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4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
课标要点
1.掌握平面直角坐标系内点关于x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，能快速求对称点坐
标。
2.掌握点左右、上下平移的坐标变化规律，理解图形平移与点坐标变化的对应关系。
3.能根据坐标变换规律，作出图形轴对称、平移后的对应图形。
4.体会数形结合思想，掌握图形变换与坐标转化的解题方法。
学习重难点
重点：
1.熟记点的轴对称、平移坐标变换规律；
2.熟练求解变换后的点坐标；
3.能根据坐标变化完成图形变换作图。
难点：
1.混淆轴对称与平移的坐标变化规则，易错写坐标；
2.连续多次变换时坐标推导出错；
3.根据图形变换逆向推导原点点坐标。
知识点
平面直角坐标中的对称（重点）
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特点：
①(𝑎，𝑏)关于𝑥轴对称的点的坐标为(𝑎, －𝑏)，关于𝑥轴对称⇔横坐标相同，纵坐标互为相反数；
第四章
图形与坐标
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②(𝑎，𝑏)关于𝑦轴对称的点的坐标为(－𝑎，𝑏)，关于𝑦轴对称⇔纵坐标相同，横坐标互为相反数。
随学随练
1．（25-26 八年级上·广东中山·期中）点𝑃(−1,2)关于𝑦轴对称点的坐标是（ ）
A．(1,2)
B．(−1, −2)
C．(1,−2)
D．(2,−1)
2．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(𝑎, 8)与点𝐵(−5, 𝑏)关于𝑦轴对称，则𝑎−𝑏=
（ ）．
A．−13
B．13
C．3
D．−3
知识点
平面直角坐标中的平移（重点）
1. 对于平面直角坐标系上任意一点P(𝒙，𝒚)
变换方式
具体变换过程
变换后的坐标
平移变换
（𝑎＞0，𝑏＞0）
向左平移𝑎个单位
(𝑥−𝑎，𝑦)
向右平移𝑎个单位
(𝑥+ 𝑎，𝑦)
向上平移𝑎个单位
(𝑥，𝑦+ 𝑎)
向下平移𝑎个单位
(𝑥，𝑦−𝑎)
口诀：点的平移左减右加，上加下减.
易错提醒
1）混淆x 轴、y 轴对称的坐标变号规律；
2）原点对称只变其中一个坐标，出现漏变号错误；
3）图形对称作图只描点不连线，或连线顺序错乱；
4）对称点坐标计算正负出错，尤其负数坐标对称变换。
特别提醒
平移只改变点的位置，不改变图形形状、大小、方向；坐标规律：左右平移变横坐标（右加左减），上下
平移变纵坐标（上加下减），所有关键点平移规则统一。
教材延伸
中点坐标公式：若点𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，则线段AB 的中点坐标为(
𝑥1+𝑥2
2
，
𝑦1+𝑦2
2
)。
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随学随练
1．（25-26 七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑀(−3,4)先向右平移4 个单位长度，再向下平
移2 个单位长度得到点𝑀′，则点𝑀′的坐标为（ ）
A．(1,2)
B．(−7,2)
C．(−5,8)
D．(−5,0)
2．（25-26 七年级下·河北承德·期末）点𝑀(1, 𝑚+ 2)向上平移2个单位长度得到的点𝑀1在𝑥轴上，则𝑚的值
是（ ）
A．−3
B．0
C．−2
D．−4
3．在平面直角坐标系中，线段𝐴′𝐵′是由线段𝐴𝐵经过平移得到的，若点𝐴(2, −5)的对应点𝐴′的坐标为
(−1, −3)，则点𝐵(−1,1)的对应点𝐵′的坐标是__________．
拓展
平面直角坐标系中两种轴对称坐标规律
对称类型
原始坐标与对称后坐标
坐标变化核心规律
关于x 轴对称
点(𝑎, 𝑏) → (𝑎, −𝑏)
横坐标不变，纵坐标取相反数，x 轴为水平对称轴，上下
翻转变纵轴符号
关于y 轴对称
点(𝑎, 𝑏) → (−𝑎, 𝑏)
纵坐标不变，横坐标取相反数，y 轴为竖直对称轴，左右
翻转变横轴符号
活学活用
1．已知点(𝑎−1,3)与点(2, 𝑏+ 3)关于𝑦轴对称，则(𝑎+ 𝑏)2022 =________．
2．点𝑃(−2,3)关于𝑥轴的对称点的坐标是 ___________ ．
拓展
坐标平移变换规律总结
平移方向
坐标变换规则（a＞0）
规律核心解读
向左平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥−𝑎, 𝑦)
水平左移，横坐标减小，纵坐标保持不变
向右平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥+ 𝑎, 𝑦)
水平右移，横坐标增大，纵坐标保持不变
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向上平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥, 𝑦+ 𝑎)
竖直上移，纵坐标增大，横坐标保持不变
向下平移𝑎个单位
