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《直角三角形》复习
一．选择题（共8小题）
1．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
第1题图 第2题图
2．设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB
距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称
点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
第3题图 第5题图
第4题图
4．如图，在四边形ABDC中，∠BDC=90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的
大小关系是（ ）
A．BE＞DF B．BE=DF C．BE＜DF D．无法确定
5．如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平
行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（ ）
A． B．2C． D．4
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6．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
7．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶
的宽为3米，则共需购买（ ）m2的红地毯．
A．21 B．75 C．93 D．96
第7题图 第8题图
8．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4 米，两树
相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
二．填空题（共8小题）
9． Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B= °．
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知
这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 ．
第10题图 第12题图
第11题图
11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长是
．
12．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线
OB的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 ．
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13．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一
点C，使△ABC为直角三角形的点C有 个．
第13题图
第15题图 第16题图
14．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
15．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，且蚂蚁在正方体盒子的内部D C 的中点M处．它
1 1
爬到BB 的中点N的最短路线长是 ．
1
16．如图，在等腰Rt△OAA 中，∠OAA =90°，OA=1，以OA 为直角边作等腰Rt△OA A ，以
1 1 1 1 2
OA 为直角边作等腰Rt△OA A ，…，则OA 的长度为 ．
2 2 3 n
三．解答题（共7小题）
17．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公
路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
18．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．
19．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；
（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；
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（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在
1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
20．观察下列勾股数：
①3、4、5，且32=4+5；
②5、12、13，且52=12+13；
③7、24、25，且72=24+25；
④9，b，c，且92=b+c；
…
（1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：b= ，c= ．
（2）猜想第n组勾股数，并证明你的猜想．
21．（1）如图甲，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A．在水塔的东南方向24m处有一
建筑工地B，在AB间建一条直水管，求水管AB的长．
（2）如图乙，在△ABC中，D是BC边上的点．已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的
长．
22．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，
PE⊥AC于E．
（1）求证：BD=CE；
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（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．
23．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2 ．求∠ACD的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为 ．（只填结果，不用写出计算过程）
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参考答案：
一．选择题（共8小题）
1． B． 2． C． 3． C． 4． A． 5． C． 6． B． 7． C． 8． B．
二．填空题（共8小题）
9． 54. 5 °． 10． 150 a 元 ． 11． 1 4 ． 12． ．
13． 4 ． 14． 直角 15． 2 cm ． 16． ．
三．解答题（共7小题）
17．
18．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
∴EB=FC．
19．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积=（a+b）2，
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
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∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°；
（3）证明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积= （a+b）（a+b）= ab+ c2+ ab，
整理得：a2+b2=c2．
20．解：（1）∵由勾股定理得：c2﹣b2=92，
∴（c﹣b）（c+b）=81，
∵b+c=81，
∴c﹣b=1，
解得：b=40，c=41．
故答案为：40；41；
（2）猜想第n组勾股数为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2，
∵n是整数，
∴2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，是一组勾股数．
21．解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，AB= = =40（m），
答：水管AB的长为40m；
（2）∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=132=169，BD2=52=25，DA2=122=144，
∴AB2=BD2+DA2，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，又AC=15，
∴CD= = =9．
22．（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP=EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中， ，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
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∴BD=CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD=AE，
∵AB=6cm，AC=10cm，
∴6+AD=10﹣AE，
即6+AD=10﹣AD，
解得AD=2cm．
23．解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠EAC=∠BAD．
∵在△ACE和△ABD中
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），
∴DB=EC=4，
在Rt△ABC中，
AB2+AC2=BC2，
∴BC2=22+22=8
在△DBC中，
BC2+DC2=8+8=16=42=BD2
∴∠DCB=90°
∴∠ACD=90°+45°=135°；
（3）∵BC2=8，DC2=8
∴BC=DC．
∵∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中由勾股定理，得
AD= =2 ．
在Rt△AED中由勾股定理，得
ED= =2 ．
故答案为：2 ．
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