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4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
课标要点
1.掌握平面直角坐标系内点关于x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能快速求对称点坐
标。
2.掌握点左右、上下平移的坐标变化规律，理解图形平移与点坐标变化的对应关系。
3.能根据坐标变换规律，作出图形轴对称、平移后的对应图形。
4.体会数形结合思想，掌握图形变换与坐标转化的解题方法。
学习重难点
重点：
1.熟记点的轴对称、平移坐标变换规律；
2.熟练求解变换后的点坐标；
3.能根据坐标变化完成图形变换作图。
难点：
1.混淆轴对称与平移的坐标变化规则，易错写坐标；
2.连续多次变换时坐标推导出错；
3.根据图形变换逆向推导原点点坐标。
知识点
平面直角坐标中的对称（重点）
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点：
①(𝑎，𝑏)关于𝑥轴对称的点的坐标为(𝑎, －𝑏)，关于𝑥轴对称⇔横坐标相同，纵坐标互为相反数；
第四章
图形与坐标
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②(𝑎，𝑏)关于𝑦轴对称的点的坐标为(－𝑎，𝑏)，关于𝑦轴对称⇔纵坐标相同，横坐标互为相反数。
随学随练
1．（25-26 八年级上·广东中山·期中）点𝑃(−1,2)关于𝑦轴对称点的坐标是（ ）
A．(1,2)
B．(−1, −2)
C．(1,−2)
D．(2,−1)
【答案】A
【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：点𝑃(−1,2)关于𝑦轴对称点的坐标是(1,2)．
2．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(𝑎, 8)与点𝐵(−5, 𝑏)关于𝑦轴对称，则𝑎−𝑏=
（ ）．
A．−13
B．13
C．3
D．−3
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于𝑦轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出𝑎和𝑏的值. 再代入计算即
可得到结果．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于𝑦轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等，
又∵点𝐴(𝑎, 8)与点𝐵(−5,𝑏)关于𝑦轴对称，
∴𝑎= −(−5) = 5，𝑏= 8，
∴𝑎−𝑏= 5 −8 = −3．
知识点
平面直角坐标中的平移（重点）
1. 对于平面直角坐标系上任意一点P(𝒙，𝒚)
变换方式
具体变换过程
变换后的坐标
向左平移𝑎个单位
(𝑥−𝑎，𝑦)
向右平移𝑎个单位
(𝑥+ 𝑎，𝑦)
易错提醒
1）混淆x 轴、y 轴对称的坐标变号规律；
2）原点对称只变其中一个坐标，出现漏变号错误；
3）图形对称作图只描点不连线，或连线顺序错乱；
4）对称点坐标计算正负出错，尤其负数坐标对称变换。
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平移变换
（𝑎＞0，𝑏＞0）
向上平移𝑎个单位
(𝑥，𝑦+ 𝑎)
向下平移𝑎个单位
(𝑥，𝑦−𝑎)
口诀：点的平移左减右加，上加下减.
随学随练
1．（25-26 七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑀(−3,4)先向右平移4 个单位长度，再向下平
移2 个单位长度得到点𝑀′，则点𝑀′的坐标为（ ）
A．(1,2)
B．(−7,2)
C．(−5,8)
D．(−5,0)
【答案】A
【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果．
【详解】解：已知点𝑀(−3,4)，先向右平移4 个单位长度，横坐标变为−3 + 4 = 1，
再向下平移2 个单位长度，纵坐标变为4 −2 = 2，
∴𝑀′(1,2)．
2．（25-26 七年级下·河北承德·期末）点𝑀(1, 𝑚+ 2)向上平移2个单位长度得到的点𝑀1在𝑥轴上，则𝑚的值
是（ ）
A．−3
B．0
C．−2
D．−4
【答案】D
【详解】解∵ 𝑀(1,𝑚+ 2)向上平移2个单位长度后，得到𝑀1，
∴ 𝑀1的坐标为(1,𝑚+ 2 + 2)，即(1,𝑚+ 4)，
又 ∵ 𝑥轴上的点的纵坐标为0，且𝑀1在𝑥轴上，
∴ 𝑚+ 4 = 0，
解得𝑚= −4．
3．在平面直角坐标系中，线段𝐴′𝐵′是由线段𝐴𝐵经过平移得到的，若点𝐴(2, −5)的对应点𝐴′的坐标为
(−1, −3)，则点𝐵(−1,1)的对应点𝐵′的坐标是__________．
【答案】(−4,3)
【分析】平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移
特别提醒
平移只改变点的位置，不改变图形形状、大小、方向；坐标规律：左右平移变横坐标（右加左减），上下
平移变纵坐标（上加下减），所有关键点平移规则统一。
教材延伸
中点坐标公式：若点𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，则线段AB 的中点坐标为(
𝑥1+𝑥2
2
，
𝑦1+𝑦2
2
)。
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减．先根据点𝐴及其对应点𝐴′的坐标确定平移规律，再利用该规律求出点𝐵的对应点𝐵′的坐标．
【详解】解：∵线段𝐴′𝐵′是由线段𝐴𝐵经过平移得到的，点𝐴(2, −5)的对应点为𝐴′(−1,−3)，
∴横坐标的变化为−1 −2 = −3，即横坐标减3，纵坐标的变化为−3 −(−5) = 2，即纵坐标加2，
∴点𝐵(−1,1)的对应点𝐵′的横坐标为−1 −3 = −4，纵坐标为1 + 2 = 3，
∴点𝐵′的坐标为(−4,3)．
拓展
平面直角坐标系中两种轴对称坐标规律
对称类型
原始坐标与对称后坐标
坐标变化核心规律
关于x 轴对称
点(𝑎, 𝑏) → (𝑎, −𝑏)
横坐标不变，纵坐标取相反数，x 轴为水平对称轴，上下
翻转变纵轴符号
关于y 轴对称
点(𝑎, 𝑏) → (−𝑎, 𝑏)
纵坐标不变，横坐标取相反数，y 轴为竖直对称轴，左右
翻转变横轴符号
活学活用
1．已知点(𝑎−1,3)与点(2, 𝑏+ 3)关于𝑦轴对称，则(𝑎+ 𝑏)2022 =________．
【答案】
1
【分析】根据关于𝑦轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求解𝑎，𝑏的值，再代入计算代
数式的值即可．
【详解】解：∵点(𝑎−1,3)与点(2, 𝑏+ 3)关于𝑦轴对称，
∴𝑎−1 = −2，𝑏+ 3 = 3，
解得：𝑎= −1，𝑏= 0，
∴(𝑎+ 𝑏)2022 = (−1 + 0)2022 = (−1)2022 = 1．
2．点𝑃(−2,3)关于𝑥轴的对称点的坐标是 ___________ ．
【答案】(−2, −3)
【分析】根据点关于𝑥轴对称时，横纵坐标变化规律解答即可．
【详解】解：∵坐标系中点关于𝑥轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，
∴点𝑃(−2,3)关于𝑥轴的对称点的坐标是(−2,−3)．
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拓展
坐标平移变换规律总结
平移方向
坐标变换规则（a＞0）
规律核心解读
向左平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥−𝑎, 𝑦)
水平左移，横坐标减小，纵坐标保持不变
向右平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥+ 𝑎, 𝑦)
水平右移，横坐标增大，纵坐标保持不变
向上平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥, 𝑦+ 𝑎)
竖直上移，纵坐标增大，横坐标保持不变
向下平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥, 𝑦−𝑎)
竖直下移，纵坐标减小，横坐标保持不变
通用记忆口诀：左减右加，上加下减；水平平移只变横坐标，竖直平移只变纵坐标。
活学活用
1．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点𝑃(3, −2)先向左移动3 个单位，再向上移
动3 个单位后得到的点的坐标是 ______ ．
【答案】(0,1)
【分析】本题考查了点的平移规律．
根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可．
【详解】解：点𝑃(3,−2)向左平移3 个单位，得到点(3 −3, −2)，即(0,−2)；
再向上平移3 个单位，得到点(0,−2 + 3)，即(0,1)；
故答案为：(0,1)．
2．将△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐴1𝐵1𝐶1，若对应点𝐴(3,3)的像为𝐴1(3,−2)，则𝐵(2,1)的像𝐵1坐标为__________.
【答案】(2,−4)
【分析】此题考查了平移，先由对应点𝐴(3,3)的像为𝐴1(3,−2)得到平移规律是向下平移5 个单位，据此即
可求出答案.
【详解】解：∵对应点𝐴(3,3)的像为𝐴1(3,−2)，
∴平移规律是向下平移5 个单位，
则𝐵(2,1)的像𝐵1坐标为(2, −4)，
故答案为：(2, −4)．
3．在平面直角坐标系𝑥𝑜𝑦中，点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(2, −2)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐶𝐷，点
A 的对应点C 的坐标为(2,5)，则点B 的对应点D 的坐标为______．
【答案】(1,3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，先根据点𝐴与其对应点𝐶的坐标确定平移规律，再将该平移规律
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应用到点𝐵，即可求出点𝐵的对应点𝐷的坐标．
【详解】解：由点𝐴(3,0)平移得到点𝐶(2,5)，可得横坐标的变化为2 −3 = −1，即向左平移1 个单位，纵
坐标的变化为5 −0 = 5，即向上平移5 个单位．
根据平移的性质，线段平移时对应点的平移规律相同，
则点𝐵(2,−2)的对应点𝐷的横坐标为2 −1 = 1，纵坐标为−2 + 5 = 3，
所以点𝐷的坐标为(1,3)．
题型
求对称后点的坐标
▌例1．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点𝑃(3, −2)，则点P 关于x 轴对称的点的坐标是
（ ）
A．(2, −3)
B．(−3, −2)
C．(−3,2)
D．(3,2)
【答案】D
【分析】关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：∵点𝑃(3,−2)，
∴点P 关于x 轴对称的点的坐标是(3,2)．
▌例2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃(3, −5)关于y 轴对称的点的坐标为
_____．
【答案】(−3, −5)
【分析】关于𝑦轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点P(3,−5)关于y轴对称的点的坐标为(−3,−5)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）点(−3,2)关于𝑥轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−3,−2)
B．(3,2)
C．(−2,3)
D．(3,−2)
【答案】A
【分析】点关于𝑥轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数．
【详解】解:∵点关于𝑥轴对称的坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，原点坐标为
(−3,2)，
解题贴士
熟记对称口诀：①关于x 轴对称：横不变、纵变号；②关于y 轴对称：纵不变、横变号；③关于原点对
称：横、纵全变号，直接代入坐标计算。
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∴对称点的横坐标为−3，纵坐标为−2，即对称点坐标为(−3, −2)．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）点𝑃(−2, −3)关于𝑦轴对称的点的坐标为（ ）
A．(2, −3)
B．(−2, −3)
C．(−2,3)
D．(2,3)
【答案】A
【分析】平面直角坐标系中，点关于𝑦轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数．
【详解】点𝑃(−2, −3)关于𝑦轴对称的点的坐标为(2, −3)．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京昌平·期末）已知点𝐴(1,2)，点𝐵与点𝐴关于𝑥轴对称，则点𝐵的坐标是
_________．
【答案】(1,−2)
【分析】关于𝑥轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵点𝐴(1,2)，点𝐵与点𝐴关于𝑥轴对称，
∴点𝐵的坐标为(1, −2)．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑀(3,1)关于x 轴对称的点的
坐标是________．
【答案】(3,−1)
【分析】关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可.
