文档内容
第二十二章 函数
单 元 备 课
第22单元 本单元所需课时数 5课时
1.了解常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,进一步发
展学生的抽象思维和符号感.
课
2.了解变量和常量的意义、函数的概念能确定简单的整式、分式、二次
标
根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值.
要
3.了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际
求
问题中变量间的函数关系.
4.能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析.
本章的主要内容是,在实际问题中认识变量和常量,通过实例分析建立函
教 数模型,确定函数自变量的取值范围,研究函数的表示方法,函数模型的简单应
材 用，以及以变化的观点对两个量之间的关系作进一步研究.函数概念是学习一
分 次函数、反比例函数和二次函数等内容的基础,它所体现的模型化思想沟通了
析 许多数学内容之间的联系,为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效
的途径.
主
本章主要内容有:常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，
要
主要包括两节:第22.1节“ 函数的概念”先引出常量和变量的意义，再建立
内
函数的概念；第22.2节“ 函数的表示”介绍函数的三种表示方法.
容
1.让学生经历常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以
及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感.
2.通过实例,让学生了解变量和常量的意义、函数的概念;能举出现实生
教 活中具有函数关系的例子,并能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题
学 中的函数自变量的取值范围，会求函数的值;了解函数的三种表示方法,能够
目 选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系.
标 3.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量
的变化规律进行预测,并能解决--些简单的问题.
4.让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,体会数学的价值,
增强学生学习数学的信心.
课
时 22.1 函数的概念 2课时
分
22.2 函数的表示 3课时
配教 1.在传授知识时关注引导学生认识与体会相关的数学思想方法.
与
2.加强对知识之间内在联系的认识，引导学生体会函数观点的统率作用.
学
建 3.加强对基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力.
议
4.结合课题学习，引导学生提高实践意识与综合应用数学知识的能力.22.1 函数的概念
第 1 课时 常量与变量
课题 常量与变量 课型 新授课
教学内容 教材第90-91页的内容
1.结合实例了解常量、变量的意义．
教学目标 2.掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常
量和变量是相对存在的．
教学重点：常量与变量的概念．
教学重难
教学难点：理解并会准确辨认变量.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的推移而变
选取学生熟悉的生
化，气温随海拔而变化，树随树龄而变化……
活情境，让学生感
在你周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的 受其中的变化，从
现象大量存在．我们就来探究这些变化中的数量关系和变化 这些感受中逐渐领
规律． 悟知识.
2.抽象概括，形成概念
【问题1】（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程
为s km，行驶时间为t h.请同学们填写下表:
t/h 1 2 3 4 5
s/km
教师追问1：以上问题中所涉及的量之间存在什么关系? 挖掘和利用实际生
活中与变量有关的
教师追问2：当时间取一个定值时，路程的值如何计算?它
问题，让学生经历
是确定的值吗?
探索具体情境中两
教师追问3：在上述过程中，有没有变化的量?有没有始终 个变量关系的过
程，直接获得探索
不变的量?
变量关系的体验.
师生活动:教师引导学生思考，根据教师的引导填空，并交流结果.
【问题2】(2)电影票的售价为 40元/张，第一场售出80张
票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影
的票房收入各多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y
元，y的值随x的值的变化而变化吗?
(3)你见过水中涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过
学生通过观察、思
程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的
考、分析、归纳，
面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?
有助于学生把握概
念的本质特征．特
别注意的是“常量
与变量不是绝对
的，而是相对于一
个变化过程而言
(4)长方体的体积为1 000cm²，当长方体的底面积S分别为
的”．
50 cm²，100 cm²，125 cm²时，高h分别为多少？h的值随S
的值的变化而变化吗？
师生活动:学生类比问题1的思考，互相提问、讨论并交流
结果.
教师追问:一个量在变化，具体地说是它的什么在变?什么不
变呢?
师生活动:引导学生观察发现“是量的数值的变与不变”.