(𝑥, 𝑦) →(𝑥, 𝑦−𝑎)
竖直下移，纵坐标减小，横坐标保持不变
通用记忆口诀：左减右加，上加下减；水平平移只变横坐标，竖直平移只变纵坐标。
活学活用
1．（25-26 八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点𝑃(3, −2)先向左移动3 个单位，再向上移
动3 个单位后得到的点的坐标是 ______ ．
2．将△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐴1𝐵1𝐶1，若对应点𝐴(3,3)的像为𝐴1(3,−2)，则𝐵(2,1)的像𝐵1坐标为__________.
3．在平面直角坐标系𝑥𝑜𝑦中，点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(2, −2)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐶𝐷，点
A 的对应点C 的坐标为(2,5)，则点B 的对应点D 的坐标为______．
题型
求对称后点的坐标
▌例1．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点𝑃(3, −2)，则点P 关于x 轴对称的点的坐标是
（ ）
A．(2, −3)
B．(−3, −2)
C．(−3,2)
D．(3,2)
▌例2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃(3, −5)关于y 轴对称的点的坐标为
_____．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）点(−3,2)关于𝑥轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−3,−2)
B．(3,2)
C．(−2,3)
D．(3,−2)
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）点𝑃(−2, −3)关于𝑦轴对称的点的坐标为（ ）
A．(2, −3)
B．(−2, −3)
C．(−2,3)
D．(2,3)
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京昌平·期末）已知点𝐴(1,2)，点𝐵与点𝐴关于𝑥轴对称，则点𝐵的坐标是
_________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑀(3,1)关于x 轴对称的点的
解题贴士
熟记对称口诀：①关于x 轴对称：横不变、纵变号；②关于y 轴对称：纵不变、横变号；③关于原点对
称：横、纵全变号，直接代入坐标计算。
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坐标是________．
题型
由点的对称求参数
▌例1．（2026·广东广州·二模）若点(1, 𝑚)关于𝑥轴对称的点在第四象限，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚> 1
B．𝑚> 0
C．𝑚> −1
D．−1 < 𝑚< 0
▌例2．（25-26 九年级下·吉林长春·期中）若点𝐴(4, 𝑚+ 2)与点𝐵(𝑛−2,5)关于𝑥轴对称，则𝑚+ 𝑛的值为
_____．
▌对点练1-1．（2026·河南平顶山·三模）如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点
𝐴的坐标为(2𝑚, 𝑛)，点𝐵的坐标为(1 −𝑛, 𝑚+ 2)，并且点𝐴, 𝐵关于𝑦轴对称，则𝑚+ 𝑛=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北衡水·期中）点𝐴(𝑚−1,2)与点𝐵(3,𝑛−1)关于𝑦轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2026
的值为（ ）
A．0
B．−1
C．32026
D．1
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期中）点𝐴(𝑚, 2)与点𝐵(3, 𝑛)关于𝑥轴对称，则
(𝑚+ 𝑛)2027 =______．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点𝐴(3𝑎−5,3 + 𝑎)，点
𝐵(𝑏−2, 𝑎−𝑏)
(1)若点A 关于y 轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a 的值．
(2)若点A，B 关于x 轴对称，求𝑎𝑏的值．
(3)若点A 向上平移2 个单位长度后，与点B 关于y 轴对称，求(𝑎+ 𝑏)2019的值．
题型
由对称前后坐标确定对称方式
解题贴士
根据对称坐标变化规律，列出横、纵坐标对应相等或互为相反数的等式，解方程求出参数值。
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▌例1．（25-26 八年级下·湖南湘潭·期末）已知点𝑃(5,−4)，𝑄(−7,−4)，则下列说法正确的是（ ）
A．直线𝑃𝑄平行于𝑥轴