【详解】解：根据关于𝑥轴对称的点的坐标规律，点𝑀(3,1)横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，
可得点𝑀(3,1)关于𝑥轴对称的点的坐标是(3, −1).
题型
由点的对称求参数
▌例1．（2026·广东广州·二模）若点(1, 𝑚)关于𝑥轴对称的点在第四象限，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚> 1
B．𝑚> 0
C．𝑚> −1
D．−1 < 𝑚< 0
【答案】B
【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标规律得到对称点坐标，再结合第四象限点的坐标特征列不等式求
解m 的取值范围．
【详解】解：∵关于𝑥轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点(1, 𝑚)关于𝑥轴对称的点坐标为(1, −𝑚)，
∵第四象限内点的纵坐标小于0，该对称点在第四象限，
解题贴士
根据对称坐标变化规律，列出横、纵坐标对应相等或互为相反数的等式，解方程求出参数值。
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∴−𝑚< 0，
∴𝑚> 0．
▌例2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点𝐴(4, 𝑚+ 2)与点𝐵(𝑛−2,5)关于𝑥轴对称，则𝑚+ 𝑛的值为
_____．
【答案】−1
【分析】根据关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求出m、n 的值，进行计算即可
【详解】解：∵点𝐴(4,𝑚+ 2)与点𝐵(𝑛−2,5)关于𝑥轴对称，
∴𝑛−2 = 4, 𝑚+ 2 = −5，
∴𝑛= 6, 𝑚= −7，
∴𝑚+ 𝑛= −1
▌对点练1-1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点
𝐴的坐标为(2𝑚, 𝑛)，点𝐵的坐标为(1 −𝑛, 𝑚+ 2)，并且点𝐴, 𝐵关于𝑦轴对称，则𝑚+ 𝑛=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】解：∵点𝐴, 𝐵关于𝑦轴对称，
∴{2𝑚+ 1 −𝑛= 0
𝑛= 𝑚+ 2
，
解得{𝑚= 1
𝑛= 3
，
∴𝑚+ 𝑛= 4．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北衡水·期中）点𝐴(𝑚−1,2)与点𝐵(3,𝑛−1)关于𝑦轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2026
的值为（ ）
A．0
B．−1
C．32026
D．1
【答案】D
【分析】本题利用关于y 轴对称的点的坐标特征求出𝑚, 𝑛的值，再代入所求代数式计算即可，用到的性质
是：关于y 轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数
【详解】解：∵ 点𝐴(𝑚−1,2)与点𝐵(3,𝑛−1)关于𝑦轴对称
∴ 根据关于y 轴对称的点的坐标特征可得
𝑚−1 = −3，𝑛−1 = 2
解得 𝑚= −2，𝑛= 3
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将𝑚= −2，𝑛= 3代入(𝑚+ 𝑛)2026得
(−2 + 3)2026 = 12026 = 1．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期中）点𝐴(𝑚, 2)与点𝐵(3, 𝑛)关于𝑥轴对称，则
(𝑚+ 𝑛)2027 =______．
【答案】1
【分析】根据关于𝑥轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出𝑚，𝑛的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵点𝐴(𝑚, 2)与点𝐵(3,𝑛)关于𝑥轴对称，
∴𝑚= 3，𝑛= −2，
∴(𝑚+ 𝑛)2027 = [3 + (−2)]2027 = 12027 = 1．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点𝐴(3𝑎−5,3 + 𝑎)，点
𝐵(𝑏−2, 𝑎−𝑏)
(1)若点A 关于y 轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a 的值．
(2)若点A，B 关于x 轴对称，求𝑎𝑏的值．
(3)若点A 向上平移2 个单位长度后，与点B 关于y 轴对称，求(𝑎+ 𝑏)2019的值．
【答案】(1)4
(2)90
(3)−1
【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解；
（2）关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解；
（3）关于y 轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点𝐴(3𝑎−5,3 + 𝑎)关于y 轴对称的点为𝐴′(5 −3𝑎, 3 + 𝑎)，
∴点𝐴′(5 −3𝑎, 3 + 𝑎)在第二象限的角平分线上，
∴5 −3𝑎= −(3 + 𝑎)，
解得𝑎= 4；
（2）解：∵点𝐴(3𝑎−5,3 + 𝑎)与点𝐵(𝑏−2, 𝑎−𝑏)关于x 轴对称，
∴3𝑎−5 = 𝑏−2，3 + 𝑎= −(𝑎−𝑏)，
解得𝑎= 6，𝑏= 15，
∴𝑎𝑏= 6 × 15 = 90；
（3）解：∵点𝐴(3𝑎−5,3 + 𝑎)向上平移2 个单位长度后得到点𝐴″，
∴点𝐴″(3𝑎−5,5 + 𝑎)，
∵点𝐴″(3𝑎−5,5 + 𝑎)与点𝐵(𝑏−2, 𝑎−𝑏)关于y 轴对称，
∴3𝑎−5 = −(𝑏−2)，5 + 𝑎= 𝑎−𝑏，
解得𝑎= 4，𝑏= −5，
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∴(𝑎+ 𝑏)2019 = (4 −5)2019 = −1 ．
题型
由对称前后坐标确定对称方式
▌例1．（25-26 八年级下·湖南湘潭·期末）已知点𝑃(5,−4)，𝑄(−7,−4)，则下列说法正确的是（ ）
A．直线𝑃𝑄平行于𝑥轴
B．直线𝑃𝑄平行于𝑦轴
C．点𝑃与点𝑄关于𝑥轴对称
D．点𝑃与点𝑄关于𝑦轴对称
【答案】A
【详解】解：已知点𝑃(5,−4)，𝑄(−7,−4)，
∵点𝑃和点𝑄的纵坐标相等，横坐标不相等，
∴直线𝑃𝑄平行于𝑥轴，不平行于𝑦轴，故A 符合题意，B 不符合题意；
若两点关于𝑥轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点横坐标不相等，故C 不符合题意；
若两点关于𝑦轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，5与−7不互为相反数，故D 不符合题意．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在一幅轴对称图形中，某点的坐标为(−2,3)，其对称
点的坐标为(2,3)，则该轴对称图形的对称轴是（ ）
A．x 轴
B．y 轴
C．直线𝑥= 1
D．直线𝑦= 1
【答案】B
【详解】解：(−2,3)和(2,3)横坐标互为相反数，纵坐标相同，对称轴为y 轴．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北沧州·期中）已知点𝑃(−7, −4) 𝑄(−7,6)，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PQ 平行于x 轴
B．直线PQ 平行于y 轴
C．点P 与点Q 关于x 轴对称
D．点P 与点Q 关于y 轴对称
【答案】B
【详解】已知点𝑃(−7, −4) ，𝑄(−7,6) ，
∵点𝑃和点𝑄的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数，
∴直线𝑃𝑄平行于𝑦轴，不平行于𝑥轴，故A 不符合题意，B 符合题意．
若两点关于𝑥轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，−4与6不互为相反数，故C 不符合题意．
若两点关于𝑦轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D 不符合题
意．
解题贴士
对比新旧坐标：仅纵坐标变号→关于x 轴对称；仅横坐标变号→关于y 轴对称；横竖均变号→关于原点
对称。
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选B．
题型
求平移后点的坐标
▌例1．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）将点𝑃(−3,4)向左平移1 个单位，得到的点的坐标是（）
A．(−2,3)
B．(−4,4)
C．(−4,5)
D．(−2,4)
【答案】B
【分析】利用横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减计算即可．
【详解】解：∵将点𝑃(−3,4)向左平移1 个单位，平移不改变纵坐标，横坐标需要减1，
∴平移后点的横坐标为−3 −1 = −4，纵坐标为4，
∴平移后得到的点的坐标为(−4,4)．
▌例2．（25-26 八年级下·广东清远·期末）将点𝐴(−3,2)沿着𝑥轴正方向平移5个单位长度到达点𝐵，则点𝐵的
坐标为_______．
【答案】(2,2)
【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律解答即可．
【详解】解：已知点𝐴的坐标为(−3,2)，将点𝐴沿𝑥轴正方向平移5个单位长度，
则平移后纵坐标不变，横坐标增加5，
故点𝐵的坐标为(2,2)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑃(−3,5)向右平移2 个单位，再
向下平移3 个单位到点𝑃1，则点𝑃1的坐标是（ ）
A．(−5,2)
B．(−1,7)
C．(−5,7)
D．(−1,2)
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，平移规律为：左右平移改变横坐标，右移
加、左移减；上下平移改变纵坐标，上移加、下移减，按照规律计算即可得到结果．
【详解】解：∵点𝑃(−3,5)向右平移2个单位，横坐标加2，再向下平移3个单位，纵坐标减3
∴𝑃1的横坐标为−3 + 2 = −1，𝑃1的纵坐标为 5 −3 = 2，
