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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.3 实际问题与反比例函数 （第1 课时 建立反比例函数模型) （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》，27.3实际问题与反比例函数第一课时建立反比 例函数模型，核心教学内容为从生活、生产实际问题中抽象数量关系，建立反比例函数数学模型.主要内容 包括：识别实际场景中“积为定值”的反比例数量关系，掌握实际问题中反比例函数解析式的求解方法， 根据实际情境确定自变量与函数值的取值范围，运用反比例函数模型解决求值、简单预判类实际问题，初 步掌握“实际问题数学化”的建模基本流程.本节课聚焦纯代数建模，不涉及复杂图像分析，为第二、三课 时数形结合解决实际问题奠定基础. 2. 内容解析 本节课是反比例函数章节知识应用的起始课，承接27.1反比例函数定义、27.2反比例函数图像与性质的理 论知识，是理论知识落地生活实际的关键衔接点，同时，本节课的建模方法是后续反比例函数综合应用、 跨学科实际问题、中考应用题的核心基础，在整章知识体系中起到承上启下、理论转应用的核心作用.本章 前序课时完成了“认识函数、研究图像性质”的理论学习，本节课首次将反比例函数从纯数学题型转向真 实生活场景，核心突破学生“只会做题、不会应用”的短板.本课时以生活化场景为载体，引导学生提炼固 定乘积型数量关系，构建标准化反比例模型，形成固定解题范式.本节课重点培养学生数学建模核心素养， 让学生掌握从复杂实际情境中提取数学信息、剥离无关条件、抽象函数关系的能力，体会数学模型的实用 性，落实新课标“数学生活化、应用常态化”的教学理念. 基于以上分析，本节课的教学重点从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型；根据实际 情境确定自变量的取值范围，利用模型求解实际问题. 1. 教学目标 （1）能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义；掌握实际 问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式；能根据实际情境限制条件，正确确 定自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题. （2）经历“分析实际情境—寻找定量与变量—抽象函数关系—建立模型—求解验证”的完整探究过程，掌 握实际问题建模的通用方法，提升信息提取、抽象概括和运算求解能力. （3）感受反比例函数在生产、生活、工程中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，破除函数学习 的抽象感，培养主动用数学解决实际问题的意识，养成严谨的解题习惯. 2.目标解析 目标1区别于此前纯理论、纯计算的函数学习，本节课侧重应用建模，要求学生跳出固定公式记忆，能自主 从实际问题中推导反比例函数，掌握建模+定范围+求值的完整技能，达成课标对反比例函数应用的基础要 求. 目标2通过分层情境探究、例题拆解，固化反比例建模思维流程，重点突破“实际情境转数学模型”的思维 难点，培养学生模型意识与数学抽象核心素养. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目标3通过贴近学生生活的真实案例，降低应用题学习畏难情绪，让学生感知数学的实用价值，建立学以致 用的数学思维. 九年级学生已熟练掌握反比例函数的定义、解析式形式，能熟练求解反比例函数参数，掌握常见的行程、 工程、总量分配等基础数量关系，具备初步的数学建模认知.学生擅长纯数学题型计算，但对生活化应用题 敏感度低，难以快速剥离文字情境、提取核心数量关系；容易忽略实际问题中自变量的正数、整数、实际 可行性等限制条件，机械套用公式，导致答案不符合实际.学生逻辑推理能力逐步成熟，但抽象建模能力薄 弱，需要通过具象案例、步骤拆解、规范流程引导，帮助学生形成标准化建模思路. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是准确区分实际问题中的定量与变量，识别隐藏的反比例乘积定值 关系；结合生活实际，合理限定自变量、函数值的取值范围，避免数学解与实际情境脱节. 复习旧知、类比导入 师生活动：展示两组生活化情境，引导学生分析数量关系： 情境1：一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 情境2：一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎 样的数量关系？ 设置问题链引导探究：1. 两个情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？2. 变量之间的乘积是否 为定值？符合我们学过的哪种函数关系？3. 能否用含x的式子表示y？ 学生自主思考、小组交流后得出：两个情境均满足“两个变量的乘积为定值”，变量成反比例函数关系. 小结导入新课：生活中大量“总量固定、此增彼减”的问题，都可以用反比例函数刻画.今天我们重点学习 如何从实际问题中建立反比例函数模型，用函数知识解决生活问题. （设计意图：选取学生熟悉的行程、分配场景，降低新知入门难度，让学生直观感知反比例实际场景的特 征；通过“找定量、辨变量、判关系”的问题链，引导学生自主发现反比例核心特征，初步建立建模思维， 为后续规范建模流程铺垫基础.） 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单 位：h）之间有怎样的函数关系？ （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货 物？ 追问1.怎样求出轮船装载货物的总量？ 根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量. 追问2.怎样建立起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间的函数关 系？ 根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 追问3.轮船上的货物不超过6h卸载完毕，怎样求出起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 根据函数的增减性来确定. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 具体解答如下： 解：(1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为 v= 6300 t (2)把t=6代入v= 6300 t 得 v= 6300 6 = 1050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数v= 6300 t ，当t>0 时，t越小，v越大，因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 总结建模通用步骤： 1. 审：审题，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 判：判断变量乘积为定值，确定反比例关系； 3. 列：设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 定：结合实际，确定自变量、函数值取值范围. 探究点2 探究并应用“杠杆原理” “杠杆原理”简介：古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离 与其所受重力成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力 ×动力臂. 问题2.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大 的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 追问1.怎样建立动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？ 根据杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂，得到F关于l的函数解析式. 追问2.