B．直线𝑃𝑄平行于𝑦轴
C．点𝑃与点𝑄关于𝑥轴对称
D．点𝑃与点𝑄关于𝑦轴对称
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在一幅轴对称图形中，某点的坐标为(−2,3)，其对称
点的坐标为(2,3)，则该轴对称图形的对称轴是（ ）
A．x 轴
B．y 轴
C．直线𝑥= 1
D．直线𝑦= 1
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北沧州·期中）已知点𝑃(−7, −4) 𝑄(−7,6)，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PQ 平行于x 轴
B．直线PQ 平行于y 轴
C．点P 与点Q 关于x 轴对称
D．点P 与点Q 关于y 轴对称
题型
求平移后点的坐标
▌例1．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）将点𝑃(−3,4)向左平移1 个单位，得到的点的坐标是（）
A．(−2,3)
B．(−4,4)
C．(−4,5)
D．(−2,4)
▌例2．（25-26 八年级下·广东清远·期末）将点𝐴(−3,2)沿着𝑥轴正方向平移5个单位长度到达点𝐵，则点𝐵的
坐标为_______．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑃(−3,5)向右平移2 个单位，再
向下平移3 个单位到点𝑃1，则点𝑃1的坐标是（ ）
A．(−5,2)
B．(−1,7)
C．(−5,7)
D．(−1,2)
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐴(2, −5)先向右平移4 个单位
长度，再向上平移3 个单位长度得到点B，则点B 的坐标为______．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·河南周口·期末）点𝑀(4,−3)向左平移5 个单位，向上平移2 个单位后对应
点坐标______．
解题贴士
对比新旧坐标：仅纵坐标变号→关于x 轴对称；仅横坐标变号→关于y 轴对称；横竖均变号→关于原点
对称。
解题贴士
平移口诀：左右平移变横坐标（右加左减），上下平移变纵坐标（上加下减）；按平移距离依次计算新坐
标。
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题型
由平移前后坐标确定平移方式
▌例1．（25-26 七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的端点坐标分别为𝐴(−3,0)，
𝐵(0,−1)，将线段𝐴𝐵的端点𝐴，𝐵的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段𝐴1𝐵1，则线段𝐴𝐵到线段𝐴1𝐵1
的平移方式为（ ）
A．向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
C．向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
▌例2．（25-26 七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，已知线段𝑀𝑁的两个端点的坐标分别是
𝑀(−4,−1), 𝑁(0,1)，将线段𝑀𝑁平移后得到线段𝑀′𝑁′（点M，N 分别平移到点𝑀′，𝑁′的位置），若点𝑀′的
坐标为(−2,1)，则点𝑁′的坐标为____．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的端点坐标分别为
𝐴(−4,0)，𝐵(0, −2)，将线段𝐴𝐵的端点𝐴，𝐵的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段𝐴1𝐵1，则线段𝐴𝐵
到线段𝐴1𝐵1的平移方式为（ ）
A．向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
B．向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
C．向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
D．向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B 两点的坐标分别为𝐴(−3,1)，𝐵(−1,3)，
将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐶𝐷．若点A 的对应点是𝐶(1,2)，则点B 的对应点D 的坐标是（ ）
A．(3,2)
B．(3,3)
C．(3,4)
D．(4,4)
解题贴士
用新坐标减原坐标：横坐标差值为正向右、负向左；纵坐标差值为正向上、负向下，精准描述平移方向
与单位。
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▌对点练1-3．（25-26 七年级下·天津武清·期末）将三角形𝐴𝐵𝐶平移，得到三角形𝐴′𝐵′𝐶′，其中三角形𝐴𝐵𝐶
