．𝑏> 0
D．𝑏< 0
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏−1的图像经过第一、二、三象
限，那么（ ）
A．𝑏> 1；
B．𝑏> −1；
C．𝑏< 1；
D．𝑏< −1．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东潍坊·期中）当−1 ≤𝑥≤4时，一次函数𝑦= −
2
3 𝑥−2的最大值是
解题贴士
易错：①混淆k、b 功能，用b 判断增减性；②象限判断遗漏、错判；③忽略𝑘≠0前提；④无法根据
图象反推k、b 正负。
9 / 23
学科网（北京）股份有限公司
________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·新疆克孜勒苏·期末）若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3的函数值y 随x 的增大而减小，
请写出一个符合上述条件的函数解析式______．
题型
一次函数图象的判断
▌例1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数𝑦= 2𝑥−3
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）．
A．𝑦= 𝑥−2
B．𝑦= |𝑥−2|
C．𝑦= |𝑥| −2
D．𝑦= |𝑥| + 2
▌对点练1-2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥−1(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则该
函数图象大致是（ ）
解题贴士
1)根据解析式，先由k 定升降趋势，再由b 定纵截距，双重匹配排除错误图像；
2)逆向题型由图像特征，反推k、b 的正负性。
10 / 23
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b 满足𝑎𝑏< 0，𝑎> 𝑏，则函数𝑦= −𝑎𝑥+ 𝑏的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
一次函数图象共存问题
▌例1．下列选项中，表示一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛与正比例函数𝑦= 𝑚𝑛𝑥（𝑚，𝑛为常数，且𝑚𝑛≠0）图像的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦= −𝑎𝑥与𝑦= 2𝑥+ 𝑎的图象可能是
解题贴士
1)同一坐标系中两个一次函数，两个解析式的k、b 参数必须相互不矛盾；
2)逐一验证选项中两条直线的增减趋势、截距是否符合参数逻辑，排除冲突选项。
11 / 23
学科网（北京）股份有限公司
（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数𝑦= 𝑘𝑥与一次函数𝑦=
−𝑘𝑥+ 𝑘(𝑘≠0)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦= 𝑘𝑥和𝑦= 𝑥+ 𝑘的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12 / 23
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与正比
例函数𝑦= −
𝑏
𝑘𝑥（𝑘，𝑏为常数，且𝑘𝑏≠0）的图象错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
画一次函数图象
▌例1．（25-26 八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点(3,1)和(0, −2)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象．
𝑥
…
3
0
…
𝑦= 𝑥−2
…
1
−2
…
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过𝐴(−1,1)和𝐵(3,7)．
解题贴士
采用两点法作图：取直线与坐标轴的两个交点，描点后连接成直线并双向延长。
13 / 23
学科网（北京）股份有限公司
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点(2,5)是否在该函数图象上．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·北京延庆·期中）一次函数的图象经过点(1,−2)和(3,2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求该函数的图象与𝑥轴，𝑦轴的交点坐标：
(3)画出该函数图象．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知一次函数𝑦= −2𝑥+ 4，并完成下列问题
(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当0 ≤𝑥≤4时，y 的取值范围是 ．
题型
比较一次函数值的大小
14 / 23
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（25-26 八年级下·广东江门·期末）已知两点𝐴(1, 𝑦1)，𝐵(3, 𝑦2)都在直线𝑦= −2𝑥+ 𝑏（𝑏为常数）
上，则𝑦1，𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 > 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 < 𝑦2
D．不能确定
▌例2．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）一次函数𝑦= −
1