总结:在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变
量，数值始终不变的量为常量.
注意:常量与变量必须存在于一个变化过程中.判断一个量是
常量还是变量，需要看两个方面：①它是否在一个变化的过
程中；②它在这个变化过程中的取值情况.
3.学以致用，应用新知
考点 变量和常量的概念
通过例题帮助学生
【例1】指出下列问题中的常量和变量： 巩固、应用新知，
熟悉本课重点，突
(1）某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量
破难点.
为xt，月应缴水费为y元.
（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元，李明在
公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中
的余额为w元.
（3）用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm，
矩形的面积为S m².
解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月
应缴水费y是变量.
(2）刷公交卡每次收费和存人的钱数是常量，乘坐公交车的
次数n和公交卡中的余额w是变量.
通过随堂练习，进(3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.
教师提醒学生：(1)“常量”是已知量，但“常量”不等于
“常数”，它可以是数值不变的字母；(2)变量与常量是相
对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一个变化
过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量.
4.随堂训练，巩固新知
（1）写出下列各问题中的变量和常量：
①全班共50名同学，有a名男同学，b名女同学；
一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
②汽车以80 km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km.
果.
解：①a，b是变量，50是常量．
②s，t是变量，60是常量．
（2）关于圆的周长公式C=2πr，下列说法正确的是 ( )
A.C，π，r是变量，2是常量 B.C，r是变量，2，π是常量
C.r是变量，2，π，C是常量 D.C是变量，2，π，r是常量
答案：B
（3）某地手机通话费为0.15元/分，小华在手机话费卡中存
入50元，则他的手机通话时间t(min)和话费卡中的余额
w(元)之间的关系式为 ，其中常量是
，变量是 .
（4）已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角
1
形的面积 S= ×12·h，即S=6h.在这个式子中，常量和变量
2
分别是什么?若三角形的一边长为a，这边上的高是定值h，
1
则三角形的面积 S= ah.在这个式子中，常量和变量又分别
2
是什么?
1 通过小结，帮助学
答案:在S=6h中，常量是6，变量是S和h;在S= ah中，常
2 生梳理本节课所学
1 内容，强化记忆，
量是 和h，变量是S和a.
课后练习巩固，让
2
所学知识得以运用.
答案：w=50-0.15t 50，0.15 t，w
5.课堂小结，自我完善
（1）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变
量，数值始终不变的量为常量.
（2）判断一个量是常量还是变量的方法:看这个量所在的变
化过程中，该量的值是否发生改变.6.布置作业
教材P91练习第1,2题.
教材P95习题第1题.
板书设计
变量
常量:数值始终不变的量叫常量}
在一个变化过程中
变量:数值发生变化的量叫变量
注意:(1)常量≠常数，常量可以是数值不变的字母，字母不
一定都是变量;
(2)变量与常量是相对的.
例题 练习
教学反思
本节课的重点是让学生理解常量和变量的概念，能在具体的
变化过程中对两者进行辨认.教学中让学生在实际问题中充
分感受变化过程中的变与不变，体会变量和常量的存在，通
过例题深刻理解概念.教学思路清晰，详略安排得当，练习
合理.22.1 函数的概念
第 2 课时 函数的定义及解析式
课题 函数的定义及解析式 课型 新授课
教学内容 教材第92-94页的内容
1.理解函数的概念，能准确判断具体问题中的自变量和函数.
2.能结合具体实例概括函数的概念.
教学目标 3.在函数概念的形成过程中体会运动变化与对应的思想.
教学重点：函数的概念.
教学重难
教学难点：对函数的概念中的“单值对应”含义的理解.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，提出问题
通过引言教学，复
【引言】回顾上节课的知识：如图，水滴
习上一节课所学内
激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展
容，提出本节课需
的圆，它的面积随着半径的变化而变化，
要研究的问题，引
随着半径的确定而确定．通过上节课的学
起合理的选择性注
习，我们体会到万物皆变，变化过程中的
意，起先行组织者
两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生
作用.