∴点𝑃1的坐标为(−1,2)．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐴(2, −5)先向右平移4 个单位
解题贴士
平移口诀：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减）；按平移距离依次计算新坐
标。
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长度，再向上平移3 个单位长度得到点B，则点B 的坐标为______．
【答案】(6,−2)
【详解】解：∵点𝐴(2,−5)先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点𝐵的坐标为(2 + 4, −5 + 3)，即(6, −2)．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·河南周口·期末）点𝑀(4,−3)向左平移5 个单位，向上平移2 个单位后对应
点坐标______．
【答案】(−1, −1)
【分析】平面直角坐标系中点的平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据平面
直角坐标系中点的平移规律，利用平移规则计算平移后点的横纵坐标即可得到结果．
【详解】 解：∵点𝑀(4,−3)，
∴向左平移5 个单位，向上平移2 个单位后坐标为：(4 −5, −3 + 2)，即为(−1, −1)．
题型
由平移前后坐标确定平移方式
▌例1．（25-26 七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的端点坐标分别为𝐴(−3,0)，
𝐵(0,−1)，将线段𝐴𝐵的端点𝐴，𝐵的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段𝐴1𝐵1，则线段𝐴𝐵到线段𝐴1𝐵1
的平移方式为（ ）
A．向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
C．向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
【答案】D
【分析】根据线段平移时，所有点平移方式一致，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，可
直接根据坐标变化判断平移方式．
【详解】解：∵线段𝐴𝐵的端点𝐴，𝐵的横坐标都加1，纵坐标都减2，
∴线段AB到线段A1B1的平移方式为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．
▌例2．（25-26 七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段𝑀𝑁的两个端点的坐标分别是
𝑀(−4,−1), 𝑁(0,1)，将线段𝑀𝑁平移后得到线段𝑀′𝑁′（点M，N 分别平移到点𝑀′，𝑁′的位置），若点𝑀′的
解题贴士
用新坐标减原坐标：横坐标差值为正向右、负向左；纵坐标差值为正向上、负向下，精准描述平移方向
与单位。
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坐标为(−2,1)，则点𝑁′的坐标为____．
【答案】(2,3)
【分析】比较𝑀(−4,−1)，𝑀′(−2,1)的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加2，由于点
𝑀、𝑁平移规律相同，坐标变化也相同，即可得𝑁′的坐标．
【详解】解：由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M 到点𝑀′可知平移后点的横坐标加2，纵坐标加2，
故点𝑁′的坐标为(0 + 2,1 + 2)，即(2,3)．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的端点坐标分别为
𝐴(−4,0)，𝐵(0, −2)，将线段𝐴𝐵的端点𝐴，𝐵的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段𝐴1𝐵1，则线段𝐴𝐵
到线段𝐴1𝐵1的平移方式为（ ）
A．向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
C．向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
【答案】D
【详解】解：∵线段所有端点横坐标都加1，纵坐标都减2，
∴线段𝐴𝐵到线段𝐴1𝐵1的平移方式为向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B 两点的坐标分别为𝐴(−3,1)，𝐵(−1,3)，
将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐶𝐷．若点A 的对应点是𝐶(1,2)，则点B 的对应点D 的坐标是（ ）
A．(3,2)
B．(3,3)
C．(3,4)
D．(4,4)
【答案】C
【分析】结合点A 和点𝐶的坐标可知，线段𝐴𝐵平移的方式为向右平移4 个单位长度，再向上平移1 个单位
长度，再根据点B 的坐标即可求解点D 的坐标．
【详解】解：∵点𝐴(−3,1)平移后的对应点是𝐶(1,2)，
∴线段𝐴𝐵平移的方式为向右平移4 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，
∵点𝐵(−1,3)，
∴点B 的对应点D 的坐标是(−1 + 4,3 + 1)，即(3,4)．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·天津武清·期末）将三角形𝐴𝐵𝐶平移，得到三角形𝐴′𝐵′𝐶′，其中三角形𝐴𝐵𝐶
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内任意一点𝑃(𝑥0,𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 5, 𝑦0 −3)．写出三角形𝐴𝐵𝐶的一种沿坐标轴方向的平移方
式：______________________________．
【答案】先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长度，再向右平移5个
单位长度）
【分析】根据已知点𝑃平移前后的坐标特征，即可确定三角形𝐴𝐵𝐶的平移方式．
【详解】解：∵点𝑃(𝑥0,𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 5, 𝑦0 −3)，
∴横坐标加5，符合向右平移5个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减3，符合向下平移3个单位长度的坐标
变化规律，
∴三角形𝐴𝐵𝐶的平移方式为：先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度（或先向下平移3个单位长
度，再向右平移5个单位长度） ．
题型
由平移后的坐标求原坐标
▌例1．（25-26 七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑀向左平移3 个单位长度后，得到点
𝑁(−1,2)，则点𝑀的坐标是（ ）
A．(2,2)
B．(−4,2)
C．(−1,−1)
D．(−1,5)
【答案】A
【分析】利用平移规律即可求出点M 的坐标．
【详解】解：设点𝑀的坐标为(𝑥, 𝑦)，
∵点𝑀向左平移3 个单位长度后得到点𝑁(−1,2)，
∴根据平移规律可得：{𝑥−3 = −1
𝑦= 2
，
解得：{𝑥= 2
𝑦= 2
，
∴点𝑀的坐标为(2,2)．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点𝑃(2,2)是由点𝑄向右平移5 个单位
长度，再向下平移2 个单位长度得到，则点𝑄的坐标为（ ）．
A．(−3,0)
B．(7,0)
C．(−3,4)
D．(−3,2)
【答案】C
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据已知平移结果逆推计算原
坐标即可．
解题贴士
逆向平移求解：与题目平移方向相反、数值不变，右移变左移、上移变下移，反向加减还原原坐标。
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【详解】解：设点𝑄的坐标为(𝑥, 𝑦)，
∵点𝑄向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到𝑃(2,2)，
根据平移规律可得：𝑥+ 5 = 2，𝑦−2 = 2，
解得𝑥= −3，𝑦= 4，
∴点𝑄的坐标为(−3,4)．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，把点𝐴向左平移可以得到点
𝑀(2,4)，把点𝐴向上平移可以得到点𝑁(4,5)，则点𝐴的坐标是________．
【答案】(4,4)
【分析】 根据向左平移时点的纵坐标不变，可得点𝐴的纵坐标，根据向上平移时点的横坐标不变，可得点
𝐴的横坐标，即可得到点𝐴的坐标．
【详解】解：∵将点𝐴向左平移可得到点𝑀(2,4)，
∴点𝐴的纵坐标为4，
∵将点𝐴向上平移可得到点𝑁(4,5)，
∴点𝐴的横坐标为4，
∴点𝐴的坐标为(4,4)．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中有点A，将它向右平移2 个单位长度
后，对应点𝐴′的坐标为(1,−1)，则点A 的坐标为______．
【答案】(−1, −1)
【详解】解：∵将点A 向右平移2 个单位长度后，对应点𝐴′的坐标为(1, −1)，
∴点𝐴的坐标为(1 −2, −1)，即(−1, −1).
题型
由点的平移求参数
▌例1．（25-26 八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐴(𝑚, 2)向左平移3 个单位长度，得到
点𝐵(5,2)，则m 的值是（ ）
A．8
B．5
C．2
D．-2
【答案】A
【分析】向左平移时横坐标减小，纵坐标不变，据此列方程求解即可.
【详解】解：∵将点𝐴(𝑚, 2)向左平移3 个单位长度，得到点𝐵(5,2)，
解题贴士
根据平移坐标变化规则，建立含参数的方程，求解参数取值；多条件联立验证取值合理性。
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根据点平移的坐标规律：向左平移横坐标减，纵坐标不变，
∴𝑚−3 = 5，
解得 𝑚= 8.