内任意一点𝑃(𝑥0,𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 5, 𝑦0 −3)．写出三角形𝐴𝐵𝐶的一种沿坐标轴方向的平移方
式：______________________________．
题型
由平移后的坐标求原坐标
▌例1．（25-26 七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑀向左平移3 个单位长度后，得到点
𝑁(−1,2)，则点𝑀的坐标是（ ）
A．(2,2)
B．(−4,2)
C．(−1,−1)
D．(−1,5)
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点𝑃(2,2)是由点𝑄向右平移5 个单位
长度，再向下平移2 个单位长度得到，则点𝑄的坐标为（ ）．
A．(−3,0)
B．(7,0)
C．(−3,4)
D．(−3,2)
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，把点𝐴向左平移可以得到点
𝑀(2,4)，把点𝐴向上平移可以得到点𝑁(4,5)，则点𝐴的坐标是________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中有点A，将它向右平移2 个单位长度
后，对应点𝐴′的坐标为(1,−1)，则点A 的坐标为______．
题型
由点的平移求参数
▌例1．（25-26 八年级下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐴(𝑚, 2)向左平移3 个单位长度，得到
点𝐵(5,2)，则m 的值是（ ）
A．8
B．5
C．2
D．-2
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点𝐴(−1,2)先向右平移2 个单位长
度，再向下平移1 个单位长度，得到点𝐵(𝑎, 𝑏)，则𝑎+ 𝑏=（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．−2
▌对点练1-2．（2026·广东广州·三模）把平面直角坐标系上一点𝐴(1,𝑛)向上平移3 个单位，这时它恰好在𝑥
解题贴士
逆向平移求解：与题目平移方向相反、数值不变，右移变左移、上移变下移，反向加减还原原坐标。
解题贴士
根据平移坐标变化规则，建立含参数的方程，求解参数取值；多条件联立验证取值合理性。
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轴的正半轴上，则𝑛=_______．
▌对点练1-3．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，已知点𝑃(−2,3)，将点P 沿x 轴正方向平移a
个单位后，再向下平移5 个单位，得到点𝑄(0, 𝑛)，则𝑎+ 𝑛的值为______．
题型
中点坐标
▌例1．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知𝐴(3,4)，𝐵(3,−2)，则线段𝐴𝐵的中点
坐标是________．
▌对点练1-1．（25-26 九年级上·山东临沂·期中）已知线段𝐴𝐵的中点为坐标原点𝑂．若点𝐴的坐标为(2,11)，
则点𝐵的坐标为（ ）
A．(−2,−11)
B．(−11,−2)
C．(11,2)
D．(−2,11)
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点𝑀(1,2)和点𝑁(5,8)的中点坐标为
______．
题型
坐标系中的动点问题
▌例1．（25-26 七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线𝐴𝐵经过点𝐴(−2,3)，𝐵(−2,−1)，动点P 在y 轴上，则
𝑃𝐴的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解题贴士
易错：①误用差值计算，记成减法公式；②坐标代入顺序错乱；③已知中点求端点不会逆向变形。
解题贴士
易错：①动点坐标代数式表达错误；②忽略动点运动范围、起止边界，出现增根；③分段运动不分段
讨论；④单位、运动方向判断错误。
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▌例2．（25-26 七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴(𝑎, 0)、𝐵(𝑏, 𝑏)且实数a，b
满足(𝑎−6)2 + |𝑏−4| = 0，过点B 作𝐵𝐶∥𝑥轴交y 轴于点C．点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的
速度向x 轴负方向运动．点Q 从O 点出发，以每秒2 个单位长度的速度向y 轴正方向运动．
(1)直接写出点A 的坐标_________，点B 的坐标_________；
(2)动点P、Q 分别在射线𝐴𝑂、𝑂𝐶上运动，连接𝑃𝐵、𝑄𝐵，当𝑆△𝑃𝐴𝐵= 3𝑆△𝑄𝐵𝐶时，求点P 的坐标．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点𝐴(4,6)，点𝐵(0,3)，若在坐标