变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
研究变量之间的关系是把握变化规律的关键.
2.合作探究，形成概念
在上节课问题的基
【问题1】下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一 础上提出新的问
个变量的变化是怎样影响另一个量的变化的？ 题，让学生在解决
旧知的基础上再次
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行
认识变化过程中量
驶时间为t h.
之间的联系，初步
(2)电影票的售价为40元/张，设一场电影售出x张票，票房 概括变量的联动性.
收入为y元.(3)水中涟漪(圆形水波)慢慢地扩大，在这一过程
中，圆的半径为r，面积为S.
(4)长方体的体积为1 000cm²，当长方体的底面积 S分别为
50 cm²，100 cm²，125 cm²时，高h分别为多少？h的值随S的值的变化而变化吗？ 通过师生共同讨
论，分析问题1(1)
师生活动:教师与学生一起分析变化过程(1)中变量之间的关
中一个变量的变化
系.在变化过程(1)的分析中，首先引导学生得出有两个变量
对另一个变量变化
t，s，然后是s随着t的变化而变化.
的影响.在此基础
教师追问:s是怎样随着t的具体变化而变化呢?能用数值加以 上，学生独立进行
说明吗? 问题1(2)(3)(4)变
量之间对应关系的
师生活动:教师引导学生取定t的一些值，计算s的对应值并
分析，为发现这些
列表: 对应关系的共同特
征，为实现函数概
行驶时间t/h 1 2 3 4 5
念的第一次概括提
行驶里程s/(km/h) 60 120 180 240 300
供归纳的样例.
当t的值取定后，s的值有一个且只有一个．也就是说，当t
取定一个值时，s的值由t的值完全确定，而且唯一确定，
师生活动:引导学生对变化过程(2)(3)(4)进行类似于变化过程
(1)的变量关系分析，并得到如下结论:
变化过程(1)有两个变量t，s，当t取定一个值时，s有唯一
确定的值与之对应;
变化过程(2）有两个变量x，y，当x取定一个值时，y有唯
一确定的值与之对应;
变化过程（3)有两个变量r，S，当r取定一个值时，S有唯
一确定的值与之对应;
对能用关系式表示
的变量之间的对应
变化过程（4）有两个变量s，h，当h取定一个值时，s有
关系的共同特征进
唯一确定的值与之对应.
行初步概括.
【问题2】你能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系
的共同特点吗?
问题3让学生体会
师生活动:教师引导学生归纳，变化过程中有两个变量，当 到，当一个变量取
一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对 定一个值时，通过
应，如由s =60t，当t=1，2，3时能分别求出唯一的s的值. 图象也可以唯一确
定另一个变量的
【问题3】潮沙是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周
值，突出函数的本
期性涨落现象，我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时
质属性.
段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h，这两
个变量之间有什么关系?
问题4让学生感受
到当一个变量取定
师生活动：小组活动，合作讨论，然后进行交流．
一个值时，可以通
学生分析：h和t两个变量之间是互相关联，互相影响的， 过查表唯一确定出
对于t的每一个确定的值，变量h都有唯一确定的值和它对 另一个变量的值，应，如t＝6:00时，h＝200；t＝24:00时，h＝300等． 突出函数的本质属
性，剥离“用公式
【问题4】某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率
表示变量关系”这
如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y，这两个
一非本质属性.
变量之间有什么关系？
师生活动：引导学生说出届数与金牌数的对应关系，体会用
在前面分步概括的
表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值设计
基础上，概括出三
意图:
类不同表现形式的
【问题5】综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事 变量对应关系的共
例的变量之间关系的共同特点吗？ 同特征，形成函数
概念.
师生活动：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一
个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对
应．师生共同总结函数的定义：在一个变化过程中，如果有
两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯
一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的
函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a
时的函数值．
教师追问：请结合问题1(2)说说函数定义中“变化”“对
应”“唯一确定”的含义.
