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专题26.2 实际问题与反比例函数
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情景，建立函数模型，并且进一步明确
数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成
考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，也要
注意函数、不等式、方程之间的联系。生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是
在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探
索。
1.在工程与速度中的应用
2.反比例函数在电学中的运用
3.在光学中运用
4.在排水方面的运用
5.在解决经济预算问题中的应用
【例题1】某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测
算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
【答案】（1）y＝0.2/(x－0.4) （2）0.6亿元
【解析】(1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝k/(x－0.4)(k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入y＝k/(x－0.4)
得0.8＝k/(0.65－0.4)
解得k＝0.2∴y与x之间的函数关系为y＝0.2/(x－0.4)
(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为：
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3×2＝0.6(亿元)
【例题2】近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
【答案】(1)y=100/x (2) 0.1m.
【解析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．
（1）设y=k/x，把x=0.25，y=400代入，得400=k/0.25，
所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=100/x．
（2）当y=1000时，1000=100/x，解得x=0.1m．
【例题3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后
血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x h之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．
(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
【答案】（1）∴血液中药物浓度上升阶段，y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降阶段，y＝(4＜x≤10)．
（2）6 h
【解析】(1)分别利用正比例函数以及反比例函数表达式求法得出即可；(2)据y＝4分别求出相应的x的值，
进而得出答案．
(1)由图像可知；当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx.由图像可知，当x＝4时，y＝8，
∴4k＝8，解得k＝2.∴y＝2x(0≤x≤4)．
当4＜x≤10时，y与x成反比例，设y＝.
由图像可知，当x＝4时，y＝8，
∴m＝4×8＝32，∴y＝(4＜x≤10)．
∴血液中药物浓度上升阶段，y＝2x(0≤x≤4)；
血液中药物浓度下降阶段，y＝(4＜x≤10)．
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升，即y≥4.
∴2x≥4且≥4，解得2≤x≤8.
∴持续时间为6 h.1.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得
到线段AC，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点C．
（1）求直线AB和反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的解析式；
（2）已知点P是反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．
【答案】见解析。
【解析】将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，可求直线解析式；过点C作CD⊥x轴，根据
三角形全等可求C（3，1），进而确定k；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+b＝ ，当△＝b2
﹣24＝0时，点P到直线AB距离最短；
（1）将点A（1，0），点B（0，2），代入y＝mx+b，
∴b＝2，m＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2；
∵过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1，
∴C（3，1），
∴k＝3，∴y＝ ；
（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，
联立﹣2x+b＝ ，
∴﹣2x2+bx﹣3＝0，
当△＝b2﹣24＝0时，b＝ ，此时点P到直线AB距离最短；
∴P（ ， ）；
2. 如图,反比例函数 和一次函数y＝kx－1的图象相交于A(m,2m),B两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式 1.
3.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6,
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值
【答案】见解析。
【解析】将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式；
当x=4时，代入解析式，可求出y的值
（1）∵y是x的反比例函数，
∴设y= (k≠0），
∵当x=2时，y=6,
∴k=xy=12,
∴y=
(2)当x=4时，
代入y= 得，
y=
4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过
最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排
污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，
从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【答案】（1）当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y= 。
（2）能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【解析】A.分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，
4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可；
B.令y= =1，得出x=12＜15，即可得出结论．
（1）分情况讨论：
①当0≤x≤3时，
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；
把A（0，0），B（3，4）代入得 ，
解得： ，
∴y=﹣2x+10；
②当x＞3时，设y=，
把（3，4）代入得：m=3×4=12，
∴y= ；
综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y= ；
（2）能；理由如下：
令y= =1，则x=12＜15，
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
5.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(h)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5 h后(包括1.5 h)y与x可近似地用反比例函数y＝刻画(如
图)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于 20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车
上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车
去上班？请说明理由．
【答案】(1)①1 h，200毫克/百毫升；②225；(2)7：00不能驾车去上班．
【解析】(1)①当x＝－＝1时，y＝200.
∴喝酒后1 h血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；
②把x＝5，y＝45代入反比例函数y＝，得
k＝5×45＝225；
(2)把y＝20代入反比例函数y＝，得
x＝11.25.
∴喝完酒经过11.25 h为第二天早上7：15.
∴第二天早上7：15以后才可以驾车，7：00不能驾车去上班．
6.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小
敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半
盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有 1.5克，
小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方
法值得提倡，为什么？
【答案】小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
【解析】设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y= ，y= ，后根据题
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意代入求出k 和k 即可；当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．
1 2（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y= ，y= ，
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将 和 分别代入两个关系式得：
1.5= ，2= ，解得：k=1.5，k=2．
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∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．
（2）把y=0.5分别代入两个函数得：
=0.5， =0.5，
解得：x=3，x=4，
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10×3=30（升），5×4=20（升）．