3 𝑥+ 𝑏的图象过点(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥1 −2, 𝑦2)，则𝑦1和
𝑦2的大小关系是__________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）若点𝐴(2, 𝑚)，𝐵(−3, 𝑛)在一次函数𝑦= 3𝑥−1的图象上，
则𝑚，𝑛的大小关系是（ ）
A．𝑚= 𝑛
B．𝑚< 𝑛
C．𝑚> 𝑛
D．2𝑚= 𝑛
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）点𝐴(1,𝑦1), 𝐵(2,𝑦2)在一次函数𝑦= 2𝑥−1的图象上，则
𝑦1, 𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 < 𝑦2
B．𝑦1 = 𝑦2
C．𝑦1 > 𝑦2
D．不能确定
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）已知点𝐴(−2,𝑦1)和𝐵(3,𝑦2)在直线𝑦= −6𝑥+ 𝑚上，则𝑦1与
𝑦2的大小关系为________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·新疆·期末）点𝑀(1,𝑚)和点𝑁(2,𝑛)是一次函数𝑦= −
1
2 𝑥的图象上的两点，则
𝑚________𝑛（填“>”或“<”）．
题型
一次函数图象与坐标轴交点问题
▌例1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）一次函数𝑦= 2𝑥−1的图象与𝑦轴的交点坐标是（ ）
A．(
1
2 , 0)
B．(−
1
2 , 0)
C．(0,1)
D．(0,−1)
▌例2．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）已知一次函数的解析式为𝑦= 𝑥+ 5，求这个函数与两条坐标轴的
解题贴士
易错：①k<0 时增减规律记反，大小比较颠倒；②跨函数乱比较，未区分不同函数；③忽略自变量取值
范围盲目比较。
解题贴士
1）与y 轴交点：令x=0，得(0,b)；
2）与x 轴交点：令y=0，解方程得横坐标；
3）可进一步求直线与坐标轴围成的三角形周长、面积。
15 / 23
学科网（北京）股份有限公司
交点坐标．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）一条直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与x 轴交于点(3,0)，则该直线与y 轴
的交点坐标为（ ）
A．(0,6)
B．(0,3)
C．(0,−6)
D．(0,−3)
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当𝑥= 0时，𝑦=_________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）填空：直线𝑦= 4𝑥−3经过点(
______, 0)、
(0, ______
)．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江西吉安·期中）如图，直线𝑦= 2𝑥+ 3与𝑥轴相交于点𝐴，与𝑦轴相交于点
𝐵．
(1)求点𝐴，𝐵的坐标；
(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积．
题型
一次函数图象平移问题
▌例1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）将直线𝑦= 2𝑥+ 4向左平移2个单位长度，则平移后的直线解析式
是（ ）
A．𝑦= 2𝑥
B．𝑦= 2𝑥+ 6
C．𝑦= 2𝑥+ 2
D．𝑦= 2𝑥+ 8
▌例2．（25-26 八年级下·上海静安·期末）如果一次函数的图像可以由函数𝑦= 3𝑥的图像平移得到，且该一
解题贴士
平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。
16 / 23
学科网（北京）股份有限公司
次函数图像与𝑦轴的交点坐标为(0,−3)，那么这个一次函数的表达式为________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线𝑦= 2𝑥−1向右平移一个单位
长度后得到的直线表达式为（ ）
A．𝑦= 2𝑥
B．𝑦= 2𝑥+ 1
C．𝑦= 2𝑥−2
D．𝑦= 2𝑥−3
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数的图象𝑦= 𝑘𝑥−2与直线𝑦= 4𝑥+ 1平行，则
𝑘=________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）将直线𝑦= 3𝑥−1向上平移𝑚个单位长度，若平移后的直
线经过第一、二、三象限，则𝑚的范围是__________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·福建泉州·期中）将直线𝑦= −𝑥−3向上平移m 个单位长度，得到的直线经
过点(5,−3)，求m 的值．
题型
一次函数图象对称问题
▌例1．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑏的图象关于𝑥轴对称，对称后所得的图象
经过点(2,1)，则𝑏的值是（ ）
A．−3
B．3
C．−5
D．5
▌对点练1-1．（2026·广东东莞·三模）若直线𝑦= 2𝑥+ 𝑏与直线𝑦= 𝑘𝑥+ 3关于直线𝑦= 𝑥对称，则k、b 值
分别为（ ）
A．𝑘=
1
2 , 𝑏= −6
B．𝑘=
1
2 , 𝑏= 6
C．𝑘= −
1
2，𝑏= −6
D．𝑘= −
1
2，𝑏= 6
▌对点练1-2．（2026·江苏南京·一模）一次函数𝑦= 2𝑥−3的图象关于𝑦轴对称的直线的表达式是
_____________．
题型
一次函数图象规律探究问题
解题贴士