师生活动:学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出
函数值的概念:设y是x的函数，如果当x=a时，对应的
y=b，那么b叫做当自变量的值为x时的函数值.
3.学以致用，应用新知 形成函数概念后，
通过例题及时进行
考点 函数的概念
概念辨析，深化对
【例1】下列变量之间不是函数关系的是 ( ) 函数概念的理解.
A.长方形的长一定，其面积与宽
B.正方形的面积与周长
C.等腰三角形的面积与底边的长
D.圆的面积与直径的长
答案：C
【例2】汽车油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱
中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减
少，平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围；
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y＝50－0.1x.
(2)仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考
虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数．行
驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即
0.1x≤50.
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－
0.1x在x＝200时的函数值．将x＝200代入y＝50－0.1x， 通过随堂训练，进
得y＝50－0.1×200＝30. 一步巩固课堂所学
内容，检测学习效
答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油．
果.第（1）（2）题
像y=50一0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函 考查函数的概念；
数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫 第（3）题考查函数
作函数的解析式， 解析式及自变量的
取值范围；第（4）
4.随堂训练，巩固新知
题考查对函数值.
（1）下列各式中，y是x的函数的是 ( )
A.y=4x-3 B.x-4=8
C.x2+2y=6y2 D.x+4y
答案：A
（2）下列问题中，一个变量是不是另一个变量的函数?请说
明理由.
①改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化;
②每分向一水池注水0.1 m3，注水量y(单位:m3)随注水时间
x(单位:min)的变化而变化;
③秀水村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地面积
y(单位:m2)随这个村人数n的变化而变化;
④水池中有水10 L，此后每小时漏水0.05 L，水池中的水量
V(单位:L)随时间t(单位:h)的变化而变化.
（3）等腰三角形ABC的周长为10 cm，底边BC长为y
cm，腰AB长为x cm.
①写出y关于x的函数解析式；
学生相互交流，回
②求自变量x的取值范围． 顾函数的概念，共
同发展提高.
解：①∵等腰三角形ABC的两腰相等，周长为10，∴2x＋y
＝10.
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋10.
②∵两边之和大于第三边，∴2x＞y.∴2x＞－2x＋10，即x
＞2.5.∵y＞0，∴－2x＋10＞0，即x＜5. 课后练习巩固，让
所学知识得以运用.
∴自变量x的取值范围是2.5＜x＜5.
（4）人心跳速度通常和人的年龄有关，如果 a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量
试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).
①上述关系中的常量和变量各是什么？
②一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多
少？
解：①变量是b，a，常量是0.8，220.
②把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164.
5.课堂小结，自我完善
(1)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并
且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对
应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
(2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意
义，还要注意问题的实际意义.
(3)求函数值.
6.布置作业
教材P93练习第1,2题；
教材P5练习第1，2，3题.
板书设计
函数的概念
1．函数的概念
2．函数自变量的取值范围
3．函数值
例题 练习
教学反思
本节课的重点是让学生理解函数的概念.教学中先让学生
体会实际问题中变量间用不同方式呈现出来的联系，再通过
这些联系的共同点指出具有这种特点的关系叫作函数，并由
此对函数概念进行辨析，达到深刻理解概念的目的.课堂教
学思路清晰，详略安排得当，练习合理.22.2 函数的表示
第 1 课时 函数的图象
课题 函数的图象 课型 新授课
教学内容 教材第100-102页的内容
1.了解函数图象的意义，掌握画函数图象的方法.
2.会判断一个点是否在函数图象上．
3.经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别
教学目标
用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．
4.会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变
化规律．
教学重点：函数图象的意义及画法．
教学重难
教学难点：从图象中获取信息.
