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第一章 反比例函数
§1.1反比例函数（1）
一.自学导航：
1.如果 ，那么 成 关系。
2.一般地，如果两个变量 与 的关系可以表示成 （ ）
的形式，那么称 是 的 函数。
3. 也可以写成 。
二、问题探究：
问题一：正确理解反比例函数的表达式。
例1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、综合运用：
1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果反比例函数 经过点（3，﹣2），那么m的值是（ ）
A．6 B．﹣6
C． D．1
3．函数 中自变量x的取值范围是.
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1
C．x≠1 D．x≠0
4. 已知函数 是反比例函数，那么m的值是 。
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5． 点（－3，5）在反比例函数 的图象上，则k的值是 。
6. 反比例函数 中，常数k的值应该是 。
7．从下列式子中写出 关于 的函数的解析式，并且指出其中哪些是一次函数，哪些是反比
例函数？
⑴． ⑵.
⑶. ⑷.
8.若 是反比例函数，那么，试求 的表达式。
§1.1 反比例函数（2）
一.自学导航：
一般地，如果两个变量 与 的关系可以表示成 （ ）
的形式，那么称 是 的 函数。
二、问题探究：
问题一：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。
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例1. 当矩形的面积 的为时，它的相邻两条边长 和 有什么关系？ 是
的反比例函数吗？
问题二：根据实际问题中反比例函数两个变量的实际意义，求出自变量的取值范围。
例2. 求出下列函数的自变量取值范围。
⑴． ⑵.
三、综合运用：
1.如果y与x＋2成反比例，且x＝4时，y＝1，那么，当x＝1时，y等于（ ）
A．０ B．１
C．２ D．3
2．在直角平面坐标系中，有六个点A(1，5)，B（﹣3， ），C（﹣5，﹣1），D（﹣2， ），E（3，
），F（ ，2），其中有五个点在同一反比例函数图象上，那么不在这个反比例函数图象上的点
是（ ）
A．点C B．点D
C．点E D．点F
3．函数 的自变量x的取值范围是 。
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4．汽车的油箱内装有60升的汽油，如果每公里耗油量为x升，则行驶y公里就可以全部将汽
油用完，那么用x表示y的式子是 。
5. 一个三角的面积为 ，则底边 与这边上的高 有什么关系？ 的反
比例函数吗？
6．某一电路中，保持电压不变，电流I（安）电阻R（欧）成反比例函数，当电阻R=5时，电流
I=2。
⑴．求I与R的函数关系式？
⑵．当电流I=0.5时，求电阻R的值？
§1.2 反比例函数的图象和性质（1）
一、自学导航：
用描点法画反比例函数图象的三个步骤是： 、 、 。
二、问题探究：
问题一：用描点法画反比例函数的图象。
例1.反比例函数 的图象是什么样子呢？
分析：
步骤一：列表：由于自变量 的取值范围是所有非零实数，因此，让 取一些负数和正数
值，并且计算出相应的函数值，列成下表：
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
步骤二：描点：在平面直角坐标系内，以 的值为横坐标，相应的 为纵坐标，
描出相应的点。
观察与分析： 轴右边的点，当横坐标 逐渐增大时，纵坐标 反而 ； 轴左边
的点也有这一性质，
步骤三：连线：把 轴右边各点和左边各点，分别用一条 连接起来。
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y
三、综合运用：
k
1．如果反比例函数y 的图象经过点
x
那么函数的图象应在（ ）。
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
o x
2.反比例函数 的图象经过点（ ）
A．（2，3）； B．（1，6）；
C．（9， ）； D．（﹣2，﹣3）．
3．反比例函数 经过点(－１,２)，那么一次
函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
4．在同一坐标系内，画下列反比例函数 和 的图象，并观察它们的图象之间的
关系。
§1.2 反比例函数的图象和性质（2）
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一、自学导航：
1. 在平面直角坐标系中，两根坐标轴把平面分成四个部分，右上角部分称为 ，
左上角部分称为 ，右下角部分称为 ，左下角部分称为 。
2. 反比例函数 的图象是由两支 组成的，这两支曲线称
为 。
3. 反比例函数 的图象中，两支曲线都与 不相交。
4.当 ＞0时，反比例函数 的图象在 象限内，函数值随着自变
量的增大而 ；
当 ＜0时，反比例函数 的图象在 象限内，函数值随着自变
量的增大而 。
二、问题探究：
问题一：根据反比例函数的表达式和图象，探究反比例函数的性质。
问题二：将反比例函数与一次函数的图像在同一平面直角坐标系内综合，解决有关问题。
例1．已知反比例函数 的图象经过点A(2，3)。
⑴．求这个函数的解析式；
⑵．请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由。
三、综合运用：
1．反比例函数y= ﹣ 的图象位于（ ）
A．第一.二象限 B．.第一.三象限
C．.第二.三象限 D．第二.四象限
2．已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数 的图象在（
）
Ａ．第一、三象限 Ｂ．.第二、四象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、二象限
3．下列函数中，当 ＞０时, 随 的增大而减小的是（ ）
A． B．
