文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
27.2 反比例函数的图象和性质
（第2 课时 反比例函数的图象和性质的综合应用）
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》，27.2反比例函数的图象和性质第二课时反比例
函数的图象和性质的综合应用。.核心内容为：反比例函数图像的对称性（中心对称、轴对称）；跨象限函
数值大小比较；反比例函数比例系数k的几何意义（矩形面积、三角形面积）；反比例函数与正比例函数交
点特征；利用图像性质、k几何意义解决中档综合题型.
2. 内容解析
本节课是反比例函数单元的核心重难点课，第一课时学生仅掌握“象限分布、象限内增减性”基础性质，
本节课对知识进行深度拓展与综合运用.通过图像观察、对称探究、面积推导，引出反比例函数最核心考点
——k的几何意义，同时解决学生最大难点：不同象限点的函数值比较.同时结合正反比例函数交点问题，
初步构建函数综合解题模型.本节内容是中考高频考点，承接基础图像性质，为后续27.3实际问题、反比例
函数压轴几何综合题奠定核心解题工具，在单元知识体系中起到承上启下的关键作用.
基于以上分析，本节课的教学重点跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用；函数对称性
的简单运用.
1. 教学目标
（1）掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的
几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基
础综合题型.
（2）通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力
和综合解题能力.
（3）体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信
心.
2.目标解析
目标1在掌握基础性质的前提下，补齐反比例函数对称性、k几何意义、跨象限比大小三大必考知识点，构
建完整的图像性质知识体系.
目标2突破学生“只会简单判断、不会综合分析”的短板，让学生具备识图、用图、数形转化、几何代数结
合的综合解题能力.
目标3深度落实直观想象、数学推理、数形结合核心素养，适配新课标综合与应用的能力要求.
学生通过第一课时学习，已经掌握双曲线图像形态、象限分布、同一象限内增减性，具备基础识图能力.但
学生存在三大突出薄弱点：1. 极易混淆同象限、跨象限比大小规则，惯性用增减性判断所有点；2. 对k几
何意义陌生，无法理解为什么面积恒为定值；3. 缺乏数形综合思维，不会结合对称性、面积、函数值综合
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解题.本节课通过专项探究、典型例题纠错、规范解题步骤，针对性突破以上难点.
基于以上分析，确定本节课的教学难点灵活区分同象限、跨象限函数值比较方法；理解任意点面积恒等于
|k|的原理；含参数、含面积的综合题型解题思路.
复习旧知、类比导入
复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性.
提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？
② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？
导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用.
（设计意图：立足旧知制造认知冲突，精准点出本节课要解决的重难点问题，让学生带着问题听课，明确
课堂探究目标，实现新旧知识自然衔接.）
探究点1：反比例函数图象性质应用
观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称；
折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称；
推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称.
问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4).
（1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？
(2）点B(1，-8)，C(2
1
2号，-3
1
5)，D(2，4)是否在这个函数的图象上?
追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？
令函数解析式为y=
k
x，用待定系数法求出k.
追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？
反比例函数y=
k
x图象的位置是由k确定了，当k>0时，图象在一三象限，当k<0时，图象在二四象限.
追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？
将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上.
解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A
（一2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，随x的增大而增大.
(2）设这个反比例函数的解析式为y=
k
x，因为点A（-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=
k
x，即4=
k
−2
解得k=-8.
因此，这个反比例函数的解析式为y=-
8
x
因为点B，C的坐标都满足y=-
8
x，所以点B，C在这个函数图象上，点不在这个函数图象上.
探究点2 函数值大小比较综合方法
问题2.如图中的曲线是反比例函数y=
m−5
x 的图象的一支，根据图象，回答下列问题：
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1）和点B(x2，y2）.如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系?
追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？
反比例函数图象y=
k
x，在第一三象限时，k>0；在第二、四象限时，k<0.
追问2.反比例函数图象的增减性？
当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小.
解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以
m-5>0.
解得 m>5.
(2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当x1>x2时，y1<y2.
探究点3 比例系数k 的几何意义
设点P(x,y)是双曲线y=
k
x(k≠0)上任意一点：
1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|；
2. 围成直角三角形面积：S=
1
2|k|；
3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值.