轴上有一点C（不与点B 重合），使三角形𝐴𝑂𝐶和三角形𝐴𝑂𝐵面积相等，则点C 的坐标为
______________．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以𝐴为原点的平面直角坐标系中，有一个长
方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝑚, 𝐵𝐶= 𝑛，且|𝑚−8| + √𝑛−6 = 0．𝐸是𝐶𝐷边上的一点，且𝐷𝐸= 2，动点𝑃从点𝐴出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿𝐴→𝐵→𝐶运动，最终到达点𝐶．设点𝑃运动的时间为𝑡秒．
(1)填空：𝑚=_____，𝑛=_____；
(2)求出点𝑃在运动过程中△𝐴𝑃𝐸的面积𝑆（用含𝑡的式子表示）；
(3)是否存在一点𝑃，使△𝐴𝑃𝐸的面积等于20？若存在，请直接写出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，点𝐴的坐标为
(9,0)，点𝐵是第一象限的点，且𝐵𝐴⊥𝑥轴，点𝐵到𝑥轴的距离是5，过点𝐵作𝑥轴的平行线𝑎，与𝑦轴交于点
𝐶．动点𝑃从点𝐵出发，以3 个单位长度/𝑠的速度沿直线𝑎向左移动，动点𝑄从原点𝑂同时出发，以1 个单位
长度/𝑠的速度沿𝑥轴向右移动，𝑄到达𝐴点后，𝑃、𝑄同时停止运动．
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(1)点𝐵的坐标为_____；
(2)当𝑡= 1s时，点𝑃的坐标为_____，点𝑄的坐标为_____；
(3)当点𝑃, 𝑄满足𝑃𝑄∥𝑦时，求𝑡的值；
(4)当点𝑃, 𝑄满足四边形𝑃𝑄𝐴𝐵的面积为30 时，求点𝑃的坐标．
题型
坐标系中规律探究问题
▌例1．（25-26 七年级下·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆
𝑂1，𝑂2，𝑂3，…组成一条平滑的曲线，点𝑃从原点𝑂出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
π
2个单位长
度，则第2026秒时，点𝑃的坐标是（ ）
A．(2025,1)
B．(2026,0)
C．(2025,0)
D．(2026, −1)
▌例2．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点𝑂出发，沿着箭
头所示方向，每次移动1 个单位，依次得到点𝑃1(0,1)，𝑃2(1,1)，𝑃3(1,0)，𝑃4(1, −1)，𝑃5(2, −1)，
𝑃6(2,0)，…，则点𝑃2026的横坐标是_____．
解题贴士
依次写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的周期、奇偶、等差、循环规律，归纳通项，求解指定序号
点的坐标。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴1𝐴2𝐴3，三角形
𝐴3𝐴4𝐴5，三角形𝐴5𝐴6𝐴7，三角形𝐴7𝐴8𝐴9 ⋯都是等边三角形，且点𝐴1，𝐴3，𝐴5，𝐴7，𝐴9的坐标分别是
𝐴1(3，0)，𝐴3(2，0)，𝐴5(4，0)，𝐴7(1，0)，𝐴9(5，0)，依据图形所反映的规律，则𝐴2029的坐标是
（ ）
A．(507，0)
B．(508，0)
C．(509，0)
D．(510，0)
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，𝐴(10,10)，𝐵(−10,10)，
𝐶(−10,−20)，𝐷(10,−20)，把一条长为2026 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端
固定在点𝐵处，并按𝐵→𝐶→𝐷→𝐴→𝐵→𝐶…的规律绕在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边上，则细线另一端所在位置的
点的坐标是（ ）
A．（10，10）
B．(−10,−16)
C．(10, −16)
D．(−10,6)
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点𝑃(𝑥, 𝑦)进行如下规则的操作：
横坐标乘以−1再减1，纵坐标加1，得到点(−𝑥−1, 𝑦+ 1)．第一次操作得到的点记为𝑃1，对点𝑃1坐标继续
进行一次相同规则的操作，得到的点记为𝑃2，对点𝑃2再进行相同操作得到的点记为𝑃3，…，以此类推，第n
次操作得到的点记为𝑃𝑛．现有点(1,0)，对(1,0)进行2026 次这样的操作后得到的点𝑃2026的坐标为______．
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▌对点练1-4．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中半径为1 的圆从原点出
发沿x 轴正方向滚动2025 周，圆上一点由原点𝑂到达点𝑂′，圆心也由点𝐴到达点𝐴′，则点𝐴′的坐标为
______．
题型
在坐标系中作图形的平移、对称
