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第12讲 二次函数的图象与性质
一、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y=(a－1)x2是二
1. 一 次 函 次函数，那么a的取值范围是
a ≠0 .
数的定义
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二 若已知条件是图象上的三个
次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x )(x-x ),其中x,x 为抛物线 点或三对对应函数值，可设一
1 2 1 2 般式；若已知顶点坐标或对称
与x轴交点的横坐标.
2.解析式 轴方程与最值，可设顶点式；
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数 若已知抛物线与x轴的两个
的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 交点坐标，可设交点式.
知识点二 ：二次函数的图象与性质
图象 （1）比较二次函数函数值大小
y y
的方法：①直接代入求值法；
②性质法：当自变量在对称轴
同侧时，根据函数的性质判
断；当自变量在对称轴异侧
x x 时，可先利用函数的对称性转
化到同侧，再利用性质比较；
O O
④图象法：画出草图，描点后
比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次
y=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 函数的最值时，首先考虑对称
轴是否在取值范围内，而不能
盲目根据公式求解.
开口 向上 向下
例：当0≤x≤5时，抛物线
3.
二次函 y=x2+2x+7的最小值为 7 .
数的图象 对 称
x＝
和性质 轴
顶 点
坐标
增 减
性
当 x> 时，y 随 x 的增大而增 当x> 时，y随x的增大而减小；
大；当x＜ 时，y随x的增大而 当x＜ 时，y随x的增大而增大.
减小.
最值
x= y ＝ . x= y ＝ .
最小 最大
， ，
a 决定抛物线的开口方 当a＞0时，抛物线开口向上； 某些特殊形式代数式的符号：
向及开口大小 当a＜0时，抛物线开口向下. ① a±b+c 即 为 x=±1
a、决定对称轴（x=-b/2a） 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 时，y
b 的位置 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 的值；②4a±2b+c即为x=±2
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． 时，y的值.
3.
系数a、 ③ 2a+b的符号，需判
c 决定抛物线与 y轴的 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
b、c
交点的位置 当c＝0时，抛物线经过原点；
断对称
轴-b/2a与1 的大小.若对称轴
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
在直线x=1的左边，则-b/2a＞
b2 － 决定抛物线与x轴的 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; 1，再根据a的符号即可得出
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; 结果.④2a-b的符号，需判断
4ac 交点个数
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 对称轴与-1 的大小.
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知识点三 ：二次函数的平移
失分点警示：
4.
y=ax2 向左(h＜0)或向右(h＞0) y=a(x－h)2 向上(k＞0)或向下抛
左
(
加
物
右
线
减
平
”
移
,
规
左
律
右
是
平
“
移
上
易弄
加
反
下
.
减，
平移与解 的图象 的图象 例：将抛物线y=x2沿x轴向右平
析式的关 平移|h|个单位 平移|k|个单位移2个单位后所得抛物线的解析
系 式是y=（x－2）2．
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点
的平移方式即可确定平移后的函数解析式
知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 例：已经二次函数y=x2-
5.
ax2+bx+c=0的根. 3x+m(m为常数)的图象与x
二次函数
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 轴的一个交点为（1,0），则关
与一元二次
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 于x的一元二次方程x2-
方程
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 3x+m=0的两个实数根为2,1.
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的
6.
二次函数
x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵
与不等式
坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
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