易错：①各类对称后k、b 变化规律记混；②仅凭直觉改写解析式，不取点验证；③对称后忘记保留
𝑘≠0条件。
17 / 23
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线𝑙的函数表达式为𝑦= 𝑥−1，在直线𝑙上顺次取点𝐴1(2,1)，
𝐴2(3,2)，𝐴3(4,3)，𝐴4(5,4)，…，𝐴𝑛(𝑛+ 1, 𝑛)，构成形如“
”的图形的阴影部分面积分别表示为𝑆1，𝑆2，
𝑆3，…，𝑆𝑛，则𝑆2026 =______．
▌对点练1-1．在直角坐标系中，等腰直角三角形𝐴1𝐵1𝑂、𝐴2𝐵2𝐵1、𝐴3𝐵3𝐵2、⋯、𝐴𝑛𝐵𝑛𝐵𝑛−1按如图所示的
方式放置，其中点𝐴1、𝐴2、𝐴3、⋯、𝐴𝑛均在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象上，点𝐵1、𝐵2、𝐵3、⋯、𝐵𝑛均在
x 轴上．若点𝐵1的坐标为(1,0)，点𝐵2的坐标为(3,0)，则点𝐴2023的坐标为（ ）
A．(22022, 22022) B．(22022, 22022 −1)
C．(22022, 22022 + 1)
D．(22022 −1, 22022)
▌对点练1-2．（2026·山东济宁·二模）如图，直线𝑦= −
3
2 𝑥+ 3与𝑥轴，𝑦轴分别交于A，B 两点，一动点从
点𝑀1(0,2)出发，沿平行于𝑥轴的直线运动，到达直线𝐴𝐵上的点𝑀2处，再沿平行于𝑦轴的直线运动，到达直
线𝑂𝐴上的点𝑀3处，再沿平行于𝐴𝐵的直线运动，到达直线𝑂𝐵上的点𝑀4处，再沿平行于𝑥轴的直线运动，到
达直线𝐴𝐵上的点𝑀5处……如此运动下去，则点𝑀2026的坐标为______．
解题贴士
依次求出前几组交点坐标、线段长度、面积，观察横纵坐标、数值的等差、周期、奇偶规律，归纳通用
公式，求解指定项结果。
18 / 23
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河北衡水·期中）如图，直线𝑙1: 𝑦=
1
2 𝑥+
1
2与直线𝑙2: 𝑦= 𝑥+ 1分别与𝑦轴交
于点𝐴, 𝐵．一动点𝐶从点𝐴出发，先沿垂直于𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙2上的点𝐵处后，改为平行于𝑥轴的
方向运动，到达直线𝑙1上的点𝐴1处；再沿垂直于𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙2上的点𝐵1处后，又改为平行于
𝑥轴的方向运动，到达直线𝑙1上的点𝐴2处…照此规律运动，动点𝐶依次经过点𝐴, 𝐵, 𝐴1, 𝐵1, 𝐴2,𝐵2…则
𝐴2026𝐵2026的长度为______．
基础通关
1．（25-26 八年级下·陕西安康·期末）若点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)都在正比例函数𝑦= −2𝑥的图象上，且𝑥1 >
𝑥2，则𝑦1与𝑦2的大小关系是（ ）
A．𝑦1 ≥𝑦2
B．𝑦1 > 𝑦2
C．𝑦1 ≤𝑦2
D．𝑦1 < 𝑦2
2．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）已知一次函数的解析式为𝑦= 2𝑥−5，下列说法正确的是（ ）
A．𝑦随𝑥的增大而减小
B．图象经过第二象限
C．图象与𝑦轴交于点(0, −5)
D．图象与𝑥轴交于点(−5,0)
3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数𝑦= 2𝑥的图象是（ ）
19 / 23
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数𝑦= 𝑘1𝑥，𝑦= 𝑘2𝑥，𝑦= 𝑘3𝑥，𝑦= 𝑘4𝑥的图象如图所
示，则比例系数中最大的是（ ）
A．𝑘1
B．𝑘2
C．𝑘3
D．𝑘4
5．（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）一次函数𝑦= −3𝑥+ 2的图象经过（ ）
A．第一、二、四象限
B．第二、三、四象限
C．第一、二、三象限
D．第一、三、四象限
6．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若点𝐴(0, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)在正比例函数𝑦= 2𝑥的图象上，
则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为_____________．（用“<”连接）
7．（25-26 八年级下·河南濮阳·期末）一次函数𝑦= −𝑥+ 𝑏的图象与𝑦轴正半轴相交，则𝑏的值可以是
________．（写出一个即可）
8．在平面直角坐标系中，若直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏是常数，𝑘≠0）与直线𝑦= 3𝑥+ 4关于𝑦轴对称，则
3𝑘+ 𝑏的值为______．
9．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0, −1)，𝐵(−1, −2)．
(1)求此直线的解析式；
(2)求该一次函数的图象与𝑥轴的交点坐标．
20 / 23
学科网（北京）股份有限公司
10．（25-26 八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于𝑦= 2𝑥的直线经过点(1,3)，求这条直
线的解析式．
11．（25-26 八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数𝑦= |𝑥| −1的图象与性质．小彤根据学习函数
的经验，对函数𝑦= |𝑥| −1的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数𝑦= |𝑥| −1的自变量𝑥的取值范围是_________；
(2)表格是𝑦与𝑥的几组对应值：
𝑥
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