想使动力F不超过（1）中所用力的一半，怎样求动力臂1至少要加长多少? 结合函数解析式,根据函数的增减性来确定. 具体解答如下： 解：（1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1 200×0.5, 所以F关于l的函数解析式为F= 600 l 当l=1.5 m时，F= 600 1.5=400 (N). 对于函数F= 600 l ,当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400N的力. (2)对于函数F= 600 l ，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的/的值，就能确定动力臂l 至少应加长的量. 将F=400× 1 2=200,代人F= 600 l ，得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 200= 600 l l= 600 200=3 (m) 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5 (m). 讨论:用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ (设计意图:通过实际问题的解决，固化“审题—建模—定范围—解题”的标准化流程；重点突破“实际取 值范围确定”这一难点，区分纯数学函数与实际模型的差异，让学生真正掌握反比例建模的核心方法，落 实本节课重点知识.) 典型例题 例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/ 天），完成全部任务所需的天数为y（天）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？ 【分析】 核心关系：总零件数=日加工数量×加工天数，总工作量1200为定值，x·y=1200，符合反比例函 数模型； 解题关键：先根据定量关系列等式，整理解析式，再结合生产实际确定自变量取值（加工数量为正整数）； 第（3）问为模型应用，代入求值，实现建模到解题的完整闭环，贴合课时基础应用要求. 【详解】（1）由题意可知：总零件数量固定，可得等量关系：每天加工数量×加工天数=总零件数，即 xy=1200 变形整理得y关于x的函数解析式：y= 1200 x . （2）① 每天加工零件数量不能为0或负数，即x>0；② 零件为整数个，因此自变量x为正整数； 综上，自变量取值范围：x>0,且x为正整数. （3）已知每天至少加工40个零件，即x=40,将x=40代入解析式：y= 1200 x = 1200 40 =30 答：需要30天完成任务。 拓展追问:若要求工期不超过20天，每天至少需要加工多少个零件？（引导学生初步利用模型反向求值，深 化应用） 例2.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【分析】（1）运用每天完成的页数所需天数= 总页数进行求解； （2）将 4 y = 代入（1）所得函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， 100 8 xy = ， 整理，得 800 y x = ， 每天完成的页数y 与所需天数x 之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得， 800 y x = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得 800 4 x = ， 解得 200 x = ， 每天应完成200页． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P76课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电 阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻 6 R = 欧姆时，电流 2 I = 安培． (1)求出函数解析式． (2)当0.5安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【详解】（1）解：由题意设 U I R = ， ∵当电阻 6 R = 欧姆时，电流 2 I = 安培， ∴ 6 2 12 U = = ， ∴I与R之间的函数关系式为： 12 I R = ； （2）解：把 0.5 I = 代入 12 I R = 得： 12 0.5 R = ， 解得： 24 R = （欧姆）； （3）解：∵不得超过10安培， ∴ 12 10 R ， ∴R的取值范围是： 1.2 R （欧姆）． （设计意图：强化反比例函数的图象与性质） 1．（2025•德阳）公元前3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量 成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和 阻力臂分别为600N 和1m，当动力为1200N 时，动力臂是 m． 【解答】解：600×1÷1200＝0.5（m）， ∴动力臂是0.5m． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：0.5． 2．（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是 气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3 时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3 时，p＝ Pa． 【解答】解：设p 与V 之间的函数关系式为p= 𝑘 𝑉（k 为常数，且k≠0）， 将V＝1.2，p＝20000 代入p= 𝑘 𝑉， 得20000= 𝑘 1.2， 解得k＝24000， ∴p 与V 之间的函数关系式为p= 24000 𝑉 ， 当V＝1.5 时，p= 24000 1.5 =16000， ∴当V＝1.5m3 时，p＝16000Pa． 故答案为：16000． 3．（2025·娄底·九年级统考）某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【详解】（1）解：由题意得， 100 8 xy = ， 整理，得 800 y x = ， 每天完成的页数y 与所需天数x 之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得， 800 y x = ， 由题意得 800 4 x = ， 解得 200 x = ， 每天应完成200页． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）模型识别：实际问题中，两个变量乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系；（2） 建模步骤：审题找定值→判断反比例关系→列写解析式→确定实际取值范围；（3）应用技能：能利用建立 的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 思想方法：（1）数学建模思想：将生活化的复杂实际问题，抽象为标准化的反比例函数数学模型，用数学 方法解决实际问题；（2）对应思想：数学解析式、变量取值必须与生活实际一一对应，保证结果合理； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）转化思想：文字语言描述的数量关系，转化为函数解析式的符号语言. 易错提醒：（1）核心易错：照搬纯数学函数取值范围，忽略实际情境限制，忘记自变量为正数、整数等实 际要求；（2）审题易错：无法区分题目中的定量与变量，误将变化量当作定值，建模错误；（3）解题易 错：建模成功后，求解结果不检验实际意义，出现负数、小数等不符合生活实际的答案；（4）书写易错： 未将等式整理为标准反比例函数y= k x的形式，格式不规范. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题27.3第2、3题. 探究性作业：习题27.3第6题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.3 实际问题与反比例函数（第一课时） 一、反比例实际关系特征 二、建模四步流程 三、例题核心解答 四、核心思想与易错点 副板书 例题 学生练习板演