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点𝐴(−1,2)先向右平移2 个单位长
度，再向下平移1 个单位长度，得到点𝐵(𝑎, 𝑏)，则𝑎+ 𝑏=（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．−2
【答案】C
【分析】平移中点的变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，根据规律求出a，b 的
值，再计算𝑎+ 𝑏即可．
【详解】解：∵点𝐴(−1,2)向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到点𝐵(𝑎, 𝑏)，
∴根据平移规律得𝑎= −1 + 2 = 1，𝑏= 2 −1 = 1，
∴𝑎+ 𝑏= 1 + 1 = 2．
▌对点练1-2．（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点𝐴(1,𝑛)向上平移3 个单位，这时它恰好在𝑥
轴的正半轴上，则𝑛=_______．
【答案】−3
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，以及坐标轴上点的坐标特征即可求解．
【详解】解：∵点𝐴(1,𝑛)向上平移3 个单位，
∴平移后的点的坐标为(1, 𝑛+ 3)，
∵平移后的点恰好在𝑥轴的正半轴上，
∴𝑛+ 3 = 0，
∴𝑛= −3．
▌对点练1-3．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，已知点𝑃(−2,3)，将点P 沿x 轴正方向平移a
个单位后，再向下平移5 个单位，得到点𝑄(0, 𝑛)，则𝑎+ 𝑛的值为______．
【答案】0
【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可．
【详解】由题意得，−2 + 𝑎= 0,3 −5 = 𝑛
∴𝑎= 2, 𝑛= −2
∴𝑎+ 𝑛= 2 + (−2) = 0．
题型
中点坐标
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▌例1．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知𝐴(3,4)，𝐵(3,−2)，则线段𝐴𝐵的中点
坐标是________．
【答案】(3,1)
【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解．
【详解】解：∵𝐴(3,4)，𝐵(3,−2)，
∴线段𝐴𝐵的中点坐标是(
3+3
2 ,
−2+4
2 )，即(3,1)．
▌对点练1-1．（25-26 九年级上·山东临沂·期中）已知线段𝐴𝐵的中点为坐标原点𝑂．若点𝐴的坐标为(2,11)，
则点𝐵的坐标为（ ）
A．(−2,−11)
B．(−11,−2)
C．(11,2)
D．(−2,11)
【答案】A
【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点𝐵的坐标．
【详解】解：设点𝐵(𝑥, 𝑦)，
∵ 点𝑂(0,0)是线段𝐴𝐵的中点，点𝐴(2,11)，
∴
2+𝑥
2 = 0，
11+𝑦
2
= 0，
解得𝑥= −2，𝑦= −11，
∴点𝐵的坐标为(−2,−11)，
故选：A．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点𝑀(1,2)和点𝑁(5,8)的中点坐标为
______．
【答案】(3,5)
【分析】本题考查了中点坐标公式．
根据中点坐标公式(
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)，直接计算两点横纵坐标的平均值．
【详解】解：点𝑀(1,2)和点𝑁(5,8)的中点坐标公式为(
1+5
2 ,
2+8
2 )，即(3,5)．
故答案为：(3,5)．
题型
坐标系中的动点问题
解题贴士
易错：①误用差值计算，记成减法公式；②坐标代入顺序错乱；③已知中点求端点不会逆向变形。
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▌例1．（25-26 七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线𝐴𝐵经过点𝐴(−2,3)，𝐵(−2,−1)，动点P 在y 轴上，则
𝑃𝐴的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据垂线段最短可知，当𝑃𝐴⊥𝐴𝐵时，𝑃𝐴最小，由点𝐴的坐标可求出𝑃𝐴的最小值．
【详解】解：如图，
当𝑃𝐴⊥𝐴𝐵时，𝑃𝐴最小，
∵𝐴(−2,3)，𝐵(−2,−1)，
∴𝐴𝐵∥𝑦轴，
∵点P 在y 轴上，且𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，
∴𝑃(0,3)，
∴𝑃𝐴= |−2 −0| = 2．
∴𝑃𝐴的最小值是2．
▌例2．（25-26 七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(𝑎, 0)、𝐵(𝑏, 𝑏)且实数a，b
满足(𝑎−6)2 + |𝑏−4| = 0，过点B 作𝐵𝐶∥𝑥轴交y 轴于点C．点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的
速度向x 轴负方向运动．点Q 从O 点出发，以每秒2 个单位长度的速度向y 轴正方向运动．
解题贴士
易错：①动点坐标代数式表达错误；②忽略动点运动范围、起止边界，出现增根；③分段运动不分段
讨论；④单位、运动方向判断错误。
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(1)直接写出点A 的坐标_________，点B 的坐标_________；
(2)动点P、Q 分别在射线𝐴𝑂、𝑂𝐶上运动，连接𝑃𝐵、𝑄𝐵，当𝑆△𝑃𝐴𝐵= 3𝑆△𝑄𝐵𝐶时，求点P 的坐标．
【答案】(1)(6,0)，(4,4)
(2)(2,0)或(−6,0)
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出𝑎、𝑏的值，从而得到点𝐴、𝐵的坐标；
（2）表示出𝑡秒时点𝑃和点𝑄的坐标，用含𝑡的式子表示出△𝑃𝐴𝐵和△𝑄𝐵𝐶的面积，根据题意列出关于𝑡的方
程，求出𝑡的值即可确定点𝑃的坐标．
【详解】（1）解：∵(𝑎−6)2 + |𝑏−4| = 0，(𝑎−6)2 ≥0，|𝑏−4| ≥0，
∴𝑎−6 = 0，𝑏−4 = 0，
解得𝑎= 6，𝑏= 4，
∴𝐴的坐标(6,0)，𝐵的坐标(4,4)；
（2）解：∵𝐵𝐶∥𝑥轴交𝑦轴于点𝐶，𝐵(4,4)，
∴𝐵𝐶= 4，𝑂𝐶= 4，
设运动时间为𝑡秒，则𝐴𝑃= 3𝑡，𝑂𝑄= 2𝑡，
∴𝐶𝑄= |4 −2𝑡|，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐵=
1
2 × 3𝑡× 4 = 6𝑡，𝑆△𝐵𝐶𝑄=
1
2 × |4 −2𝑡| × 4 = |8 −4𝑡|，
∵𝑆△𝑃𝐴𝐵= 3𝑆△𝑄𝐵𝐶，
∴6𝑡= 3|8 −4𝑡|，
解得𝑡=
4
3或𝑡= 4，
∴𝐴𝑃= 4或12，
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐴−𝐴𝑃= 2或𝑂𝑃= 𝐴𝑃−𝐴𝑂= 6，
∴点𝑃的坐标为(2,0)或(−6,0)．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点𝐴(4,6)，点𝐵(0,3)，若在坐标
轴上有一点C（不与点B 重合），使三角形𝐴𝑂𝐶和三角形𝐴𝑂𝐵面积相等，则点C 的坐标为
______________．
【答案】(2,0)或(−2,0)或(0, −3)
【分析】先计算出△𝐴𝑂𝐵的面积，再分点C 在x 轴和点C 在y 轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等
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求出𝑂𝐶的长度，结合点C 不与B 重合的条件，即可得到点C 的坐标．
【详解】解：由题意得𝐴(4,6)，𝐵(0,3)，
计算可得𝑆△𝐴𝑂𝐵=
1
2 × 𝑂𝐵× |𝑥𝐴| =
1
2 × 3 × 4 = 6．
当点C 在x 轴上时，
∵𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵，
∴
1
2 × 𝑂𝐶× |𝑦𝐴| =
1
2 × 𝑂𝐶× 6 = 6，
解得𝑂𝐶= 2，
∴点C 的坐标为(2,0)或(−2,0)；
当点C 在y 轴上时，
∵𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐵，
∴
1
2 × 𝑂𝐶× |𝑥𝐴| =
1
2 × 𝑂𝐶× 4 = 6，
解得𝑂𝐶= 3，
又点C 不与点B 重合，
∴点C 的坐标为(0, −3)；
综上所述，点C 的坐标为(2,0)或(−2,0)或(0,−3)．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以𝐴为原点的平面直角坐标系中，有一个长
方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝑚, 𝐵𝐶= 𝑛，且|𝑚−8| + √𝑛−6 = 0．𝐸是𝐶𝐷边上的一点，且𝐷𝐸= 2，动点𝑃从点𝐴出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿𝐴→𝐵→𝐶运动，最终到达点𝐶．设点𝑃运动的时间为𝑡秒．
(1)填空：𝑚=_____，𝑛=_____；
(2)求出点𝑃在运动过程中△𝐴𝑃𝐸的面积𝑆（用含𝑡的式子表示）；
(3)是否存在一点𝑃，使△𝐴𝑃𝐸的面积等于20？若存在，请直接写出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6
(2)𝑆= {
6𝑡(0 < 𝑡≤4)
−2𝑡+ 32(4 < 𝑡≤7)
(3)存在，点𝑃的坐标为(
20
3 , 0)或(8,4)
【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以
可据此求出m、n 的值．
（2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P 的运动路径分两种情况：P 在𝐴𝐵上、P 在𝐵𝐶上，分
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别确定不同时间段t 的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出△𝐴𝑃𝐸的面积S．
（3）针对不同阶段的S 的表达式，分别令𝑆= 20，求解对应的t 值，再根据t 的取值范围判断解是否有
效，进而求出对应P 点的坐标．
【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，
若和为0，
则绝对值和算术平方根均为0，
可得：∣𝑚−8 ∣= 0，√𝑛−6 = 0，
∴𝑚−8 = 0，𝑛−6 = 0，
解得𝑚= 8，𝑛= 6．
（2）解：𝐴(0,0)，𝐸(2,6)，点𝑃运动速度为每秒2 个单位，分两种情况讨论：
①当点𝑃在𝐴𝐵上（0 < 𝑡≤4）：𝐴𝑃= 2𝑡，△𝐴𝑃𝐸的底为𝐴𝑃，高为𝐸的纵坐标6，
∴𝑆=
1
2 × 2𝑡× 6 = 6𝑡(0 < 𝑡≤4)
②当点𝑃在𝐵𝐶上（4 < 𝑡≤7）：𝑃坐标为(8,2𝑡−8)，
长方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积减去周围三个三角形面积，
可得：𝑆= 𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐷𝐸−𝑆△𝐶𝐸𝑃−𝑆△𝐴𝐵𝑃
= 8 × 6 −1
2 × 2 × 6 −1
2 × 8 × (2𝑡−8) −1
2 × 6 × (14 −2𝑡)
= −2𝑡+ 32(4 < 𝑡≤7)．
综上，𝑆= {
6𝑡(0 < 𝑡≤4)
−2𝑡+ 32(4 < 𝑡≤7)
．
（3）解：存在，点𝑃的坐标为(
20
3 , 0)或(8,4)，推导如下：
若0 < 𝑡≤4，令6𝑡= 20，
解得𝑡=
10
3 ，符合范围，
此时𝑃(2𝑡, 0) = (
20
3 , 0)；
若4 < 𝑡≤7，令−2𝑡+ 32 = 20，