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C． D．
4．若反比例函数 的图象上有两点 ），那么 （填“＞”或
“＝”或“＜”）。
5．已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，3），若点（2，m）也在这个函数的图象上，
则m的值是 。
6．若反比例函数 的图象经过点（1，﹣3），那么k的值是 。
7．反比例函数 的图象中两个分支都与x、y轴 ；并且当k＞0时，
在第 象限内；当K＜0时，在第 象限内。
8．反比例函数 的图象是________，经过点（－２, ________）,其图象两支分布在第
_____象限。
9．已知：点 既在反比例函数
的图象上，又在一次函数 的图象上,则 点的坐标是 _ __。
10．如图，反比例函数 的图象如图所示，则点 在第 象限内。
11 ． 反 比 例 函 数 的图象的两个分支分别位于第
象限，当x=6时，y 的值是 。
12 ． 反 比 例 函 数 的图象，当k＞0时，在一、三象
限内函数值随自变 量的增大而 ；当K＜0时，在二、四象
限内，函数值随自变量的增大而 。
13．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 。
14．一个反比例函数图象过点P（ ，1）和Q（－ ，m），那么m＝_________。
15．已知 的值随 增大而增大,则函数 的图象在__ __ _ __象限.。
16．若反比例函数 与一次函数 的图象都经过点 ，试求m的值 。
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17．已知直线 和双曲线 交于A、B两点，且A点的横坐标和B点的纵坐标
都是2，求 和 的值。
18．在同一坐标系内，画函数 与 。
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§1.2 反比例函数的图象和性质（3）
一、自学导航：
1.反比例函数的性质：
① ＞0时，图象位于_____ __ _ ___，在每一个象限内， 随 _______ ___ _ ；
② ＜0时，图象位于___ _ _ _ __；在每一个象限内， 随 ____ _ ____；
③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
2.反比例函数 = (k≠0)中比例系数 的几何意义：即过双曲线 = (k≠0)上任意
一点引 轴、 轴的垂线,所得矩形面积为 。
二、问题探究：
问题一：利用反比例函数的图像和性质解决有关问题。
例1.如图所示，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，
且与反比例函数y＝ (m≠0)的图象在第一象限交于C点， CD垂直于x轴,垂足为D。若
OA＝OB＝OD＝1。
(1)求点A、B、D的坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式。 y y
y O x O x
C
B
B A
y y
A
x
O D
x x
O O
D
C
三、综合运用：
1．若反比例函数 的图象经过一点
A（﹣1，﹣2 )，则这个函数的图象一定经过点（ ）
A．(2，-1) B．( ，2)
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C．(﹣2，﹣1) D．( ，2)
2．下列函数中，当 ＞０时， 随 的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3.矩形面积为4，它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
4.如图，已知关于x的函数y＝k(x－1)和y＝﹣
(k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是下
图中的( )
5．若点（﹣5，y）、(﹣3，y)、(3，y)都在反比例函
1 2 3
数y= ﹣ 的图象上，则（ ）
A．.y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
6. 在同一坐标系内，一次函数
y＝（1﹣k）x＋2k＋1与反比例函数 的
图像没有交点，则常数k的取值范围
是 。
7．已知反比例函数 其图象在第一、
三象限内，则k值可为 （写出
满足条件的一个k的值即可）。
8．函数 的图象在第 象限内，在每一个象限内，y随x的增大而 ；若
在该图象上，则 ；若 在该图象上，则 。
9．如图，点A在反比例函数y= 的图象上，AB垂直于x轴，若 =2， 试求这个反比例函
数的解析式。
10．已知反比例函数 和一次函数 的图象的一个交点的纵坐标
是－4，求 的值。
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11．已知 成反比例，且
之间的关系。
12．已知函数
(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数的交点坐标；
(3)观察图象,当 在什么范围内时, ？
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§1.3反比例函数的应用（1）
一、自学导航：
1.反比例函数的应用：利用待定系数法确定反比例函数。
根据两变量之间的 关系，设y＝ ，由已知条件求出 的值，从
而确定函数关系式。
二、问题探究：
问题一：如何判断两个变量之间是否成反比例关系？如何根据实际问题建立反比例函数
解析式？实际问题涉及反比例函数的那条性质？
三、综合运用：
1．已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S之间关系的图象大致
是 （ ）。
2．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流（I A）与电阻R（Ω）成反比例。右图是该电路中电
流I与电阻R之间函数关系的图象，
则电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）。
A. I
（A）
B.