问题3:如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
1,6
A
在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，
再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数
6
y
x
=
的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求ABC
的面积．
【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；
（2）过点B作BD
x
∥轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
进而求得D点坐标，然后根据
ABD
ABC
BCD
S
S
S
=
+
△
求得即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6），
∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，
∴点B的横坐标为3，
将
3
x = 代入
6
y
x
=
中，得
2
y = ，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）过点B作BD
x
∥轴交AC于点D，如图所示，
由题意，可知点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（－3，－2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A、C代入得，
6
2
3
k
b
k
b
=
+
−= −
+
，
解得
2
4
k
b
=
=
，
∴直线AC的解析式为
2
4
y
x
=
+
，
由题意，易得点D的纵坐标为2，
将
2
y = 代入
2
4
y
x
=
+
中，得= 1
x −，
∴点D的坐标为（－1，2），
∴
(
)(
)
1
16
2
ABD
ABC
BCD
B
D
A
C
S
S
S
x
x
y
y
=
+
=
−
−
=
△
．
（设计意图：从教师示范到学生自主操作，自主归纳应用反比例函数的性质，避免死记硬背，突破重难点，
落实数形结合思想.）
典型例题
例1.在反比例函数
5
k
y
x
−
=
图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．
（1）函数经过哪些象限？
（2）求k 的取值范围．
【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5- k ﹥0，即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数
5
k
y
x
−
=
的图象上，y随x的增大而减小
∴函数经过第一、三象限，
（2）∵函数经过第一、三象限，
∴5-k ﹥0，
即k ﹤5
例2.双曲线
12
y
x
=
过矩形ABCD的A、C两个顶点，AB
y
∥
轴，已知B点的坐标为(
)
2,1.5 ，求点D的坐标．
【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可．
【详解】解：∵双曲线
12
y
x
=
过矩形ABCD的A、C两个顶点，AB
y
∥
轴，
当
2
x = 时，
12
6
2
y =
=
，
∴A（2，6）．
∵CB
x
∥轴，
当
1.5
y =
时，
12
1.5
x
=
，
8
x = ，
∴C（8，1.5）．
∴点D的坐标为（8，6）．
(设计意图：通过不同形式的例题，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验)
课本P71课堂练习.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.综合运用 如图，直线
2
2
y
x
=
+
与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点
(
)
2,
A
a ，过点A作反比例
函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
图象上的一点，若
2
POB
AOB
S
S
=
△
△
，求点P的坐标．
(3)在x轴是否存在点Q，使得
BOA
OAQ
=
，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【详解】（1）解：把
(
)
2,
A
a 代入
2
2
y
x
=
+
得，
2 2
2
6
a = +
=
，
(
)
2,6
A
，
把
(
)
2,6
A
代入
k
y
x
=
，
得
12
k =
，
反比例函数的函数表达式为
12
y
x
=
；
（2）解：当
0
x =
时，
2
2
2
y
x
=
+
=
，
(
)
0,2
B
，
2
OB
=
，
1
2
AOB
A
S
OB x
=
△
1
2 2
2
2
=
=
，
2
4
POB
AOB
S
S
=
=
△
△
，
又
1
2
POB
P
S
OB x
=
1
2
4
2
Px
=
=
，
解得：
4
P
x =
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12
3
4
y
=
=
，
点P坐标为(
)
4,3 ；
（3）解：存在；
理由如下：
①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作
1
AQ
y
∥
轴交x轴于
1
Q ，
则
1
BOA
OAQ
=
，
点
(
)
2,0
Q
；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如上图，设
2
AQ 与y轴交于点
(
)
0,
D
b ，
∵
2
BOA
OAQ
=
，
∴OD
AD
=
，
则
2
2
2
2
(6
)
b
b
+
−
=
，
解得：
10
3
b =
，
∴
10
0, 3
D
，
设直线
2
AQ 表达式为y
mx
n
=
+
，则有
2
6
10
3
m
n
n
+
=
=
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解得
4
3
10
3
m
n
=
=
，
直线
2
AQ 的表达式为
4
10
3
3
y
x
=
+
，
当
0
y =
时，
5
2
x = −
，
即点
2
Q 的坐标为
5,0
2
−
，
综上所述，点Q的坐标为(
)
2,0 或
5,0
2
−
．
（设计意图：强化反比例函数的图象与性质）
1．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 𝑘
𝑥的图象与一次函数y＝ax+b 的图象交于点
A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB 的面积．
【解答】解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入𝑦= 𝑘
𝑥，得：k＝﹣1×6＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为𝑦= −6
𝑥，
将点B（m，﹣2）代入𝑦= −6
𝑥可得：𝑚= −6
−2 = 3，
∴B（3，﹣2），
将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：{−𝑎+ 𝑏= 6
3𝑎+ 𝑏= −2，
解得{𝑎= −2