解得𝑡= 6，符合范围，
此时𝑃(8,2𝑡−8) = (8,4)．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，点𝐴的坐标为
(9,0)，点𝐵是第一象限的点，且𝐵𝐴⊥𝑥轴，点𝐵到𝑥轴的距离是5，过点𝐵作𝑥轴的平行线𝑎，与𝑦轴交于点
𝐶．动点𝑃从点𝐵出发，以3 个单位长度/𝑠的速度沿直线𝑎向左移动，动点𝑄从原点𝑂同时出发，以1 个单位
长度/𝑠的速度沿𝑥轴向右移动，𝑄到达𝐴点后，𝑃、𝑄同时停止运动．
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(1)点𝐵的坐标为_____；
(2)当𝑡= 1s时，点𝑃的坐标为_____，点𝑄的坐标为_____；
(3)当点𝑃, 𝑄满足𝑃𝑄∥𝑦时，求𝑡的值；
(4)当点𝑃, 𝑄满足四边形𝑃𝑄𝐴𝐵的面积为30 时，求点𝑃的坐标．
【答案】(1)(9,5)
(2)(6,5)，(1,0)
(3)
9
4
(4)(
9
2 , 5)
【分析】（1）根据题意可得点𝐵的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解；
（2）根据题意写出坐标即可；
（3）设经过t 秒后，𝑃𝑄∥𝑦轴，此时P，Q 两点的横坐标相等，据此列方程求解即可；
（4）设经过t 秒，四边形𝑃𝑄𝐴𝐵的面积为30，此时𝑃𝐵= 3𝑡，𝑄𝐴= 9 −𝑡，再结合梯形面积公式列方程求
解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴的坐标为(9,0)，且𝐵𝐴⊥𝑥轴，
∴点𝐵的横坐标为9，
∵点𝐵是第一象限的点，且点𝐵到𝑥轴的距离是5，
∴点𝐵的纵坐标为5，
∴点𝐵的坐标为(9,5)；
（2）解：∵过点𝐵作𝑥轴的平行线𝑎，动点𝑃从点𝐵出发，以3 个单位长度/𝑠的速度沿直线𝑎向左移动，
∴当𝑡= 1s时，点𝑃向左移动3 个单位长度，且点𝑃的纵坐标为5，
∴点𝑃的坐标为(9 −3,5)，即(6,5)；
∵动点𝑄从原点𝑂同时出发，以1 个单位长度/𝑠的速度沿𝑥轴向右移动，
∴当𝑡= 1s时，点𝑄的坐标为(1,0)；
（3）解：设经过t 秒，𝑃𝑄∥𝑦轴，此时P，Q 两点的横坐标相等，
由题意可知，P、Q 两点的横坐标分别为9 −3𝑡、t，
则9 −3𝑡= 𝑡，
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解得：𝑡=
9
4
（4）解：设经过t 秒，四边形𝑃𝑄𝐴𝐵的面积为30，此时𝑃𝐵= 3𝑡，𝑂𝑄= 𝑡，
∵𝐴(9,0)，𝐵(9,5)
∴𝑂𝐴= 9，𝐴𝐵= 5，
∴𝑄𝐴= 9 −𝑡，
∴𝑆四边形𝑃𝑄𝐴𝐵=
1
2 (𝑃𝐵+ 𝑄𝐴) ⋅𝐴𝐵=
1
2 (3𝑡+ 9 −𝑡) × 5 = 30，
解得𝑡=
3
2，此时𝑃𝐵= 3𝑡=
9
2，
∴点P 的坐标为(9 −
9
2 , 5)，即(
9
2 , 5)．
题型
坐标系中规律探究问题
▌例1．（25-26 七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆
𝑂1，𝑂2，𝑂3，…组成一条平滑的曲线，点𝑃从原点𝑂出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
π
2个单位长
度，则第2026秒时，点𝑃的坐标是（ ）
A．(2025,1)
B．(2026,0)
C．(2025,0)
D．(2026, −1)
【答案】B
【分析】首先求出点P 每秒走
1
2个半圆，然后求出点P 的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、−1、
0 为一个周期依次循环，进而求解即可．
【详解】解：半径为1 个单位长度的半圆的弧长为
1
2 × 2π × 1 = π，
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
π
2个单位长度，
∴点P 每秒走
1
2个半圆，
∴运动时间为1 秒时，点P 的坐标为(1,1)；
运动时间为2 秒时，点P 的坐标为(2,0)，
运动时间为3 秒时，点P 的坐标为(3, −1)，
运动时间为4 秒时，点P 的坐标为(4,0)，
解题贴士
依次写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的周期、奇偶、等差、循环规律，归纳通项，求解指定序号
点的坐标。
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运动时间为5 秒时，点P 的坐标为(5,1)，
运动时间为6 秒时，点P 的坐标为(6,0)，
…，
∴点P 的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、−1、0 为一个周期依次循环，
∵2026 = 4 × 506 + 2，
∴第2026秒时，点P 的坐标是(2026,0)．
▌例2．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点𝑂出发，沿着箭
头所示方向，每次移动1 个单位，依次得到点𝑃1(0,1)，𝑃2(1,1)，𝑃3(1,0)，𝑃4(1, −1)，𝑃5(2, −1)，
𝑃6(2,0)，…，则点𝑃2026的横坐标是_____．
【答案】675
【分析】根据点的移动可知点𝑃的横坐标从𝑃2的1开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答．
【详解】解：∵𝑃1(0,1)，𝑃2(1,1)，𝑃3(1,0)，𝑃4(1, −1)，𝑃5(2, −1)，𝑃6(2,0)，𝑃7(2,1)，𝑃8(3,1)，𝑃9(3,0)，
𝑃10(3, −1)，𝑃11(4, −1)，𝑃12(4,0)，…，
∴点𝑃的横坐标从𝑃2的1开始，每过三个坐标，则增加1，
∵(2026 −1) ÷ 3 = 675，
∴点𝑃2026的横坐标为675．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴1𝐴2𝐴3，三角形
𝐴3𝐴4𝐴5，三角形𝐴5𝐴6𝐴7，三角形𝐴7𝐴8𝐴9 ⋯都是等边三角形，且点𝐴1，𝐴3，𝐴5，𝐴7，𝐴9的坐标分别是
𝐴1(3，0)，𝐴3(2，0)，𝐴5(4，0)，𝐴7(1，0)，𝐴9(5，0)，依据图形所反映的规律，则𝐴2029的坐标是
（ ）
A．(507，0)
B．(508，0)
C．(509，0)
D．(510，0)
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【答案】D
【分析】观察图形可以得到𝐴1～𝐴4，𝐴5～𝐴8，…，每4 个为一组，据此可以得到𝐴2025在x 轴正半轴上，
纵坐标为0，根据𝐴5(4,0), 𝐴9(5,0)，……得到𝐴4𝑛+1横坐标为𝑛+ 3，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可以看出𝐴1～𝐴4，𝐴5～𝐴8，…，每4 个为一组，
∵2029 ÷ 4 = 507 … … 1，
∴𝐴2029在x 轴正半轴上，纵坐标为0，
∵𝐴5(4,0), 𝐴9(5,0)，
……，
∴当5 = 4 × 1 + 1时，𝐴5的横坐标为4，
当9 = 4 × 2 + 1时，𝐴9的横坐标为5，
当13 = 4 × 3 + 1时，𝐴13的横坐标为6，
……，
当4𝑛+ 1时，𝐴4𝑛+1横坐标为𝑛+ 3，
∵4𝑛+ 1 = 2029，
∴𝑛= 507，
则507 + 3 = 510，
∴𝐴2029的坐标是(510,0)．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，𝐴(10,10)，𝐵(−10,10)，
𝐶(−10,−20)，𝐷(10,−20)，把一条长为2026 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端
固定在点𝐵处，并按𝐵→𝐶→𝐷→𝐴→𝐵→𝐶…的规律绕在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边上，则细线另一端所在位置的
点的坐标是（ ）
A．（10，10）
B．(−10,−16)
C．(10, −16)
D．(−10,6)
【答案】B
【分析】先根据点的坐标求出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据
余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标．
【详解】解：∵𝐴(10,10)，𝐵(−10,10)，𝐶(−10,−20)，𝐷(10,−20)，
∴𝐴𝐵= 10 −(−10) = 20，𝐵𝐶= 10 −(−20) = 30，𝐶𝐷= 10 −(−10) = 20，𝐷𝐴= 10 −(−20) = 30，
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∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为20 + 30 + 20 + 30 = 100，
∵2026 ÷ 100 = 20 ⋯26，
∴细线另一端在绕四边形第21 圈的第26 个单位长度的位置，
∵从点𝐵出发，按𝐵→𝐶→𝐷→𝐴的方向绕行，且𝐵𝐶= 30 > 26，
∴细线另一端落在边𝐵𝐶上，且距离点𝐵为26 个单位长度，
∴该点的横坐标为−10，纵坐标为10 −26 = −16， 即细线另一端所在位置的点的坐标是(−10,−16)．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点𝑃(𝑥, 𝑦)进行如下规则的操作：
横坐标乘以−1再减1，纵坐标加1，得到点(−𝑥−1, 𝑦+ 1)．第一次操作得到的点记为𝑃1，对点𝑃1坐标继续
进行一次相同规则的操作，得到的点记为𝑃2，对点𝑃2再进行相同操作得到的点记为𝑃3，…，以此类推，第n
次操作得到的点记为𝑃𝑛．现有点(1,0)，对(1,0)进行2026 次这样的操作后得到的点𝑃2026的坐标为______．
【答案】(1,2026)
【分析】先计算前几次操作后的点坐标，归纳坐标变化规律，再根据规律确定第2026 次操作后的坐标．
【详解】解：已知初始点为𝑃(1,0)，按照操作规则依次计算得：
第1次操作后，𝑃1横坐标：−1 × 1 −1 = −2 ，纵坐标：0 + 1 = 1，即𝑃1(−2,1)；
第2次操作后，𝑃2横坐标：−1 × (−2) −1 = 1 ，纵坐标：1 + 1 = 2，即𝑃2(1,2)；
第3次操作后，𝑃3横坐标：−1 × 1 −1 = −2 ，纵坐标：2 + 1 = 3，即𝑃3(−2,3)；
第4次操作后，𝑃4横坐标：−1 × (−2) −1 = 1 ，纵坐标：3 + 1 = 4，即𝑃4(1,4)．
归纳规律：
1. 纵坐标：每次操作纵坐标加1，第𝑛次操作后纵坐标为𝑛；
2. 横坐标：操作𝑛次后，若𝑛为偶数，横坐标为1；若𝑛为奇数，横坐标为−2；
因为2026是偶数，因此𝑃2026的横坐标为1，纵坐标为2026．
▌对点练1-4．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1 的圆从原点出
发沿x 轴正方向滚动2025 周，圆上一点由原点𝑂到达点𝑂′，圆心也由点𝐴到达点𝐴′，则点𝐴′的坐标为
______．
【答案】(4050π,1)
【分析】先求出沿x 轴向右滚动一周，圆心𝐴向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025 周，圆心A 向
右移动的距离，又滚动过程中，圆心𝐴的纵坐标不变，问题可得解．
【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心𝐴的纵坐标不变，即为1，
根据题意，沿x 轴向右滚动一周，圆心A 向右运动的距离为：2π𝑟= 2π × 1 = 2π，
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∴从原点出发沿x 轴正方向滚动2025 周，圆心A 向右移动的距离为2π × 2025 = 4050π，
∴点𝐴′的坐标为(4050π,1)．
题型
在坐标系中作图形的平移、对称
▌例1．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形𝐴𝐵𝐶的
三个顶点都在格点上，点𝐴(4,4)，请解答下列问题：