▌例1．（25-26 八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形𝐴𝐵𝐶的
三个顶点都在格点上，点𝐴(4,4)，请解答下列问题：
(1)先将三角形𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位，再向下平移6 个单位后得到三角形𝐴1𝐵1𝐶1，请画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)请画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1关于y 轴对称的三角形𝐴2𝐵2𝐶2；
(3)请直接写出𝐵2、𝐶2的坐标．
▌例2．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别是
𝐴(4,4)，𝐵(3,2), 𝐶(1,2)．
解题贴士
选取图形关键点，求出平移/对称后的对应点坐标，在坐标系中描点，按原图顺序依次连线，得到变换后
图形。
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(1)将△𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，画出△𝐴𝐵𝐶平移后的图形△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴的对称图形△𝐴2𝐵2𝐶2；
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△
𝐴𝐵𝐶的顶点A，C 的坐标分别为(−4,4), (−1,2)．
(1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系；
(2)请画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1, 𝐵1, 𝐶1的坐标．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别
为𝐴(−1,4)，𝐵(−5,3)，𝐶(−3,1)，将△𝐴𝐵𝐶经过平移得到△𝐴1𝐵1𝐶1，点B 的对应点𝐵1的坐标为(1,−2)，点
A，C 的对应点分别为𝐴1，𝐶1．
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(1)请在图中画出△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)点𝑃(𝑎, 𝑏)是△𝐴𝐵𝐶边上的一点，经过平移后，点P 的对应点是点𝑃1，则点𝑃1的坐标为________．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标
分别是𝐴(−1,−2)，𝐵(−2,−4)，𝐶(−4, −1)．将三角形𝐴𝐵𝐶平移，得到三角形𝐴′𝐵′𝐶′，其中任意一点
𝑃(𝑥0, 𝑦0)平移后的对应点为𝑃′(𝑥0 + 2, 𝑦0 + 3)．
(1)画出三角形𝐴′𝐵′𝐶′，并写出点𝐵′的坐标为______．
(2)写出三角形𝐴𝐵𝐶的一种沿坐标轴方向的平移方式．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的位置如图所示，顶点A，
B，C 的坐标分别是(−1,5)，(−2,2)，(−4,3)．
(1)△𝐴1𝐵1𝐶1与△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称，点A，B，C 的对应点分别为𝐴1，𝐵1，𝐶1，请画出△𝐴1𝐵1𝐶1．
(2)△𝐴𝐵𝐶平移得到△𝐴2𝐵2𝐶2，点A，B，C 的对应点分别是𝐴2，𝐵2，𝐶2，𝐴𝐵边上一点𝑃(𝑝, 𝑞)平移后对应点
为(𝑝+ 4, 𝑞−6)，则△𝐴𝐵𝐶先向________（填“左”或“右”）平移________个单位长度，再向________（填
“上”或“下”）平移________个单位长度得到△𝐴2𝐵2𝐶2．请根据题意，画出△𝐴2𝐵2𝐶2．
(3)在（2）的基础上连接𝐶𝐶2，则𝐶𝐶2的长为________．
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基础通关
1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，将点𝐵(−3,2)向右平移6个单位长度，再向下平
移4个单位长度后与点𝐴重合，则点𝐴的坐标是（ ）
A．(3,−2)
B．(−9,6)
C．(−9,−2)
D．(3,6)
2．（25-26 七年级下·海南·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐴(−1,4)，𝐵(−4, −1)，𝐶(1,1)．将△𝐴𝐵𝐶先向右平移
2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，则平移后△𝐴′𝐵′𝐶′（点A，B，C 的对应点分别为点𝐴′，𝐵′，
𝐶′）三个顶点的坐标分别为（ ）
A．𝐴′(1,7)，𝐵′(2,2)，𝐶′(3,4)
B．𝐴′(−3,7)，𝐵′(−2,2)，𝐶′(4,3)
C．𝐴′(1,7)，𝐵′(−2,2)，𝐶′(3,4)
D．𝐴′(−3,7)，𝐵′(2, −2)，𝐶′(3,3)