点
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
我们在前面学习了函数的定义，并知道可以用函数解析式表
示函数.有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以
以常见的心电图引
用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流
入，吸引学生的注
与时间的关系.即使对于能列式表示的函数关系，如果也能
意力，提高学生的
画图表示，那么会使函数关系更直观.
学习兴趣.
下面是一张心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐
标y表示心脏部位的生物电流.图中的曲线反映了y与x之间
的函数关系．本节课我们就来解决如何画函数图象的问题.
2.实践探究，学习新知【问题】(1)正方形的面积 S与边长 x之间的关系是什么?S
是x的函数吗?
利用现实生活中与
(2)自变量x的取值范围是什么? 函数图象有关的背
景，让学生在观察
(3)请用表格的形式列举S与x之间的对应值.
中认识、理解函数
师生活动:学生阅读教材第100页，独立完成表格． 的图象.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 …
教师讲解：在直角坐标系中，画出表格中各对数值对应的
点，然后连接这些点，所得曲线上每一个点都代表x的值与
S的值的一种对应. （教师边讲边画.）
归纳：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对
对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形，就是这个函数的图象．
师生活动：学生思考，表示x与S的对应关系的点有多少
个，如果全在坐标纸上描出的话是什么样子.
画图象取点时要让学生发现：这样的点有无数个，如果全描
出来的太麻烦，也不可能，我们只能描出其中的一部分，然
后想象出其他点的位置，用平滑的曲线连接起来．
3.学以致用，应用新知
考点 画函数图象
如何画一个函数的图象？
师生活动：学生根据函数图象的概念说明画函数图象的方法
步骤，教师以实例示范.
【例1】在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一 示范函数图象的画
的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：| 法，让学生充分体
会画图象的方法和
6
步骤.
（1）y=x+0.5; (2)y= x (x>0).
解:(1)①列表(计算并填写表中空格).
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y … -0.5 0.5 1.5 2.5 … 在画图象时，可能
②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连 有的同学忘记自变
量的取值范围，教
接这些点（如下图）.
师在此处要注意强
调．
（2）①列表(计算并填写表中空格).
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y 6 3 2 1.5 …
②描点、连线：根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连
接这些点（如下图）．
通过随堂训练，及
归纳：画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种画
时获知学生所学知
函数图象的方法称为描点法．
识的掌握情况，进
师生活动：教师展示画图过程，并讲解注意点:列表时要根 一步巩固新知．
据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，
取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映函数的全
貌.连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来.
4. 随堂训练，巩固新知
（1）下列曲线中不能表示y是x的函数的是( )
答案：C
(2)①画出函数y＝2x－1的图象．
②判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝
2x－1的图象上．
③若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求m的值．
解：①列表：
x … －1 0 1 …
y … －3 －1 1 …
描点、连线，如图：②点A，B不在图象上，点C在图象上．
③m＝5.
（3）要做一个面积为8 m2的长方形小花坛，该花坛的长为
x m，宽为y m．
①变量 y是变量 x的函数吗？若是，写出自变量的取值范
围；
②你能求出这个问题的函数解析式吗？
③当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量
之间的对应关系；
④你能画出这个函数的图象吗？
解：①由函数的定义可知，y是x的函数，自变量x的取值
范围是x>0．
②这个问题的函数解析式为y＝．
③列表：
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 8 4 2
回顾反思，引导学
④描点、连线，如图所示：
生对本节课所学知
识进行整理，总结
方法．
5.课堂小结，自我完善
（1）本节课主要内容是什么?画函数图象的一般步骤是什
么?
（2）你还有什么疑惑？
6.布置作业
教材P102练习第1，2题；
教材P107习题22.2第1题.
板书设计
函数的图象1.函数图象的定义
{列表
2.函数图象的画法 描点
连线
例题 练习
教学反思
本节课教学先让学生在具体问题中充分感受函数图象的
意义，再以具体的函数为例说明画函数图象的三个步骤及注
意事项，最后通过例题和练习巩固训练.教学思路清晰，安
排合理.