(1)先将三角形𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位，再向下平移6 个单位后得到三角形𝐴1𝐵1𝐶1，请画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)请画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1关于y 轴对称的三角形𝐴2𝐵2𝐶2；
(3)请直接写出𝐵2、𝐶2的坐标．
【答案】(1)解：如图所示即为所求，
(2)解：如图所示即为所求，
解题贴士
选取图形关键点，求出平移/对称后的对应点坐标，在坐标系中描点，按原图顺序依次连线，得到变换后
图形。
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(3)解：（2）可得，𝐵2(4,−4)，𝐶2(2, −4)
【分析】（1）利用平移的性质“上加下减，左减右加”得出𝐴1，𝐵1，𝐶1的坐标，画图即可；
（2）利用关于y 轴对称的点“横坐标相反，纵坐标相同”得出𝐴2，𝐵2，𝐶2的坐标，画图即可；
（3）由（2）可得𝐵2，𝐶2的坐标．
【详解】（1）解：由题意得𝐴(4,4)，𝐵(1,2)，𝐶(3,2)，
由平移的性质得𝐴1(4 −5,4 −6)，即𝐴1(−1,−2)，
𝐵1(1 −5,2 −6)，即𝐵1(−4, −4)，
𝐶1(3 −5,2 −6)，即𝐶1(−2, −4)，
图略；
（2）解：根据关于y 轴对称的点坐标性质得𝐴2(−(−1), −2)，即𝐴2(1,−2)，
𝐵2(−(−4),−4)，即𝐵2(4, −4)，
𝐶2(−(−2), −4)，即𝐶2(2, −4)，
图略；
（3）略．
▌例2．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别是
𝐴(4,4)，𝐵(3,2), 𝐶(1,2)．
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(1)将△𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，画出△𝐴𝐵𝐶平移后的图形△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴的对称图形△𝐴2𝐵2𝐶2；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别将𝐴, 𝐵, 𝐶三点向左平移5 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到𝐴1, 𝐵1, 𝐶1，然后依
次连接𝐴1,𝐵1, 𝐶1即可；
（2）先找到𝐴, 𝐵, 𝐶三点关于𝑥轴对称的𝐴2, 𝐵2, 𝐶2，然后依次连接𝐴2, 𝐵2, 𝐶2即可．
【详解】（1）解：下图△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
（2）解：下图△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求．
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▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△
𝐴𝐵𝐶的顶点A，C 的坐标分别为(−4,4), (−1,2)．
(1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系；
(2)请画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1, 𝐵1, 𝐶1的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，𝐴1(4,4), 𝐵1(2,0),𝐶1(1,2)．
【分析】（1）根据点A，C 的坐标分别为(−4,4),(−1,2)找到直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系
即可；
（2）先找出A、B、C 三点关于y 轴对称的对称点𝐴1、𝐵1、𝐶1，连接三点画出三角形即可，进而写出点
𝐴1, 𝐵1, 𝐶1的坐标．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：△𝐴1𝐵1𝐶1如图所示：
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则𝐴1(4,4), 𝐵1(2,0),𝐶1(1,2)．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别
为𝐴(−1,4)，𝐵(−5,3)，𝐶(−3,1)，将△𝐴𝐵𝐶经过平移得到△𝐴1𝐵1𝐶1，点B 的对应点𝐵1的坐标为(1,−2)，点
A，C 的对应点分别为𝐴1，𝐶1．
(1)请在图中画出△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)点𝑃(𝑎, 𝑏)是△𝐴𝐵𝐶边上的一点，经过平移后，点P 的对应点是点𝑃1，则点𝑃1的坐标为________．
【答案】(1)
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(2)(𝑎+ 6, 𝑏−5)
【分析】先根据点B 和对应点𝐵1的坐标确定整个图形的平移规律，再根据平移规律作出平移后的三角形，
最后推导点𝑃对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：已知△𝐴𝐵𝐶中𝐵(−5,3)，平移后对应点𝐵1的坐标为(1,−2)， 因此△𝐴𝐵𝐶的平移规律为：
向右平移6 个单位，向下平移5 个单位；
∵𝐴(−1,4)，𝐶(−3,1)，
∴𝐴1(5, −1)，𝐶1(3,−4)， 在平面直角坐标系中描出𝐴1，𝐶1，顺次连接𝐴1𝐵1，𝐵1𝐶1，𝐶1𝐴1，即可得到△
𝐴1𝐵1𝐶1；
作图略．
（2）解：根据平移规律，点𝑃(𝑎, 𝑏)平移后，横坐标加6，纵坐标减5，因此对应点𝑃1的坐标为(𝑎+ 6, 𝑏−
5)．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标
分别是𝐴(−1,−2)，𝐵(−2,−4)，𝐶(−4, −1)．将三角形𝐴𝐵𝐶平移，得到三角形𝐴′𝐵′𝐶′，其中任意一点
𝑃(𝑥0, 𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 2, 𝑦0 + 3)．
(1)画出三角形𝐴′𝐵′𝐶′，并写出点𝐵′的坐标为______．
(2)写出三角形𝐴𝐵𝐶的一种沿坐标轴方向的平移方式．
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【答案】(1)图见解析，(0,−1)
(2)见解析
【分析】本题考查平面直角坐标系，作图-平移变换，掌握平移方式是解答的关键．
（1）根据点𝑃的一定变化即可画出平移后的图形；
（2）根据点平移的规律：上加下减，右加左减即可判断．
【详解】（1）解：由于三角形中任意一点𝑃(𝑥0,𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 2, 𝑦0 + 3)，则三角形𝐴𝐵𝐶先向
右平移2 个单位长度，然后向上平移3 个单位长度，即可得到三角形𝐴′𝐵′𝐶′，如图所示；
则点𝐵′的坐标为(0, −1)；
（2）解：由（1）知，三角形𝐴𝐵𝐶先向右平移2 个单位长度，然后向上平移3 个单位长度，即可得到三角
形𝐴′𝐵′𝐶′；或先向上平移3 个单位长度，再向右平移2 个单位长度．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的位置如图所示，顶点A，
B，C 的坐标分别是(−1,5)，(−2,2)，(−4,3)．
(1)△𝐴1𝐵1𝐶1与△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称，点A，B，C 的对应点分别为𝐴1，𝐵1，𝐶1，请画出△𝐴1𝐵1𝐶1．
(2)△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐴2𝐵2𝐶2，点A，B，C 的对应点分别是𝐴2，𝐵2，𝐶2，𝐴𝐵边上一点𝑃(𝑝, 𝑞)平移后对应点
为(𝑝+ 4, 𝑞−6)，则△𝐴𝐵𝐶先向________（填“左”或“右”）平移________个单位长度，再向________（填
“上”或“下”）平移________个单位长度得到△𝐴2𝐵2𝐶2．请根据题意，画出△𝐴2𝐵2𝐶2．
(3)在（2）的基础上连接𝐶𝐶2，则𝐶𝐶2的长为________．
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【答案】(1)图形如下：
(2)右，4，下，6；图见上面；
(3)2√13
【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，利用勾股定理求线段长度，解题的关键是根据相关基础知
识，确定相应点的位置．
（1）根据轴对称的性质，确定出𝐴1，𝐵1，𝐶1的位置，顺次连接，即可求解；
（2）根据点平移的坐标的变化规律，求出平移方式，然后确定出𝐴2，𝐵2，𝐶2的坐标，顺次连接即可；
（3）利用勾股定理，求解即可．
【详解】（1）解：略；
（2）解：略；
（3）解：如图：
由勾股定理可得，𝐶𝐶2 = √62 + 42 = 2√13．
基础通关
1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐵(−3,2)向右平移6个单位长度，再向下平
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移4个单位长度后与点𝐴重合，则点𝐴的坐标是（ ）
A．(3,−2)
B．(−9,6)
C．(−9,−2)
D．(3,6)
【答案】A
【详解】解：将点𝐵(−3,2)向右平移6 个单位长度，横坐标为−3 + 6 = 3，再向下平移4 个单位长度，纵
坐标为2 −4 = −2，即点𝐴的坐标为(3, −2)．
2．（25-26 七年级下·海南·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐴(−1,4)，𝐵(−4, −1)，𝐶(1,1)．将△𝐴𝐵𝐶先向右平移
2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，则平移后△𝐴′𝐵′𝐶′（点A，B，C 的对应点分别为点𝐴′，𝐵′，
𝐶′）三个顶点的坐标分别为（ ）
A．𝐴′(1,7)，𝐵′(2,2)，𝐶′(3,4)
B．𝐴′(−3,7)，𝐵′(−2,2)，𝐶′(4,3)
C．𝐴′(1,7)，𝐵′(−2,2)，𝐶′(3,4)
D．𝐴′(−3,7)，𝐵′(2, −2)，𝐶′(3,3)
【答案】C
【分析】根据“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将△𝐴𝐵𝐶先向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到△𝐴′𝐵′𝐶′，点𝐴(−1,4)，
𝐵(−4,−1)，𝐶(1,1)，
∴𝐴′(−1 + 2,4 + 3)，𝐵′(−4 + 2, −1 + 3)，𝐶′(1 + 2,1 + 3)，即𝐴′(1,7)，𝐵′(−2,2)，𝐶′(3,4)．
3．（25-26 八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点𝑃(−1,2)先向左平移再向下平移可能移动到
下列哪个点的位置（ ）
A．(4,1)
B．(4,3)
C．(−4,3)
D．(−4,1)
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，先确定平移
后点坐标的范围，再判断选项即可．
【详解】解：设平移后点的坐标为(𝑎, 𝑏)，
∵点P 坐标为(−1,2)，且点P 先向左平移，再向下平移，
∴平移后点的横坐标小于原横坐标，纵坐标小于原纵坐标，即𝑎< −1，𝑏< 2，
观察四个选项，只有D 选项(−4,1)满足𝑎= −4 < −1，𝑏= 1 < 2，符合要求．
4．（25-26 八年级下·上海嘉定·期末）点𝑃(3,4)关于𝑥轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−3,4)
B．(−4,3)
C．(4,−3)
D．(3,−4)
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【答案】D