𝑦
…
3
𝑚
1
0
−1
0
1
2
3
…
则𝑚的值为_________；
(3)请在下面的平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，画出函数𝑦= |𝑥| −1的图象；
(4)观察图象，写出该函数的两条性质．
12．（25-26 八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数𝑦= 2𝑥的图像经过点𝐴，且点𝐴的横坐标为2．
(1)求点𝐴的坐标；
(2)已知点𝑃在𝑥轴上，且𝑆△𝐴𝑂𝑃= 8，求点𝑃的坐标．
13．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）已知一次函数𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 𝑚−3．
(1)当𝑚为何值时，𝑦随𝑥的增大而增大；
(2)当𝑚为何值时，函数图象经过原点；
(3)当𝑚为何值时，图象经过第二、三、四象限．
素养提升
1．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若𝑎、𝑏为常数，且𝑎𝑏≠0，则一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑏𝑥+ 𝑎在同
一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
21 / 23
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若点𝐴(2, 𝑚)、𝐵(3,5)都在一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数，𝑘>
0）的图象上，则𝑚的取值范围为（ ）
A．𝑚< 2
B．𝑚< 3
C．𝑚< 5
D．𝑚> 5
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线𝑦1 = 𝑘𝑥（k 为常数，且𝑘≠0）先向右
平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏（b 为常数），则下列说法错误
．．的是
（ ）
A．𝑏= −𝑘+ 3
B．若点𝐴(𝑎−1, 𝑚)，𝐵(𝑎+ 3, 𝑛)在直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上，且𝑚< 𝑛，则𝑘> 0
C．直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏一定经过第一象限
D．若直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏不经过第四象限，则𝑘> 3
4．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)在一次函数𝑦= 𝑎𝑥−3的图像上，当 𝑥1 > 𝑥2
时， 𝑦1 < 𝑦2，则a 的取值范围是_______．
5．（2026·山东济宁·二模）正方形𝑁1𝑀1𝑀2𝑄1，𝑁2𝑀2𝑀3𝑄2，𝑁3𝑀3𝑀4𝑄3 …按如图所示的方式放置，点𝑁1，
𝑁2，𝑁3 …和点𝑀1，𝑀2，𝑀3，𝑀4 …分别在直线𝑦= 𝑘𝑥（𝑘> 0）和𝑥轴上，已知点𝑄1(3,2)，点𝑄2026的坐标
是________．
6．（25-26 八年级下·河南周口·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过𝑀(0,2)，𝑁(1,3)两点．
22 / 23
学科网（北京）股份有限公司
(1)求k，𝑏的值；
(2)若一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与x 轴的交点为A，求一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与坐标轴围成三角形的面
积；
(3)当−3 ≤𝑥≤2时，求y 的取值范围．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·河南焦作·期末）在音乐中，音高的频率与数学中的函数存在密切联系，已知在十二平
均律中，相邻半音的频率满足等比关系，但在简单旋律中，音高变化常呈现线性规律．
(1)问题1：用函数表示音高变化
某段旋律的音高𝑦（简谱用数字1~7 表示音高，1 对应最低音，7 对应最高音）随时间𝑥（单位：秒，假设
旋律持续到8 秒）变化的部分数据如下：
时间𝑥（秒）
0
2
4
6
音高𝑦
2
3
4
5
观察数据，判断𝑦与𝑥之间是否满足一次函数关系，若满足，求出𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出𝑥的取值范
围．
(2)问题2：旋律中的函数图象与音乐情感
①若另一段旋律的音高关于时间的函数解析式为𝑦= −0.5𝑥+ 6，请在同一坐标系中画出问题
．．．．．．．．．．．．1．中的函数
．．．．
和该函数的大致图象
．．．．．．．．．，并对比两段旋律的变化趋势：
·问题1 的旋律音高____________（填上升下降或平稳）；
·函数𝑦= −0.5𝑥+ 6对应的旋律音高____________（填上升下降或平稳）．
23 / 23
学科网（北京）股份有限公司
②结合数学中比例系数的意义，当比例系数为正数时，试说明为什么比例系数较大的旋律常给人急促上升
的感觉．
𝑥
0
2
𝑦= 0.5𝑥+ 2 (0 ≤𝑥≤8)
2
3
𝑦= −0.5𝑥+ 6
6
5
2．（25-26 八年级下·安徽黄山·期末）对于实数𝑚 , 𝑛，定义min{𝑚, 𝑛}表示𝑚 , 𝑛两个数中的较小值．例如：
min{3, −5} = −5，min{8,8} = 8．
(1)填空：min{2√10,√52} = ．
(2)已知min{√52,𝑎} = 𝑎，min{√52, 𝑏} = √52，且𝑎和𝑏为两个连续的正整数，求2√7 × √𝑏
𝑎的值．
(3)求函数𝑦= min{𝑥+ 1, −3𝑥+ 5}的最大值．