学生在教师的详细讲解下理解了函数图象的概念，学生
自己动手，按照列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，
这种通过自己动手来接受新知识的方法比较受学生欢迎.第 2 课时 利用函数图象解决实际问题
课题 利用函数图象解决实际问题 课型 新授课
教学内容 教材第103-105页的内容
1. 会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变
化规律．
教学目标
2.能从函数关系中获取相应信息，运用函数解决简单的实际问题.
3.体会函数模型的作用，增强数学应用意识.
教学重点：经历从函数的图表中获取信息、建立数学模型，解决问题
的过程.
教学重难
教学难点：结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析，并
点
能解决一些简单的问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
引入实际问题，结
如图是体育科研工作者根据实验数据绘制的一幅图像，它反
合之前学过的函数
映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化
知识，让学生们从
的函数关系．(注：血乳酸浓度升高是运动员感觉疲痔的重
图中找出信息，引
要原因．未运动时的血乳酸浓度水平通常在 40 mg／L 以
出本节课所要讲的
下．图中虚线表示运动员全力运动后来用静坐方式休息时血
函数知识.此环节重
乳酸浓度的变化情况，实线表示采用慢跑等活动方式放松时
在让学生参与进
血乳酸浓度的变化情况．)
来，将注意力集中
到课堂之上.你能从图像中获取了哪些信息呢？
2.实践探究，学习新知
【问题】右图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春
利用现实生活中与
季某天气温 T 如何随时间 t 的变
函数图象有关的背
化而变化.你从图象中得到了哪些
景，让学生在观察
信息? 中认识、理解函数
的图象.
教师追问:这个过程中存在函数关
系吗?
师生活动:学生观察图象并回答问题，教师引导学生从两个
变量的对应关系上认识函数，体会函数的意义.可以指导学
生找出一天内的最高、最低气温及时间……提醒学生也可以
从气温的变化趋势上考虑，并指明“长期观察这样的气温图
象，我们还能掌握气温的变化规律”.
师生共同总结从函数图象获取信息时的注意点:①图象的最
大值或最小值;②随着自变量的逐渐增加，函数值是增加，
减少，还是不变(变化趋势);③观察图象是不是几种变化情
况的组合，以便分情况讨论变化规律.
3.学以致用，应用新知
考点 函数图象信息题
【例】如图 1所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线
上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回
家，图2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之
间的对应关系．
学习观察函数图象
的方法，能从图象
图1 图2
中提取需要的信息.
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是
多少？
解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看
出，小明从家到食堂用了8 min.
(2)由横坐标看出，25－8＝17，小明吃早餐用了17 min.
(3)由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2 km；由
横坐标看出，28－25＝3，小明从食堂到图书馆用了3 min.
认真观察图象，并
(4)由横坐标看出，58－28＝30，小明读报用了30 min.
对图象中的数据及
(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看 转折点进行分析，
出，68－58＝10，小明从图书馆回家用了10 min，由此算出 读出实际意义．
平均速度是0.08 km/min.
5. 随堂训练，巩固新知
（1）小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由
于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在
高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，
停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利
到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(km)
与所经历的时间t(min)之间的大致函数图象是( )
通过随堂训练，及
时获知学生所学知
识的掌握情况，进
一步巩固新知．
答案：B
（2）小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从
这家超市返回家中．小军离家的路程y(m)和所经过的时间
x(min)之间的函数图象如图，则下列说法不正确的是( )
A.小军家与超市相距3 000 m
B.小军去超市途中速度是300
m/min
C.小军在超市逗留了30 min
D.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快
答案：D
（3）如图，是嘉淇在体育课上投掷铅球的曲线图，其中s
表示船球与投掷点的水平距离，h表示铅球在投掷过程的高
度，在铅球出手时，铅球的高度为 m,嘉淇投掷铅球
的成绩为 m. 通过学习观察函数
图象的方法，能从
图象中提取需要的
信息.答案：1.5 7
（4）清明节，小明骑自行车从家里出发去烈士陵园纪念先
烈，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑
行，最后抵达了烈士陵园，如图所示描述了小明出发去烈士
陵园所用的时间t（min）与离家的离s（m）之间的关系．
①图中自变量是 ；
②小明从家到烈士陵园的路程共2 000米，从家出发到烈士
陵园，小明共用了 min；
③小明修车用了 min.