B(3,2)
2
C. O 3 R
（Ω）
第2题图
D.
3．矩形的面积为 ，它的长 与宽
之间的函数关系用图象表示是（ ） 。
A． B． C． D．
4.．已知矩形的面积为2，一条边的长为x，另一
条边的长为y，则用x表示y的函数解析式是
（其中x＞0）。
5．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成
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反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式是 。
6．某同学要到离家2000米处的学校去上学，那么他每分钟走m米和所用时间t（分）之间的
关系式为_ _ _ ，函数关系为 。
7．在电压一定的情况下，电流（I A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，试求：
电流I关于R的函数表达式？
8．如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交
于点C．若点A的坐标为（ ，4），试求△AOC的面积。
y
A
D
C
B O x
9.某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20m和11m的矩形大厅内
修建一个60m2的矩形健身房ABCD。 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图
为平面示意图),已知装修旧墙壁的费用为20元/m2，新建(含装修)墙壁的费用为80元/m2。设
健身房的高为3m，一面旧墙壁AB 的长为xm，修建健身房墙壁的总投入为y元。
(1)求y与x的函数关系式。
(2)为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足条件:8≤x≤12, 当投入的资金为4800元
时,问利用旧墙壁的总长度为多少?
A B
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D
11m
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10. 已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限的交点为 。
(1) 求 点的坐标及一次函数解析式。
(2) 求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标。
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11.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 的图象与反比例函数 的图象
的两个交点.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
§1.3 反比例函数的应用（2）
一、问题探究：
1.若存在点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线于点Q，连结OQ，当点P
沿x轴正半方向运动时，Rt△QOP的面积( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.保持不变 D.无法确定
2.已知关于x的函数y＝k(x－1)和y＝﹣ (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是下图
中的( )
y y
x
O x O
B
A
y y
x x
O O
D
C
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3.在函数y= (k>0)的图象上有三点 ，已知x ＜x ＜0＜x,
1 2 3
则下列各式中，正确的是( )
A. y＜0＜y B. y＜0＜y
1 3 3 1
C.y＜y＜y D.y＜y＜y
2 1 3 3 1 2
4.若反比例函数 的图像在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是
（ ）
A.﹣1 B.3
C.0 D.﹣3
4. 反比例函数y＝ 的图像经过（2，﹣3），则k的值是 。
5.若双曲线y＝ 的经过点(-1，2)，则直线y＝﹣kx＋2的一定不经过第 __ _ 象限。
6．若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数 的图像
上，则点C的坐标是 。
7．如图，△OPQ是边长为2的等边三角形,若反比例函数的图象过点P,则它的解析式是 ___ _
_____。
y
8．在同一坐标系内， 一次函数y＝（1﹣k）x＋2k＋1与反比例函数
P
的图像没有交 点，则常数k的取值范围是 .
x
9．在对物体做功一 O Q 定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上
移动的距离s（米）成 反比例函数关系，其图象如图所示P（5，1）在图
象上。
⑴．请求F与S的函数关系式。
⑵．求当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是多少米？
10.如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于M、N两点。（9分）
（1）．利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式；
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（2）．根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 的取值范围。
11．为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过
程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （分钟）成正比例；药物释放完毕后，
与 成反比例，如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始， 与 之间的两个函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从
药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
y
（毫克）
9
x
O 12 （分钟）
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