【分析】关于𝑥轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律即可求解．
【详解】解：∵关于𝑥轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点𝑃(3,4)关于𝑥轴对称的点，横坐标为3，纵坐标为−4，即坐标为(3,−4)．
5．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点A 坐标是(2, −1)，经平移后，得
到其对应点𝐴1(−1,−1)，若△𝐴𝐵𝐶的内部任意一点D 坐标是(𝑥, 𝑦)，则其对应点𝐷1坐标一定是（ ）
A．(−𝑥, 𝑦+ 3)
B．(−𝑥, 𝑦−3)
C．(𝑥−3, 𝑦)
D．(𝑥+ 3, 𝑦)
【答案】C
【分析】先根据顶点A 及其对应点𝐴1的坐标，确定平移规律，再根据平移规律得到点D 对应点𝐷1的坐标．
【详解】解：∵顶点A 坐标是(2, −1)，平移后对应点𝐴1坐标是(−1, −1)，
∴横坐标变化为−1 −2 = −3，纵坐标变化为−1 −(−1) = 0，
即平移方式为向左平移3 个单位，纵坐标不变，
∵点D 坐标是(𝑥, 𝑦)，
∴对应点𝐷1的坐标为(𝑥−3, 𝑦)．
6．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）若点𝑀(𝑎, −2022)和𝑁(4,𝑏)关于x 轴对称，则𝑎+ 𝑏的值是______．
【答案】2026
【分析】根据关于x 轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a 和b 的值，再计算
𝑎+ 𝑏即可．
【详解】解： ∵ 点𝑀(𝑎, −2022)和𝑁(4, 𝑏)关于x 轴对称，
∴𝑎= 4，𝑏= 2022，
∴𝑎+ 𝑏= 4 + 2022 = 2026．
7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑃(𝑚, 𝑚+ 8)向下平移2个单位长度后，得
到的点𝑄在𝑥轴上，则𝑚的值为________．
【答案】−6
【分析】根据平面直角坐标系中的点的平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”以及𝑥轴
上的点的坐标特征为纵坐标为0，列出关于𝑚的一元一次方程，求解即可获得答案．
【详解】解：∵将点𝑃(𝑚, 𝑚+ 8)向下平移2个单位长度后，得到的点𝑄在𝑥轴上，
∴𝑚+ 8 −2 = 0，解得𝑚= −6．
8．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若
点𝐴(2,−1)平移后的对应点为𝐴′(5,2)，则点𝐵(−3,4)平移后的对应点𝐵′的坐标是_________．
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【答案】(0,7)
【分析】先得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律求解即可．
【详解】解：∵点𝐴(2,−1)平移后的对应点为𝐴′(5,2)，
∴平移方式是先向右平移5 −2 = 3个单位长度，再向上平移2 −(−1) = 3个单位长度，
∴点𝐵(−3,4)平移后的对应点𝐵′的坐标是(−3 + 3,4 + 3)，即(0,7)．
9．（25-26 七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线𝑙与𝑥轴平行且经过点𝐴(2,3)，若点𝐵
也在该直线𝑙上，请写出一个符合条件的点𝐵的坐标______．
【答案】(3,3)（答案不唯一）
【分析】根据平行于𝑥轴的直线上点的坐标特征，可知直线𝑙上所有点的纵坐标相等，确定纵坐标后，任取
一个横坐标即可得到符合条件的点𝐵的坐标．
【详解】解：∵直线𝑙与𝑥轴平行，
∴直线𝑙上所有点的纵坐标相等，
又∵直线𝑙经过点𝐴(2,3)，
∴直线𝑙上任意点的纵坐标都为3，
任取横坐标为3，可得符合条件的点𝐵的坐标为(3,3)（答案不唯一）．
10．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为
𝐴(−2,1)，𝐵(−4,−1)，𝐶(1,−2)．
(1)画出三角形𝐴𝐵𝐶；
(2)将三角形𝐴𝐵𝐶向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，顶点𝐴，𝐵，𝐶经过这种变换后分别得
到点𝐴′，𝐵′，𝐶′，在图中画出三角形𝐴′𝐵′𝐶′，并写出点𝐴′，𝐵′，𝐶′的坐标．
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【答案】(1)详见解析
(2)𝐴′(2,3)，𝐵′(0,1)，𝐶′(5,0)，图形见解析
【分析】（1）在坐标系中确定𝐴, 𝐵, 𝐶点，顺次连接即可得；
（2）根据平移规律，向右平移4 个单位长度，横坐标加4，再向上平移2 个单位长度，纵坐标加2，依次
确定𝐴′，𝐵′，𝐶′的坐标，在坐标系中描出后，顺次连接．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：𝐴(−2,1)向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得𝐴′(2,3)，
𝐵(−4,−1)平移后为𝐵′(0,1)，
𝐶(1,−2)平移后为𝐶′(5,0)．
如图所示，
11．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(1,1)，𝐵(4,2)，𝐶(3,4)．
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(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位长度后得到的△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称的△𝐴2𝐵2𝐶2，并写出𝐴2，𝐵2，𝐶2的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，𝐴2(1, −1)，𝐵2(4,−2)，𝐶2(3, −4)
【分析】（1）将△𝐴𝐵𝐶三个顶点向左平移5 个单位长度得到其对应点，再顺次连接即可；
（2）作出A、B、C 关于x 轴对称的对应点，然后顺次连接，然后写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
（2）解：如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求；
∴𝐴2(1, −1)，𝐵2(4, −2)，𝐶2(3, −4)．
12．（25-26 七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别是
𝐴(−4, −1), 𝐵(1,1),𝐶(−1,4)；点𝑃(𝑥1,𝑦1)是△𝐴𝐵𝐶内一点，当△𝐴𝐵𝐶随着点𝑃(𝑥1, 𝑦1)平移到点
𝑃1(𝑥1 + 4, 𝑦1 −2)时．
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(1)请画出平移后新△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)直接写出△𝐴1𝐵1𝐶1三个顶点的坐标；
(3)若三角形𝐴𝐵𝐶外有一点M 经过同样的平移后得到点𝑀1(5,3)，则𝑀点的坐标是 ，若连接线段
𝑀𝑀1,𝑃𝑃1，则这两条线段之间的关系是 ．
【答案】(1)图见解析
(2)𝐴1(0, −3)，𝐵1(5,−1)，𝐶1(3,2)
(3)𝑀(1,5)，平行且相等
【分析】（1）先确定平移方式，再画出点𝐴1,𝐵1, 𝐶1，顺次连接即可；
（2）根据点坐标的平移变换规律即可得；
（3）设𝑀点的坐标是𝑀(𝑚, 𝑛)，则𝑚+ 4 = 5, 𝑛−2 = 3，求出𝑚, 𝑛的值即可，再根据平移的性质即可得．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶随着点𝑃(𝑥1,𝑦1)平移到点𝑃1(𝑥1 + 4, 𝑦1 −2)，
∴平移方式是：先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，
画出平移后新△𝐴1𝐵1𝐶1如图所示：
．
（2）解：由（1）已得：平移方式是先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，
∵𝐴(−4,−1), 𝐵(1,1), 𝐶(−1,4)，
∴𝐴1(−4 + 4, −1 −2)，𝐵1(1 + 4,1 −2)，𝐶1(−1 + 4,4 −2)，
即𝐴1(0, −3)，𝐵1(5,−1)，𝐶1(3,2)．
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（3）解：设𝑀点的坐标是𝑀(𝑚, 𝑛)，
∵三角形𝐴𝐵𝐶外有一点𝑀经过同样的平移后得到点𝑀1(5,3)，
∴𝑚+ 4 = 5, 𝑛−2 = 3，
∴𝑚= 1, 𝑛= 5，
∴𝑀点的坐标是(1,5)．
如图，连接线段𝑀𝑀1, 𝑃𝑃1，
由平移的性质得：线段𝑀𝑀1与𝑃𝑃1之间的关系是平行且相等．
素养提升
1．（25-26 七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知𝐴(𝑎, 𝑏)，𝐵(𝑏, 𝑐)，将线段AB 平移得到线
段𝐶𝐷，其中点A 的对应点为点C．若𝐶(𝑎−2,𝑛)，𝐷(𝑚, 𝑐+ 3)，则𝑚−𝑛的值为（ ）
A．−5
B．−1
C．1
D．5
【答案】A
【分析】平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到𝑚和𝑛的表达式，即可计算出𝑚−𝑛的
值．
【详解】解：∵线段𝐴𝐵平移得到线段𝐶𝐷，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同，
由𝐴(𝑎, 𝑏)的对应点为𝐶(𝑎−2, 𝑛)，可得横坐标变化量为：(𝑎−2) −𝑎= −2，
由𝐵(𝑏, 𝑐)的对应点为𝐷(𝑚, 𝑐+ 3)，可得纵坐标变化量为：(𝑐+ 3) −𝑐= 3，
∴对𝐵点横坐标，有𝑚−𝑏= −2，得𝑚= 𝑏−2，
对𝐴点纵坐标，有𝑛−𝑏= 3，得𝑛= 𝑏+ 3，
∴𝑚−𝑛= (𝑏−2) −(𝑏+ 3) = −5．
2．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段𝐴𝐵平移后得到了线段𝐶𝐷，已知
点𝐴(−6,0)，𝐵(−4,3)，𝐷(3,1)，则点C 的坐标为（ ）
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A． (1, −1)
B．(1,−2)
C．(2, −1)
D．(2,−2)
【答案】B
【分析】根据点B 的对应点D 的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C 的坐标．
【详解】解：∵将线段𝐴𝐵平移后得到了线段𝐶𝐷，点𝐵(−4,3)，𝐷(3,1)，
∴线段𝐴𝐵向右平移7 个单位，再向下平移2 个单位得到线段𝐶𝐷，点A 的对应点为点C，
∵𝐴(−6,0)，
∴点C 的横坐标为−6 + 7 = 1，纵坐标为0 −2 = −2，
∴点C 的坐标为(1, −2)．
3．（2026·山东菏泽·二模）新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意
吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬
挂点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷的坐标分别是(−4,𝑏)，(−2, 𝑏)，(−1, 𝑏)，(2, 𝑏)．为让排布规整对称、尽显中式对称美
学，下列平移中，能使四个“中国结”关于𝑦轴对称的是（ ）
A．将𝐴向右平移5个单位
B．将𝐵向右平移5个单位
C．将𝐶向右平移4个单位
D．将𝐶向右平移2个单位
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于𝑦轴对称点的坐标特点解答即可．
【详解】解：A．将𝐴(−4, 𝑏)向右平移5个单位可得(1,𝑏)，能使四个“中国结”关于𝑦轴对称，符合题意，
B．将𝐵(−2,𝑏)向右平移5个单位可得(3, 𝑏)，不能使四个“中国结”关于𝑦轴对称，不符合题意，