回顾反思，引导学
生对本节课所学知
识进行整理，总结
方法．
答案：①小明出发去烈士陵园所用的时间t（min）
②20 ③5
5.课堂小结，自我完善
（1）本节课主要内容是什么?
（2）图象是函数的一种几何化表示方式，通过图象能更直
观地了解函数.
6.布置作业
教材P105练习第1，2，3题；
教材P107习题22.2第3，4，9题.
板书设计
利用函数图象解决实际问题
从函数图象中读取信息
（1）根据实际问题画出函数图象再解决实际问题；
（2）直接根据给定的函数图像解决实际问题.
例题 练习
教学反思
通过本节课的学习，让学生认识函数图象的实际意义，并通过观察从函数图象中获取需要的信息，培养学生自主观
察、分析的能力，提高读图能力，注意先要求学生独立解
决，再交流答案，之后给出总结，培养学生独立解决问题的
能力.22.2 函数的表示
第 3 课时 函数的三种表示方法
课题 函数的三种表示方法 课型 新授课
教材第105-107页的内容
教学内容
1.运用丰富的实例理解函数的三种表示方法，并了解三种表示方法的
优缺点．
2.通过实际操作，体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价
教学目标
值，激发学习数学的兴趣．
教学重点：认清函数的三种不同表示方法，知道各自的优缺点.
教学重难
教学难点：帮助学生感受用列表法、解析式法和图象法表示函数关系
点
的相互转换这一数形结合的思想．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入新课
【问题1】如图，要修建一个面积为12 m2
温故知新，为抓住
的小花坛，该花坛的一边长为x m，周长为
本课重点，突破难
y m．
点做知识储备，为
(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量x的取 本课的学习提供迁
值范围； 移或类比方法．
(2)能求出这个问题的函数解析式吗？
(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量
之间的对应关系；
(4)你能画出函数的图象吗？
解：(1)y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.
(2)能，y＝2(x＋).
(3)列表如下．
x/m 1 2 3 4 5 6y/m 26 16 14 14 14.8 16
(4)描点、连线，画函数图象如图．
在上题中我们用列表格、写式子和画图象的方法表示了一个
函数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和
图象法.
教师追问：从这个例子看，你认为三种表示函数的方法各有
什么优缺点?在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方
法呢?这就是我们这节课要研究的内容. 引导学生认识函数
的三种表示方法，
师生活动:学生独立思考，必要时进行适当的讨论，然后进
并归纳总结出三种
行交流.教师鼓励学生自主探索，在交流中完善自己的结果.
表示方法的优缺
2.实践探究，学习新知 点，学会根据实际
情况和具体要求选
【问题1】有一根弹簧原长10 cm，每挂1 kg重物，弹簧伸
择适当的表示方法
长0.5 cm.设所挂的重物为m kg，受力后弹簧的长度为l
来解决相关问题，
cm，根据上述信息完成下表：
进一步知道函数三
m/kg 0 1 2 3 3.5 … 种表示方法之间可
以转化．
l/cm
受力后弹簧的长度l是所挂重物m的函数吗？
【问题2】有一辆出租车，前3千米内的起步价为8元，每
超过1千米收2元，有一位乘客坐了x(x>3)千米，他付费y
元．用含x的式子表示y，y是x的函数吗？
【问题3】如图所示的是某地某一天的气温变化图．气温与
时间是函数关系吗？
从前面所见到的或自己举的例子可以看出：函数有三种表示
方法，分别为列表法、解析式法和图象法．
你认为函数的三种表示方法各有什么优缺点？根据自己的想
法填下表：
表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性
列表法 × √ √ ×例题展现了函数的
解析式法 √ √ × × 各种表示法的综合
使用，帮助学生掌
图象法 × × √ √
握本课时的主要内
师生活动：学生认真完成3个问题，并互相交流，教师要让
容，体会函数的不
学生注意区分函数的三种表示方法，同时强调，在遇到实际
同表示法之间的相
问题时，要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，
互转化.
