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第 2 课时 二次函数 y＝ax2(a<0)的图象与性质
【类型二】 同一坐标系中两种不同图象
的判断
1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a<0) 当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线
的图象；(重点) y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致
2．掌握形如y＝ax2(a<0)的二次函数的 是( )
图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)
一、情境导入
解析：根据a、b的符号来确定．当a>0
时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，
∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；
当 a<0 时，抛物线 y＝ax2的开口向下．
∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、
上节课我们学习了a>0时二次函数y＝ 四象限．故选D.
ax2的图象和性质，那么当a<0时，二次函数 方法总结：本例综合考查了一次函数y
y＝ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢？ ＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．
二、合作探究 因为在同一问题中相同字母的取值是相同
探究点一：二次函数y＝ax2(a<0)的图象 的，所以应从各选项中两个函数图象所反映
【类型一】 二次函数 y ＝ a x 2 ( a <0 ) 的图象 的a的符号是否一致入手进行分析．
在直角坐标系内，作出函数y＝－ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
x2的图象． 后巩固提升”第3题
解析：作函数的图象采用描点法，即 探究点二：二次函数y＝ax2(a<0)的性质
“列表、描点、连线”三个步骤． 【类型一】 二次函数 y ＝ a x 2 ( a <0 ) 的性质
解：列表： (2015·山西模拟)抛物线y＝－4x2
x 0 1 2 … 不具有的性质是( )
y＝－x2 0 － －2 …
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增
大
D．最高点是原点
解析：此题应从二次函数的基本形式入
手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性
质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开
描点和连线：画出图象在y轴右边的部
口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，
分，利用对称性，画出图象在y轴左边的部
最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增
分，如图．
大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而
方法总结：(1)列表应以0为中心，选取
减小．故选A.
x>0的几个点求出对应的y值；(2)描点要准；
方法总结：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向
(3)画出y轴右边的部分，利用对称性，可画
下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜
出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，
0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x
不能是折线．
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的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y ∴y＝－1，y＝－9，
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有最大值0. ∴直线与二次函数的另一个交点 B的
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 坐标为(－3，－9)；
堂达标训练”第2题 (3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
【类型二】 二次函数 y ＝ a x 2 的开口方向 、 垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可
大小与系数 a 的关系 知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，
如图，四个二次函数图象中，分别 AC＝1，
对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝ ∴S ＝S －S －S ＝
△AMB 梯形ABDC △ACM △BDM
dx2，则a、b、c、d的大小关系为( ) ×(1＋9)×4－×1×1－×3×9＝6.
A．a>b>c>d
B．a>b>d>c
C．b>a>c>d
D．b>a>d>c
答案：A 方法总结：解答此类题目，最好画出草
方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由| 图，利用数形结合，解答相关问题．
a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小， 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
抛物线的开口越大． 后巩固提升”第8题
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 三、板书设计
堂达标训练”第7题
探究点三：二次函数y＝ax2的图象与几
何图形的综合应用
已知二次函数 y＝ax2(a≠0)与直
线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：
(1)a，b的值；
(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标
及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；
(3)△AMB的面积．
解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交 本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节
点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面 课y＝ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出y＝
积，一般应画出草图进行解答． ax2(a＜0)的图象和性质，进而得出 y＝
解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与 ax2(a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、
二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐 合作探究的学习习惯.
标满足二次函数和直线的关系式，
∴∴
(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点
M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．
由－x2＝2x－3，解得x＝1，x＝－3，
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