C．将𝐶(−1,𝑏)向右平移4个单位可得(3, 𝑏)，不能使四个“中国结”关于𝑦轴对称，不符合题意，
D．将𝐶(−1, 𝑏)向右平移2个单位可得(1,𝑏)，不能使四个“中国结”关于𝑦轴对称，不符合题意，
4．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）已知点𝐴(𝑚, 1)与点𝐵(2026, 𝑛)关于𝑥轴对称，则𝑛𝑚=______．
【答案】1
【分析】根据关于𝑥轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出𝑚和𝑛的值，再代入计算𝑛𝑚即可．
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【详解】解：∵ 点𝐴(𝑚, 1)与点𝐵(2026, 𝑛)关于𝑥轴对称，
∴𝑚= 2026，𝑛= −1，
∴𝑛𝑚= (−1)2026 = 1．
5．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点𝐴，将它向右平移2个单位长度后，对应点𝐴′的坐标为
(1,−1)，则点𝐴关于𝑥轴的对称点的坐标为______．
【答案】(−1,1)
【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于𝑥轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的
坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点𝐴的坐标；
再根据关于𝑥轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点𝐴关于𝑥轴的对称点的
坐标．
【详解】解：设点𝐴的坐标为(𝑥, 𝑦)，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点
𝐴′的坐标为(𝑥+ 2, 𝑦)
已知𝐴′的坐标为(1,−1)，因此可得𝑥+ 2 = 1，𝑦= −1，
解得𝑥= −1，𝑦= −1，即点𝐴的坐标为(−1,−1)，
根据关于𝑥轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点𝐴关于𝑥轴的对称点的坐标为
(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
6．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，某机器人从原点𝑂出发，按向右，向上，
向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到𝐴1(1,0)， 第2次移动到
𝐴2(1,1)，第3次移动到𝐴3(2,1)， 第4次移动到𝐴4(2,0) …，则第2026次移动至点𝐴2026的坐标是 _______．
【答案】(1013,1)
【分析】根据图象，得到动点的纵坐标，每4 个一个循环，得到规律𝑂𝐴2𝑛= 𝑛，进行求解即可．
【详解】解：由图可知𝐴𝑛的纵坐标以0，1，1，0四个一组进行循环，
𝑂𝐴4 = 2，𝑂𝐴8 = 4，𝑂𝐴12 = 6，
∴𝑂𝐴2𝑛= 𝑛，
∴𝑂𝐴2024 = 1012，
∵2026 ÷ 4 = 506 … … 2，
∴𝐴2026的坐标是1，
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∴𝐴2026的坐标是(1013,1)．
7．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个点𝐴0从原点(0,0)出发，经过一次运动后到
𝐴1(1,1)，第二次运动到𝐴2(2, −1)，第三次运动到𝐴3(3,3)，第四次运动到𝐴4(4, −3)，第五次运动到
𝐴5(5,1)，第六次运动到𝐴6(6, −1)，第七次运动到𝐴7(7,3)，第八次运动到𝐴8(8, −3) …，依此规律，则点
𝐴2026的坐标为_________．
【答案】(2026, −1)
【分析】由已知坐标可得点𝐴𝑛的横坐标为𝑛，纵坐标分别以1, −1，3, −3循环变化，据此解答即可求解．
【详解】解：∵𝐴1(1,1)，𝐴2(2, −1)，𝐴3(3,3)，𝐴4(4,−3)，𝐴5(5,1)，𝐴6(6, −1)，𝐴7(7,3)，𝐴8(8, −3)，⋯，
∴点𝐴𝑛的横坐标为𝑛，纵坐标分别以1, −1，3, −3循环变化，
∴点𝐴2026的横坐标为2026，
∵2026 ÷ 4 = 506 ⋯2，
∴点𝐴2026的纵坐标为−1，
∴𝐴2026的坐标为(2026, −1)．
8．（25-26 七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O 为原点的平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为
(𝑎, 0)，(𝑎, 𝑏)，点C 在y 轴上，且𝐵𝐶∥𝑥轴，a，b 满足|𝑎−4| + √𝑏−3 = 0．点P 从原点出发，以每秒1
个单位长度的速度沿着𝑂−𝐴−𝐵−𝐶−𝑂的路线运动（回到O 为止）．
(1)求出点A，B 的坐标；
(2)点P 运动t 秒后(𝑡≠0)，是否存在点P 到x 轴的距离为
1
3 𝑡个单位长度的情况．若存在，求出点P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(4,0)，𝐵(4,3)
(2)存在，(4,2)或(2,3)
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【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b 的值，即可得出答案；
（2）分四种情况：当点P 运动到𝑂𝐴上时，当点P 运动到𝐴𝐵上时，当点P 运动到𝐵𝐶上时，当点P 运动到
𝑂𝐶上时，分别列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵|𝑎−4| + √𝑏−3 = 0，
∴𝑎−4 = 0，𝑏−3 = 0，
∴𝑎= 4，𝑏= 3，
∴𝐴(4,0)，𝐵(4,3)；
（2）解：存在．
①当点P 运动到𝑂𝐴上时，0 < 𝑡≤4，根据题意得：
1
3 𝑡= 0，解得𝑡= 0，不符合题意，舍去；
②当点P 运动到𝐴𝐵上时，4 < 𝑡≤7，根据题意得：
𝑡−4 =
1
3 𝑡，解得𝑡= 6，
∴点P 的坐标为(4,2)；
③当点P 运动到𝐵𝐶上时，7 < 𝑡≤11，根据题意得：
1
3 𝑡= 3，解得𝑡= 9，
∴点P 的坐标为(2,3)；
④当点P 运动到𝑂𝐶上时，11 < 𝑡≤14，根据题意得：
14 −𝑡=
1
3 𝑡，解得𝑡=
21
2 ，不符合题意，舍去；
综上所述，满足条件的点P 的坐标为：(4,2)或(2,3)．
9．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)，点𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶为线段𝐴𝐵的
中点，则点𝐶的坐标为(
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)，例如：𝐴(−1,4)，𝐵(3,6)则线段𝐴𝐵的中点𝐶的坐标为(
−1+3
2
,
4+6
2 )，即点
𝐶的坐标为(1,5)．
(1)已知𝑃(3,−1)，𝑄(−3,−3)，𝐸为线段𝑃𝑄的中点，则点𝐸的坐标为________；
(2)已知𝑀(−2,8)，𝐹(−6,6)，𝐹为线段𝑀𝑁的中点，求点𝑁的坐标；
(3)已知两点𝐴(−2,4)，𝐵(4,2)，点𝐶在𝑥轴上，点𝐷在𝑦轴上，若点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷中的任意两点构成的线段的
中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点𝐶的坐标．
【答案】(1)(0, −2)；
(2)(−10,4)
(3)(−6,0)或(6,0)或(2,0)
【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可；
（2）设点𝑁的坐标为(𝑎, 𝑏)，根据中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）分三种情况：𝐴𝐷与𝐵𝐶中点重合，𝐴𝐶与𝐵𝐷中点重合和𝐴𝐵与𝐶𝐷中点重合，根据中点坐标公式建立方
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程求解即可．
【详解】（1）解：∵𝑃(3,−1)，𝑄(−3,−3)，𝐸为线段𝑃𝑄的中点，
∴点E 的横坐标为
3+(−3)
2
= 0，纵坐标为
−1+(−3)
2
= −2，
∴点E 的坐标为(0, −2)；
（2）解：设点𝑁为的坐标(𝑎, 𝑏)，
由题意得，
−2+𝑎
2
= −6，
8+𝑏
2 = 6，
解得𝑎= −10，𝑏= 4，
∴点𝑁的坐标为(−10,4)；
（3）解：设𝐶(𝑥, 0)，𝐷(0, 𝑦)，
①𝐴𝐷与𝐵𝐶中点重合时，则
−2+0
2
=
4+𝑥
2 ，
4+𝑦
2 =
2+0
2 ，
∴𝑥= −6，𝑦= −2，
∴𝐶(−6,0)；
②𝐴𝐶与𝐵𝐷中点重合时，则
−2+𝑥
2
=
4+0
2 ，
4+0
2 =
2+𝑦
2 ，
∴𝑥= 6，𝑦= 2，
∴𝐶(6,0)；
③𝐴𝐵与𝐶𝐷中点重合时，则
−2+4
2
=
𝑥+0
2 ，
4+2
2 =
𝑦+0
2 ，
∴𝑥= 2，𝑦= 6，
∴𝐶(2,0)；
综上所述，点𝐶的坐标为(−6,0)或(6,0)或(2,0)．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·河南三门峡·期末）2026 年2 月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类
一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O 出发，按以下指令
移动．指令1：向北移动4 米到点A；指令2：右转90°，向东移动3 米到点B；指令3：右转90°，向南移
动2 米到点C；指令4：右转90°，向西移动5 米到点D．判断下列结论中不正确的是（ ）
A．直线𝑂𝐴与直线𝐶𝐷垂直 B．直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷平行
C．点O 与点C 之间的距离大于3 米 D．点D 位于点O 的北偏东方向
【答案】D
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【分析】以起点𝑂为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为𝑥轴正方向，北为𝑦轴正方向，计算各点坐
标，逐一判断即可．
【详解】以起点𝑂为原点，建立平面直角坐标系，规定：东为𝑥轴正方向，北为𝑦轴正方向，如图所示，
𝑂(0,0)，向北走4 米得𝐴(0,4)；右转90°向东走3 米得𝐵(3,4)；再右转90°向南
走2 米得𝐶(3,2)；再右转90°向西走5 米得𝐷(−2,2)；
选项A：直线𝑂𝐴是竖直线（沿𝑦轴方向），直线𝐶𝐷是水平线（𝑦= 2），竖直直线与水平直线垂直，结论正
确，不符合题意；
选项B：直线𝐴𝐵是水平线（𝑦= 4），直线𝐶𝐷也是水平线，两条水平线互相平行，结论正确，不符合题意；
选项C：由勾股定理，𝑂𝐶= √32 + 22 = √13 ≈3.61 > 3，结论正确，不符合题意；
选项D：点𝐷(−2,2)，横坐标为负（西方向）、纵坐标为正（北方向），因此𝐷在𝑂的北偏西方向，不是北偏
东，结论错误，符合题意．
2．（25-26 八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌
面为𝑥轴，镜面侧面为𝑦轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰𝑆点的坐标是
(𝑚+ 1,2)，此时对应的虚像𝑆′的坐标是(4, 𝑛−4)，则𝑚+ 𝑛的值为______．
【答案】1
【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出𝑚、𝑛的值，再求代数式𝑚+ 𝑛的值即可．
【详解】解：∵物体与像关于平面镜对称，
可得：{𝑚+ 1 + 4 = 0
𝑛−4 = 2
，
解得：{𝑚= −5
𝑛= 6
，
∴𝑚+ 𝑛= −5 + 6 = 1．