有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
3.学以致用，应用新知
【例3】一个水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录
了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示
水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是
否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符
合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函
数能表示水位的变化规律吗？
(3)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高
度将为多少米．
解：(1)如图1，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个
点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上
升0.3 m．由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t＝2.5 h
等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，
即在这个时间中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
图1 图2
(2)由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确
定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的
设计不同形式的习
函数，开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3
题，为学生提供演
m．函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它
练机会，检测学生
表示经过t h水位上升0.3t m，即水位y为(0.3t＋3)m.其图象 对函数的三个表示
是图2中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 方法的掌握情况．
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那
么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律，即
使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时上升
0.3 m是确定的，因此这个函数也可以近似表示水位的变化规律．
(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再
过2 h，即t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝
5.1(m).
把图1中的函数图象(线段AB)向右延伸到t＝7所对应的位
置，得图2，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m．
4.随堂训练，巩固新知
（1）一名老师带领x名学生到博物馆参观，已知成人票每
张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y
关于x的函数解析式为( )
A．y＝10x＋30 B．y＝40x C．y＝10＋30x D．y＝
20x
答案：A
（2）购买某型号汽油的金额y(元)关于数量x(L)的函数图象
如图所示，那么这种汽油的价格是每升 元．
答案：7.49
（3）某水库的水位在5 h内持续上涨，初始的水位高度为
6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位
高度y(m)关于时间x(h)的函数解析式为 (0≤x≤5).
答案：y＝6＋0.3x
（4）我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了
距离地面的高度与所在位置的温度之间的大致关系.根据下
表，请回答以下几个问题:
距离地面的高度/km 0 1 2 3 4 5
所在位置的温度/℃ 20 14 8 2 -4 -10
①上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?
②由上表可知，距离地面的高度每上升1千米，温度降低
℃;
③若用x表示距离地面的高度，用y表示所在位置的温度， 教师让学生自由交
则y与x之间的函数解析式是什么? 流，总结本节课的
知识要点，加深对
（5）一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这
所学知识的理解.
5 h内6个时间点的水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5y/m 10 10.05 10.10 10.15 10.20 10.25
①由上表推出这5 h中水位高度y(m)随时间t(h)变化的函数
解析式，并画出函数图象;
②据估计这种上涨的情况还会持续2 h，预计再过2 h水位
高度将达到多少米.
解:①由表格知开始时水位高 10 m，以后每隔1 h，水位升
高0.05 m，这样的规律可以表示为 y=0.05t+10(0≤t≤5)，这
个函数的图象如图所示.
②再过 2 h 的水位高度，就是当 t=5+2=7 时，y=0.05t+10
的函数值，根据解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35，即
预计再过2 h，水位高度将达到10.35 m.
5.课堂小结，自我完善
（1）函数的三种不同的表示方法:列表法、解析式法和图象
法.
（2）函数的三种表示方法的优缺点.
（3）函数的三种表示方法的综合应用.
6.布置作业
教材P81练习第1，2，3题；
教材P83习题19.1第10，11，12，14题.
板书设计
函数的表示方法
（1）函数的三种不同的表示方法
列表法 例题
解析法 例题
图象法 例题
（2）函数的三种表示方法的优缺点
（3）函数的三种表示方法的综合应用
例题
练习
教学反思
函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何选择
这三种方法进行表示．针对这个问题，可通过引导学生对例子比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的
区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法．