3．（25-26 八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点𝑃(−1,2)先向左平移再向下平移可能移动到
下列哪个点的位置（ ）
A．(4,1)
B．(4,3)
C．(−4,3)
D．(−4,1)
4．（25-26 八年级下·上海嘉定·期末）点𝑃(3,4)关于𝑥轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−3,4)
B．(−4,3)
C．(4,−3)
D．(3,−4)
5．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点A 坐标是(2, −1)，经平移后，得
到其对应点𝐴1(−1,−1)，若△𝐴𝐵𝐶的内部任意一点D 坐标是(𝑥, 𝑦)，则其对应点𝐷1坐标一定是（ ）
A．(−𝑥, 𝑦+ 3)
B．(−𝑥, 𝑦−3)
C．(𝑥−3, 𝑦)
D．(𝑥+ 3, 𝑦)
6．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）若点𝑀(𝑎, −2022)和𝑁(4,𝑏)关于x 轴对称，则𝑎+ 𝑏的值是______．
7．（25-26 七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将点𝑃(𝑚, 𝑚+ 8)向下平移2个单位长度后，得
到的点𝑄在𝑥轴上，则𝑚的值为________．
8．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若
点𝐴(2,−1)平移后的对应点为𝐴′(5,2)，则点𝐵(−3,4)平移后的对应点𝐵′的坐标是_________．
9．（25-26 七年级下·广东江门·期末）在平面直角坐标系中，已知直线𝑙与𝑥轴平行且经过点𝐴(2,3)，若点𝐵
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也在该直线𝑙上，请写出一个符合条件的点𝐵的坐标______．
10．（25-26 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为
𝐴(−2,1)，𝐵(−4,−1)，𝐶(1,−2)．
(1)画出三角形𝐴𝐵𝐶；
(2)将三角形𝐴𝐵𝐶向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，顶点𝐴，𝐵，𝐶经过这种变换后分别得
到点𝐴′，𝐵′，𝐶′，在图中画出三角形𝐴′𝐵′𝐶′，并写出点𝐴′，𝐵′，𝐶′的坐标．
11．（25-26 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(1,1)，𝐵(4,2)，𝐶(3,4)．
(1)在图中作出△𝐴𝐵𝐶向左平移5 个单位长度后得到的△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称的△𝐴2𝐵2𝐶2，并写出𝐴2，𝐵2，𝐶2的坐标．
12．（25-26 七年级下·广西贺州·期中）在如图所示的直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别是
𝐴(−4, −1), 𝐵(1,1),𝐶(−1,4)；点𝑃(𝑥1,𝑦1)是△𝐴𝐵𝐶内一点，当△𝐴𝐵𝐶随着点𝑃(𝑥1, 𝑦1)平移到点
𝑃1(𝑥1 + 4, 𝑦1 −2)时．
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(1)请画出平移后新△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)直接写出△𝐴1𝐵1𝐶1三个顶点的坐标；
(3)若三角形𝐴𝐵𝐶外有一点M 经过同样的平移后得到点𝑀1(5,3)，则𝑀点的坐标是 ，若连接线段
𝑀𝑀1,𝑃𝑃1，则这两条线段之间的关系是 ．
素养提升
1．（25-26 七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知𝐴(𝑎, 𝑏)，𝐵(𝑏, 𝑐)，将线段AB 平移得到线
段𝐶𝐷，其中点A 的对应点为点C．若𝐶(𝑎−2,𝑛)，𝐷(𝑚, 𝑐+ 3)，则𝑚−𝑛的值为（ ）
A．−5
B．−1
C．1
D．5
2．（25-26 八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段𝐴𝐵平移后得到了线段𝐶𝐷，已知
点𝐴(−6,0)，𝐵(−4,3)，𝐷(3,1)，则点C 的坐标为（ ）
A． (1, −1)
B．(1,−2)
C．(2, −1)
D．(2,−2)
3．（2026·山东菏泽·二模）新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意
吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬
挂点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷的坐标分别是(−4,𝑏)，(−2, 𝑏)，(−1, 𝑏)，(2, 𝑏)．为让排布规整对称、尽显中式对称美
学，下列平移中，能使四个“中国结”关于𝑦轴对称的是（ ）