𝑏= 4 ，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；
（2）如图，设一次函数的图象与x 轴的交点为点C，
将y＝0 代入一次函数y＝﹣2x+4 得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），
∴△AOC 的OC 边上的高为|6|＝6，△BOC 的OC 边上的高为|﹣2|＝2，
∴△OAB 的面积为𝑆△𝐴𝑂𝐶+ 𝑆△𝐵𝑂𝐶= 1
2 × 2 × 6 + 1
2 × 2 × 2 = 8．
2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于点A，B，与反比例函数y= 𝑘
𝑥（x
＞0）的图象交于点C．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（1，6），点D 在反比例函数y= 𝑘
𝑥（x
＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B 的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO 的面积．
【解答】解：（1）∵点C 的坐标为（1，6），且在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑥＞0)的图象上，
∴6 = 𝑘
1，即k＝6，
∴反比例函数的解析式为𝑦= 6
𝑥；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
设直线AC 的解析式为y＝ax+b（a≠0），
把A、C 两点坐标分别代入得：
{−2𝑎+ 𝑏= 0
𝑎+ 𝑏= 6
，
解得：{𝑎= 2
𝑏= 4，
即直线AC 的解析式为y＝2x+4；
上式中，令x＝0，y＝4，
∴点B 的坐标为（0，4）；
（2）∵点D 在反比例函数𝑦= 6
𝑥的图象上，纵坐标为2，
∴2 = 6
𝑥，
解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4，
∴S 四边形AODB＝S△AOB+S△BOD
= 1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵+ 1
2 𝑂𝐵⋅𝑥𝐷
= 1
2 × 2 × 4 + 1
2 × 4 × 3
＝10．
3．(2026 年甘肃省武威市)如图，一次函数
3
y
x
b
=
+
的图象与反比例函数
k
y
x
=
（
0
k
）的图象交于
点
(
)
2,3
A
，与x 轴交于点C ．在反比例函数图象上有一点(
)
3,
B
m
−
，过点B 作BD
x
⊥
轴于点D ，连
接AD ，BC ．
(1)求一次函数
3
y
x
b
=
+
与反比例函数
k
y
x
=
（
0
k
）的表达式；
(2)求四边形BDAC 的面积．
【详解】（1）解：∵点
(
)
2,3
A
在一次函数
3
y
x
b
=
+
的图象上，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴3 2
3
b
+
= ，
∴
3
b = − ，
∴一次函数的表达式为
3
3
y
x
=
−；
∵点(
)
2,3
A
在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
∴
2 3
6
k = =
，
∴反比例函数的表达式为
6
y
x
=
；
（2）解：∵点
(
)
3,
B
m
−
在反比例函数
6
y
x
=
的图象上，
∴
2
m = − ，
∴点
(
)
3, 2
B −
−
，
∵BD
x
⊥
轴于点D ，
∴
3
DO = ，
2
BD =
．
∵一次函数
3
3
y
x
=
−与x 轴交于点C ，
令3
3
0
x−=
，解得
1
x = ，
∴点
(
)
1,0
C
，
∴
1
OC = ，
∴
3 1
4
DC = + =
，
∴
1
1
4 2
4
2
2
BCD
S
DC BD
=
=
=
．
过点A 作AE
x
⊥
轴于点E ，则
3
EA =
，
∴
1
1
4 3
6
2
2
ACD
S
DC EA
=
=
=
，
∴
4
6
10
BCD
ACD
BDAC
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于点A，B，与反比例函数y= 𝑘
𝑥（x
＞0）的图象交于点C．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（1，6），点D 在反比例函数y= 𝑘
𝑥（x
＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B 的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO 的面积．
【解答】解：（1）∵点C 的坐标为（1，6），且在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑥＞0)的图象上，
∴6 = 𝑘
1，即k＝6，
∴反比例函数的解析式为𝑦= 6
𝑥；
设直线AC 的解析式为y＝ax+b（a≠0），
把A、C 两点坐标分别代入得：
{−2𝑎+ 𝑏= 0
𝑎+ 𝑏= 6
，
解得：{𝑎= 2
𝑏= 4，
即直线AC 的解析式为y＝2x+4；
上式中，令x＝0，y＝4，
∴点B 的坐标为（0，4）；
（2）∵点D 在反比例函数𝑦= 6
𝑥的图象上，纵坐标为2，
∴2 = 6
𝑥，
解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4，
∴S 四边形AODB＝S△AOB+S△BOD
= 1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵+ 1
2 𝑂𝐵⋅𝑥𝐷
= 1
2 × 2 × 4 + 1
2 × 4 × 3
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
＝10．
（ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质；掌握正反比例函数交点关于原点对称的
结论；熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法；理解并熟记k的几何意义，能快速求解双
曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型.
思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断象限、正负、面积，以形助数；（2）分类讨论思想：对比大
小时分同象限、跨象限分类讨论；（3）模型思想：建立k与面积的固定模型，实现快速解题；（4）对称转
化思想：利用函数对称性简化交点问题计算.
易错提醒:（1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负；（2）求面积忘记加绝对值，出现负数面
积；已知面积求k忘记分类正负；（3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立；（4）多
个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：习题27.2第5、6题.
探究性作业：习题27.2第7题
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）
一、图象性质应用
二、函数值比大小
三、k的几何意义
四、核心思想
五、易错警示
副板书
例题
学生练习板演