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A．将𝐴向右平移5个单位
B．将𝐵向右平移5个单位
C．将𝐶向右平移4个单位
D．将𝐶向右平移2个单位
4．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）已知点𝐴(𝑚, 1)与点𝐵(2026, 𝑛)关于𝑥轴对称，则𝑛𝑚=______．
5．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点𝐴，将它向右平移2个单位长度后，对应点𝐴′的坐标为
(1,−1)，则点𝐴关于𝑥轴的对称点的坐标为______．
6．（25-26 七年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，某机器人从原点𝑂出发，按向右，向上，
向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到𝐴1(1,0)， 第2次移动到
𝐴2(1,1)，第3次移动到𝐴3(2,1)， 第4次移动到𝐴4(2,0) …，则第2026次移动至点𝐴2026的坐标是 _______．
7．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个点𝐴0从原点(0,0)出发，经过一次运动后到
𝐴1(1,1)，第二次运动到𝐴2(2, −1)，第三次运动到𝐴3(3,3)，第四次运动到𝐴4(4, −3)，第五次运动到
𝐴5(5,1)，第六次运动到𝐴6(6, −1)，第七次运动到𝐴7(7,3)，第八次运动到𝐴8(8, −3) …，依此规律，则点
𝐴2026的坐标为_________．
8．（25-26 七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O 为原点的平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为
(𝑎, 0)，(𝑎, 𝑏)，点C 在y 轴上，且𝐵𝐶∥𝑥轴，a，b 满足|𝑎−4| + √𝑏−3 = 0．点P 从原点出发，以每秒1
个单位长度的速度沿着𝑂−𝐴−𝐵−𝐶−𝑂的路线运动（回到O 为止）．
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(1)求出点A，B 的坐标；
(2)点P 运动t 秒后(𝑡≠0)，是否存在点P 到x 轴的距离为
1
3 𝑡个单位长度的情况．若存在，求出点P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
9．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)，点𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶为线段𝐴𝐵的
中点，则点𝐶的坐标为(
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)，例如：𝐴(−1,4)，𝐵(3,6)则线段𝐴𝐵的中点𝐶的坐标为(
−1+3
2
,
4+6
2 )，即点
𝐶的坐标为(1,5)．
(1)已知𝑃(3,−1)，𝑄(−3,−3)，𝐸为线段𝑃𝑄的中点，则点𝐸的坐标为________；
(2)已知𝑀(−2,8)，𝐹(−6,6)，𝐹为线段𝑀𝑁的中点，求点𝑁的坐标；
(3)已知两点𝐴(−2,4)，𝐵(4,2)，点𝐶在𝑥轴上，点𝐷在𝑦轴上，若点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷中的任意两点构成的线段的
中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点𝐶的坐标．
迁移创新
1．（25-26 七年级下·河南三门峡·期末）2026 年2 月，北京大学研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类
一样理解空间关系、距离和方位．如图，搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O 出发，按以下指令
移动．指令1：向北移动4 米到点A；指令2：右转90°，向东移动3 米到点B；指令3：右转90°，向南移
动2 米到点C；指令4：右转90°，向西移动5 米到点D．判断下列结论中不正确的是（ ）
A．直线𝑂𝐴与直线𝐶𝐷垂直 B．直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷平行
C．点O 与点C 之间的距离大于3 米 D．点D 位于点O 的北偏东方向
2．（25-26 八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌
面为𝑥轴，镜面侧面为𝑦轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰𝑆点的坐标是
(𝑚+ 1,2)，此时对应的虚像𝑆′的坐标是(4, 𝑛−4)，则𝑚+ 𝑛的值为______．
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